期望值关于的相对界和渐近比较

一个正则变函数f:R→ 最终为正的R称为二级调节幼虫，具有一级参数η∈ R和二阶参数ρ≤ 0，用f表示∈ 2RVη，ρ，如果f∈ RVη存在一个可测函数a（t），它最终不会改变符号，并随着t的变化收敛到0∞ 这样，对于每个x>0 limt%∞f（tx）/f（t）- xηA（t）=（xηxρ-1ρ如果ρ6=0xηln x如果ρ=0参见[13，28]了解正则变化的进一步性质。函数A位于RVρ中，见【13，定理2.3.3】，被称为f命题4.4的辅助函数。对于Fréchet型M DA（Φη）最大吸引域中的F，使得1-F∈ 2RV-η、 η>1时的ρ，ρ≤ 0和辅助函数A，当密度级别α变为1时，它保持seαESα=（η- 1)η-1η(2α - 1)ηη(1 - Cη，ρA（qα）+o（A（qα）），其中Cη，ρ=η-1ρη1.-(η-1)-ρηη-ρ-1., ρ 6= 0ηln（η- 1) +η-1., ρ = 0.此外，1- β*1.- α=η - 12α - 1\"1 -(η - 1)-ρηη - ρ - 1A（qα）+o（A（qα）））#。证据让1- F处于2RV-η、 η>1时的ρ，ρ≤ 0和辅助函数A。根据[31，定理3.1]，我们得到了α=2α - 1η - 1.ηqα[1+Bη，ρA（qα）+o（A（qα））]，其中Bη，ρ=ηρ(η-1)1-ρηη-ρ-1.- 1.ρ 6= 0-ηln（η- 1) ρ = 0.条件1-F∈ 2RV-η、 带有辅助函数A的ρ等于2RVη中的U，带有辅助函数η的ρη-2A（U），见【13，定理2.3.9】。因此，通过【30，定理4.5】，我们得到α=η- 1qα1 +η(η - ρ - 1） A（qα）+o（A（qα））.因此eαESα=（η- 1)η-1η(2α - 1） ηη1+Bη，ρA（qα）+o（A（qα））1+η（η-ρ-1） A（qα）+o（A（qα））=（η- 1)η-1η(2α - 1)ηη1 +Bη，ρ-η(η - ρ - 1)A（qα）+o（A（qα））这给出了eα/ESα所需的结果。至于（1）的比率- β*)/(1 - α） ，从[31，定理3.1的证明]中，我们有[（L- eα）+]=eα（1- β*)η - 1.1 +η - ρ - 1A（eα）+o（A（eα））.根据关系式（4.1），我们得到了eα~ (η - 1)-1/ηqα。

自A∈ RVρ，直接应用[13，命题B.1.10]得出a（eα）=（η- 1)-ρηA（qα）+o（A（qα））表示e[（L- eα）+]eα=1- β*η - 1\"1 +(η - 1)-ρηη - ρ - 1A（qα）+o（A（qα））#。关系式（3.2）给出的一阶条件也可以写成1- α2α - 1=E[（L- eα）+]eα。将最后两个方程式结合起来，得出（1）所需的结果-β*)/(1 - α). 备注4.5。当E[L]6=0时，对于≈L=L- E【L】，在【31】之后，我们得到1-2RV中的Fis-η,(-1)∨ρ带辅助函数A*（x） =ηE【L】/x+A（x），其中▄F是L的累积分布- E[升]。对于给定的置信水平α，预期值总是低于预期值，即eα≤ ESα。命题4.3意味着，当η接近2时，这种不等式对于Fréchet型MDA（Φη）更为明显。对于η=2，它认为ESα~ 2eα。对于完全接近1的重尾指数η，eα和ESα是渐近等效的。根据【10】和【23】，对于具有有限平均值的F随机样本，经验指标ESα、nand eα几乎肯定分别收敛于ESα和eα。如果F是η>1的Fréchet型MDA（Φη），那么几乎可以肯定Limα%1limn%∞eα，nESα，n=(η - 1)η-1ηη.为了将经验比率eα、n/ESα、nw与理论比率eα/ESα进行比较，我们对具有不同规则性尾部指数η和样本量n的Pareto和Student t分布进行了模拟研究，更多讨论请参见示例5.3和5.4。根据命题4.3的相同精神，expectile的Euler分配也可以表示为以下命题意义上的预期短缺的函数。提案4.6。让我，Ld是Lw中的非负损失，其连续分布使得L=Pdk=1Lk。如果Lbelongs的累积分布为aFréchet型MDA（Φη），η>1，则限制%∞P【L>tx，…，Ld>txd】P【L>t】存在于所有（x，…）。

，xd）∈ [0, ∞]d/{0}且不等于0，则为α（Lk | L）~(η - 1)η-1ηηESα（Lk | L）。证据根据命题3.4，我们得到了eα（Lk | L）=1.-1.- α1 - α + (2α -1)(1 -β*)E[Lk | L>Eα]+1- α1 - α + (2α -1)(1 -β*)E【Lk】。在给定的假设下，[4]表明F是Fréchet型MDA（Φη），E[Lk | L>t]~ 当t到达时ckt∞ 和ESα（Lk | L）~ 当α变为1时，某些ck>0的ckqα。与命题4.3一起，这个屈服强度α（Lk | L）~1.-ηckeα+E[Lk]η~η - 1ηckeα~η - 1ηESα（Lk | L）eαqα~(η - 1)η-1ηηESα（Lk | L）。现在，我们转向Weibull型和Gumbel型吸引域中F的期望值和期望值之间的渐近比较。对于属于Weibulltype MDA（ψη）的F，已知^x<∞. [30，32]产量建议4.7的直接应用。设^x：=sup{x：F（x）<1}。对于Weibull型MDA（ψη）最大吸引域中的F，当α变为1时，它保持1- α=o（1- β*) 和^x- ESα^x- eα=o（1）。证据关系式（3.2）给出的一阶条件也可以重写为[（L- eα）+]=eα（1- α)2α - 1、由于eα%^x渐近，一阶条件为[（L- eα）+]~ ^x（1- α).从[30，引理3.2和备注3.3]我们得到了[（L- x） +]（^x- x） （1）- F（x））~η + 1.因此，当α变为1时，E[（L- eα）+]1- β*~^x- eαη+1表示1- α=o（1- β*). 从[30，定理3.4]和[32，命题3.3]我们有^x- ESα~ηη+1（^x- qα）和^x- qα^x- eα=o（1），这将在eα和ESα之间产生所需的渐近关系。由于Weibull型MDA（ψη）分布有一个明确的右端点^x，当α为1时，eα和ESα都收敛到^x。命题4.7表明，与eα相比，ESα收敛到^x的速度非常快。在F分布的附加假设下，我们还提供了一个二阶展开式。提案4.8。

对于Weibull型M DA（ψη）最大吸引域中的F，使得P[L>0]>0和1- F（1/·）∈ 2RV-η、 ρη>0，ρ<0，辅助函数A，当置信度α变为1时，它保持^x- ESα^x- eα=η（（2α- 1） （^x- qα）η+1（η+1）Cη“1+Cη（^x- qα）ηη+1（η+1）^x+C-ρηρ(η - ρ+1）A（qα）！（1+o（1））#，其中cη=（x（η+1））η+1和A（qα）=A（^x- qα）-ηη+1.此外，1- β*1.- α~^x（η+1）^x- qαηη+1.证据让1- F（^x- 1/·）处于2RV-η、 ρ，η>0，ρ<0和辅助函数A。根据[30，命题2.4]，x到∞ 我们有1个- F（^x- 1/x）~ cx公司-η对于某些c>0。因此，根据[32，命题3.3]，它持有（4.11）^x- eα~ Cη（^x- qα）ηη+1。特别是，出于与命题4.4证明相同的原因，可以得出（4.12）A^x- eα（L）~ C-ρηA（qα）和A^x- qα= oA.^x- eα.1上的正则条件-F（^x-1/·）表示^x-U∈ 2RV-η、 ρη的辅助函数渐近等价于-η-2A（1/（^x-U） ）当t转到∞, 见【28】。

因此，使用关系式（4.12）和[36，定理4.5]得出^x- ESα=η（^x- qα）η+11.-A.^x-qαη(η - ρ+1）（1+o（1））=η（^x- qα）η+11+oA.^x- eα.（4.13）利用关系式（4.12）和[32，关系式3.14和3.17]，我们还得到了（4.14）eα=（2α- 1） （^x- eα）η+1（η+1）（^x- qα）η1 +ρη + 1η - ρ + 1A.^x- eα+ oA.^x- eα.将方程（4.14）的左侧替换为（4.11），并求解^x- eα给出（4.15）（2α- 1） η+1Cη（^x- qα）ηη+1（^x- eα）=“1-Cη（^x- qα）ηη+1^x+η+1ρ（η- ρ+1）A^x- eα!（1+o（1））#η+1=1-Cη（^x- qα）ηη+1（η+1）^x+ρ（η- ρ+1）A^x- eα!（1+o（1））。使用关系式（4.12）-（4.13）和（4.15）进行计算，得到所需的（^x）表达式- ESα）/（^x- eα）。至于（1-β*)/(1 -α） ，使用eα到^x的事实，即α到1，[31，关系式3.13]，以及关系式（3.2）给出的一阶条件，意味着e[（L- eα）+]^x- eα~1.- β*η+1和^x^x- eα~E[（L- eα）+]^x- eα。将这些关系与关系式（4.11）结合起来得到结果。备注4.9。当E[L]6=0时，命题4.8的证明允许导出表达式^x- ESα^x- eα=η（（2α- 1） （^x- qα）η+1（η+1）~Cη“1+~Cη（^x- qα）ηη+1（η+1）（^x- E【L】+~C-ρηρ(η - ρ+1）A（qα）！（1+o（1））#式中Cη=（（^x- （η+1）η+1。[30,36]和[7]产量建议4.10的结果的直接组合。对于甘贝尔型MDA（λ）吸引域中的F，当置信水平α变为1时，它保持1-α=o（1-β*). 如果进一步F（x）=1-经验值(-xτg（x））带g∈ RVandτ>0，则ln（eα）~ ln（ESα）。此外，如果（4.16）limx%∞g（cx）g（x）- 1.lng（x）=0对于某些常数c>0，则为eα~ ESα。证据根据[32，命题3.6]，我们有1- F（qα）=o（1- β*). 对于MDA（λ）中的F，已知1- F（qα）~ 1.- α、 例如，参见[36]。因此，1- α=o（1- β*).至于预期短缺和预期短缺之间的关系，这是[30，36]和[7，命题2.4]的直接结果。

作为渐近结果的一个应用，我们比较了eα和上界1.-1.- ααESα（L）+1- 当F属于极值分布吸引域时，ααE[L]。通常，该界渐近等价于ESα。对于F在η>1的Fréchettype MDA（Φη）吸引域中，当α变为1时，eα/ESα<1。在这个特殊的例子中，界不是渐近等价于eα的。Weibulltype MDA（ψη）中的每个分布F都有一个有限的终点^x。这意味着eα和ESα都收敛到^x。因此，如果^x 6=0，则界变得渐近等效于eα。对于具有有限端点^x或满足条件（4.16）的Gumbel型M DA（∧）中的f，界也变得渐近等价于eα。许多常见分布的示例和模拟已知数量和预期短缺的显式或半显式表达式。利用这一优势，在本节中，我们将使用最佳β来说明expectile的显式或半显式计算*并举例说明第4节关于贝塔分布、指数分布、帕累托分布和学生t分布的一些结果。贝塔分布为威布尔型MDA（ψ），指数为冈贝尔型MDA（∧）。帕累托分布和学生t分布分别为Fréchet型MDA（Φη），η=aan和η=ν。我们还对Pareto分布和Student t分布进行了模拟研究，以比较经验比率eα、n/qα、nand eα、n/ESα所需的样本量，从而分别收敛于理论比率eα/qα和eα/ESα。示例5.1（Beta）。对于a>0，设FL（x）=x，x在[0，1]中。

ThenqL（β*) = β*1/a，E【L】=aa+1和ESβ*（五十） =a1.- β*a+1(1 - β*)（a+1）。关系式（3.3）给出了最佳β*求解β*a（α（a+1）+（1- 2α)β*) = aα。因此，eα（L）=β*1/a。对于a=1，β分布与标准均匀分布一致，并且认为β*=pα（1- α) -α1 - 2α=eα（L）。如果a 6=1，则为1- FL（1/·）∈ 2RV-1.-1带辅助功能A（x）=（A- 1） x个-1/2，例如参见[30，32]。根据备注4.9，我们有1- ESα（L）1- eα（L）=q（a+1）（2α- 1)(1 - αa）√1+a+2s2（1- αa）a+1（1+o（1））.图2：。比率图（1-eα）/（1-对于a=1.01和a=1.1的β分布。当α变为1时，比率（1-eα）/（1-ESα）变为0。如图2所示，二阶展开式的精度为（1- eα）/（1- ESα）取决于参数a。当a接近1时，二阶展开式变得更精确。示例5.2（指数）。设FL（x）=1- 经验值(-x） 对于x≥ 0。然后ESβ*（五十） =1-ln（1-β*) 和qL（β*) = -ln（1-β*). 关系（3.3）变为1+（1-2α)β*=(1 -α)(1 -ln（1-β*)). 对于x：=1-lnβ*, 它保持（x-2） ex公司-2= (2α -1)/((1 -α） e）。因此，x=2+W（（2α- 1)/(1 - α） e）和β*= 1.- exp（1- x） 其中，W是Lambertfunction。因此，eα（L）=1+W2α - 1(1 - α） e类.在[7]中也可以找到eα的类似表达式。众所周知，FL属于UMBEL型MDA（λ），并满足条件（4.16）。因此，eα（L）~ ESα（L）。例5.3（帕累托）。对于>1和x≥ 0，设FL（x）=1-（1/（x+1））a。

下面是ql（β*) = (1 - β*)-每年1次-1，E【L】=1/（a）-1） 和ESβ*（五十） =aE【L】（1- β*)-每年1次-关系式（3.3）给出了最佳β*solvinga（1- α)(1 - β*)一- 1.+ α + (1 - 2α)β*= 因此，eα（L）=（1- β*)-每年1次- 特别是，对于a=2，β*=α+2pα（1- α） 1+2pα（1- α） ，eα（L）=pα（1- α)1 - α.它还认为1-佛罗里达州∈ 2RV-一-1对于辅助功能A（x）=A/x，请参见[24，32]。备注4.5，对于▄L=L- 因此，1- FL∈ 2RV-一-1带辅助功能A*（x） =ax-1/（a）- 1). 因此，根据命题4.4，它认为eα（~L）ESα（~L）=（a- 1） a-1a（2α- 1） aa1+1- （a）- 1） a（1- α)-一-aa公司-1（1+o（1））！。α（L）=a的现金不变性质- 1+2α - 1a级- 1.一(1 - α)-一- 1.1 +1 - （a）- 1） a（1- α)-一-aa公司-1（1+o（1））！。W是这样一个函数，当且仅当x=W（y）时，xex=y。图3：。a=1.8和a=2.9的帕累托分布的eα（￠L）/ESα（￠L）图。二阶展开比一阶展开更精确。当尾部变得更重时，精度更高，见图3。例5.4（标准学生t）。设L为自由度大于1的标准学生t。从[33]中，我们得到β*（五十） =（1）- β*)（五）- 1)ψ(Ψ-1(β*))v+（ψ-1(β*))式中，ψ和ψ分别是具有v自由度的标准学生t分布的累积分布和概率密度函数。关系式（3.3），产量最佳β*求解ψ-1(β*) =(2α - 1)ψ(Ψ-1(β*))（v+（ψ-1(β*)))（五）- 1)((1 - 2α)β*+ α).因此，eα（L）=（2α- 1)ψ(Ψ-1(β*))（v+（ψ-1(β*)))（五）- 1)((1 - 2α)β*+ α).它还认为η=ν，因此1- 佛罗里达州∈ 2RV-ν,-2辅助函数A（x）=ν（ν+1）x-2/（ν+2），见[24，32]。

根据命题4.4，它认为eα（L）ESα（L）=（ν- 1)ν-1ν(2α - 1)νν1 +(ν - 1)1.- (ν - 1)ν2（ν+2）（qL（α））（1+o（1））.图4显示，二阶展开比一阶展开更精确。仿真结果表明，分布越重，二阶展开的精度越高。图4：。ν=1.8和ν=2.9的标准学生t分布的eα/ESα图。如第4节所示，为了对大于固定阈值ε的估计员的概率具有相同的界限，当数据从重尾分布中采样时，风险值需要比预期短缺和预期值更多的观察值，α变为1。由于这一事实，同样的论点也适用于预期与分位数的比率与预期与预期短缺的比率。为了说明这一事实，我们通过从Pareto分布和标准Student t分布生成随机样本，尾部指数η=2.1和η=2.3，将经验比率eα、n/qα、nand eα、n/ESα、NW分别与理论比率eα/qα和eα/ESα进行比较。我们用Err%表示绝对相对百分比误差eα/qα- eα，n/qα，neα/qα×100%和eα/ESα- eα，n/ESα，neα/ESα×分位数和预期短缺的经验比率与理论比率的100%。表1-4比较了经验比率eα、n/qα、nand eα、n/ESα、NW与理论比率eα/qα和eα/ESα的相对百分比误差。事实上，这两个表都表明，对于帕累托分布和Student t分布，eα、n/ESα和n/ESα的比值比预期值与风险值的比值快。n=10n=5×10n=10αTheo。比率Emp。比率误差%Emp。比率误差%Emp。

比率误差%98.3%1.0941 1.1066 1.14%1.0948 0.05%1.0697 2.24%预期值vs 98.7%1.0759 1.0922 1.53%1.0753 0.06%1.0593 1.55%风险值99.1%1.0551 1.0742 1.81%1.0557 0.05%1.0499 0.49%99.5%1.0294 1.0491%1.0373 0.76%0.9940 3.44%99.9%0.9888 1.0288 38 3.53%0.9805 0.84%0.9456 4.37%98.3%0.5307 0.5308 0.02%0.5307 0.00%0.5310 0.05%98.7%0.5273 0.5275 0.04%0.5272 0.02%0.52780.11%预期值vs 99.1%0.5231 0.5223 0.03%0.5231 4.50%0.5238 0.13%ES 99.5%0.5177 0.5177 0.00%0.5177 0.01%0.5183 0.11%99.9%0.5086 0.5083 0.05%0.5086 0.00%0.5103 0.34%。eα、n/qα、n、eα/qα、eα、n/ESα、n、eα/ESα的比值和帕累托分布的相对百分比误差，a=2.1。n=10n=5×10n=10αTheo。比率Emp。比率误差%Emp。比率误差%Emp。比率误差%98.3%0.9577 0.9422 4.71%0.9387 4.34%0.9839 9.07%预期值vs 98.7%0.9574 0.9386 4.42%0.9363 4.17%0.9892 9.69%风险值99.1%0.9569 0.9370 4.34%0.9268 3.27%0.9929 10.18%99.5%0.9565 0.9269 3.39%0.9220 2.88%0.9913 10.13%99.9%0.9559 0.919 80 2.63%0.8859 0.73%0.9593 6.94%98.3%0.4918 0.4919 0.56%0.4919 0.56%0.4911 0.73%98.7%0.4938 0.4942 0.56%0.4942 0.55%0.49320.77%预期值vs 99.1%0.4959 0.4964 0.56%0.4965 0.52%0.4952 0.79%ES 99.5%0.4980 0.4989 0.48%0.4990 0.47%0.4973 0.81%99.9%0.5000 0.5017 0.38%0.5030 0.12%0.4998 0.78%表2。v=2.1的标准Student t分布的比率eα、n/qα、n、eα/qα、eα、n/ESα、n、eα/ESα和相对百分比误差。模拟结果还表明，与a=2.1的Pareto分布相比，对于Student t分布，当ν=2.1时，可能需要更多的观测值，以使eα、n/qα、n tan eα、n/ESα收敛到理论比率，见表1和表2。n=10n=5×10n=10αTheo。比率Emp。比率误差%Emp。比率误差%Emp。