论信息约束下的资本配置

这导致ωi=c0，ICAN和重新制定的预算约束1=Pni=1ωi。为了描述企业i的个人（货币）产出c0，iof，我们可以重新编写等式（1），并用ωi替换c0，i，这导致toc1，i=axνiω1-νi，（2）其中我们考虑了常数a的轻微变换，从而得到一个新常数a=ac1-在我们的模型中。如上所述，常数Are表示特定行业初创企业可以获得的绝对最大产出。因此，所有投资的总（货币）产出可以保证风险投资的成功（此处为产出）通常受到许多不同（可观察和不可观察）因素的影响。除了资本存量的大小外，还包括人力资源的质量；易受财务、运营、物流或环境风险的影响；以及效率问题。在本文中，我们假设随机变量X汇集了所有这些因素，以简化不同公司的比较。定义如下：c=anXi=1xνiω1-νi.（3）请注意，因为xi是一个随机数，所以公司i的个人（货币）产出c1、i和总（货币）产出也关心随机数。作为后续投资组合优化的起点，我们定义为E[c]-b* Var[c]（4）作为投资者的（广义）效用函数，其中E[c]是随机变量c的期望值，Var[c]是各自的方差，b是arisk厌恶参数。

此实用程序函数是所有portfoliooptimization框架的基础，这些框架将在之后运行。在我们校准和运行这样的投资组合优化模型之前，我们需要区分理性投资者的两种情况：一种是，投资是相同的，两种投资都不是首选的（案例1）；在第二种情况下，投资者可以根据因子x对投资对象进行排序（情况2）。案例1：如果投资对象的可用信息非常稀少，那么在许多情况下，除了将对象视为等价物外，几乎没有其他选择。因此，实现x，x，xnof随机变量不能按大小排序。我们假设投资者无法影响x的水平。投资者能够影响的唯一输入因素是单个投资对象i的投资组合权重ωiof。问题是如何选择相应的投资组合权重，以便在i=1，n使预期总（货币）产出最大化的可能投资对象。假设风险中性投资者对所有具有相同预期（货币）产出的投资方案进行平均排序（忽略c1，i的风险），我们需要在公式（4）的效用函数中设置b=0，并获得u=E[c]。（5） 因此，预期（货币）产出水平是风险中性投资者的唯一决策变量。这导致了个人投资组合权重ωiof的以下优化问题：最大{ω，ω，…，ωn}U，0=1-nXi通常为1ωi（6），max{ω，ω，…，ωn}E[c]服从0=1-在风险中性投资者（b=0）的假设下，nXi=1ωi（7）。

因此，我们必须使拉格朗日函数L=E[c]+λ最大化1.-nXi=1ωi=nXi=1E【c1，i】+λ1.-nXi=1ωi= anXi=1E[xνi]ω1-νi+λ1.-nXi=1ωi（8） 关于ωi，其中λ是所谓的拉格朗日乘子。期望值E【xνi】根据均匀分布确定，并导致E【xνi】=1+ν。因此，预期的货币总产出为implye[c]=a1+νnXi=1ω1-νi.（9）最后，式（8）中的拉格朗日函数变为l=a1+νnXi=1ω1-νi+λ1.-nXi=1ωi. （10） 通常，优化问题由L的偏导数和方程组的求解确定。请注意，Lw相对于ω的二阶导数为负，如果ωi>0且ν>0，则会导致负定义的Hessian矩阵。然后，最优解ω*i=n（11），对于i=1，n描述了等式（9）中的最大E[c]，仅取决于公司数量n。该解决方案等于传统EWP。将式（9）中的式（11）替换为式（9）为情况1提供了最大总货币产出：B=max{ω，ω，…，ωn}E[c]=a1+νnν。（12） 案例2：我们现在考虑一个理性投资者可以基于少量可用信息对投资对象进行排序的情况。投资者仍然无法影响随机因素x。然而，根据他的评估，投资者可以得出一个成对预测，其中投资具有较高的x。这将导致对合格投资对象进行排序。因此，实现x，x，xnof随机变量可以按大小排序，我们可以在所谓的顺序统计框架内进行进一步分析（Kendalland Stuart（1976））：0≤ x（1）≤ x（2）≤ . . . ≤ x（n）≤ 1.（13）在这种情况下应用这些排序统计会导致个体成功因素xi的个体密度函数发生变化（见图1）。

与案例1不同的是，投资者现在有一种动机，即不在不同的投资选择中平等分配其资本，并找到替代资产配置，这反映了最新的信息情况。我们将这种新方法称为排序加权投资组合（SWP）。在这种情况下，需要一种新的投资组合优化方法。为了描述投资者在备选方案i中的投资的货币产出c1，Io，我们可以再次根据投资组合权重重写等式（1），从而得出1，i=axν（i）ω1-νi.（14）因此，所有投资的总货币产出也是一个随机变量，由c=Pni=1c1，i给出。注意，c1，i也依赖于ωi，因此通常没有排序。这里出现了一个类似于案例1的问题：应如何选择输入因子ωibe，以使投资者的预期总货币产出E[c]最大化（冯·诺依曼和Morgenstern（1944））？作为起点，当使用ν=0时，会出现一种特殊的退化情况。在目前的模式中，这不是一个生态上明智的选择。这消除了式（2）中的第一个输入因子。通过这样做，等式（3）描述了完美的替代品，这意味着投资者可以将其所有资本投资于任何单一目标，并实现最大的预期总货币产出：最大E[c]=a。换句话说，如果个人绝对产出xin不再影响投资者的货币产出，投资备选方案的个人权重也与投资者无关，因为从他的角度来看，所有备选方案对总货币产出的贡献是相等的。图1：按成功因素排序投资方案对其个体密度的影响只有稀疏的信息：有限的预算、均匀分布的x和不规则的排名。这种情况会导致与等式中相同的优化问题。

（7） ，除了式（8）中的拉格朗日函数外，还必须考虑另一个期望值。现在根据theorder统计量确定期望值E[xν（i）]。因为在区间[0，1]上均匀分布的n个随机样本中，第i阶统计量x（i）的分布是第一类betadistration，概率密度如下（Kendall and Stuart（1976））：ρ（x；i，n）=B（i，n- i+1）xi-1(1 - x） n个-i（15）期望值可以很容易地计算如下：E[xν（i）]=Zxνρ（x；i，n）dx=Rxi+ν-1(1 - x） n个-idxB（i，n- i+1）=B（i+ν，n- i+1）B（i，n- i+1），（16），其中B（α，β）为β函数，也称为第一类欧拉积分（Abramowitz和Stegun（2014））。离散概率分布pi（ν）=1+νnB（i+ν，n- i+1）B（i，n- i+1）（17）对于i=1，整数n>0且实ν>-1（Hooffmann和B"orner（2020），推论4），期望值可以重写：E[xν（i）]=n1+νpi（ν）。（18） 因此，货币总产出的预期为simplyE[c]=an1+νnXi=1pi（ν）ω1-νi.（19）因此，总和对应于投资方案的变换权重ωiof的期望值。因此，在与式（5）相同的效用函数的假设下（仍然是风险中性的特例），情况2的拉格朗日函数变为l=an1+νnXi=1pi（ν）ω1-νi+λ1.-nXi=1ωi. （20） 对于式（10），优化问题由L的偏导数和方程组的求解确定。注意，与案例1一样，如果ωi>0且ν>0，则L相对于ωiis的二阶导数为负，并导致负的有限海西矩阵。然后，最优解ω*i=pi（ν）νPnj=1pj（ν）ν（21），对于i=1，n描述式（19）中的最大E[c]，仅取决于弹性ν和公司数量n。将式（21）替换为式（19）。

（19） 提供情况2的最大总货币输出量：B=max{ω，ω，…，ωn}E[c]=an1+νnXi=1pi（ν）ν！ν=an1+νp（ν）ν、 （22）其中p（ν）ν表示固定ν∈ 概率向量的ν-范数p（ν）=（p（ν），pn（ν））。比较案例1和案例2，可以证明以下定理。定理2.1。B≥ B（23）对于n>1和ν∈ [0, 1]  R、 如果ν=0，1，则等式适用。证据式（12）和（22）式（23）变为1-νp（ν）ν≥ 1.（24）等式（24）直接来自H"older不等式（Abramowitz和Stegun（2014））：nXk=1 | akbk |≤nXk=1 | ak | uunXk=1 | bk | v当ak=pk（ν）、bk=n、u=ν和v=1时，v（25）-ν. p（ν）的性质表明，当ν=0，1时，等式成立。定理2.1符合这样的预期，即如果在投资决策中可以使用更多的信息，投资者的投资总货币产出就会增加。换言之，SWP（案例2）的结果支配EWP（案例1）的结果，EWP（案例1）的结果并不反映排序备选方案所导致的更新信息情况。2.2. 应用程序2.2.1。特殊情况-两项投资作为一个例子，考虑一种特殊情况2，其中种子资金必须在两个可用的投资对象之间分配。因此，n=2是不同投资对象的数量，ω+ω=1是预算约束，假设的唯一附加信息是0≤ x（1）≤ x（2）≤ 1表示成功因子，x（i）是均匀分布随机变量的顺序统计量。因此，根据等式（17），p（ν）=1+νB（1+ν，2）B（1，2）=2+ν（26）p（ν）=1+νB（2+ν，2）B（2，1）=1+ν2+ν。最优资本配置（SWP）由以下比例描述（参见等式。

(21)):ω*=1 + (1 + ν)+ν(27)ω*=1 + (1 + ν)-ν.取决于弹性ν∈ [0，1]，可以考虑三种特殊情况：a）VCω支配产出货币：ν→ 0.b）与产出货币相关的投入因素之间存在差异：ν=0.5。c） 随机数x支配着产出货币：ν→ 1.选项卡。1报告了这些特殊情况下的最佳资本配置，图2描述了根据弹性ν在两种资产之间的资本配置。选项卡。1资本在n=2项选定弹性投资中的分配ν弹性资产1资产2νωων→ 01+ee1+eν=0.5ν→ 1解决弹性未知的分配问题ν：根据经验法则，资本c=1可以作为种子资金按一定比例分配：在两种资产之间（通常，这是两个早期公司的（少数）股份），如果没有进一步的信息，除了成功因素的顺序排序（x（1））外≤ x（2））及其在0%和100%之间的假定均匀分布。图2资本配置对考虑两种资产的弹性ν的依赖性2.2.2。对两项以上投资的申请在n>2项投资的情况下，（风险中性）投资者面临更复杂的决策，而上述经验法则并未涵盖这一点。尽管如此，使用公式（21）中的公式，投资者可以轻松计算任意n的SWP的最佳投资组合权重。考虑到顺序排名0≤ x（1）≤ x（2）≤ . . . ≤ x（n）≤ 1，选项卡。2以n=3、4、5投资为例，提供最佳权重。由于固定n的单个投资的权重ωiof不会随着弹性ν的变化而发生实质性变化（见表2），因此我们可以关注限制情况ν→ 并推导未知ν：ωi=2in（n+1）的经验法则。

（28）作为粗略的近似值，资本分配ωide仅取决于排序方案中投资的位置i和投资方案的总数n。选项卡。2考虑n={3，4，5}投资和选定弹性的排序加权投资组合ν投资弹性权重nνωωωωω3 0 0 0.1223 0.3315 0.5462-0.1360 0 0.3321 0.5319-0.1478 0.3326 0.5196-0.1579 0.3330 0 0 0.5091-1 0.1667 0.3333 0.5000-4 0 0.0694 0.1881 0.3100 0 0.4325 0.0785 0.1917 0.3070 0.4228 0.0866 0.1948 44 0.4143 0.0937 0.1976 0.3021 0.4067 1 0.1000 0.2000 0.30000.4000 5 0 0.0446 0.1210 0.1993 0.2781 0.35700.0510 0.1245 0.1995 0.2748 0.35020.0568 0.1278 0.1997 0.2718 0.34400.0620 0.1307 0.1998 0.2691 0.33841 0.0667 0.1333 0.2000 0.2667 0.33333. 风险厌恶型投资者的投资组合选择现代投资组合理论描述了投资者在进行资本配置时考虑每项投资的回报和风险的情况。除了收益和风险之外，优化过程中投资机会的依赖结构还用于构建有效的投资组合（Markowitz（1952））。通常，这三个特征是根据历史数据估计的（Elton et al.（2017））。在分配VC时，我们假设在秒。2.1没有历史市场数据可用于估计收益和风险。在下文中，我们将展示现代投资组合理论的基本思想如何能够转移到我们的用例中——风险投资的最优配置。在资本配置过程中，投资者不仅要考虑总货币产出的预期值E[c]，还要考虑总货币产出的方差Var[c]（作为风险度量）。正如我们所看到的，货币总产出的不确定性仅来自于单个总产出函数公式（2）的因子xi（随机变量）。

我们考虑输入因子xi的常数弹性ν。因此，随机变量变为xνi。2.1，理性投资者能够根据对xi因素的评估对投资对象进行分类。下文将进一步研究案例2。作为起点，我们计算总货币产出相对于顺序统计量x（i），资本配置ωifor i=1，…，的方差，n和n投资对象：Var[c]=E[c]- E[c]=安西=1nXj=1nE[xν（i）xν（j）]- E[xν（i）]E[xν（j）]oω1-νiω1-νj=anXi=1nXj=1Vijω1-νiω1-νj.（29）i，j=1，…，的协方差矩阵Vij=Vij（ν，n）的计算和表示，n如附录A等式（A.6）所示。注意，顺序统计量不一定是随机独立的；因此，我们在协方差矩阵的次对角线上也有中心（与情况1相反）。作为一个序列，我们可以证明，投资备选方案的简单排序不仅导致xi密度的变化（如前所示），而且还导致投资备选方案之间存在特定的相关性（参见附录中的计算示例），这构成了现代投资组合理论中多元化效应的基础。与传统的投资组合选择理论类似，我们使用关于成对相关性的可用信息来计算最优投资组合（这里是SWP）。通过对备选方案进行排序，备选方案的相关性现在偏离了零，这是获得额外信息之前的解决方案（排序），并变为正。这是风险厌恶型投资者的相关信息，因为相关性的变化也会影响投资组合风险（与EWP相比）。使用等式（4）中b>0的（广义）目标函数，我们定义E=E[c]-b* Var【c】。

通过方差，现在可以为情况2指定要最大化的目标函数，并且与预算函数一起，拉格朗日函数简单地为：L=E[c]-b Var[c]+λ1.-nXi=1ωi= an1+νnXi=1pi（ν）ω1-νi-abnXi=1nXj=1Vijω1-νiω1-νj+λ1.-nXi=1ωi. （30）如第。2.1，a>0是特定行业的绝对最大产出，b>0表示单个风险规避参数。优化问题是找到拉格朗日函数的最大值，该函数依赖于资本分配ωifor i=1，n： max{ω，ω，…，ωn}L.（31）最优解ω*IDE取决于投资对象n的数量、参数a和b以及弹性ν。在最优解的数值确定中，ω-空间应限制为正正正态，反映出只有多头的情况，在这种情况下，不可能出现空头头寸。因此，拉格朗日函数式（30）的最大化是关于所有i的不等式约束ωi>0。如果拉格朗日函数式（30）中忽略了预期的货币总产出E[c]，并且目标函数中仅考虑了货币总产出的方差Var[c]，然后，优化问题的最优解描述了最小方差投资组合中的资本配置。4、讨论和结论当投资者的决策是在有限的信息（无历史回报数据）和极其有限的时间范围内做出的时，将资本配置到不同的投资对象往往是一个问题。然而，在某些情况下，具有一定经验的理性投资者能够对这些投资选择进行常规排名。在本文中，我们开发了一个创新的投资组合优化框架，该框架使用这样的顺序排名作为确定某些投资方案的最佳投资组合权重的基础。