期望值关于的相对界和渐近比较

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英文标题：
《Relative Bound and Asymptotic Comparison of Expectile with Respect to
  Expected Shortfall》
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作者：
Samuel Drapeau and Mekonnen Tadese
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  Expectile bears some interesting properties in comparison to the industry wide expected shortfall in terms of assessment of tail risk. We study the relationship between expectile and expected shortfall using duality results and the link to optimized certainty equivalent. Lower and upper bounds of expectile are derived in terms of expected shortfall as well as a characterization of expectile in terms of expected shortfall. Further, we study the asymptotic behavior of expectile with respect to expected shortfall as the confidence level goes to $1$ in terms of extreme value distributions. We use concentration inequalities to illustrate that the estimation of value at risk requires larger sample size than expected shortfall and expectile for heavy tail distributions when $\\alpha$ is close to $1$. Illustrating the formulation of expectile in terms of expected shortfall, we also provide explicit or semi-explicit expressions of expectile and some simulation results for some classical distributions.
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中文摘要：
就尾部风险评估而言，与整个行业的预期缺口相比，Expectile具有一些有趣的特性。我们利用对偶结果以及与优化确定性等价的联系来研究期望值和期望不足之间的关系。期望值的上下界是根据期望值的不足得到的，同时也是根据期望值的不足得到的期望值的特征。此外，我们还研究了在极值分布下，当置信水平达到1美元时，期望值相对于期望短缺的渐近行为。我们使用集中度不等式来说明，当$\\ alpha$接近1$时，风险价值的估计需要比预期短缺和重尾分布预期更大的样本量。为了说明期望值的表达式，我们还提供了期望值的显式或半显式表达式以及一些经典分布的模拟结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Relative_Bound_and_Asymptotic_Comparison_of_Expectile_with_Respect_to_Expected_S.pdf (2.2 MB)

2022-6-24 05:41:53 上传

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关键词：期望值 distribution Illustrating relationship Applications

Expectile相对于预期ShortFalls的相对界和渐近比较Samuel DRAPEAU和MEKONNEN Tadeseactract。就尾部风险评估而言，与整个行业的预期缺口相比，Expectile具有一些有趣的特性。我们利用对偶结果以及与优化确定性等价的联系来研究期望值和期望不足之间的关系。期望值的上下界是根据期望值不足推导出来的，同时也是根据期望值不足对期望值的一种表征。此外，我们还研究了当信心水平在极值分布中变为1时，期望值相对于期望短缺的渐近行为。我们使用集中均衡（concentrationinequalities）来说明，当α接近1时，风险价值的估计需要比预期的短缺和重尾分布的预期更大的样本量。我们还提供了explicitor expectile的半显式表达式，以及一些经典分布的模拟结果。关键词：期望值；预计短缺；风险价值；极值；风险度量。引言期望值是Newey和Powell提出的分位数的推广[34]。它被定义为二次损失的argminα（L）=arg minnαEh（L）-m）+i+（1- α） 呃（L）- m）-io。对于1/2≤ α<1时，期望值是一个一致的风险度量，对应于F"ollmerand Schied[17]的短缺风险，损失函数`（x）=αx+-(1 -α） x个-. 在保险和统计中广泛使用，最近它在金融领域引起了一些兴趣，因为与Artzner等人提出的全行业预期短缺风险度量相比，它在尾部风险评估方面具有一些有趣的特征。

从其定义来看，Expectiles是可引出的，这在回测方面是一个有用的属性，有关财务相关性的讨论，请参见Gneiting【21】、Bellinian and Bignozzi【6】、Emmer等人【16】、Ziegel【41】和Chen【11】。在韦伯（Weber）[40]，以及后来的贝利尼（Bellini）和比格诺齐（Bignozzi）[6]，齐格尔（Ziegel）[41]，德尔巴恩（Delbaen）等人（15）]的开创性论文中，事实证明，在连贯的和法律不变的风险度量中，expectile是唯一可引出的风险度量。期望值在随机化下也是不变的，而期望值不足则不是不变的，参见Weber【40】和Guo和Xu【22】。当风险定义在分布空间上时，随机化下的不变性与风险度量的接受集和拒绝集的凸性密切相关。也就是说，对于预期值，如果两者都是可接受的，则随机位置L=L，概率为p，L=L，概率为1- p也可接受[0，1]中的p，详见[40]。最后，就系统风险管理和风险分配而言，多元短缺风险（expectile就是一个例子）似乎是合适的，见Armenti等人【2】。

鉴于这些吸引人的房产，日期：2020年6月4日。国家科学基金，项目编号：11971310和11671257；上海交通大学授予AF0710020号“金融风险和不确定性评估”；非常感谢。两位作者都感谢斯特凡·克雷佩伊和汉斯·福尔默的富有成效的讨论。几位作者建议将expectile作为预期短缺和风险价值的替代品，例如参见[6-8、11、16]。本文的目的是研究期望值与期望缺口之间的关系。更具体地说，目标是提供预期缺口方面的预期下限和上限，明确表示预期及其欧拉分配作为预期缺口的函数，并在置信水平达到1时比较预期及其欧拉分配相对于预期缺口的渐近行为。至于界限，我们的方法基于对偶结果以及通过优化确定性等价物将期望值和期望值之间的联系。对于平均值为零的损失文件，我们的结果主要集中在界限（1.1）1.-1.- αα + (1 - 2α)βESβ（L）≤ eα（L）≤1.-1.- ααESα（L）。如命题3.2所示，最优下界实际上是一个等式eα（L）=1.-1.- αα + (1 - 2α)β*ESβ*（五十） 其中β*∈ 【P【L<eα（L）】，P【L】≤ eα（L）]]。对于连续分布，β的表达式*根据Newey和Powell[34]的结果，Taylor[39，等式7]中提到了。我们使用优化的确定性等价物将这个结果推广到任何分布。作为这种关系的应用，我们可以很容易地导出广泛分布类的期望值的显式或半显式公式。让我，Ldbe损失报告，L=Pdk=1Lk。

在某些光滑性假设下，在最优下界的相同精神下，期望值的Euler分配也可以表示为给定byeα（Lk | L）的期望短缺的Euler分配的函数=1.-1.- αα + (1 - 2α)β*ESβ*（Lk | L）+1- αα + (1 - 2α)β*E【Lk】。至于上界，Delbaen【14】和Ziegel【41】提供了凹形失真风险度量的期望值的最小上界。利用这一结果，我们证明了关系式（1.1）给出的上界在占主导地位的预期缺陷类别中是最小的。根据这些界限，预期缺口比预期缺口更为保守。因此，当置信水平达到1时，解决其相对渐近行为。在精算文献中，渐近分析是一个深入研究的主题，因为它有助于风险管理者用少量数据建模大额损失，并建立风险度量之间的渐近关系，见Hua和Joe【24】。虽然Hua和Joe【24】、Tang和Yang【36】以及Mao和Hu【30】建立了预期短缺和风险值之间的渐近关系，Bellini和Di Bernardino【7】以及Mao等人【32】提供了当损失率属于极值分布的最大吸引域时，风险值方面的预期值的渐近分析。例如，在风险值和期望值之间存在一种特殊的无症状关系，即提取属于Frechet类型的分布的尾部指数。因此，可以通过比较风险价值的经验值和大α的预期值来估计分布的尾部指数。然而，从渐近的角度来看，与重尾分布的预期短缺和预期值相比，风险值的估计可能需要较大的样本量。

根据Fournier和Guillin[19]最近使用Wasserstein距离得出的集中度不平等结果，我们提供了经验预期不足ESα和经验预期eα的误差估计，作为置信水平α及其相应所需样本量nESα和neα的函数。例如，在分布有一些矩q>2的情况下，我们得到p[| ESα，n- ESα|≥ ε] ≤ Cn1-sε2（1-s） （1）- α)2(1-s） P[| eα，n- eα|≥ ε] ≤ Cn1-sε2（1-s）1.- αα2(1-s） 对于任何2<s<q，其中常数c与n、ε和α无关。特别是，如命题4.2所示，对于动量q>2的弗里切特型分布，nESα和neα均为1/（1）级- α） 当α变为1时，相对于分位数对应的nqα，它们是微乎其微的。请注意，对预期缺口和预期值的经验估计以及更一般的风险度量一直是最近研究的主题，参见Gao和Shaochen【20】、Holzmannand Klar【23】、Kolla等人【27】、Bartl和Tangpi【5】。在这里，我们使用[19]中的界限来获得关于置信水平α的显式依赖性，这是我们所知的新知识。利用相关结果，当损失曲线属于Weibull型MDA（ψη）、Gumbel型M DA（∧）或Fréchet型M DA（Φη）的吸引域时，我们通过提供一阶和二阶渐近展开，建立了预期短缺和预期短缺之间的渐近关系。对于η>1的Fréchet型尾部分布，预期短缺与预期短缺的比率逐渐严格小于1。在这种情况下，它实际上保持α（L）~(η - 1)η-1ηηESα（L）和eα（Lk | L）~(η - 1)η-1ηηESα（Lk | L）。这一结果还表明，关系式（1.1）提供的上界一般不渐近等价于eα（L）。

它还允许根据经验数据估计尾部指数。我们还考虑了参数β的渐近行为*. 对于分布属于Fréchet型M DA（Φη）且η>1的损失率，Bellini等人[8]提供了β的渐近行为*就α而言。对于Weibull型MDA（ψη）和GumbelM型DA（λ），我们表明1- α=o（1- β*). 对于Fréchet情形，我们还提供了（1）的二阶渐近展开式- β*)/(1 - α).本文的组织结构如下。在第2节中，除了定义和符号外，我们还通过优化的确定性等价物重新探讨了预期值和预期短缺之间的联系。在第3节中，我们讨论了expectile在ExpectedShorth方面的上下界，以及expectile及其Euler分配在ExpectedShorth方面的特征。第4节根据损失文件所属的极值分布的最大吸引域，重点讨论期望值在期望短缺方面的渐近行为。第5节以常见分布的expectile的显式或半显式表达式说明了第3节的结果。它还为第4.2节的一些渐近结果提供了说明。通过优化的确定等价物与预期短缺(Ohm, F、 P）是一个概率空间，Lbe是几乎确定意义上的可积随机变量集。对于a>0和b≥ 0带1/a≥ b、 由QA表示，b=Q P:b≤dQdP≤一.自始至终，Lare的元素通常用L表示，并被视为损失文件。给定L中的这样一个L，我们分别用FLand qLits累积分布和左量化函数表示，isqL（u）=inf{m:FL（m）：=P[L≤ 米]≥ u} 。我们还用q+L表示L的右分位数函数，即q+L（u）=inf{m:FL（m）>u}。

A函数R:L→ 如果R是（I）拟凸的，则称为风险度量：R（λL+（1-λ） L）≤ 每0的最大值{R（L），R（L）}≤ λ ≤ 1.（II）单调：R（L）≤ R（L）每当L≤ 拉尔几乎可以肯定。如果风险度量额外具有（III）现金不变性，则进一步称为货币风险度量：R（L- m） =R（L）- 最后，如果货币风险度量是附加的（IV）次加性：R（L+L），则称其为一致的≤ R（L）+R（L）。众所周知，货币风险测度是自动凸的，相干货币风险测度是正齐次的。对于L中的L，我们确定风险值：对于0<α<1，V@Rα（L）=inf{m:P[L≤ 米]≥ α} =qL（α）。o预计短缺：0≤ α<1，ESα（L）=1- αZαV@Ru（L）du=1- αZαqL（u）du.o预期值：1/2≤ α<1，L的α-期望值定义为解αe的唯一数eα（L）（L）- eα（L））+= (1 - α） E类（L）- eα（L））-.风险价值是现金不变的、单调的和正齐次的，但它不是次加性的，参见[3，37]。预期短缺是优化确定性等价物的特例，而预期值对应于损失函数`（x）=αx的短缺风险+- (1 - α） x个-在标准定义中，[17、40、41]。实际上，`是递增的，每当α≥ 当α>0时，inf`（x）<0。因此，该目标可以被视为优化确定性等价物的缩放版本，参见【9】。在文献中，例如参见[8，34]，expectile也被定义为Arg minnαEh（L）- m）+i+（1- α） 呃（L）- m）-io，对于L中的L。然而，由于一阶条件，这与当前定义一致。让我们回顾一下预期值和预期差额的以下已知属性。提案2.1。

预期缺口和预期缺口是法律不变的货币风险度量，它保持α（L）=minm+1- αE（L）- m）+: m级∈ R= qL（α）+1- αEh（L- qL（α））+i=最大值公式（L）：Q∈ 第一季度-α,0具有最佳密度dq*dP=1- α{L>qL（α）}+k1{L=qL（α）}R（λL）=λR（L），每λ>0。式中，k是一个常数，使得E[dQ*/dP]=1 andeα（L）=max1-αα<γ<1(1 - γ） ES（1+γ）α-1)(2α-1） γ（L）+γE[L]（2.1）=最大值1-αα<γ<1ZESu（L）uγ（du）（2.2）=最大值公式（L）：Q∈ Q（1-α） /γα，γ对于某些γ∈1.- αα, 1（2.3）具有最佳密度dq*dP=α1{L>eα（L）}+（1- α） 1{L≤eα（L）}α+（1- 2α）P[L≤ eα（L）]，其中μγ=（1- γ)δ(1+γ)α-1)(2α-1） γ+γδ是[0，1]上的一个参数化分布族。这些结果可以从[3、8、9、17]中找到或得出。有趣的是，它们通过Ben-Tal和Teboulle的优化确定性等价物紧密相连。为了便于阅读和进一步计算，我们简要地介绍了这种连接。提案2.2。对于损失函数\'a，b（x）：=x+/a- bx公司-其中0<a<1和0≤ b≤ 1，优化确定性当量定义为（2.4）Ra，b（L）=inf{m+E[`a，b（L- m） ]：m∈ R} ，L∈ Lis是一个定律不变的相干风险度量，即ra，b（L）=qL（λ（a，b））+E[`a，b（L- qL（λ（a，b）））]（2.5）=aZλ（a，b）qL（u）du+bλ（a，b）ZqL（u）du（2.6）=（1- b） ESλ（a，b）（L）+bE[L]（2.7）=sup公式（L）：Q∈ Qa，b（2.8）式中λ（a，b）=（1- a） /（1- ab）。此外，对于0<b≤ 1它持有（2.9）inf{m:E[` a，b（L- m） ]≤ 0}=supa≤γ≤1/bRa/γ，bγ（L）=sup公式（L）：Q∈ 某些γ的Qa/γ、bγ∈ 【a，1/b】.证据在[9]之后，最佳m*定义（2.4）满意度*] + bP[升≤ m级*] ≤ 1.≤aP[升≥ m级*] + bP[升<米*] .重新排列，我们得到P[L<m*] ≤ λ（a，b）≤ P[升≤ m级*] 显示m*= qL（λ（a，b））。将优化器插入（2.4）产量（2.5）。从（2.5）到（2.6）来自以下事实~ L

对于（2.7）aZλ（a.b）qL（u）du+bλ（a，b）ZqL（u）du=一- bZλ（a，b）qL（u）du+bE[L]=（1- b） ESλ（a，b）（L）+bE[L]。关系式（2.6）表明，优化的确定性等价物是一个法律不变且一致的风险度量。关系式（2.8）源自优化确定性等价物在发散方面的一般稳健表示，即isinf{m+E[` a，b（L- m） ]：m∈ R} =支持等式【L】- E`*a、 b类dQdP:dQdP∈ L∞参见[9，定理4.2]，因为凸共轭`*a、 b（x）=0，如果b≤ x个≤ 1/a和∞ 否则至于最后一个关系（2.9），它来自优化确定性等价物和短缺风险之间的一般关系[9，第5.2节]，其中inf{m:E[` a，b（L- m）≤ 0]}=sup1/γ∈dom(`*a、 b）inf{m+γE[`a，b（L- m） ]}给出结果。命题2.1的证明。预期短缺的关系直接来自命题2.2，注意到ESα（L）=Ra，b（L），对于a=1- α和b=0。至于期望值的关系，它们从（2.9）开始，作为eα（L）=inf{m:e[`a，b（L-m） ]≤ 0}对于a=1/2α和b=2（1- α） 完全符合提案2.2 as1/2的条件≤ α < 1. 关于预期短缺的最佳密度，见F"ollmer和Schied【18】，McNeil等人【33】，关于预期，见【8，命题8】。备注2.3。关系（2.1）–（2.3）提供了预期短缺和预期短缺之间的联系。人们特别看到，虽然预期的短缺是共同的，但预期的短缺不是。事实上，关系式（2.2）是Kusuoka表示，它不能满足[18，定理4.93，第260页]的假设。另一方面，如【40】所示，尽管在随机化条件下预期值是不变的，但预期值的差额却不是。3、期望值作为期望缺额的函数基于关系（2.1），我们根据[8，命题9]的精神，提供了期望值在期望缺额方面的界限。