当风险和不确定性发生冲突时：套利的数学金融学

然而，如果我们不想让资产成为我们的资产，那么我们必须确保相应的偏差是一个严格正的随机过程。2.3市场模型的几何重组：Port Folios我们现在要引入定义和期限结构的转换，以便组合包含相同（或更少）现金信息的计量表。对于这一点，我们将考虑由同一计量器建模的资产的确定性线性组合（例如，具有不同成熟度的相同信用质量的零资产）。定义8。设π：[0+∞[-→ R是确定的现金流强度（可能是广义的）函数。它引起规范变换（D，P）7→ π（D，P）：=（D，P）π：=（Dπ，Pπ）通过公式化的πt：=DtZ+∞dhπhPt，t+hPπt，s：=R+∞dhπhPt，s+hR+∞dhπhPt，t+h.（3）备注9。现金流强度π规定了债券现金流结构。根据市场模式l num’eraire计算的债券到期日价值由Dπt给出。根据债券现值计算的债券期货远期价格的期限结构由Pπt，s.命题10给出。现金流向量引起的规范变换具有以下特性：（（D，P）π）ν=（（D，P）ν）π=（D，P）π*ν、 （4）其中* 分别表示两个现金流向量或强度的卷积积：（π* ν） t：=Ztdhπhνt-h、 （5）两个不可逆规范变换的卷积是不可逆的。不可逆规范变换与可逆规范变换的卷积是不可逆的。定义11。如果期限结构与到期日不同，则可以将其作为定义为asft的瞬时远期利率的函数写入，s：=-行程Pt，s，Pt，s=expA-Zstdhft，h~a。（6） andrt：=lims→t+ft，s（7）称为短期利率。备注12。

消失利率r的特殊选择≡ 0或浮动期限结构P≡ 1对于所有资产，对应于经典模型，其中只有资产价格及其动态相关。2.4不同几何框架中的套利理论现在，我们可以用自然几何语言重新表述第2.1小节中提出的资产模型。给定N个基本资产，我们想要构建一个投资组合理论并研究套利，因此我们不能先验地假设存在风险中性度量或国家价格波动。市场模型被视为（汇率、期限结构）对的主要组合，贴现和外汇作为一种综合运输，数量作为计量组合的全球部分，套利作为曲率。证明了具有消失风险条件的无免费午餐等价于零曲率条件。2.4.1市场模式l作为主要的光纤束，美国连续考虑一个拥有N个资产和一个数量的市场。一般投资组合的时间t由无minals x的向量描述∈ 十、 对于开集X 注册护士。定义6后，通过计量器（Dj，Pj）=（（Djt）t描述由N个合成零债券组成的资产模型∈[0,+∞[，（Pjt，s）s≥t） ，（8）其中dj表示偏差，pj表示j=1的期限结构，N、 这可以写成asPjt，s=expA-Zstfjt，udu~a，（9）其中fjis是第j项资产的瞬时远期利率过程，相应的短期利率由rjt给出：=limu→0+fjt，u。对于名义值为x的投资组合∈ 十、 RNwe定义文本：=NXj=1xjDjtfxt，u：=NXj=1xjDjtPNj=1xjDjtfjt，uPxt，s：=expA-Zstfxt，udu~a。（10） 短速率写入文本：=limu→0+fxt，u=NXj=1xjDjtPNj=1xjDjtrjt。（11） 所有可能策略的图像空间readsM：={（t，x）∈ [0, +∞[×X}。（12）在第2.3小节中，介绍了现金流强度和相应的计量转换。

它们具有交换半群H的结构：=E′（[0，+∞[，R）={F∈ D′（[0，+∞[）| s upp（F） [0, +∞[是紧的}，（13）其中紧支持分布上的半群运算是卷积（见[H¨o03]，第四章），它扩展了正则函数的卷积，如公式（5）所定义。定义13。市场纤维束定义为gaugesB的纤维束：={（Dxt，Pxt，·）π|（t，x）∈ M、 π∈ G} 。（14） 定义可逆变换的现金流强度构成一个阿贝尔群G：={π∈ H |存在ν∈ H s uch thatπ* ν = δ}  E′（[0，+∞（15）从命题10中我们得到定理14。市场丛B具有由动作B×G给出的G-主丛的结构-→ B（（D，P），π）7→ （D，P）π=（Dπ，Pπ）（16）G组自由且不同地作用于右侧的B。2.4.2随机并行传输让我们考虑B在Mp上的投影：B~=M×G-→ M（t，x，g）7→ （t，x）（17）及其在（t，x，g）处的差异图∈ B由T（T，x，g）p表示，例如，参见定义0.2.5 in（[Bl81]）T（T，x，g）p:T（T，x，g）B |{z}~=RN×R×R[0+∞[-→ T（T，x）M |{z}~=RN×R.（18）垂直方向为V（t，x，g）B：=kerT（T，x，g）p~=R[0+∞[，（19）和水平的是h（t，x，g）B~=RN+1。（20） B上的Ehresmann连接是投影T B→ VB。更准确地说，垂直投影必须具有形式∏v（t，x，g）：t（t，x，g）B-→ V（t，x，g）B（δx，δt，δg）7→ （0，0，δg+Γ（t，x，g）。（δx，δt）），（21）和水平方向必须为∏h（t，x，g）：t（t，x，g）B-→ H（t，x，g）B（δx，δt，δg）7→ （δx，δt，-Γ（t，x，g）。（δx，δt）），（22），使得∏v+∏h=1B。（23）主纤维束上沿半鞅的随机平行输运是一种我们将用拉托诺维奇积分定义的构造（参见[HaTh94]，第7.4章和[Hs02]第2.3章，对于框架束情况）。

通过将确定性时间导数形式化为与Stratonovich积分对应的随机时间导数，可以类似于确定性情况证明存在唯一性。按照Ilinski的想法（[Il01]），我们通过允许将外汇和贴现编码为平行运输这一事实来激励对特定连接的选择。定理15。选择连接离子χ（t，x，g）。（δx，δt）：=鐞DδxtDxt- rxtδtag，（24）B中的平行传输有以下财务解释：o沿标称方向（x线）的平行传输对应于交换率的多重应用沿时间方向（t线）的平行运输对应于随机折扣因子的划分。回想一下，必须从Stratonovich的角度理解定义沿时间线平行传输所需的时间导数。我们看到这个bundle是微不足道的，因为它有一个g-lobaltrivialization，但连接不是临时的。2.4.3 Nelson D弱差异市场模型我们继续根据随机差异几何重新构建第2.1小节中介绍的经典资产模型。定义16。N资产的Nelson D弱可微市场模型由Ngauges描述，该模型在时间变量上是Nelson D弱可微的。更确切地说∈ [0, +∞[和s≥ t有一个开放的时间间隔I 因此，对于定义因子Dt：=[Dt，…，DNt]+和术语结构Pt，s：=[Pt，s，…，PNt，s]+，后者被视为t和参数s中的过程，存在D弱t导数（见附录a）。短期利率由rt定义：=lims→t型-长途跋涉。策略是曲线γ：I→ 由时间参数化的公文包空间中的X。这意味着时间t的分配由标称值xt的向量给出：=γ（t）。

我们用γ表示γtoM的升力，即γ（t）：=（γ（t），t）。如果策略由闭合曲线表示，则称其为闭合的。弱可容许策略是可预测的，D弱可区分的。备注17。我们需要弱的D-可微性而不是强的D-可微性，因为对交易策略施加先验规律性属性对应于限制与Delba-en和Schachermayer经典概念相关的可容许策略类别。每一个（无）套利考虑都在很大程度上取决于所选择的可采性定义。因此，限制可接受策略的类别可能会导致自动排除潜在的竞争机会，导致对FTAP样结果的空洞陈述。经典意义上的可采策略（见第2节）是弱D-可区分的。一般来说，分配取决于自然状态，即对于ω，xt=xt（ω）∈ Ohm.提案18。弱D-容许策略是自融资的当且仅当ifD（xt·Dt）=xt·DDt-D*hx，Ditor Dxt·Dt=-D*hx，抖动Dxt·Dt=0，（25）几乎完全相同。括号h·、·i表示二次协变量的连续部分。在本文的其余部分，除非另有说明，否则我们将只讨论D个不同的市场模型、D个不同的策略，以及在必要时处理D个不同的州价格浮动。AllIt^o过程是可微分的，因此所考虑的可容许策略的类别非常大。2.4.4曲率套利G的李代数isg=R[0+∞[（26）因此是可交换的。g值曲率2形式是通过g值连接1形式asR来定义的：=dχ+[χ，χ]，（27）这意味着，对于所有（t，x，g）∈ B和所有ξ，η∈ T（T，x）MR（T，x，g）（ξ，η）：=dχ（T，x，g）（ξ，η）+[χ（T，x，g）（ξ），χ（T，x，g）（η）]=dχ（T，x，g）（ξ，η）。

（28）注意，作为李代数的交换，李括号[·，·]消失了。命题19（曲率公式）。设R为曲率。然后，以下质量保持不变：R（t，x，g）=gdt∧ dx[D日志（Dxt）+rxt]。（29）以下结果将套利描述为曲率。定理20（无套利）。以下断言是等效的：（i）市场模型（基础资产和期货的贴现价格为D和P）满足了风险消失条件下的非免费午餐。（ii）存在一个正半鞅β=（βt）t≥0以使贴现率和短期利率满足所有投资组合名义和任何时候的条件Rxt=-D对数（βtDxt）。（30）（iii）存在一个正半鞅β=（βt）t≥0使所有投资组合名义和所有时间条件pxt，s=Et[βsDxs]βtDxt的定义和期限结构满足。（31）这激发了以下定义。定义21。当且仅当曲率为a.s.时，市场模型满足零曲率（ZC）。因此，我们依赖于两种不同的无可能性定义得出以下结论：推论22。（NFLVR）=> （ZC）。（32）备注23。正半鞅β=（βt）t≥0在定理20中，在整个文献中被称为定价核心或国家价格偏差。3资产和市场组合动力学作为约束拉格朗日S y stemIn[Fa15]和[Fa20]最小套利原则，表明资产动力学和市场组合选择了保证套利最小化的路径，被编码为衡量套利的拉格朗日约束的Hamilton principleunder约束。然后，根据Cresson和Darses（CrDa07）开发的技术，通过乌勒-拉格朗日方程的随机化过程，推导出描述资产负债、期限结构和市场投资组合的SDE。Cresson和Darses（CrDa07）遵循Yasue（Ya81）和Nelson（Ne01）之前的工作。

因为我们需要这个设置来进行量化，所以我们在下面简要总结一下。定义24。设γ为市场D-容许策略，δγ、δD、δr为市场策略、贴现率和短期利率动态的扰动。（γ，D，r）相对于给定参数的变化为以下单参数族：7-→ （γ，D，r）：=（γ，D，r）+（δγ，δD，δr）。（33）因此，参数属于0的某个开放邻域∈ R、 关于正半鞅β的套利行为可以通过aβ（γ；D，R）：=Zγdt{D log（βtDxtt）+rxtt}==ZTdtxt·（DDt+rtDt）xt·dt+logβ来一致定义，（34），其中x=xt是一种可接受的自融资策略，在曲线γ上取值，套利行为的第一个变量为δaβ（γ；D，R）：=ddaβ（γ；D，R|：=0。（35）这导致以下定义25。让我们为R3N中的两个向量介绍符号q：=（x，D，r）和q′：=（x′，D′，r′）。拉格朗日函数（或拉格朗日函数）定义为asL（q，q′）：=L（x，D，r，x′，D′，r′）：=x·（D′+rD）x·D.（36）自融资约束定义为asC（q，q′）：=x′·D.（37）引理26。自筹策略γ的套利行为是拉格朗日函数与D-容许策略的积分：aβ（γ；D，r）=Zγdt L（qt，q′t）+对数βββ=Zγdt L（xt，dt，rt，x′t，D′t，r′t）+对数ββ。（38）经典力学的一个基本结果允许计算确定性情况下套利行为的极值，作为普通微分方程组的解。定理27（哈密顿原理）。让我们将对时间的导数表示为asddt=：\'，并假设所有观测到的量都是确定性的。

在自融资约束下，套利行为的局部极值满足拉格朗日方程δAβ（γ；D，r）=0表示所有（δγ，δD，δr），因此x′t·Dt=0表示所有<==>滴滴涕Lλq′-Lλq=0C（q，q′）：=x′·D=0（39），其中λ∈ R表示自我约束拉格朗日乘数，Lλ：=L- λC.设L=L（q，q′）为非全纯约束C（q，q′）=0的确定性拉格朗日系统的拉格朗日函数。设置Lλ：=L- λC对于约束拉格朗日乘子，动力学由扩展的欧拉方程（EL）给出滴滴涕Lλq′（q，q′）-Lλq（q，q′）=0C（q，q′）=0（40），这意味着确定性解q=qt和λ∈ R满足约束和DDTLλq′Aqt，dqtdt~a-LλqAqt，dqtdt~a=0。（41）定义28。Euler-Lagrange方程的形式随机嵌入是通过形式替换获得的：ddt7-→ D、 （42）并允许切线束的坐标是随机的（SEL）DLλq′（q，q′）-Lλq（q，q′）=0C（q，q′）=0（43），这意味着随机解q=qt和随机变量λ满足约束和DLλq′（Qt，DQt）-Lλq（Qt，DQt）=0C（Qt，DQt）=0。（44）设L=L（q，q′）是约束条件C=0的时间间隔I上确定性拉格朗日系统的拉格朗日函数。设置Ξ：=ssQ∈ C（I）| E"iZI | Lλ（Qt，DQt）| dtò<+∞TM. （45）定义29。由f定义的与Lλ相关的作用函数：Ξ-→RQ 7-→E"iZILλ（Qt，DQt）dtò（46）被称为约束C=0下经典作用的随机模拟。对于充分光滑的扩展拉格朗日Lλ，随机过程成为作用泛函f临界点的必要和充分条件是对随机Euler-Lagrangeequations（SEL）的充分满足，正如[CrDa07]第54页定理7.1中所述。此外，我们有以下引理3 0（一致性）。

下图转换了Lλ（qt，q′t）S//临界作用原理Lλ（Qt，DQt）随机临界作用原理（EL）S//（SEL）（47）4资产和市场投资组合动力学作为Schrodinger方程的解：确定性约束哈密顿系统的量化从确定性理论开始，有两种获得随机理论的方法。第一种方法是Cresson&Darses[CrDa07]采用的方法，它分析确定性拉格朗日系统和等价确定性哈密顿系统，并研究如果我们将所有变量都设为随机变量会发生什么。最大的困难是时间t依赖性，它无法通过路径定义，并且与It^o积分的定义有关，或者与Stratonovich积分等效。由于对应于Stratonovich积分的Stratonovich时间竞争，我们对于两个函数的组合具有相同的链式规则，因此Stratonovich导数的It^o引理具有与确定性函数的链式规则相同的形式。这是Cresson-Darses随机化结构的主要组成部分。他们的结论是，为了求解随机Euler-Lagrange方程或其等价物随机Hamilton方程，必须求解其确定性对应物，并添加一个满足多个约束的零期望随机扰动。这是第3节中总结的方法，已在[Fa20]中执行。从确定性理论中获得随机理论的第二种方法是对确定性系统进行量化。在经典物理学中，人们用牛顿第二动力学定律，或等效的确定性欧拉-拉格方程，或等效的哈密尔顿方程来描述系统的时间演化。

在Euler-Lagrange方程中，出现了描述系统的Lagrange函数，而在Hamilton方程中，出现了Hamilton函数。哈密顿函数是通过拉格朗日函数的勒让德变换得到的。量化步骤包括在不确定（实）变量（除时间外）的坐标空间上引入一个L复值函数的希尔伯特空间，在我们的例子x、D和r中：这个坐标空间是流形，希尔伯特空间是这个流形上的一个L空间。我们考虑希尔伯特空间的单位球，其元素被定义为量子力学系统的状态：这些复值函数的绝对值平方与Lnormone的解释是概率密度的解释。为了获得时间动力学，我们必须构造由哈密顿函数导出的哈密顿算子。这个过程被称为哈密顿函数的量子化，根据哈密顿函数的类型，它并不总是一个定义良好的过程。就我们而言，我们很幸运。通过用相应的乘法算子替换流形的坐标函数，并用对流形中相应坐标的偏导数s替换切平面坐标，我们得到了一个可对称化为d的算子，然后将其转化为自伴算子，通过选择一个合适的定义域：Hamilton算子。给定Hamilton算子，我们可以求解chrodinger方程，该方程给出了量子力学初态随时间的演化。最后，我们有两种方法应该是等效的，这将导致相同的解决方案。资产动态和市场投资组合动态。