基于可接受集的系统性风险度量的对偶表示

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英文标题：
《Dual representations for systemic risk measures based on acceptance sets》
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作者：
Maria Arduca, Pablo Koch-Medina, Cosimo Munari
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We establish dual representations for systemic risk measures based on acceptance sets in a general setting. We deal with systemic risk measures of both \"first allocate, then aggregate\" and \"first aggregate, then allocate\" type. In both cases, we provide a detailed analysis of the corresponding systemic acceptance sets and their support functions. The same approach delivers a simple and self-contained proof of the dual representation of utility-based risk measures for univariate positions.
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中文摘要：
我们在一般情况下基于接受集建立系统性风险度量的双重表示。我们处理“先分配，然后汇总”和“先汇总，然后分配”类型的系统性风险度量。在这两种情况下，我们都详细分析了相应的系统验收集及其支持功能。同样的方法为单变量头寸的基于效用的风险度量的双重表示提供了一个简单且自包含的证明。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Dual_representations_for_systemic_risk_measures_based_on_acceptance_sets.pdf (325.08 KB)

2022-6-24 06:01:56 上传

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关键词：系统性风险 风险度量 系统性 风险度 Presentation

系统性风险度量的双重表示基于接受集Maria ArducadeDepartment of Statistics and Quantitative Methods，University of Milano BicoccaPablo Koch Medina，Cosimo MunariCenter for Finance and Insurance和SwitzerlandDoctober 25，2019年摘要我们基于一般设置中的接受集，建立了系统风险度量的blish双重表示。我们处理“先分配，然后汇总”和“先汇总，然后分配”类型的系统性风险度量。在这两种情况下，我们都详细分析了相应的系统接受集及其支持函数。同样的方法为单变量头寸的基于效用的风险度量的双重重新呈现提供了一个简单且自包含的证明。关键词：系统风险、宏观审慎监管、风险度量、双重代表1简介多元头寸风险度量的研究首先由Burgert和r¨uschendorf【8】、r¨uschendorf【33】、Ekeland和Sch achermayer【15】和Ekeland等人【14】开发，并由Jouini等人【26】、Hamel和Heyde【24】、Hamel等人【25】扩展到设定值案例，Molchanov和Cascos【30】。在本文献中，多元头寸通常被解释为金融资产的（随机）投资组合。近年来，人们对将风险度量理论扩展到系统风险环境有着浓厚的兴趣，在系统风险环境中，多元头寸代表金融机构未来资本头寸（即资产负债净额）的（随机）向量。在此设置中，我们考虑一个金融机构系统，其在固定未来日期的各自资本头寸由随机向量表示=（X。

，Xd）。大部分文献假设宏观审慎监管机构规定了“聚集函数”∧：Rd→ Rby是指将系统总结为单个（单变量）聚合位置∧（X）。最简单的聚合函数由∧（x）=Pdi=1xind给出，对应于将整个系统聚合到单个合并资产负债表中。监管机构还规定了一组“可接受”的合计头寸：只要∧（X）属于规定的接受集a，金融系统的系统风险水平就被视为可接受。文献中研究了基于聚合函数和接受集的两类主要系统风险度量。文献的第一部分采用了所谓的“先分配，然后聚合”方法，这是宏观审慎等效于Artzner等人在微观审慎监管背景下引入的基本理念【4】：确保金融系统具有可接受的系统风险水平，宏观审慎监管机构可以要求每个成员机构筹集适当数额的资本。此类需求由向量m=（m，…，md）表示∈ Rd，其中mic对应机构i筹集的资本金额。这导致系统风险度量的形式为ρ（X）=inf（dXi=1mi；m∈ Rd，∧（X+m）∈ A） 。质量ρ（X）对应于需要注入金融系统以确保可接受性的总资本的最低金额。Feinstein等人【18】、Armenti等人【3】、Ararat和Ru Dloff等人【2】以及Biagini等人对这种系统性风险度量进行了研究。

[5，6]（其中还考虑了总资本要求的分配）。文献的第二个分支提倡“先汇总，然后分配”的方法，并研究ρ（X）=inf{m形式的系统风险度量∈ R∧（X）+m∈ A} 。在这种情况下，数量eρ（X）r表示必须添加到合计头寸以达到可接受程度的最小资本量。与ρ相反，对eρ的操作解释并不简单，因为不清楚每个成员机构应为所需资本总额贡献多少，或者，如果上述风险度量的结果被解释为削减成本，则哪个机构应获得哪个金额。Chen等人【9】、Kromer等人【27】以及Ararat和Rudloff【2】对此类系统性风险度量进行了研究。本说明的主要目的是在一般情况下为上述系统性风险度量建立双重表示，特别强调“先分配，然后汇总”类型的系统性风险度量。通过这样做，我们对文献中存在的二元性结果提供了一个统一的视角。更准确地说，我们考虑一个任意概率空间(Ohm, F、 P）并假设多变量位置属于一个d维随机向量空间X，该空间通过配对（X，Z）7与另一个d维随机向量空间X′具有对偶性→X的dXi=1EP[西子]∈ X和d Z∈ X′。这种设置足够普遍，可以涵盖文献中遇到的所有有趣的示例。Armenti等人[3]和Biagini等人研究了ρ的双重表示。

[6] Ararat和Rudloff[2]在基于（多元）效用函数的Orlicz h earts和验收集的设置中，在对验收集只有轻微限制的有界随机变量的设置中。[3]中的策略是应用拉格朗日方法，而[2]中的策略是依赖于eρ的双重表示，这是通过对合成地图使用Fenchel-Moreau方法来解决的。与[6]类似，本注释的出发点是观察ρ可以写成ρ（X）=inf{π（m）；m∈ Rd，X+m∈ Λ-1（A）}其中“验收集”为∧-1（A）和“成本函数”π：Rd→ R由∧给出-1（A）={X∈ 十、∧（X）∈ A} ，π（m）=dXi=1mi。这表明ρ属于Frittelli和Scandolo【20】中引入的“多资产风险度量”，Farkas等人对此进行了深入研究【16】。在∧和A上的适当条件下，这些文献中获得的一般性结果得到了表示ρ（X）=sup（σ（Q，…，Qd）-dXi=1EQi[Xi]；QQd公司<< PdQdP，dQddP∈ X′），其中目标函数由σ（Q，…，Qd）=infX给出∈Λ-1（A）dXi=1EQi[Xi]。mapσ对应于系统验收集∧的（较低）支持函数-1（A）和在双重代表中起着基本作用。本说明的主要技术贡献是对这些对象进行详细分析。特别是，我们致力于从∧和a这两个原语中获得σ的更明确描述。值得注意的是，在系统环境中，接受集∧的紧密性-1（A）不一定意味着ρ的下半连续性，这是ρ接受对偶表示的必要条件。因此，重要的是提供关于∧和A的基本条件，以确保ρ首先是下半连续的。为此，我们依赖Farkas等人的抽象结果。

[16] ，从基础接受集的属性中导出风险度量的属性，如下半连续性。特别是，这里获得的接受集的对偶结果为我们分析系统接受集∧奠定了起点-1（A）。另一方面，Chen等人[9]在有限维设置中研究了eρ的对偶表示，Ararat和Rudloff[2]在有界随机向量设置中研究了eρ的对偶表示，Kromer等人[27]在更大程度上研究了eρ的对偶表示。根据这些论文，我们的出发点是观察到eρ可以表示为标准的现金加性风险度量（即与a相关的现金加性风险度量，我们用ρa表示），应用于聚合的单变量位置aseρ（X）=ρa（λ（X））。然而，我们没有计算出地图组成的Fenchel-Moreau表示，而是利用ρAto的标准对偶r表示，以直接的方式导出所需的表示。在这种情况下，确保eρ的下半连续性的条件也更容易计算。最后，为了说明我们基于接受集的二元性方法的便利性，我们提供了一个简单而完备的证据，证明了单变量位置基于效用的风险度量的dual表示，这可以被视为特殊的系统风险度量，其中d=1且∧是冯·纽曼·摩根斯坦效用函数。2设置在本节中，我们回顾概率论和凸分析中必要的术语和符号，并描述我们的设置。对于凸对偶的一般表示，我们参考Aliprantis和Border【1】和Zalinescu【34】。2.1基本符号纵观整个过程，我们确定了一个能力的步伐(Ohm, F、 P）。我们用（关于几乎确定等式的等价类）随机变量的向量空间表示，即。

Borel可测函数X：Ohm → R、 通常，我们不会明确区分等价类及其任何代表。预测p∈ [1, ∞] 如果p<∞ 如果p=∞.A（非零）线性子空间L 如果它是一个Banach格（关于几乎确定的偏序），那么L称为可容许的∞ L 五十、 在这种情况下，我们设置L′：={Z∈ LE[| XZ |]<∞ , 十、∈ 五十} ，其中E表示对P的期望。注意，我们总是有L∞ L′ 五十、 示例2.1。容许空间的c类包含Orlicz空间，其中包括文献中引用的标准示例。一个非恒定函数Φ：[0，∞) → [0, ∞] 如果它是凸的、非减量的、在0处连续的且满足Φ（0）=0，则称为Orlicz函数。Φ的凸共轭是函数Φ*: [0, ∞) → [0, ∞] 由Φ给出*（t） ：=支持∈[0,∞){st- Φ（s）}。很容易看出Φ*也是Orlicz函数。与ΦisLΦ关联的Orlicz空间：=十、∈ LEΦ|X |λ< ∞ 对于某些λ∈ (0, ∞).相应的Orlicz心脏由hΦ定义：=十、∈ LEΦ|X |λ< ∞ 对于每个λ∈ (0, ∞).这些空间是关于Luxemburg normkXkΦ：=inf的Banach格λ ∈ (0, ∞) ; EΦ|X |λ≤ 1..LΦ的范数对偶不能与Lin-general的子空间识别。然而，HΦ的范数对偶始终可以与LΦ识别*前提是Φ是有限值（否则HΦ={0}）。我们认为Φ满足存在r时的条件∈ (0, ∞) 和k∈ (0, ∞) 使得Φ（2s）<kΦ（s）forevery s∈ [r，∞). 众所周知，如果Φ是, 那么LΦ=HΦ。在非原子环境中，ConverseApplication也适用。每个Lpspace，带p∈ [1, ∞], 可以视为Orlicz空间。的确，对于每个p∈ [1, ∞) 如果我们为每个s设置Φ（s）=splΦ=lp∈ [0, ∞).

在这种情况下，卢森堡范数与标准Lpnorm一致，我们得到LΦ=HΦ。此外，我们有LΦ=L∞如果我们定义Φ（s）=0表示s∈ [0，1]和Φ（s）=∞ 否则在这种情况下，卢森堡标准与标准L一致∞范数和我们有HΦ={0}。以下陈述成立；参见Edgar和Sucheston【13】或Meyer Nieberg【29】：（1）L=LΦ可接受，L′=LΦ*;（2） 如果Φ为有限值，则允许L=HΦ，在这种情况下，L′=LΦ*;（3） L=如果p∈ [1, ∞], 在这种情况下，L′=Lpp-1（按约定=∞ 和∞∞= 1).修复m∈ N、 我们总是考虑s标准内积h·、·i:Rm×Rm→ 由HA定义，bi：=mXi=1aibi。我们用L（Rm）表示所有m维随机向量的向量空间。我们说线性子空间 L（Rm）是可容许的，当Erl=L×······×Lm且容许L，Lm公司 五十、 注意，作为Banach格的乘积，空间L也是aBanach格。特别地，L上的格运算是逐分量理解的。如上所述，我们定义：=L′×····×L′m。该对（L，L′）具有双线性形式（···）:L×L′→ R由（X | Z）给出：=E【hX，Zi】=mXi=1E【XiZi】。L上的最粗拓扑使得线性泛函X 7→ （X | Z）每Z连续∈ L′由σ（L，L′）表示。同样，L′上的最粗拓扑使得线性泛函Z 7→ （X | Z）每X连续∈ L由σ（L′，L）表示。有了这些拓扑，L和L′是局部凸的top-ological向量空间（由于上述形式是分离的，所以也是Hausdor ff）。以下凸分析的标准注释将在整个注释中使用。对于子集 L（Rm）我们用S+，分别表示S+，S中所有随机向量的集合，其分量几乎肯定是非负的，分别是严格正的。

mapf的完整性领域：1→ [-∞, ∞] 定义为dom（f）：={X∈ Lf（X）∈ R} 。a（nonempty）集合a的（下）支持函数 L是σA:L′的映射→ [-∞, ∞) 定义为σA（Z）：=infX∈AE【hX，Zi】。其完整性域由bar（A）表示，称为势垒锥，即bar（A）：=dom（σA）={Z∈ L′；σA（Z）>-∞}.如果A是σ（L，L′）-闭且凸的，则Hahn-Banach定理产生表示A=\\Z∈L′{X∈ LE【hX，Zi】≥ σA（Z）}=\\Z∈巴（A）{X∈ LE【hX，Zi】≥ σA（Z）}。（2.1）如果A+L，我们说A是单调的+ A、 在这种情况下，我们有bar（A） L′+。考虑一个非恒定映射f:L→ (-∞, ∞]. f的凸共轭是映射f*: L′→ (-∞, ∞]给定byf*（Z） ：=supX∈L{E[hX，Zi]- f（X）}。Fenchel-Moreau定理指出，如果f是凸的且σ（L，L′）-下半连续，则f（X）=supZ∈L′{E[hX，Zi]- f*（Z） }对于每个X∈ 五十、 我们将发现，使用凹对应的凸对偶性很方便。这里，考虑一个非恒定映射g:L→ [-∞, ∞). g的凹共轭是映射go：L′→ [-∞, ∞)定义为Go（Z）：=infX∈L{E[hX，Zi]- g（X）}=-(-g）*(-Z） 。因此，Fenchel-Moreau-Th-eorem意味着，如果g是凹的且σ（L，L′）-上半连续，则Theng（X）=infZ∈L′{E[hX，Zi]- go（Z）}每X∈ 五十、 集合a的指示器功能 L是映射δA:L→ [0, ∞] 由δA（X）给出：=（0，如果X∈ A.∞ 否则注意，对于每个Z∈ L′，我们有σA（Z）=(- δA）o（Z）=-δ*A(-Z） 。2.2金融系统和系统性风险我们考虑的是一个单期经济体，其中在终止日期的不确定性由概率空间建模(Ohm, F、 P）。在这种经济中，我们假设存在一个由d成员机构组成的金融系统（为了完整性，我们还考虑了d=1的情况）。这些d机构的可能终端资本头寸，即资产负债净额，属于容许空间X=X×·····×Xd L（右）。对于每X=（X。

，Xd）∈ X随机变量X，XD对应各成员机构的资本头寸。由于X包含所有有界随机向量，空间rd可以自然地视为X的线性曲面。我们用e表示所有分量都等于1的常数随机向量，即：=（1，…，1）∈ Rd.金融系统对系统性风险的影响通过影响图来衡量：X→ 其中E是L的合适容许子空间。因此，对于每个X∈ X，随机变量S（X）被解释为X构成的系统性风险的指标；见备注2.5。定义2.2。如果S满足以下五个性质，我们认为S是可容许的：（S1）区分：S不是常数；（S2）归一化：S（0）=0；（S3）M单调性：S（X）≥ S（Y）表示所有X，Y∈ X使得X≥ Y（S4）凹度：S（λX+（1- λ） Y）≥ λS（X）+（1- λ） S（Y）表示所有X，Y∈ X和λ∈ [0, 1];（S5）半连续性：地图X 7→ E[S（X）W]是σ（X，X′）-每W上半连续的∈ E′+。下一个命题为技术假设（S5）的成立提供了许多充分的条件。回想一下，X上的晶格操作是逐组件执行的。这里，我们使用标准符号表示随机变量序列的极限优势。定义2.3。对于每个序列（Xn），我们说S具有Fatou性质if X和每X∈ XXn号→ X a.s.，supn∈N | Xn |∈ X个==> S（X）≥ lim支持→∞S（Xn）。我们说，如果S（X）=S（min（X，0））对于任何y X，S是剩余不变的∈ 十、提案2.4。假设（S3）和（S4）保持不变。然后，（S5）在下列任何情况下成立：（i）X′iis每i的xi的范数对偶∈ {1，…，d}。（ii）Xi=LΦI和Φ*伊贝（例如，Xi=L∞) 每一个我∈ {1，…，d}和S具有Fatou属性。（iii）S是剩余不变的，具有Fatou性质。证据