广义贝塔素数分布：经济的随机模型

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英文标题：
《Generalized Beta Prime Distribution: Stochastic Model of Economic
  Exchange and Properties of Inequality Indices》
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作者：
M. Dashti Moghaddam, Jeffrey Mills and R. A. Serota
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We argue that a stochastic model of economic exchange, whose steady-state distribution is a Generalized Beta Prime (also known as GB2), and some unique properties of the latter, are the reason for GB2\'s success in describing wealth/income distributions. We use housing sale prices as a proxy to wealth/income distribution to numerically illustrate this point. We also explore parametric limits of the distribution to do so analytically. We discuss parametric properties of the inequality indices -- Gini, Hoover, Theil T and Theil L -- vis-a-vis those of GB2 and introduce a new inequality index, which serves a similar purpose. We argue that Hoover and Theil L are more appropriate measures for distributions with power-law dependencies, especially fat tails, such as GB2.
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中文摘要：
我们认为，经济交换的随机模型，其稳态分布是广义贝塔素数（也称为GB2），以及后者的一些独特性质，是GB2成功描述财富/收入分布的原因。我们使用住房销售价格作为财富/收入分配的代表，从数字上说明这一点。我们还探索了分布的参数极限，以便从分析上做到这一点。我们讨论了Gini、Hoover、Theil T和Theil L等不等式指数相对于GB2指数的参数性质，并引入了一个新的不等式指数，其作用类似。我们认为Hoover和Theil L是具有幂律依赖的分布的更合适的度量，尤其是厚尾分布，如GB2。
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分类信息：

一级分类：Economics        经济学
二级分类：Econometrics        计量经济学
分类描述：Econometric Theory, Micro-Econometrics, Macro-Econometrics, Empirical Content of Economic Relations discovered via New Methods, Methodological Aspects of the Application of Statistical Inference to Economic Data.
计量经济学理论，微观计量经济学，宏观计量经济学，通过新方法发现的经济关系的实证内容，统计推论应用于经济数据的方法论方面。
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一级分类：Economics        经济学
二级分类：Theoretical Economics        理论经济学
分类描述：Includes theoretical contributions to Contract Theory, Decision Theory, Game Theory, General Equilibrium, Growth, Learning and Evolution, Macroeconomics, Market and Mechanism Design, and Social Choice.
包括对契约理论、决策理论、博弈论、一般均衡、增长、学习与进化、宏观经济学、市场与机制设计、社会选择的理论贡献。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Generalized_Beta_Prime_Distribution:_Stochastic_Model_of_Economic_Exchange_and_P.pdf (1.7 MB)

2022-6-24 04:13:32 上传

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关键词：随机模型 distribution econometrics Quantitative Mathematical

广义贝塔素数分布：经济交换的随机模型和不等式指标的性质。Dashti Moghadama，Je ffrey Millsb，2，R.A.Serotaa，1俄亥俄州辛辛那提辛辛辛那提大学物理系45221-0011俄亥俄州辛辛那提辛辛辛那提辛辛辛那提大学经济系45221-0371摘要我们认为，经济交换的随机模型，其稳态分布是广义贝塔素数（也称为GB2），以及后者的一些独特性质，是GB2成功描述财富/收入分配的原因。我们使用住房销售价格作为财富/收入分配的代表，从数字上说明这一点。我们还从解析的角度探讨了分布的参数极限。我们讨论了Gini、Hoover、Theil T a和Theil-vis-a-vis-a-vis等不等式指数与GB2的参数性质，并引入了一个新的不等式指数，其作用类似。我们认为Ho over和Theil L是具有幂律依赖的分布的更合适的度量，尤其是厚尾分布，如GB2。关键词：广义贝塔素数，经济交换随机模型，基尼，胡夫r（Pietra，Schultz），泰尔，房屋销售价格1。引言关于广义贝塔素数（也称为GB2）在收入/收入分布中的应用，已有大量文献[1]。对于不等式的泰尔和基尼测度，已知分析结果（见[2]第3章和第8章）。使用GB2的数值和分析结果通常用于各种经济分析（最近的一个例子见[3，4]）。然而，似乎很少有人讨论为什么GB2 isso特别适合建模财富/收入分配。

此外，最大似然估计（MLE）和贝叶斯拟合，以及使用更精确的统计测度，如Kolmogor-Osirnov统计，似乎存在明显的缺失。因此，这项工作的主要动机是将GB2与经济交换的一个看似合理的随机模型[5]联系起来，并更好地理解分布的参数依赖性和对称性以及由此导出的数量，如基尼、胡佛（也称s Pietra或Schultz）和泰尔指数。我们还希望进行系统的统计拟合并量化福利。最后，我们提出了一种替代性的不平等衡量标准，与胡佛和泰尔相似，当用幂律分布依赖性（如GB2）来描述高收入和低收入/财富时，它不太容易被夸大。本文的组织结构如下。在第2节中，我们总结了第5节中用于拟合的分布的性质。在第三节中，我们讨论了GB2和不等式指数的解析性质。最初，我们讨论了Beta素数的特殊情况，对于Beta素数，闭式结果很简单，也很容易理解。第四章讨论了经济交换的随机模型，其稳态分布为GB2。第5节我们使用房屋销售数据作为财富/收入分配的代理，以符合第2节的分配。在附录A中，我们介绍了一种新的不等式度量，DMMS。在App endix B中，我们扩展了fitting函数的数量。最后，在附录C-附录E中，我们将市场价值分布与销售价格进行比较，并调查最昂贵的房产对价格参数的影响。serota@ucmail.uc.edumillsj f@ucmail.uc.eduuPreprint提交至arXiv 20192年6月13日。

分布汇总表1-3包含本文中用于拟合的分布的概率密度函数（PDF）和累积密度函数（CDF）以及由此导出的不平等指数。这里，Γ（x）是ga-mma函数，B（x，y）是beta函数，ψ（x）是digamma函数，erf（x）是误差函数，而不是超几何函数。胖尾基因反伽马（GIGa）出现在经济网络模型中【6，7】，通过将PDF变量改为其逆，与基因反伽马（GGa）相关。这些分布及其特殊情况也出现在随机波动率和股票收益率模型中[8，9]；关于BP在后一种情况下的应用，请参见【10】。GIGa和GGa也可被视为p的GB2极限情况→ ∞ 和q→ ∞ 分别为【11】。对数正态分布（LN）也广泛应用于经济和金融领域【12】。许多分布的不等式指数的简明摘要可在[2]中找到。本文推导了GIGa的allinequality指数，以及GB2的Theil L和Hover指数。然而，我们随后发现，对于任意分布的CDF，之前已经获得了一个非常好的闭合形式的胡佛指数公式（Prieta），Theil L也是先前推导出来的。

我们指出了所有指数的差异结构，这些指数反映了与分布变量转换为其逆相关的对称性，将GB2的低端转换为高端，反之亦然（见下文），将GIGa转换为GGa，反之亦然。基尼指数、霍弗指数和泰尔指数使用以下公式计算，其中p（x）是p DF：G=2uZ∞Z∞p（x）p（y）| x- y | dxdy（1）H=2uZ∞p（x）| x-u| dx（2）TT=Z∞p（x）xulnxudx（3）TL=Z∞p（x）lnuxdx（4）从（1）-（4）中可以看出，基尼和泰尔T夸大了分布的幂律依赖性——GGa的低端、GIGa的高端脂肪尾以及GB2（和BP）的高端脂肪尾，因为他们低估了低端和超重脂肪尾。因此，我们认为胡佛和泰尔是更合适的权力分配措施，尤其是厚尾巴。在附录A中，我们介绍了另一种衡量不平等的方法，即DMMS，它试图解决同样的问题m。如下所示，无论是实际数据还是厚尾分布，Theil L都比Theil T小，而Hoover和MDD都比Gini小，所有固定分布的MDD都比Hoover小。3、广义Beta和不等式指标的分析性质3.1。βPrimeWe开始分析GB2GB2（x；p，q，β，α）=α（1+（xβ）α）-p-q（xβ）-1+pαβB（p，q）（5）BP是GB2的一种特殊情况。附录B中给出了包含IGa和Ga的扩展表——GIGa和GGa的特殊情况。对于BP的简单情况，α=1 in（5）。BP（x；p，q，β）=（1+（xβ））-p-q（xβ）-1+pβB（p，q）（6），BP的简单情况下，α=1 in（5）。

BP在小参数和大参数下的极限行为为BP（x；p，q，β）∝ （xβ）-q-1，x>> β（7）和BP（x；p，q，β）∝ （xβ）p-1，x<< β（8）这里我们假设p>1，即BP有一个最大值（一个b细胞形状），q>2，即方差存在（我们将在附录中讨论与市场价值相反的示例）。限制行为（7）和（8）强调了BP的灵活性：大e-p行为模拟了IGa在小V值下的指数衰减（见附录B），对应于低端值的抑制，而大q行为模拟了Ga的指数衰减，对应于高端值的抑制（另见【11】）。BP的一个重要特性是，在变量变为其逆变量时，x→ x个-1，它将低端转换为高端，反之亦然，它将转换为asBP（x；p，q，β）→ BP（x-1.q、 p，β-1） （9）根据基尼和泰尔的定义，可以推导出-并立即从表2-3中的闭合形式答案验证-转换属性（9）导致p+1<-> 不等式指数的q变换性质：GBP（p，q）=GBP（q- 1，p+1）；HBP（p，q）=HBP（q- 1，p+1）（10）和TBPT（p，q）=TBPL（q- 1，p+1）TBPL（p，q）=TBPT（q- 1，p+1）（11）注意p+1<-> q意味着p>1和q>2也能正确变换，这支持BP的这些条件。据说，Theil L对低端的不等式更为敏感，这是因为ln（x）是平均值的xin单位，它会随着x发散→ 0–而il T对高端的不平等更为敏感–这是由于xln（x），其作为x发散→ ∞. 我们认为（11）是他们角色的更精确表述。现在我们来看看基尼和泰尔的一些限制行为。

根据表3，GBP=2B（2p，2q- 1） pB（p，q）；HBP=p-1+p(-1+q）-1+q(-1+p+q）1-p-qB（p，q）（12）（请注意，英镑[2]的此表达式与表2中的表达式等效；表2中的表达式以低于p+1的方式书写<-> q对称。）给定施加的约束p>1和q>2，BP中的GIN最大值为GBPMAX=GBP（1，2）=；HBPmax=HBP（1，2）=（13）也不显著>> 1） =Γ（p+）√πΓ（p+1）英镑（p>> 1，q）=Γ（q-)√πΓ（q）；HBP（p，q>> 1） =e-购买力平价-1Γ（p）；HBP（p>> 1，q）=e1-q（q- 1） q-1Γ（q）（14）注意，在这种转换下→ LN，Ga→ IGa和IGa→ Gaand，尤其是英镑（1，q>> 1） =+4qGBP（p>> 1，2）=+4p；HBP（1，q>> 1） =e+2eq；HBP（p>> 1，2）=e+2ep（15）当两个参数都变大时，基尼趋于零asGBP（p>> 1，q>> 1) ≈√2π(√p+√q） ；HBP（p>> 1，q>> 1) ≈√2π(√p+√q） （16）图1总结了BP基尼对p和q的依赖性。依存度e的轻微不对称性掩盖了上述p+1<-> 根据（14）–（16），对于大p和q，q对称并消失。最后，虽然（12）足够简单并且可以很容易地制成表格，但更简单的表达式是GBP（p，q）≈pq+6p+7q- 68（pq+q- 1） （17）在相对较小的p和q的准确值的一个百分点范围内，通常是令人感兴趣的，如第5节；（17） 也尊重p+1<-> q对称性。图2显示了（17）中的表达式与（12）中的精确BP基尼的比率。现在我们来谈谈泰尔。根据表3，TBPT（p，q）=ψ（p+1）- ψ（q- 1） +ln（q- 1p）=ψ（p+1）- ln p公司- ψ（q- 1） +ln（q- 1） TBPL（p，q）=ψ（q）- ψ（p））- ln（q- 1p）=-ψ（p）+ln p+ψ（q）- ln（q- 1） ）（18）图3所示为T型和L型。两者之间的镜面反射符合（11），p和q之间的轻微不对称符合p+1<-> q、 基尼也是如此。

此外，TBPT，max=TBPL，max=TBPT，L（1，2）=1（19），对于较大的p和q，我们只注意到TBPT（1，q>> 1) = 1 - γ+2qTBPT（p>> 1，2）=γ+2pTBPT（p>> 1，q>> 1） =2q+2p（20），其中γ=-ψ(1) ≈ 0.577是欧拉伽马。对于p，q>> 1，TBPL（p，q）的结果通过p<-> q、 请注意，（18）表示Theil对p和q的依赖是解耦的，如图4.3.2所示。广义Beta素数我们现在转向GB2分布的性质，PDF由（5）给出。其极限行为由GB2（x；p，q，α，β）给出∝ （xβ）-αq-1，x>> β（21）和GB2（x；p，q，α，β）∝ （xβ）αp-1，x<< β（22）这里我们再次得出αp>1，即BP有一个最大值（钟形），αq>2，即方差存在。与BP一样，GB2的重要特性是在变量的倒数x变化下→ x个-1，它将低端转换为高端，反之亦然，它将rms转换为asGB2（x；p，q，α，β）→ GB2（x-1.q、 p，α，β-1） （23）0.10.20.30.40.5q0.6p0.70.10.20.3q0.4p0.5图1：贝塔素数基尼（左）和胡佛（右）作为p和q的函数，（12）0.9970.9980.9991.001q1.002p1.003图2：基尼近似表达式（17）与精确基尼的比率（12）：pq+6p+7q-68（pq+q-1） 2B（2p，2q-1） pB（p，q）。0.20.40.6q0.8p0.20.40.6q0.8P图3:Theil T（左）和Theil L（右），（18）。1 2 3 4 5p0.10.20.30.40.50.6层次结构2 2.5 3 3.5 4.5 5q0.10.20.30.40.50.6层次结构图4：Per（18）。

左：Theil T的p依赖性（顶行，红色），ψ（p+1）- ln p和Theil L（底部线，绿色），-ψ（p）+ln p。右：Theil T的q依赖性（底线，红色），-ψ（q- 1） +ln（q- 1） ，和Theil L（顶线，绿色），ψ（q）- ln（q- 1).与BP相似，我们依次识别对称性p+α<-> q、 这导致基尼系数GB2（p，q）=GGB2（q）的以下关系-α、 p+α）；HGB2（p，q）=HGB2（q-α、 p+α）（24），对于Theil系数tgb2t（p，q）=TGB2L（q-α、 p+α）=αψ（p+α）- lnΓ（p+α））Γ（p）-αψ（q-α） +lnΓ（q））Γ（q-α） TGB2L（p，q）=TGB2T（q-α、 p+α）=-αψ（p）+lnΓ（p+α））Γ（p）+αψ（q）- lnΓ（q））Γ（q-α） （25）其中，我们再次解耦了对p a和q的依赖。而p+α<-> 从表3和表（25）中可以很容易地验证胡佛市的q系统以及与TLI之间的q系统，我们只能从数字上验证基尼的q系统。4、经济交换的随机模型我们现在讨论经济交换的随机模型，它可能是GB2财富/收入分配的根本原因。和以前一样，我们从BP的讨论开始，这是非常透明和容易理解的。4.1. 贝塔素数SDE均值回复随机微分方程（SDE），其稳态分布由BP给出，可表示为[5，10]dx=-γ（x- θ） dt+qκx+κxdW（2）t（26），其中dW（2）是正常分布的维纳过程，dW（2）t~ N（0，dt）。股票市场研究人员立即意识到，对于κ=0，（26）简化为随机波动率的赫斯顿模型[16，8]，最近有人提出，GB2也可以描述市场波动率[14，15]，这使得该模型更加相关。对于k=0的随机波动率乘法模型[17，18，9]。κ=0模型也用于经济交换的Bouchaud-M'ezard网络模型[6，7]。

我们引入c ombinedmodel（26）[10]是为了“结合”赫斯顿行为，后者似乎对长期累积的股票回报更有效，而乘法行为则对每日或几天的回报更有效。（26）的稳态分布为BPBP（x；p，q，β）=（1+xβ）-p-q（xβ）-1+pβB（p，q）（27）尺度参数β=κ（28），形状参数sp=2γθκ（29）q=1+2γκ（30）在财富/收入分配的背景下，（26）的r.h.s.中的第一项假设在时间尺度上收敛到平均值θ∝ γ-1利用简单的互让经济交换。平均θ向低端和高端的变化完全是由随机项引起的，即∝ x代表LARGE x和are∝√x代表小x。该术语可解释为幸运和不幸的事件，导致收益和损失，如继承、医疗支出、牛市和熊市等。但它们也可能抑制因职业道德、人才等原因导致的偏离平均值。我们强调等式（26）代表价值x的时间序列，对于特定的个人来说可能不必要，而是一个抽象的经济实体。稳态分布表示在松弛时间之后，该时间序列中x值的分布。4.2. 广义Beta素数SDEdx现在考虑以下SDEdx=-γ（x- θx1-α） dt+qκx+καx2-αdW（2）t（31）其稳态分布为[5，14]GB2（x；p，q，β，α）=α（1+（xβ）α）-p-q（xβ）-1+pαβB（p，q）（32），标度参数β=（κακ）2/α（33），形状参数p=α(-1+α+2γθκα（34）和q=α（1+2γκ）（35）对于κα=0，（31）的稳态分布为GIGa，对于κ=0，（31）的稳态分布为GGa。