广义贝塔素数分布：经济的随机模型

对于α=1，我们有均值回复模型，通常产生BP稳态分布，对于κ=0和κ=0，分别产生IGa和Ga。为了理解参数α的作用，我们使用均值回复概念分析限制行为（21）和（22）vis-a-vis（31），即使α6=1且无固定均值。为此，我们注意到（35）中的尾部指数qα不依赖于α，因此根据（21），高端不受影响。另一方面，前沿指数pα随α增长，因此从α<1过渡到α>1时，根据（22），低端受到抑制，中档人口更多。这可以理解为a s如下：对于x<< β从α<1到α>1，我们看到每θx1的“回复”值小于“平均值”到大于“平均值”-αin（31），而挥发性，包括潜在的“损失”∝ x2个-α、 be变小了。5、数值模拟我们现在根据俄亥俄州哈米尔顿县的住宅销售价格对财富/收入分配进行数值分析，该县包括约220万人口的辛辛那提大都会利坦地区。数据是1970-2010年的销售额，我们总共有124,20 3个数据点。我们根据汉密尔顿县劳工统计局（BLS）消费者价格指数（CPI）数据进行了调整，以表示1990年的价格和20-10美元不变价格，仅发现非常小的差异–见下文。我们使用最大似然估计（MLE）进行拟合，拟合结果如图5所示，基于1990年不变美元，表4和表5分别基于1990年和2010年不变美元。此外，我们拟合了累积密度函数（CDF）的尾部，即幂律尾部，并将结果显示在图中。6，基于1990年固定美元，以及表7和表8。

对于实际的厚尾分布（GB2、BP和GIGa），根据表4和表5，将尾分布的结果与根据完整分布计算的尾参数进行比较。在我们的模拟中，我们总是使用1990年和2010年的恒定美元进行计算，以验证我们的拟合的一致性，但表4和表5充分表明，除了与比例参数相关的数量外，依赖于形状参数的数量差异很小。因此，在图。在接下来的内容中，我们只提供了1990年的调整数据。0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 k币的销售价格0.0020.0040.0060.0080.010.012dataGB2GIGaBPGGaLNFigure 5:1990年固定美元的销售价格数据拟合。表4:1990年恒定dollarstype参数KS测试平均RMS Gini Hoover Theil T Theil L DMMSData N.A.N.A.113.9110 132.2079 0.3620 0.2606 0.2580 0.2176 0.2708GB2 GB2（3.0300，1.5521，1.8265，57.520 8）0.0173 113.7045 108.3528 0.3609 0.2580 0.2473 0.2168 0.1929BP BP（13.3205，3.7632，23.4072）0.0228 112.840 2 93.3789 0.3560 0.2556 0.2288 0.2082 0.1870千兆（5.4618，849.6230，0.7200）0.0291 113.5776 97.3008 0.3624 0.2610 0.2393 0.2147 0.1999LN LN（4.5178，0.6200）0.0463 111.05 40 76.0374 0.3389 0.2434 0.1922 0.1922 0.1551GGa GGa（41.9754，0.00001，0.2442）0.0559 111.1247 74.1637 0.3390 0.2435 0.1897 0.1958 0.1353表5:MLE 2010年恒定dollarstype参数KS测试平均RMS Gini Hoover Theil T Theil L DMMSData N.A.N.A.结果。

184.3548 213.9667 0.3620 0.2606 0.2580 0.2176 0.2639GB2 GB2（3.0302，1.5521，1.8265，93.090 0 0）0.0173 184.0205 175.3528 0.3609 0.2580 0 0.2473 0.2168 0.1972BP BP（13.3206，3.7632，37.8823）0.0228 182.6217 151.1257 0.3560 0.2556 0.2288 0.2082 0.1967GIGa 1375.4542，0.7200）0.0291 183.80 88 157.4365 0.3624 0.2610 0 0.2392 0.2146 0.1991LN（4.9992，0.6200）0.0463 179.73 10 123.05980.3389 0.2435 0.1922 0.1922 0.1474GGa GGa（44.6058，0.00001，0.2386）0.0546 179.2009 118.7474 0.3369 0.2434 0.1873 0.1930 0 0.14092.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3 3.1log（售价k$）-3.5-3-2.5-2-2.5-1-1-0.5TailfittigabpggabPGgalConfigalConfigfigure 6：使用CDF表6进行尾部拟合：斜率计算结果为1990年固定美元（左）和2010年固定美元（右）。表7:1990年恒定dollarstype坡度参数SlopeData-2.9411GB2-2.8253的尾坡结果-αq-2.835BP-3.1102-q-3.763GIGa-3.0337-αγ -3.933LN-4.1994GGa-4.5707表8：2010年恒定dollarstype坡度参数的尾坡结果斜率数据-2.9411GB2-2.8253-qα- 2.835BP-3.1102-q-3.763GIGa-3.0341-αγ -3.933LN-4.1994GGa-4.58996。结论我们认为，基因化贝塔素数（和贝塔素数）的独特性质使其适合于描述自然科学和生命科学中的财富/收入和其他分布，即它可以模拟各种行为，如指数，无论是小变量还是大变量。它还有一个重要性质，即逆变量的分布也是广义Beta素数。换句话说，变量的大小值可以互换。在这种变换下，广义贝塔素数明确地执行了参数要求，以保持钟形和方差的存在。

然而，最重要的是，它是一个简单随机模型的稳态分布，可以描述许多现象，包括建模经济交换和市场波动。我们在广义贝塔素数框架中研究了收入不平等的测度、基尼系数、胡佛系数和泰尔系数，推导了（24）和（25）（以及（10）和（11）之间的关系，并将它们与上述逆变量变换的性质（23）（和（9））联系起来。我们还从随机模型中导出了广义Beta素的参数s，并粗略分析了这些参数对分布和不等式测度的影响。此外，我们推导出了一个简单但非常精确的近似值（17），精确到贝塔素数基尼。我们还导出了表2和表3中分布的几个新基尼系数、胡佛系数和泰尔系数。我们认为，基尼和泰尔T从定义上夸大了分布对低端（体重不足）和高端肥尾（体重过高）的影响幂律依赖性。因此，我们认为胡佛（Pietra，Schultz）和泰尔·拉尔·埃莫（Theil L ar e mo）在这种情况下采取了适当的措施，尤其是就厚尾巴而言。我们还引入了一种新的与尺度无关的不平等度量方法DMMS，该方法通过一种分布不可知的程序来估计低端和高端财富/收入的分位数。我们使用Beta Prime来说明这个度量。在数值模拟中，胡佛的基尼值始终低于胡佛，且DMS小于胡佛（对于后一种情况下的所有拟合分布）。同样，无论是数据还是所有厚尾分布，Theil Lwas始终低于Theil T。我们使用俄亥俄州汉密尔顿县的房价作为财富/收入分布的代表。

考虑到非常大的数据集，我们使用最大似然估计来拟合一些分布。虽然广义Beta素数提供了最好的fit，但绝对精度并不特别高。此外，我们直接对尾部进行拟合，以查询这些尾部与全分布指数幂律指数之间的对应关系。我们研究了一小部分最高售价的影响，并表明从分布中剔除这些尾部可以显著降低尾部的不平等指数和“肥胖”。最后，我们研究了市场价值（要价）的分布，发现它们的尾部比销售价格的尾部要“胖”得多，以至于理论上不存在差异。我们认为这是因为市场价值不是用经济交换模型来描述的，因此是“非物理的”附录A.新的不平等度量在这里，我们介绍了一种新的不平等度量，DMMS，用于钟形分布：DMM S=1- M P DF×HW（A.1），其中M P DF是“模式PDF”，即模式下PDF的高度，HW是“半宽”，即模式PDF下分布的宽度。图A.7中说明了这一点，因此，DMS全面测量了整个分布中低端和高端的比例。自M P DF起∝ β-1和HW∝ β、 DMMS是与尺度无关的，这是不平等度量的要求，是一个介于0和1之间的数字。我们无法推导出BP的DMMS的解析表达式（对于GIGa，在[19]中获得的闭合形式表达式），因此我们仅给出数值结果。以非常高的精度，由dbpmax=DBP（1，2）给出了OFDM的最大值≈ 0.48（A.2），正如预期的那样，小于基尼的最大值，并且略小于胡佛的最大值（13）。图A.8显示了作为p和q函数的DMS。

它类似于基尼和霍夫，但值较低。0.5 1 1.5 2.5 3 3.5X0.20.40.60.81.2模式PDFHalf宽度图A.7：数字式万用表图解。r内的面积大致代表财富/收入的比例，不在尾部。0.10.2DMMS0.3q0.4p0.5图A.8：作为p和q函数的β-Prim e DMMS。附录B。扩展表在表B.9和B.10中，我们分别添加IGa和Ga作为GIGa和GGa的限制情况。通过将其中一个形状参数设置为unity，从GB2、GIGa和GGa中获得BP、IGA和Ga。通常情况下，使用缩减分布进行拟合的准确度非常接近，而指数的表达式相对于广义分布而言非常简单。附录C.尾部切割我们调查了最高销售价格对分配、尾部和不平等措施的影响程度。为此，我们先将最高售价下调0.05%，然后再下调0.1%。结果如图所示。C9和C.10以及表C.11、C.12和C.13。值得注意的是，第一次切割明显降低了鱼尾质量指数，并使尾巴“脂肪”减少与第一次切割相比，第二次切割没有太大影响。0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 k币销售价格0.0020.0040.0060.0080.010.012dataGB2GIGaBPGGaLN0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 k币销售价格0.0020.0040.0060.0080.010.012DataGB2Gigabpggaln配置图C.9：销售价格最高下调0.05%（左）和最高下调0.1%（右）表C.11：具有最高0.05%岩屑类型参数的销售价格的最大似然估计结果KS检验平均值RMS Gini Hoover Theil T Theil LData N.A.N.A。

112.4606 89.6130 0.3541 0.2554 0.2255 0.2064GB2 GB2（3.8260，1.8778，1.61 91，53.6299）0.0176 112.9118 100.8824 0.3567 0.2552 0.2179 0.2302GIGa GIGa（5.5018，857.7555，0.7200）0.0290 113.1787 96.2318 0.3609 0.2599 0.2369 0.2128BP BP（12.5840，3.8592，25.5170）0.0229 112.3070 91.2442 0.3532 0.2535 0.2242 0.2051LN LN（4.5162，0.6159）0.0452 110.5885 75.1049 0.3368 0.2419 0.1896 0.1896GGa GGa（39.3820，0.0001，0.2553）0.0543 110.3299 72.4940 0.3350 0.2405 0.1849 0.1909表C.12：具有最大0.1%切削参数的销售价格的MLE结果KS测试平均RMS Gini Hoover Theil T Theil LData N.A.N.A.111.9174 86.4710 0.3514 0.2535 0.2191 0.2029GB2 GB2（4.565 2，2.1658，1.4828，50.4532）0.0163 112.3574 96。5217 0.3539 0.2533 0.2289 0.2087GIGa GIGa（5.5312，863.5680，0.7200）0.0290 112.8726 95.4512 0.3597 0.2590 0.2352 0.2114BP BP（12.1545，3.9269，26.9 504）0.0229 111.9161 89.8078 0.3 514 0。2521 0.2210 0.2029 LN LN（4.5148，0.6133）0.0444 110。2659 74.5097 0.3355 0.2409 0.1881 0.1881GGa GGa（37.8721，0.0001，0.2621）0.0540 109。9910 71.6878 0.3329 0.2390 0.1825 0.18852.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1log（售价k$）-3-2.5-2-1.5-1-0.5tailfittgb2gigabpggaln2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 log（售价k$）-3-2.5-2-1.5-1-0.5tailfittgb2gigabpggaln图C.10：顶部坡度降价0.05%（左）和最高降价0.1%（右）表C.13：顶部0.05%坡度（左）和0.1%坡度（右）类型坡度数据-3.1776GB2-2.8573BP-3.1613GIGa-3.0494LN-4.2272GGa-4.6416类型坡度数据-3.3890GB2-2.9539BP-3.1968GIGa-3.0609LN-4.2446GGa-4.6801附录D的销售价格尾斜率结果。在我们对顶部20%和30%的啤酒价格进行尾拟合之前，请参见附录D。

我们没有发现表7和表8.2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1log（售价k$）-3-2.5-2-1.5-1-0.5tailfitbpgiggaln2.2 2.4 2.6 2.8 3.2log（售价k$）-3-2.5-2-1.5-1-0.5tailfitbpgiggaln2图D.11：顶部售价的尾斜率20%的价格（左）和30%的折扣（右）。表D.14:top 20%Pris（左）和30%cut（右）型SlopeData-2.8730BP-3.0229GIGa-2.9451LN-3.9405GGa-4.2379型SlopeData-2.8189BP-2.9594GIGa-2.8822LN-3.7644GGa-4.0129附录E的销售价格尾部操作结果。市场价值分布很有意思的是将销售价格分布与原始“市场价值”即销售价格进行比较。对于后者，我们有124203个数据点。无花果。E、 12和E.13显示了两种分布的等高线图，包括顶部和非常顶部的值。很明显，市场价值有一个“更胖”的尾巴，如图E所示，这是由最大似然误差和尾部拟合确定的。14和表E.15和E.16。事实上，尾部e xpo ne nt太小，以至于不允许理论上存在方差。我们认为，这是因为存在一个名词化的经济交换模型，而非销售价格，它是财富/收入的代表。图E.12：销售价格和市场价值分布的等高线图。图E.13：高增长价格（左）和最高价格（右）与图E.12相同。0 100 200 300 500 600 800 900 1000千加元市场价值0.0020.0040.0060.0080.010.012dataGB2GIGaBPGGaLN2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6千加元（市值）-3-2.5-2-1.5-1-0.5TailfitGB2Gigabpggaln配置图E.14：市场价值的最大似然法。表E.15：市场价值的最大似然法结果PE参数KS测试平均RMS基尼胡佛泰尔T泰尔L DMMSData N.A.N.A.137.5409 169.6051 0.4041 0.2944 0.3419 0.2711 0.3245GB2 GB2（1.1477，0.5488，3.5129，70.737 3）0.0131 141.7586 N.A.0.4227 0.3054 N.A.N.A。

0.2371BP BP（30.9762，2.9803，8.5913）0.0303 134.3902 140.0085 0.3884 0.2804 0.2893 0.2480 0 0.2156GIGa GIGa（3.3516，340.5329，0.8940）0.0282 134.9369 143.2419 0.3919 0.2833 0.2959 0.2520 0 0 0 0.2203LN LN（4.6528，0.6636）0.0657 130.71 09 97.2305 0.3611 0.2599 0.2202 0.2202 0.1722GGa GGa（44.4707，0.00001，0.2196）0.0752 131.3837 95.9984 0.3638 0.2620 0.2206 0.2280 0 0.1594表E.16：尾坡结果对于市场价值，pe Slope param SlopeData-2.2175GB2-1.9269-qα- 1.928BP-2.6419-q-2.980GIGa-2.6138-αγ -2.996LN-3.9300GGa-4.2277参考文献[1]D.Chotikapanech（编辑），《收入分布和Lor-enz曲线建模》，斯普林格出版社，2008年。[2] J.B.McDonald，《收入分布和洛伦兹曲线建模》（Chotikapanich，Duangkamon编辑），斯普林格出版社，2008年，第3和第8章。[3] J.Chen，Y.Wang，J.Wen，F.Fang，M.Song，《人口老龄化和经济增长对中国农村贫困的影响》，农村研究杂志47（2016）665–676。[4] D.Chotikapanich，W.E.Griffiths，G.Hajargasht，W.Karunarathne，P.D.S.Rao，使用gb2收入分配，计量经济学6（2）（2018）21。[5] G.Hertzler，“随机动态模型的经典”概率分布，摘自：澳大利亚农业和资源经济学会第47届年会，2003年。[6] J.-P.Bouchaud，M.M\'ezard，《简单经济模型中的财富凝聚》，物理学a：统计力学及其应用282（3）（2000）536–545。[7] T.Ma，J.G.Holden，R.Serota，《经济网络模型中的财富分配》，Physica a：统计机制及其应用392（10）（2013）2434–2441。[8] A.A.D.ragulescu，V.M.Yakovenko，《具有随机波动性的heston模型中的收益概率分布》，量化金融2（2002）445–455。[9] T.Ma，R。

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