基于可接受集的系统性风险度量的对偶表示

在整个验证过程中∈ E′+，并定义一个函数ДW:X→ R通过设置ДW（X）：=E[S（X）W]。注意，通过（S3）和（S4）的规定，^1Wis是凹面且不减薄的。假设（i）成立。在这种情况下，我们可以应用Biagini和Frittelli[7]的扩展Namioka-Klee定理，推断出相对于X上的范数拓扑，Wis是上半连续的（实际上是连续的）。由于空间X′通过假设与X的范数对偶重合，因此从Aliprantis和Border[1]中的推论5.99可以看出，νWis也是σ（X，X′）-上半连续的。在继续证明（ii）和（iii）之前，我们进行了一些初步观察。首先，我们注意到，S的Fatou性质意味着相对于阶收敛，νWis顺序上半连续，即支配几乎确定的收敛。实际上，考虑一个序列（Xn） X几乎收敛到某个X∈ X和s等支持∈N | Xn |≤ M代表一些M∈ 十、自| S（Xn）|≤ 最大（| S（M）|，| S）(-M） |）每n∈ N根据（S3），从S的法图性质和法图引理得出≥ Ehlim supn公司→∞S（Xn）Wi≥ lim支持→∞E[S（Xn）W]=直线电机upn→∞^1W（Xn），如所述。其次，Meyer Nieberg（29）中的定理2.6.4告诉我们，对于每个i∈ {1，…，d}，theorder Xi的连续对偶，即关于序收敛连续的线性泛函的空间，与X′i重合。这意味着X的序连续对偶也与X′重合。用X表示~X的阶连续du al。我们通过显示关于阶收敛的上半连续性φww意味着σ（X，X）来建立（S5~n） -上半连续性。假设（ii）成立。如果d=1，则所需的断言来自Delbaen和Owari【11】中的定理4.4（有界情况参见Delbaen【10】中的定理3.2，非原子环境下的Orliczcase参见Gao等人【22】中的定理3.7）。

通过使用Leung和Tantrawan的结果，可以将该结果推广到多变量设置中【28】。我们使用他们的符号和术语。首先，请注意常数向量e是X中的严格正元素~n、 其次，请注意，根据[29]中的定理2.4.22，所有空间Xi都是单调完全的，根据[28]中的例子3.1，它是一个特殊的模，并且根据[11]中的备注3.5，它们的范数是顺序连续的。这意味着X也是单调完备的，允许一个特殊的模，其模对偶是阶连续的。因此，我们可以应用[28]中的定理3.4得出结论，X满足该论文的性质（P1）。这个性质意味着X th上的everyconcave泛函关于阶收敛是上半连续的，因为我们的νW是自动σ（X，X~n） -上部半连续。这将提供所需的结果。最后，假设（ii i）成立。在这种情况下，函数νWis s urplus不变量在Gao和Munari意义上是不变量的【23】。由于在阶收敛方面，ДWis是凹的和上半连续的，因此我们可以应用[23]中的定理21来推断ДWisσ（X，X~n） -上部半连续。如上所述，这将为用户提供所需的结果。备注2.5。（i） 在文献中，影响图通常由聚合函数∧：Rd导出→ Rby设置S（X）=每X∧（X）∈ 十、我们参考导言中引用的文献讨论具体示例。显然，∧的选择限制了空间E的选择，因为，例如，需要确保随机变量∧（X）’是可积的。这通常通过在有界位置的空间中工作或在Orlicz空间中工作来实现，其中Orlicz函数定义为∧。

为了避免担心这方面的问题，我们将影响图定义为抽象空间之间的映射。（ii）如果∧被假定为非常数、非减量、凹形，并且满足∧（0）=0，则相应的S完全填充属性（S1）-（S4）。此外，由于∧由凹度自动连续，S自动具有Fatou特性。因此，我们可以使用命题2.4来确保财产（S5）。我们现在假设监管机构通过指定setA确定了系统性风险的可接受水平 E填写验收集：资本头寸为X的金融系统∈ 如果指标S（X）中的系统风险属于定义2.6，则认为X具有可接受的系统风险水平。如果A满足以下性质，我们认为A是可容许的：（A1）判别：S-1（A）是X的非空真子集；（A2）归一化：0∈ A.（A3）单调性：A+E+ A.（A4）凸度：λA+（1- λ） A 每λ为A∈ [0, 1];（A5）封闭性：A是σ（E，E′）封闭的。下一个命题强调了假设（A5）始终满足的各种情况。定义2.7。对于每个序列（Un），我们说A是Fatou闭的 永远的你∈ 恩恩→ 美国，supn∈N | Un |∈ E类==> U∈ A、 我们说A是定律不变的，如果对于每个U∈ A和Every y V∈ E具有相同的概率分布U我们有V∈ A、 此外，如果对于每个U，A是剩余不变的∈ A和每V∈ 这样，min（V，0）=min（U，0），我们有V∈ A、 提案2.8。假设（A3）和（A4）保持不变。然后，（A5）在下列任何情况下成立：（i）E′是E的范数对偶，A是范数闭的。（ii）E=LΦ带Φ*存在（例如e=L∞) A是Fatou关闭的。（iii）E=LΦ，带(Ohm, F、 P）非原子且A是定律不变且Fatou闭的。（iv）A是盈余不变的，Fatou c是亏损的。证据

根据Aliprantis和Border[1]中的定理5.98（i），期望的断言成立；根据（ii）Delbaen和Owari【11】中的定理4.1（参见bou nded案例中Delbaen【10】中的定理3.2，以及Gao等人【22】中的Orlicz案例中非原子环境中的定理3.7）；C orollary 4.6 inGao等人【21】（iii）项下；根据Gao和Munari【23】中的定理8（iv）。3“先分配，再聚合”型系统风险度量在本节中，我们重点关注“先分配，再聚合”的系统风险度量。在讨论了它们可表示性的一些条件之后，我们建立了一般的对偶表示，并对相应的系统接受集和“惩罚函数”的性质进行了详细的分析。在本节中，我们确定了一个可接受的影响图和一个可接受的接受集A.3.1系统风险度量ρ“先分配，然后汇总”——典型的系统风险度量定义如下（我们采用通常的惯例inf = ∞ ):定义3.1。我们定义了ρ：X图→ [-∞, ∞] 通过设置ρ（X）：=inf（dXi=1mi；m∈ Rd，S（X+m）∈ A） 。（3.1）上述地图确定了可分配给成员机构的最低总资本金额，以确保金融系统的系统性风险水平是可接受的。我们首先观察到（3.1）可以重写为ρ（X）=inf{π（m）；m∈ Rd，X+m∈ S-1（A）}，π（m）=dXi=1mi。（3.2）因此，ρ属于Fr ittelli和Scandolo[20]引入的广泛风险度量，Farkas等人[16]对此进行了深入研究。我们以系统的方式利用这一联系。第一个命题收集了“系统接受集”的一些基本性质-1（A）和风险度量ρ。提案3.2。（i） 集合S-1（A）是单调的，凸的，σ（X，X′）闭的，并且包含0。（ii）系统风险度量ρ为非递增、凸和满足ρ（0）≤ 0

此外，ρsatifis是现金可加性的多变量版本，即ρ（X+m）=ρ（X）-dXi=每X 1英里∈ X和eve ry m∈ Rd证明。（i） 很容易证明S-1（A）包含0，并且它是单调和凸的。Toshowσ（X，X′）-紧密度，足以回忆起条（A） E′+，并使用（2.1）获取-1（A）={X∈ 十、S（X）∈ A} ={X∈ 十、E[S（X）W]≥ σA（W），W∈ 巴（A）}。权利要求紧随（S5）之后。（ii）ρ的规定性质很简单；另见Farkas等人[16]中的引理2。3.2ρ的适当性和下半连续为了允许对偶表示，风险度量eρ需要适当且下半连续。我们强调了实现这种情况的一些有效条件。我们从一个简单的性质描述开始，前提是我们已经知道ρ是下半连续的。回想一下，根据定义，如果ρ从未达到该值，则ρ是适当的-∞ 并且在某个时候是确定的。提案3.3。如果ρ是σ（X，X′）-下半连续的，那么ρ是适当的当且仅当ρ（0）>-∞.证据我们知道ρ（0）<∞ 根据提案3.2。因此，上述等价性源自σ（X，X′）-下半连续凸映射的假设值-∞ 不能假设任何固定值；参见Zalinescu[34]中的命题2.2.5。与标准的单变量（现金添加剂）情况相比，S-1（A）并不意味着ρ的下半连续性；参见Farkas等人【16】中的示例1。下一个结果的目的是为ρ为下半连续提供一些有效条件。如果你在文献中经常感到满意，那么后两个条件尤其容易克服。提案3.4。以下陈述成立：（i）假设Ohm 是有限的。如果ρ（0）>-∞, 那么ρ是有限值且连续的。（ii）假设X′iis是xi的范数对偶，对于每个i∈ {1，…，d}。

如果ρ为有限值，则ρ为σ（X，X′）-下半连续。（iii）假设X′iis是xi的范数对偶，对于每个i∈ {1，…，d}。如果S-1（A）在范数拓扑中具有非空内部且ρ（0）>-∞, 然后ρ是有限值，σ（X，X′）是下半连续的。（iv）设置M：=m级∈ Rd；Pdi=1mi=0. 如果S-1（A）∩ M={0}，则ρ是正确的，σ（X，X′）是低连续的。（v） 如果A∩ R-= {0}和S（m）∈ (-∞, 0）对于每非零m∈ M、 那么ρ是真的，σ（X，X′）是下半连续的。证据（i） 自Ohm 是有限的，e是X+的内点。然后，Farkas等人[16]中的命题1给出了期望的结果。（ii）根据Biagini和Frittelli[7]中的扩展Namioka-Klee定理，ρ相对于范数拓扑是下半连续的（实际上是连续的）。那么，根据Aliprantis和Border[1]中的推论y 5.99，ρ相对于σ（X，X′）也是下半连续的。（iii）注意e是X的严格正元素，即对于每个Z∈ X′+\\{0}我们有e[he，Zi]=dXi=1E[Zi]>0。[16]中的命题2意味着ρ是有限值，因此可以应用（ii）。（iv）每X∈ 不难证明ρ（X）=infnr∈ RX+rde∈ S-1（A）+Mo；参见[16]中的引理3。然后，从命题3.2得出-1（A）+米-rde公司 {X∈ 十、ρ（X）≤ r} 氯S-1（A）+米-rde公司对于每个r∈ R、 其中cl表示关于σ（X，X′）的闭包算子。为了建立所需的下半连续性，我们证明了-1（A）+Misσ（X，X′）-闭合。为此，回想一下提案3.2-1（A）是凸的，σ（X，X′）是闭的。此外，Mis具有有限维向量空间和-1（A）∩M={0}。Dieudonn\'e[12]中的封闭性标准现在意味着-1（A）+Misσ（X，X′）-闭合。性能遵循命题3.3。（v） 让m∈ M、 根据假设，我们有S（M）∈ A当且仅当m=0时。

这就产生了一个新的问题-1（A）∩M={0}，所需语句紧跟在第（iv）点之后。3.3ρ的双重表示我们已经提到，鉴于（3.2），风险度量ρ属于Farkas等人研究的风险度量类别。该文建立的一般结果可用于推导ρ的对偶表示。这也源于Fritelli和Scandolo中的一般双重表示[20]。定义3.5。我们用C表示由C定义的X′＋的凸集：={Z∈ X′+；E[Z]=···=E[Zd]=1}。定理3.6。如果ρ是适当的且σ（X，X′）是下半连续的，则b ar（S-1（A））∩ C 6= ρ（X）=supZ∈C{σS-1（A）（Z）- E[hX，Zi]}对于每个X∈ 十、上限可以限制为C∩ X′++提供了-1（A））∩ C∩ X′++6=.证据注意，方程式（3.2）中的成本函数π定义在Rd上 十、很容易看出，forevery Z∈ X′，函数X 7→ E[hX，Zi]是π到X的正扩张，当且仅当Z是C。由于ρ是真的且σ（X，X′）是下半连续的，因此从[16]中的命题6可以看出，S的势垒锥-1（A）包含成本泛函π到X的正线性扩展，即我们有bar（S-1（A））∩ C 6=. d esir ed表示现在是[16]中定理3的结果。现在，假设我们找到Z*∈ 巴（S）-1（A））∩ C∩ X′++，取任意元素Z∈ 巴（S）-1（A））∩ C、 对于everyX∈ X和每个λ∈ （0，1）我们有λZ*+ (1 - λ） Z∈ C和λ（σS-1（A）（Z）*) - E[hX，Z*i] ）+（1- λ） （σS-1（A）（Z）- E【hX，Zi】）≤ supZ′∈C∩X′++{σS-1（A）（Z′）- E[hX，Z′i]}通过σS的凹度-1（A）。让λ趋于0，并在Z上取一个上确界，得到ρ（X）≤ supZ′∈C∩X′++{σS-1（A）（Z′）- E[hX，Z′i]}。相反的不平等是显而易见的。这确立了最后一个断言，并得出了证明结论。备注3.7。

（i） 我们强调了定理3.6中的对偶表示与标准Fenchel-Moreau表示之间的联系；另见Farkas等人【16】中的备注17。要查看它，请注意地图-σS-1（A）(-·) + δC(-·) 是凸的且下半连续的，如果ρ是适当的且σ（X，X′）-下半连续的，则满足ρ（X）=supZ∈X′{E[hX，Zi]+σS-1（A）(-Z）- δC(-Z） }对于每个X∈ X根据定理3.6。根据Fenchel-Moreau定理，对于每个Z∈ X′ρ*（Z） =-σS-1（A）(-Z） +δC(-Z） =（supX∈S-1（A）E[hX，Zi]如果Z∈ -C∞ 否则（ii）C中的对偶元素可以自然地与(Ohm, F） 与P绝对连续，或者，如果它们具有严格的正分量，则与P相等。这允许根据概率度量重新表述上述对偶表示。更具体地说，分别用Q（P）和Qe（P）表示概率测度s的所有d维向量集(Ohm, F） 这是绝对连续的，从re spect到P，分别相当于P。Forevery Q=（Q，…，Qd）∈ Q（P）和每X∈ X我们设置了QDP：=dQidP，dQddP, 等式[X]：=E十、 dQdP=dXi=1EQi[Xi]。此外，对于每个Q∈ Q（P）我们定义σ（Q）：=σS-1（A）dQdP= infX公司∈S-1（A）等式【X】。如果ρ正确且σ（X，X′）-下半连续，则对于每个X∈ 我们可以写ρ（X）=supQ∈Q（P），dQdP∈X′{σ（Q）- 等式【X】}。在上述上确界中，我们可以用Qe（P）代替Q（P），前提是bar（S-1（A））∩ C∩ X′++6=.条件栏-1（A））∩ C∩ X′++6= 必须能够将上述对偶表示中的域限制为严格正的对偶元素。在凸分析术语中，这个条件要求凸集-1（A）允许一个属于特殊集合C的严格正支撑泛函。

在下一个命题中，我们表明，如果接受集A由严格正函数支持，并且影响图S由合并资本头寸的严格递增函数限定，则这一点始终成立。提案3.8。假设每个i的Xi=E∈ {1，…，d}。此外，假设bar（A）∩E′++6=存在一个∈ (0, ∞) 和b∈ R，即S（X）≤ adXi=1Xi+b每X∈ 十、然后，bar（S-1（A））∩ C∩ X′++6=.证据取W∈ 巴（A）∩ E′++，设置Z=（aW，…，aW）∈ C∩ X′++。那么，我们很容易看到σS-1（A）（Z）=infX∈S-1（A）E【hX，Zi】≥ infX公司∈S-1（A）E[（S（X））- b） W]≥ σA（W）- bE【W】>-∞.这提供了所需的断言。3.4系统验收集的特征-1（A）通过“系统验收集”的支持功能-1（A），定理3.6中系统风险度量ρ的双重表示强调了对两个基本基础要素的依赖：影响图S和接受集A。本小节的目的是通过使用与支持函数σS相关（但不同）的“惩罚函数”来提供系统接受集的双重描述-1（A）并调查这些m ap的主要特性。我们的分析基于以下定义。定义3.9。我们定义了两个映射α，α+：X′→ [-∞, +∞] 通过设置α（Z）：=supW∈bar（A）nσA（W）+infX∈X{E[hX，Zi]- E[S（X）W]}o，α+（Z）：=supW∈巴（A）∩（E′）++∪{0}）nσA（W）+infX∈X{E[hX，Zi]- E[S（X）W]}o.备注3.10。（i） 很容易看出α和α+通常是不同的。例如，如果每i的d>1且xi=E∈ {1, . . .

，d}，我们为每个X设置S（X）=Pdi=1xi∈ X和A=E+，那么我们有α=-δD6=-δD∩（X′）++∪{0}）=α+其中D={Z∈ X′+；Z=···=Zd}。（ii）上述贴图属于贴图类αK:X′→ [-∞, +∞] 由αK（Z）定义：=supW∈KnσA（W）+infX∈X{E[hX，Zi]- E[S（X）W]}o，其中K是条（a）中的凸锥，使得λK+（1-λ） 巴（A） K每λ∈ [0, 1]. 这将允许我们同时证明α和α+的性质。事实上，我们将考虑整个类共享α和α+的所有性质。下一个定理记录了公布的系统接受集的对偶表示，并说明了上述映射为何是自然的“惩罚函数”。定理3.11。系统验收集-1（A）可表示为asS-1（A）=\\Z∈X′{X∈ 十、E【hX，Zi】≥ α（Z）}。If bar（A）∩ E′++6=, 然后S-1（A）也可以表示为asS-1（A）=\\Z∈X′{X∈ 十、E【hX，Zi】≥ α+（Z）}。证据让K 条（A）应为注释3.10中的凸锥。注意，通过σA的凹度，我们可以等效地重写应用于asA=\\W的表示（2.1）∈K{U∈ EE[U W]≥ σA（W）}。现在，对于每个W∈ K E′＋我们考虑函数νW:X→ 定义单位：ДW（X）：=E【S（X）W】。正如命题2.4的证明中所述，函数νWis凹于（S3）和（S4），σ（X，X′）上半连续于（S5）。因此，根据Fenchel-Moreau定理，νW（X）=infZ∈X′{E[hX，Zi]- （νW）o（Z）}每X∈ 十、因此，我们获得-1（A）={X∈ 十、S（X）∈ A} ={X∈ 十、E[S（X）W]≥ σA（W），W∈ K} ={X∈ 十、E【hX，Zi】- （^1W）o（Z）≥ σA（W），W∈ KZ∈ X′}=\\Z∈X′nX∈ 十、E【hX，Zi】≥ supW公司∈K{σA（W）+（ДW）o（Z）}o=\\Z∈X′{X∈ 十、E【hX，Zi】≥ αK（Z）}。当应用于K=bar（A）和K=bar（A）时，这将提供所需的表示∩ （E′）++∪ {0}).下一个命题收集了映射α和α+的一些性质，并显示了它们之间的关系。这里，我们用dom（α）表示α的完整性域（α+）。