当风险和不确定性发生冲突时：套利的数学金融学

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英文标题：
《When Risks and Uncertainties Collide: Mathematical Finance for Arbitrage
  Markets in a Quantum Mechanical View》
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作者：
Simone Farinelli and Hideyuki Takada
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最新提交年份：
2021
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英文摘要：
  Geometric arbitrage theory reformulates a generic asset model possibly allowing for arbitrage by packaging all asset and their forward dynamics into a stochastic principal fibre bundle, with a connection whose parallel transport encodes discounting and portfolio rebalancing, and whose curvature measures, in this geometric language, the instantaneous arbitrage capability generated by the market itself. The asset and market portfolio dynamics have a quantum mechanical description, which is constructed by quantizing the deterministic version of the stochastic Lagrangian system describing a market allowing for arbitrage. Results, obtained by solving the Schroedinger equation, coincide with those obtained by solving the stochastic Euler Lagrange equations derived by a variational principle and providing therefore consistency.
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中文摘要：
几何套利理论重新构建了一个可能允许套利的通用资产模型，方法是将所有资产及其远期动态打包成一个随机的主纤维束，其平行传输编码贴现和投资组合再平衡，其曲率度量用几何语言表示，市场本身产生的即时套利能力。资产和市场投资组合动力学有一个量子力学描述，它是通过量化描述允许套利的市场的随机拉格朗日系统的确定性版本构建的。通过求解薛定谔方程得到的结果与通过求解由变分原理导出的随机Euler-Lagrange方程得到的结果一致，因此具有一致性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> When_Risks_and_Uncertainties_Collide:_Mathematical_Finance_for_Arbitrage_Markets.pdf (334.88 KB)

2022-6-24 04:56:22 上传

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关键词：数学金融学 数学金融 不确定性 确定性 不确定

当风险和不确定性发生冲突时：套利市场数学金融的量子力学模拟Mone Farinlicore Dynamics GmbHScheuchzerstrasse 43CH-8006 ZurichEmail：simone@coredynamics.chandHideyuki东河大学Narashino校区信息科学高达系2-2-1-Miyama，Funabashi-ShiJ-274-8510 ChibaEmail:hideyuki。takada@is.sci.toho-u、 ac.JP2021年1月5日抽象几何套利理论通过将所有资产及其远期动态打包成一个随机的本金捆绑包，重新构建了一个可能允许套利的通用资产模型，其平行传输编码了贴现和投资组合再平衡，以及用这种几何语言表示的谁的曲率度量，市场本身产生的“即时套利能力”。资产和市场投资组合动力学有一个量子力学描述，它是通过量化描述允许套利的市场的随机拉格朗日系统的确定性版本构建的。通过求解Schr¨odinger方程得到的结果与通过求解由变分原理导出的随机Euler-Lagrange方程得到的结果一致，因此具有一致性。内容1简介2几何套利理论背景42.1经典市场模型。52.2市场模型的几何重构：原语。72.3市场模型的几何重组：投资组合。82.4不同几何框架下的套利理论。92.4.1作为主要纤维束的市场模型。92.4.2随机平行运输。

102.4.3 Nelson D弱差别市场模型。122.4.4曲率套利。133作为约束拉格朗日系统的资产和市场投资组合动力学144作为薛定谔方程的解的资产和市场投资组合动力学：确定性约束哈密顿系统的量化5通过费曼积分对薛定谔方程的（数值）解245.1从随机Euler-Lagrangian方程到薛定谔方程：纳尔逊的方法。245.2通过费曼路径积分求解薛定谔方程。265.3几何套利理论的应用。266结论27A随机过程的广义导数281引言本文进一步发展了一种称为几何套利理论的概念结构，将一般市场中的套利建模与量子力学联系起来。几何仲裁理论将经典随机金融重新表述为随机微分几何特征，以刻画套利行为。几何套利理论a方法的主要思想包括对由基本金融工具构成的市场进行建模，并将其期限结构作为主要组合。然后，该市场的金融特征（如无套利和均衡）以标准差异几何结构（如曲线）为特征，并与该组合中的自然联系相关联。在理论物理学中，通过提供一个描述物理系统及其动力学的可变框架，可以最好地表述自然法则，而主束理论在理论物理学中被大量利用。

这些想法可以被带到数学金融和经济学中去。市场是一个金融经济系统，可以用适当的原则捆绑描述。一个像市场定律在数量变化下的不变性这样的原理可以看作是规范不变性。像“无免费午餐无风险”（NFLVR）和“无无无边界利润无边界风险”（NUPBR）这样的概念具有几何特征，因此具有资本资产定价模型（CAPM）。计量理论是描述经济学的自然语言，这一事实首先由Malaney和Weinstein在经济指数问题的背景下提出（[Ma96]、[We06]）。Ilinski（参见[Il00]和[Il01]）和Young（参见[Yo99]）在一些物理理论的分析中，建议将套利视为规范连接的曲率。独立地，Cliff and Speed（[SmSp98]）进一步发展了Lesaker和Hughston的开创性工作（[FlHu96]），并利用不同几何学的技术（间接用暗喻的措辞提及），在随机建模之前降低资产模型的复杂性。Cliff&Speed的贡献独立于Ilinski、Malaney和Young的贡献。前者将基础金融资产表示为一个指数和一个期限结构的有序耦合，其中指数是以一定数量表示的资产价值，期限结构建模期货价格结构，即基础资产的线性衍生产品。计量变换与线性投资组合结构相关，并通过一组最小的ga UGE来表示金融市场，随机建模将应用于此。但是，《速度与效率》并没有使用微分随机几何的形式主义。

相反，Ilinski、Malaney和Young在引入了与膨胀相对应的不同主束结构后，利用连接来定义平行传输。此外，Ilinski是第一个考虑将曲率概念应用于金融市场的人。本文的结构如下。第2节回顾了经典的随机金融和几何福利理论。套利被视为代表市场的本金捆绑的曲线，它决定了与之相关的套利数量。在[Fa15]、[Fa20]和[FaTa20]中省略了证明，其中几何套利理论已经给出了严格的数学基础，利用了随机微分几何的背景，如Schwartz（[Schw80]）、Elworthy（[El82]）、Emery（[Em89]）、Hackenbroch&Thalmaier（[HaTh94]）、Stroock（[St00]）和Hsu（[Hs02]）。第3节将资产、期限结构和市场投资组合的交织动态描述为约束拉格朗日系统，该系统由随机变分原理导出，拉格朗日函数衡量市场允许的套利数量。该约束拉格朗日系统及其随机Euler-Lagrange方程等价于由Legendre变换得到的约束Hamilton系统及其随机Hamilton方程。这些随机哈密顿系统反过来等价于量子力学系统，通过量化哈密顿系统的确定性版本获得。这在第4节中有所展示，在这里我们用量子力学重新表述了数学金融。

Schr¨odinger方程描述了资产和市场组合动力学，一旦知道Hamilton算子的谱，就可以对其进行精确计算。在不了解频谱的情况下，仍然可以通过埃伦费斯特定理来确定未来资产价值和市场投资组合名义的纯洁属性。它们的计算值与随机Euler-Lagrange方程的计算值一致，证明了量子力学方法的一致性。此外，我们还证明了对于封闭市场，市场投资组合的名义收益率、资产价值和期限结构是集中的，且序列不相关。因此，生态计量与其自动相关模型或随机波动模型的正确性在于市场不是封闭的：总有一种资产类别尚未建模，财富可以逃逸，破坏了剩余资产类别的不相关相同分配行为。通过将海森伯g的不确定性关系应用于市场的量子力学模型，我们获得了一个更为经济的结果：一个市场上资产价值的波动率及其在市场组合中的权重是相互排斥的，这意味着如果前者增加，后者减少，反之亦然。在第5节中，我们使用费曼路径积分来求解代表套利市场动态的薛定谔方程。附录A回顾并概括了Nelson的tochastic衍生品。第6节结束。2几何套利理论背景在这一节中，我们解释了[Fa15]中介绍的几何套利理论的主要概念，以供证明和示例。2.1经典市场模型在本小节中，我们将总结经典设置，将在第（2.4）节不同几何术语中重新表述。

我们基本上遵循[HuKe04]和[DeSc08]。我们假设连续时间交易，交易日期集为[0+∞[.这种假设通常不足以嵌入有限和有限离散时间以及连续时间内具有有限原点的情况。这激发了连续时间随机金融的技术效果。机会的结果由过滤概率空间建模(Ohm, A、 P），其中P是统计（物理）概率度量，A={At}t∈[0,+∞[A的一个增子σ-代数族∞以及(Ohm, A.∞, P） 是一个概率空间。假设过滤A满足通常条件：对于所有t∈ [0, +∞[（右连续性）和A包含∞.市场由j=1、…、指数为的众多资产组成，N、 其名义价格由向量值半鞅S给出：[0+∞[×Ohm → Rn由（St）t表示∈[0,+∞[适应过滤A.随机过程（Sjt）t∈[0,+∞[描述了第j项资产在t时的价格，即t=0时的现金单位。更准确地说，我们假设存在第0项资产，即现金，一个严格正的s半鞅，它根据St=exp（Rtdu ru）演化，其中可积半鞅（rt）t∈[0,+∞[代表现金账户提供的持续利率：人们总是提前知道自己银行账户的利率是多少，但这可能会随时发生变化。因此，现金账户被视为本地无风险资产，而不是其他风险资产。在下文中，我们将主要使用贴现价格，定义为^Sjt:=Sjt/St，代表按当前现金单位计算资产价格。我们指出，没有必要假设资产价格为正。但是，必须至少有一个非常积极的资产，在我们的情况下，就是现金。

如果我们想通过选择其他资产而不是现金作为参考来重新规范价格，即通过将其作为我们的数字，那么该资产必须具有严格的正价格过程。更准确地说，一般数字是一种资产，其名义价格由严格正随机过程（Bt）t表示∈[0,+∞[，这是一个原始资产组合j=0，1，2，…，N。原始资产的贴现价格用半鞅^Sjt：=Sjt/Bt表示。我们假设没有交易成本，允许短期销售。请注意，交易成本的存在可能是对现实模型的严重限制。过滤a不一定由价格过程（St）产生∈[0,+∞[：除价格a以外的其他信息来源。所有代理都可以访问相同的信息结构，即过滤a。让v≥ 一个v-容许策略x=（xt）t∈[0,+∞[是一个可预测的半Martinga le，其中Ite^o integralRtx·dS≥ -v代表所有t≥ 如果一个策略对某些v-可容许，则该策略是可容许的≥ 0、当且仅当Vt=xt·St，即投资组合价值t，由Vt=V+Ztxu·dSu给出时，可接受的策略x称为自我融资。（1） 定义1（套利）。让进程（St）[0+∞[是半鞅且（xt）t∈[0,+∞[接受自我融资策略。让我们考虑交易时间T≤ ∞. 当时的投资组合财富由Vt（x）给出：=V+Rtxu·dSu，我们用k表示L的子集(Ohm, AT，P）包含所有此类VT（x），其中x是任何可接受的自我融资策略。我们定义：1。C： =K- L+(Ohm, AT，P）。2、C：=C∩ L∞+(Ohm, AT，P）。3.’C：L中C的闭合∞关于范数拓扑。4、VV：=（Vt）t∈[0,+∞[Vt=Vt（x），其中x为V-容许值.5.

VVT：=及物动词（Vt）t∈[0,+∞[∈ VV型: V-容许自我融资策略的终端财富。我们说这很令人满意1。（NA），无套利，当且仅当C∩ L∞(Ohm, AT，P）={0}。2.（NFLVR），没有风险消失的免费午餐，当且仅当'C∩ L∞(Ohm, AT，P）={0}。3.（NUPBR），无无界风险的无界利润，当且仅当某些V的VVTis在L中有界>0。这三种不同类型的套利之间的关系已在[DeSc94]和[Ka97]中阐明，并证明了以下结果。定理2。（NFLVR）<=> （NA）+（NUPBR）。（2） 备注3。我们记得，如【DeSc94，Ka97】所示，（NUPBR）相当于（NAA），即无第1类共融套利，相当于（N A），即无第1类套利。定理4（资产定价的第一个基本原理）。当且仅当存在等价的局部鞅测度时，市场（S，A）满足（NFLVR）条件*.备注5。在资产定价的第一个基本定理中，我们假设价格过程是局部有界的。如果S是有界的，则（NFLVR）等价于marting-ale测度的存在性。但如果没有这个附加假设（NFLVR），则只意味着局部鞅测度的存在，即局部鞅不是鞅。这种区别很重要，因为安全价格过程是严格的局部鞅，而不是概率P下的鞅*与资产价格泡沫的存在有关。2.2市场模型的几何重构：原语我们将介绍第2.1小节中介绍的市场模型的更一般表示，这更适合套利建模任务。定义6。

规范是两个A适应实值s半鞅（D，P）的有序对，其中D=（Dt）t≥0: [0, +∞[×Ohm → R称为减容剂，P=（Pt，s）t，s:t×Ohm → R、 它被称为期限结构，被认为是一个关于时间t的随机过程，称为估值日期，t：{（t，s）∈ [0, +∞[| s≥ t} 。参数s≥ t指到期日。所有t，s必须满足以下特性≥ t型≥ 0：（i）Pt，s>0，（ii）Pt，t=1。备注7。负债和期限结构可以在固定收益的范围之外考虑。任意金融工具映射到具有以下经济解释的计量器（D，P）：o定义：dt是金融工具在时间t的价值，用一些数字表示。如果我们选择现金账户，即第0项资产作为num'eraire，那么我们可以使用Djt：=^Sjt=SjtSt（j=1，…N）。o期限结构e：Pt，是指到期日为s的合成零息债券在t时的价值（以t时的贴现单位表示），在s时交付一单位金融工具。它代表了所选数量的远期价格的期限结构。我们指出，对于描述资产模型的过滤器和TERM结构，没有唯一的选择。例如，如果一组衰减率合格，那么我们可以将衰减率乘以相同的正半鞅，以获得另一组合适的衰减率。当然，期限结构必须根据情况进行修改。“负债”一词显然受到精算数学的启发，并由Smith&Sp e在[SmSp98]中引入。在目前的情况下，它指的是资产价值上升除以严格正的semimartinga le（如果存在这种情况，它可以是州价格浮动，并且是平均值）。无需假设一个偏差是一个积极的过程。