Smith-Wilson方法的变体及其应用

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英文标题：
《Variants of the Smith-Wilson method with a view towards applications》
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作者：
Thomas Viehmann
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We propose two variants of the Smith-Wilson method for practical application in the insurance industry. Our first variant relaxes the Smith-Wilson energy and can be used to incorporate less reliable market data with a certain weight rather than disregarding it completely. This is particularly useful for deriving yield curves in the IFRS 17 accounting regime, where there is a mandate to incorporate all available market data.   A second variant incorporates the requirement to reach the ultimate forward rate at a prescribed term into the problem formulation. This provides a natural way to fulfil the Solvency II convergence requirement and is more elegant than the current methodology adapting the term-scale parameter to control convergence.
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中文摘要：
我们提出了Smith-Wilson方法的两种变体，用于保险业的实际应用。我们的第一个变体放松了Smith-Wilson energy，可用于将不太可靠的市场数据合并到一定的权重中，而不是完全忽略它。这对于在IFRS 17会计制度中推导收益率曲线特别有用，因为该制度要求纳入所有可用的市场数据。第二种变体将在规定期限内达到最终远期利率的要求纳入问题公式。这提供了一种自然的方式来满足Solvency II的收敛要求，并且比当前采用期限规模参数来控制收敛的方法更加优雅。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Variants_of_the_Smith-Wilson_method_with_a_view_towards_applications.pdf (496.22 KB)

2022-6-24 04:42:35 上传

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关键词：Wilson Smith SMI MIT ILS

Smith-Wilson方法的变体及其应用Thomas Viehmann*摘要我们提出了史密斯-威尔逊方法的两种变体，用于保险业的实际应用。我们的第一个变体放松了Smith-Wilson能量，可用于将可靠性较低的市场数据合并到一定的权重中，而不是完全忽略它。这对于在IFRS 17会计制度中推导收益率曲线尤其有用，因为该制度要求合并所有可用的市场数据。第二种变体将在规定期限内达到最终远期利率的要求纳入问题公式。这为满足Solvency II convergencerequirement提供了一种自然的方式，并且比当前采用期限尺度参数控制收敛的方法更加优雅。AMS主题分类：91G80在Solvency II的背景下，Smith和WilsonSW[5]的行业标准收益率曲线拟合方法已成为在高流动性掉期（或债券）市场条件下进行收益率曲线外推的首选方法。由于Smith-Wilson方法被选为Solvency II的利率校准方法，因此对其性质进行了广泛的讨论。有关Solvency II实际应用的详细说明以及该方法优缺点的讨论，请参阅技术注释[2]。

我们简要回顾了该方法的关键要素和背景在最近的IFRS 17《保险合同会计准则》中进行了回顾。IFRS 17【3】实施指南B44要求：一个实体应最大限度地使用可观察的输入，并且不得替代其自身对可观察市场数据的估计，除非IFRS 13《公允价值计量》第79段中有所描述。与IFRS 13一致，如果需要衍生变量（例如，因为不存在可观察的市场变量），则变量应尽可能与可观察的市场变量一致。丢弃最后一个流动点以外的所有信息的通常方法可以被视为与本指南不一致，可能会限制te Smith-Wilson方法在IFRS 17中的应用。因此，我们在SectionSection\\u vsw\\u weighted2中开发并求解Smith-Wilson公式的加权变量，并在SectionSection\\u vsw\\u application3中展示从掉期数据推导贴现曲线的示例应用程序。史密斯-威尔逊公式的第二个扩展涉及Solvency II规范。因此，希望远期利率达到规定期限（表示为T）的最终远期利率。在当前的EIOPA方法规范中，这大致是通过修改平滑度参数IOPATD的方法实现的【1，第7.D节】。在Section\\u vsw\\u convergence4中，我们使用变量解释推导了Smith-Wilson方法的一种变体，该变体明确包括在问题规范中回归到最终远期利率。*MathInf GmbH，tv@mathinf.eu1简要回顾Smith-Wilson方法SEC\\U reviewSmith和WilsonSW【5】描述了给定asP（t）：=e的零息票债券价格的收益率曲线-f∞t+NXk=1ζkW（t，tk）。

（1） eq\\u sw\\u bond\\u price这里，t是术语，tkar是校准仪器的现金流时间，f∞是（连续复合的）最终远期利率，zetakare系数与Wilson的核函数W。核函数本身定义为t，τ>0 asW（t，τ）：=e-（t+τ）f∞αmin{t，τ}- e-αmax{t，τ}sinh（αmin{t，τ}）. （2） 方程wilsons\\u函数当从N个零息票债券（ZCB）P（tj）拟合一条曲线时，系数ζkar作为线性系统的解wζ=（P（tj）- e-f∞tj）Nj=1（3）eq\\u smithwilson\\u coeff\\u系统，对称矩阵Wjk：=W（tj，tk）。ZCB价格函数最小化泛函W（P）：=2αZ∞t（ef∞tP（t））dt+2αZ∞t（ef∞tP（t））dt，根据P（tk）=Pkat tk和P（0）=1的值，参见例如SW【5】，也可参考inSheldonSmith【4，第3.1.7节】。实际上，泛函是凸的，直接计算表明，核函数是分布Euler-Langrange方程α在τ处奇点的基本解-3.t（ef∞tW（t，τ））- α-1.t（ef∞tW（t，τ））=λΔτ（t），适当的边界条件为t=0，极限行为为t→ ∞ 确保功能不受限制，价格不受限制。这里，Δτ是τ处的狄拉克分布，λ是施加满足现金流量值的条件所需的长范围乘数。注意，在奇点之外，函数f（t）：=ef∞tW（t，τ）满足αtf=α因此，tfand是分段的，奇点将各部分分开，线性组合F（t）=aeαt+be-αt+ct+d.2一个平滑的Smith-Wilson公式，平衡了不太可靠市场价格的平滑度和拟合优度，C\\u vsw\\u加权计算表明Smith-Wilson方法与观测仪器的价格完全匹配，即它是一种内插/外推方法。

虽然这通常是需要的，但在某些情况下，我们希望部分地放宽这一硬约束。其中一个例子是上述最新的IFRS 17《保险合同会计准则》。IFRS 17的基石是最大限度地利用市场信息。对于贴现曲线，这就引出了一个问题，即如何处理那些被认为不具有完全流动性的市场的价格。在本节中，我们放宽了需要准确确定校准仪器价格的条件。相反，我们在函数中添加（加权）二次惩罚项。Smith-Wilsonfunctional isEVSW（P）的这种变体：=ESW（P）+XlwlXkcfl（tk）P（0，tk）- P rl.自然，它与原来的功能性ESW有许多相同的特性。特别是，第一个变化的绝对连续部分是相同的，并且第一个变化的单数部分在现金流时间tk集合中再次得到支持。事实上，当仪器价格不完全匹配时，通过定义函数定义，将Smith-Wilson问题重新定义为一个纯粹的最小化问题，这一增强的Smith-Wilson功能化了变量EvSW的变化（Γ-）极限。因此，我们可以允许wl最终为正，按照惯例，如果wl=∞ 如果pkcfl（tk）P（0，tk）=P rl，则函数中的对应项为零，否则为零。和以前一样，可以用威尔逊函数来写极小值，我们对方程形式的极小值感兴趣（eq\\u sw\\u bond\\u price1）。为了解决涉及有限权重的最小化问题，我们需要确定SmithWilson函数ESW的值。

为此，我们引入标量乘积hp，PiSW=2αZ∞t（ef∞tP（t）t（ef∞tP（t））dt+2αZ∞t（ef∞tP（t））t（ef∞tP（t））dt。观察涉及利率价格曲线P（t）=exp的产品(-tf公司∞) 消失，我们看到，对于P（t），如方程（eq\\u sw\\u bond\\u price1）中所示，ESW（P（t））=XkXlζkζlhW（.，τk），W（.，τl）iSW=：XkXlζkζlEWkl。系数ewklc可以通过数值计算，也可以通过基本但有点繁琐的分析计算，我们在附录中会这样做。鉴于工具现金流cfei（tk）和价格P REI=1。。。，Nethat我们希望准确地确定现金流cfei（tk）和价格P rWif或i=1。。。，如果我们想用相应的误差权重wi进行拟合，我们将确定剩余价格fp rwi：=√wiP rwi-Xkcfwi（tk）exp(-f∞tk）！andfP rei：=P rei-Xkcfei（tk）经验(-f∞tk）。我们将现金流量大小和矩阵CW和CEWILSON函数与entriesCwil相结合：=√wiXkcfwi（tk）W（tk，tl）Ceil：=Xkcfei（tk）W（tk，tl）。我们想解决二次最小化问题evsw（P（t））=ζTEWζ+Cwζ-fP rw=ζT（EW+（Cw）TCw）ζ- （fP-rw）TCwζ+kfP-rwk，约束条件为ζ=fP-re。最后一项不取决于优化，可以省略。这是一个只有不等式约束的二次极小问题。解和拉格朗日乘子λ由ζλ给出=EW+（Cw）TCw（Ce）TCe！-1（Cw）T（fP rw）fP re！。这使我们能够解析地解决史密斯-威尔逊问题的松弛变量，即最小化EV SW。我们将在下一节中考虑一个实际应用示例。3部分流动市场的应用程序SEC\\U vsw\\U应用程序通常使用流动数据点（在Solvency 2的情况下，通常是深层流动和透明的一部分）。流动性可以通过买卖价差、未偿付量（如债券）或交易量来衡量。

通常，对于什么是液体，我们有一个严格的标准，比如说一些特征L至少是一些阈值TL≥ 然后计算流动性比率：=min{1，Li/TL}∈ [0，1]对于考虑中的第i份文书。然后，我们精确匹配R=1且重量wi=-C ln（1-Ri）对于C>0的一些选择。其他函数给出（0，1）到（0，∞) 同样合适。对于偿付能力2和欧元，EIOPA认为1至10年、12年、15年和20年的期限是流动的。虽然它不被认为是完全流动的，但我们有兴趣考虑假设利率为0.5的30年期掉期。我们在图Figurefigure\\u vsw1中使用从德意志银行（DeutscheBundesbank）获得的掉期数据，说明了针对各种C选择的这种方法。如图所示，曲线向30年点移动，但并未完全恢复。要理解参数，应该注意的是，惩罚是在（单位）价格上，而不是在现货收益率上。由于采用了第30根，即期汇率的变动速度远慢于价格。因此，我们的方法平衡了合并市场数据的要求与感知的流动性不足，从而平衡了30年期掉期利率的可靠性。尽管利率掉期市场（OTC市场）已转向中央结算，但似乎很难获得公开的市场流动性信息。2019年6月3日，LCH按期限显示了以下年初至今的名义平均交易量：71.9%0-2年、16.1%2-5年、7.1%5-10年、4.3%10-30年、0.6%30年以上。网络sitehttps://www.lch.com/services/swapclear/volumes似乎不符合规范，例如。

在间隔的哪一侧计算边界条件。德国央行统计时间序列数据库零息掉期曲线0 10 20 30 40 50 60 70 800.0000.0050.0100.0150.0200.0250.03030加权C=2530加权C=50100加权C=100无30精确3020.0 22.5 25.0 27.5 30.0 32.5 35.0 37.5 40.00.0100.0120.0140.0160.0180.02030加权C=2530加权C=50100加权C=100无30精确30图1：即期利率曲线的变化史密斯·威尔逊的变体。在EIOPA之后，使用par收益率曲线上的液体点。30年期被视为部分流动。为了进行比较，我们加入了经典的史密斯-威尔逊曲线（有无30年点）。对于所有曲线，我们设置α=0.1和f∞= ln 1.039。图vsw4史密斯-威尔逊方法的一种变体，在有限时间后达到最终远期利率EC\\U vsw\\U收敛在本节中，我们修改了史密斯-威尔逊插值函数解决的变分问题，使其收敛到T项下的最终远期利率。史密斯-威尔逊变分函数定义为史密斯-威尔逊函数的最小值ESW（P）：=2αZTt（ef∞tP（t））dt+2αZTt（ef∞tP（t））dt，在Tamong切下（0，T）上的所有有效正则Sobolev函数，受边界条件sp（0）=1，tPPt=t=-f∞, 和t型tPPt=t=0，规定价格P（tk）=Pk。我们通过引入拉格朗日函数λ（P）=ESW（P）来获取规定的价格-NXk=1λk（P（tk）- Pk）。t=皮重时的边界条件是前进速度为f∞一阶导数前移率消失。通过设置P（t）=e扩展P时-f∞（t-T） 因此，对于T>Twe，P（T）在P的二阶导数上具有连续性，并且（通常）在三阶导数上具有跳跃性，即。

与原始Smith-Wilson函数相同的规则性。我们通过在[0，T）中使用具有紧支撑的光滑函数Д进行测试，并且Д（0）=0，推导出内部的Euler-Lagrange方程。使用部分积分，我们得到εLλ（P+εД）ε=0= α-3ZTt（ef∞tP（t））t（ef∞tД（t））dt+α-1ZTt（ef∞tP（t））t（ef∞tД（t））dt-XkλkД（tk）=α-3ZTt（ef∞tP（t））（ef∞tД（t））dt- α-3.t（ef∞tP（0））t（ef∞t^1（0））-α-1ZTt（ef∞tP（t））（ef∞tД（t））dt-XkλkД（tk）测试（0，T）中紧支撑的Д，因此我们有微分方程α-3.t（ef∞tP）- α-1.t（ef∞tP）=分布意义上的Xkλkδtkin（0，T），δtkd表示狄拉克分布集中在tk。在t=0时，使用具有消失值但非消失导数的方差φ进行测试，我们得到了自然第四边界条件t（ef∞tP（t））t=0=0。我们重写t=t处的第一个边界条件，使其具有齐次线性形式tPt=t=-f∞P（T）注意，T=T处的第二个边界条件可以通过插入第一个边界条件（即0=t型tPPt=t=tPP-(tP）Pt=t=tPP- f∞t=t倍tPt=t=f∞P（T）。欧拉-拉格朗日方程和边界条件再次是线性的。类似于原始的Smith-Wilson方法，我们可以将最小化函数P分解为P*（t） =e-f∞tplus核函数与单个狄拉克项的线性组合。在与狄拉克测度不相交的区间上，四阶齐次线性微分方程的解是一个四维函数空间，可以写成线性组合-f∞t（ae-αt+beαt+ct+d）。通过这些准备工作，我们可以确定核函数W（t，u）在u处具有奇点∈ （0，T）为▄W（T，u）=（e-f∞t（ae-αt+beαt+ct+d）对于t∈ （0，u）ande-f∞t（ae-αt+beαt+ct+d）对于t∈ （u，T）。边界条件P（0）=1转化为▄W（0，u）=0。

其他边界条件是线性和均匀的，因此也适用于▄W（0，u）。t=0时的边界条件意味着a+b+d=0，a+b=0。t=Tyield时的条件-aαe-αT+bαeαT+c=0，ae-αT+beαT=0。在奇点t=u处，我们从函数的恒等式和前两个导数以及第三个高度λ的跃变中获得（a- a） e类-αu+（b- b） eαu+（c- c） u+d- d=0，-α（a- a） e类-αu+α（b- b） eαu+（c- c） =0，（a- a） e类-αu+（b- b） eαu=0，-（a）- a） e类-αu+（b- b） eαu=λ。替换（1- e-2αT）λ表示λ，求解系数，我们看到a=λ(-e-2αTeαu- e-αu））b=-λ(-e-2αTeαu- e-αu）c=λα（1- e-2αT- 2e类-αtishαu）d=0，a=-λsinhαu，b=λe-2αtishαu，c=-λe-αtishαu，d=（1- e-2αT）λαu。函数与λ成正比，选择任何λ=λ（u）6=0将导致相同的外推。注意，由于边界条件的不对称性，函数W在两个参数t和u中不是对称的。定义了W（t，u）后，我们现在可以解方程（eq\\u smithwilson\\u coeff\\u system3）以获得系数，并使用（eq\\u sw\\u bond\\u price1）以W代替W来推断收益率曲线，从而在t处达到最终远期利率。对息票债券或一般现金流系列的校准扩展也与原始Smith-Wilson方法完全平行，参见例如TechNote[2]。5结论通过对Smith-Wilson方法变分性质的理解，我们提出了两种具有特殊实际用途的Smith-Wilson方法变体。第一种允许纳入流动性较小的市场数据，因此不完全可靠。