期望值关于的相对界和渐近比较

上限（1-(1-α） /α）据我们所知，ESα是新的，而更大的上限ES2α-[14]中给出了1α。本证明使用了优化确定性等价和期望之间的关系。提案3.1。让我在L中，平均值为零。然后，对于每个0<β<1，它保持不变1.-1.- αα + (1 - 2α)βESβ（L）≤ eα（L）≤1.-1.- ααESα（L）≤ ES2α-1α（L）。证据让1/2≤ α<1。一方面，根据命题2.1和2.2的证明，eα（L）=supab≤γ≤a=1/2α和b=2（1）时的ab/γ、γ（L）- α). 这意味着eα（L）≥ Rab/γ，γ（L），因此从（2.7）可以得出eα（L）≥ (1 -γ） ESλ（ab/γ，γ）（L）对于每个ab≤ γ ≤ 求解λ（ab/γ，γ）=β的γ得到左手不等式。另一方面，我们有\'ab/γ，γ≤ `ab，ab≤ `ab，0，与E【L】=0一起表示Eα（L）≤ Rab，ab（L）≤ Rab，0（L）。因为ab=（1- α） /α和λ（ab，ab）=α，由于（2.7）右侧不等式也成立。如果我们设置β=α，则下界对应于[8，命题9]中所述的下界，即（3.1）1.-2αESα（L）≤ eα（L）`*a、 b（x）=sup{x·y- `a、 b（y）：y∈ Rd}。由于平移不变性，在E[L]6=0的情况下，我们得到1.-1.- αα + (1 - 2α)βESβ（L）+1- αα + (1 - 2α）βE[升]≤eα（L）≤1.-1.- ααESα（L）+1- ααE[升]≤ ES2α-1α（L）。至于下限，从（2.1）可以看出，存在β*满足上述命题的质量。当FLis连续时，从[39，方程7]我们得到了最佳β*= P[升≤ eα（L）]。我们将这个结果推广到任何分布，并将期望值表示为期望不足的凸组合。提案3.2。设L不是常数，它保持Eα（L）=1.-1.- αα + (1 - 2α)β*ESβ*（五十） +1个- αα + (1 - 2α)β*E【L】，其中β*∈ 【P【L<eα（L）】，P【L】≤ eα（L）]]。证据首先，让我们证明，如果L不是常数，那么每个β*在【P【L<eα（L）】中，P【L】≤ eα（L）]]严格介于0和1之间。

自E【L】起≤ eα（L）和0<P[L<e[L]]<1，它认为0<β*≤ 1、如果β*= 1，则P[L>eα（L）]]=0和henceE[（L- eα（L））+]=0。一阶条件可以写成（3.2）eα（L）- E[L]=（2α- 1） E[（L- eα（L））+]1- α.因此，eα（L）=e[L]，这与0<P[L]的事实相矛盾≤ E[L]]<1。因此，β*必须在（0，1）中。根据β的定义*, 它认为eα（L）在[qL（β*), q+L（β*)].根据[1，命题4.2]，它认为ESβ*（五十） =eα（L）+e[（L- eα（L））+]1- β*.与关系式（3.2）一起，得出β*（五十） =eα（L）+1- α(2α - 1)(1 - β*)（eα（L）- E【L】）。求解eα（L）给出了所需的eα表达式。从命题3.2的证明中，不难看出不等式（3.1）变为等式，即最优β*= α当且仅当eα是α分位数。当fli严格递增且连续时，它认为eα（L）=qL（FL（eα））。因此，在这个特殊情况下β*= α当且仅当预期值为α级风险值时。例如，当qL（α）=（2α时-1） /pα（1- α） ，见Koenker【26】。备注3.3。如果fli严格递增且连续，则β*唯一解（3.3）qL（β*) =1.-1.- αα + (1 - 2α)β*ESβ*（五十） +1个- αα + (1 - 2α)β*E[升]。让我，Ldbe处于L=Pdk=1Lk的状态。对于任何风险度量R，头寸Lk对风险资本R（L）的Euler风险贡献定义为（3.4）R（Lk | L）：=limε→0R（L+εLk）- R（L）ε，前提是每个k=1存在极限。d、 众所周知，例如参见【25，38】，如果R=ESα，则ESα（Lk | L）=ESα（Lk | L>qL（α）），前提是存在（3.4）中定义的限值。

类似地，对于存在（3.4）中定义的极限的R=eα的情况，根据[16]，我们还得到eα（Lk | L）=αe[Lk{L>eα（L）}]+（1- α） E[Lk{L≤eα（L）}]α+（1- 2α）P[L≤ eα（L）]。如果L是常数，那么β*是（0，1）中的任意数字。因此，在命题3.2的相同精神下，头寸LK对预期风险资本的Euler风险贡献也可以表示为其对预期短缺风险资本的Euler风险贡献的函数。提案3.4。让我，Ldbe在（3.4）中定义的限值存在于两个β中*eα，其中β*= P[升≤ eα（L）]。然后，头寸Lk对风险资本eα（L）的Euler风险贡献由α（Lk | L）给出=1.-1.- αα + (1 - 2α)β*ESβ*（Lk | L）+1- αα + (1 - 2α)β*E【Lk】。我们现在转向上限问题。如果(Ohm, F、 P）是非原子的，从[14]和[41]中，我们得到了另一个expectileRД（L）的上界：=ZД（t）qL（1- t） dt是对应于凹面畸变函数Д的畸变函数：[0，1]→[0，1]，由Д（t）=αt/（（2α）给出- 1） t+1- α). 此外，RИ是支配eα的法律不变相干和共单调风险测度类中的最小值。它还表明，对于每个A，eα（1A）=RД（1A）=Д（P[A]）∈ F、 由于位置3.1中给出的上界也是一致的和共单调的，因此它特别遵循Rν（L）≤1.-1.- ααESα（L）+1- ααE【L】。然而，上限（1- (1 - α） /α）ESα（L）+（1- α） E【L】/α是以下命题所述意义上的预期短缺类别中的最小值。提案3.5。假设(Ohm, F、 P）非原子。然后1.-1.- ααESα（L）+1- ααE[L]是表（1）中最小的风险度量- λ） ESβ（L）+λESδ（L），0≤ λ ≤ 1,0 ≤ β<1和0≤ δ<1一致支配L证明中L的eα（L）。

注意（1- λ） ESβ（L）+λESδ（L）=RДλ，β，δ（L）：=ZДλ，β，δ（t）qL（1- t） dt对于凹形畸变函数Дλ，β，δ（t）：=（1- λ)t1级- β∧ 1.+ λt1级- δ∧ 1.对于0≤ t型≤ 1，它是连续的，并且严格地随Дλ，β，δ（0）=0和Дλ，β，δ（1）=1增加。对于β=α，λ=（1- α） /α和δ=0，我们有νλ，β，δ（L）=1.-1.- ααESα（L）+1- ααE【L】。一方面，让ν（t*) > Дλ，β，δ（t*) 对于一些t*在（0，1）中。自(Ohm, F） 是非原子的，存在∈ F使得P[A]=t*. 在[18]和[35]之后，我们得到了RДλ，β，δ（1A）<Д（P[A]）=eα（1A），因此RДλ，β，δ不能支配eα。因此，对于每0≤ λ ≤1, 0 ≤ β<1和0≤ δ<1，只有当φ≤ φλ,β,δ.另一方面，对于每0≤ λ ≤ 1, 0 ≤ β<1和0≤ δ<1，以便≤ Дλ，β，δ，它保持srДλ，β，δ（L）≥ eα（L）。在这种情况下，Д（1-α)/α,α,0≤ φλ,β,δ. 事实上，自从Д（1-α） /α，α，0在点（0，0）和（1，1）处与Д相切，且Д是严格凹的，Дλ，β，δ（t）<Д（1-α） /α，α，0（t）对于（0，1）中的某些t意味着存在t*在（0，1）中，使得*) > Дλ，β，δ（t*) 对于一些t*在（0，1）中，见图1。通过一个类似的论证，可以得出结论，RДλ、β、δ不能支配eα。因此，当λ=（1）时，RДλ，β，δ是更好的-α） /α，β=α，δ=0。图1：。α=94%时的Д和最佳Дλ、β、δ图。备注3.6。如果(Ohm, F、 P）包含原子，命题3.5通常可能不正确。例如，当Ohm = {ω，ω}当P[ω]=P[ω]=0.5，α=9/10，λ=δ=0，β=4/9时，我们得到Д（t）=9t/（8t+1），Дλ，β，δ（t）=（9t≤ t型≤小于t时为1≤ 1和Д（1-α） /α，α，0（t）=（9t表示0≤ t型≤t+8表示<t≤ 对于某些x和xin R，L=x{ω}+x{ω}形式的Lis中的每个L。在不损失一般性的情况下，假设x≤ x、 一个简单的计算得出eα（L）=ESβ（L）=Rν（L）=0.9（x-x） +x和（1-(1 - α） /α）ESα+（1- α） E【L】/α=17（x-x） /18+x。这意味着ESβ支配eα，但它由（1）支配-(1 - α） /α）ESα+（1-α） E【L】/α。

因此，（1- (1 - α） /α）ESα+（1- α） E[L]/α不是最小值。4、预期缺口与预期缺口：渐近比较在本节中，我们考虑平均值为零的损失比例，为了便于记法，其累积分布用F表示。为了便于标记，我们还使用eα：=eα（L）、qα：=qL（α）和ESα：=ESα（L）。给定L，Ln，L的独立副本，我们用fn表示经验测度的经验累积分布函数（Pnk=1δLk）/n。相应地，我们分别使用符号qα、n、ESα、nand eα表示经验测度的风险值、预期短缺和预期。我们还使用标准符号f（α）~ g（α）和f（α）=o（g（α）），因为α变为1，这意味着limα%1f（α）/g（α）=1和limα%1f（α）/g（α）=0。对于f（α）~ 我们可以等价地写ef（α）=g（α）+o（g（α））。对于给定的风险水平α，预期值和风险价值比预期短缺（即eα）更不保守≤ ESα和qα≤ ESα。根据所考虑的损失比例，预期值可能比风险值小或更保守，请参见【7】。当F位于极值分布函数的最大吸引域时，[7]和[32]给出了风险值和期望值之间的渐近比较。对于η>1的Fréchet型MDA（Φη），从[7]我们得到了（4.1）eα的关系式~ (η - 1)-1ηqα，α%1。利用这个渐近结果，[12]引入了极端期望估计量^eα：=（^η）- 1)-1^ηqα，n，其中^η是η的Hill估计量。例如，关系式（4.1）还允许使用经验预期值与α大值风险经验值的比率来提供尾部指数的估计。然而，当观察尾部时，与α接近1的重尾分布情况下的预期不足和预期相比，极端分位数估计可能需要非常大的样本量。

这一事实在下面的命题4.1和命题4.2中得到了解释，这促使我们研究预期值与预期缺口的渐近比较，而不是风险价值。因此，在本节中，我们比较了从属于Fréchet型M DA（Φη）的分布F中提取样本时，估计极端分位数所需的样本量与预期短缺和期望值之间的关系。我们还考虑了期望值相对于期望短缺的渐近行为和最优β*当F属于极值分布时，置信水平α变为1。这些命题基于使用瓦瑟斯坦距离的集中均衡。Bartl和Tangpi【5】最近采用了这种方法，为各类经验风险度量提供了误差界限。然而，在我们的背景下，我们将重点放在信心水平α的敏感性上，并使用Fournier和Guillin[19]中的结果制定了一种略有不同的方法。渐近比较使用极值理论的技术。我们说F在极值分布函数H的最大吸引域中，用mda（H）表示，iflimn%∞Fn（cnx+dn）=H（x），对于某些常数cn>0和dn∈ R、 n个∈ {1, 2, . . . }. 众所周知，极值分布H属于以下三种类型之一：Weibull（ψη）、Gumbel（λ）或Fréchet（Φη），其中η>0，请参阅[7、30、33、36]以了解当前上下文中的更多讨论。设U（t）：=q1-t>1时为1/t。F属于最大吸引域的条件可以等价地由U的扩展正则变分给出。

回想一下可测函数f:R+→ R被认为是随参数η的扩展正则变化∈ R、 用f表示∈ ERVη，如果存在函数a:R+→ R+使每个X>0，限制%∞f（tx）- f（t）a（t）=（xη-1η，η6=0ln x，η=0。已知F在Fréchet型M DA（Φη）的最大吸引域中，η>0当且仅当U∈ ERVη。F在威布尔型M DA（ψη）的最大吸引域中，η>0当且仅当U∈ ERV公司-η. 最后，F在Gumbel型MDA（λ）的最大吸引域中，当且仅当U∈ ERV，例如参见【13，定理1.1.6】。ψη（x）=exp(-(-x） η）对于x<0。∧（x）=exp(-e-x） 对于x∈ R、 Φη（x）=exp(-x个-η） 对于x>0。具有累积分布Fn和F的概率测度之间的Wasserstein距离定义为w（Fn，F）=inf{E[| Z- Y |]：Z~ F和Y~ F}。我们考虑以下关于L的假设：Ek，r（L）<∞ 对于某些k>1，r>0或（4.2）Ek，r（L）<∞ 对于一些k∈ （0，1），r>0，（4.3）mq（L）<∞ 对于一些q>2（4.4），其中mq（L）=E[| L | q]和Ek，r（L）=E[exp（r | L | k）]。Fournier和Guillin[19]对浓度结果的简单应用产生了以下预期短缺和预期的浓度不等式。提案4.1。让我，Ln可以是F中的一个随机样本，使得假设（4.2）、（4.3）或（4.4）成立。

如果1/2≤ α<1，对于所有n≥ 1和0<ε≤α1-α、 它保持sp[| ESα，n- ESα|≥ ε] ≤ B（n，ε（1- α） ）和P[| eα，n- eα|≥ ε] ≤ Bn、 ε（1- α)α其中b（n，h）=C经验值-cnh公司根据假设（4.2）exp-cnsh公司对于假设（4.3）n1下的所有0<s<k-sh2（1-s） 对于假设（4.4）下的所有2<s<q，其中C和C是正常数，仅取决于k、r、q、s、Ek、rand mq取决于假设集。因此，给定精度ε和置信度γ的预期短缺和预期所需的样本量由nesα=H（γ，ε（1）给出- α） ）和neα=Hγ,ε(1 - α)α,分别，其中h（γ，h）=- ln（γC）ch-2假设下（4.2）- ln（γ2C）c上海-假设（4.3）下所有0<s<k的SFOCγs-1小时-对于所有2<s<q的假设（4.4）证明。根据【19，定理2】，对于所有n≥ 1和0<ε≤ 1保持（4.5）P【w（Fn，F）】≥ ε]≤ C经验值(-cnε）假设（4.2）exp(-cnε）+exp(-假设（4.3）exp下所有0<s<k的cnsεs(-cnε）+n1-sε-对于假设（4.4）下的所有2<s<q，请注意，常数C和C是正的，并且对于情况（4.2）仅取决于r、k、s和Ek，r（L），对于情况（4.3）取决于r、k和Ek，r（L），对于情况（4.4）取决于q和mq（L），请参见【19】。让我们分别处理这些病例。对于第三种情况，0<s<q是可能的。但是，如果0<s≤ 就边界而言，2不是最佳选择。o在假设（4.2）下，if立即保持P[w（Fn，F）≥ ε] ≤ C扩展-cnε.o 在假设（4.3）下，由于0<s<k<1，n≥ 1和ε≤ 1，nε≥ nsε和nsεs≥ nsε。

亨塞普[w（Fn，F）≥ ε] ≤ 2C扩展-cnsε对于所有0<s<k.o在假设（4.4）下，对于所有2<s<q，由于ε≤ 1和s- 2>0，它保持SP[w（Fn，F）≥ ε] ≤ Cn1-sε2（1-s）εs-2+ns-1ε2（s-1） 经验值-cnε≤ Cn1-sε2（1-s）1+ns-1ε2（s-1） 经验值-cnε函数x 7→ xs型-1ε2（s-1） 经验值-cxε最大值为x=（s- 1） /（cε）>0。回插这个最大值，我们得到p[w（Fn，F）≥ ε] ≤ Cn1-sε2（1-s）1+（s- 1） s-1立方厘米-1e1-s右侧与ε和n无关。总的来说，（4.6）P[w（Fn，F）≥ ε] ≤ B（n，ε）。因为w（Fn，F）=R | qu，n-qu | du，参见[29]，例如，对于（0，1）中的每个α，预期短缺的定义给出（4.7）| ESα，n- ESα|=1- αZα（qu，n- qu）du≤1.- αw（Fn，F）。对于[8]中[1/2，1]中的每个α，它也包含（4.8）| eα，n- eα|≤α1 - αw（Fn，F）。关系式（4.6）-（4.8）得出所需的浓度不等式。对于样本尺寸x，置信水平γ为B（n，ε（1- α)) ≤ γ表示预计短缺，bn、 ε（1-α)α≤ γ表示期望值，求解n得到所需结果。根据命题4.1，对于给定的精度ε和置信度γ，可以得出nESα和neα倾向于∞. 此外，在任何一种假设（4.2）、（4.3）或（4.4）下，itholdsnESα~ neαα%1。然而，风险价值与预期差额以及风险价值与预期差额的情况通常并非如此。例如，假设F在区间qα上有一个严格正且连续的密度函数F- δ、 qα+δ]对于某些δ>0。根据[20，推论2.1]，对于每n≥ 1和εin（0，δ），它保持sp[| qα，n- qα|≥ ε] ≤ 4经验值(-2nεδα），其中δα=infx∈[qα-δ、 qα+δ]f（x）。这意味着给定精度εin（0，δ）和置信度γ的样本量由（4.9）nqα给出=-自然对数γ2εδ-2α.因此，当α变为1时，nqα取决于Δα的相对行为。假设密度f对于足够大的值不增加，我们得到Δα=f（qα+δ）。

当NF属于Fréchet型MDA（Φη）时，它认为1- F在RV中-η. 根据[13，命题B.1.9]，我们得到limx%∞xf（x）/（1）- F（x））=η，这意味着（4.10）Δα1- α=f（qα+δ）1- F（qα）~qαf（qα）1- F（qα）qα→ 0, α % 1.因此，对于重尾分布，我们可以渐近地得到δα=o（1-α） nqα倾向于∞ 比nESα和neα快，如以下命题所示。提案4.2。假设F属于Fréchet型MDA（Φη），η>1，某些力矩q>2。进一步假设f的密度函数f是严格正的，并且当值足够大时会减小。然后，对于每个ε≤ α/(1 - α） ，和密度级γ，当α变为1时，它保持αnqα=o（1），和neαnqα=o（1）。证据因为qα∞ 当α变为1时，根据假设，f在区间[qα]上严格为正且连续-1，qα+1]。命题4.1和关系式（4.9）的一个简单应用- α） 对于某些常数C，根据关系式（4.10），nESα/nqα变为0，因为α变为1。同样，当α变为1时，neα/nqα=o（1）。现在我们转向最优β的渐近行为*以及预期的短缺。[7，8，30]产量建议4.3的直接应用。对于F在Fréchet型M DA（Φη）的最大吸引域中，η>1，当置信水平α变为1时，我们得到1- β*1.- α~ η - 1和eα~(η - 1)η-1ηηESα。证据β之间的关系*α在[8]中给出，从[30]中我们得到了α~ηη - 1qα。结合关系式（4.1），这将产生所需的结果。除了一阶展开之外，二阶展开还有助于确定收敛速度。为了做到这一点，我们在f上施加一个二阶正则变化条件。可测函数f:R→ R被认为是随参数η有规律变化的∈ R、 用f表示∈ RVη，如果极限%∞f（tx）f（t）=xη，对于每个x∈ R