基于可接受集的系统性风险度量的对偶表示

此外，我们用CLS表示关于拓扑σ（X′，X）的闭包算子。提案3.12。映射α，α+：X′→ [-∞, ∞] 满足以下特性（关于α+的陈述要求条（A）∩ E′++6=):（i） α和α+取区间内的值[-∞, 0].（ii）α和α+为凹形且正均一。（iii）α+≤ α在dom（α+）上相等。（iv）dom（α+） dom（α） cl（dom（α+） X′+。证据在整个证明过程中，我们确定了凸锥K 条（A）如备注3.10所示。所需的断言之后将取K=bar（A）和K=bar（A）∩ （E′）++∪ {0}).（i） 系统接受集的表示-1（A）在定理3.11的证明中建立，得到αK（Z）≤ σS-1（A）（Z）≤ 每Z为0∈ X′。（ii）为了显示αKis凹面，设置为所有Z∈ X′和W∈ E′Φ（Z，W）：=infX∈X{σA（W）+E[hX，Zi]- E[S（X）W]}。作为在Z和W中明显联合凹的函数的参数X的上限，我们认为Φ本身是j点凹的。因为αK（Z）=supW∈KΦ（Z，W）每Z∈ X′，我们推断αKis是凹的。为了证明αK是正齐次的，首先注意0总是属于K，因此αK（0）≥ 与点（i）一起，这意味着αK（0）=0。最后，对于Z∈ X′和λ∈ (0, ∞) 我们有αK（λZ）=supW∈KnσA（W）+infX∈X{λE[hX，Zi]- E[S（X）W]}o=λsupW∈KσAλW+ infX公司∈十、E【hX，Zi】- ES（X）λW= λsupW∈KnσA（W）+infX∈X{E[hX，Zi]- E[S（X）W]}o=λαK（Z），其中我们使用K是一个圆锥体。这表明αKis是正齐次的。（iii）很明显α+≤ α. 要显示dom（α+）上的α+=α，请取Z∈ dom（α+），注意α（Z）=supW∈钢筋（A）Φ（Z，W），α+（Z）=supW∈巴（A）∩E′++Φ（Z，W）。取W*∈ 巴（A）∩ E′++，使得Φ（Z，W*) 是有限的。对于每个W∈ 棒（A）组Wλ=λW+（1- λ） W*对于λ∈ [0, 1).

注意（Wλ） 巴（A）∩ E′++，所以α+（Z）≥ Φ（Z，Wλ）≥ λΦ（Z，W）+（1- λ） Φ（Z，W*)λ↑1.--→ Φ（Z，W）。在W上取上确界可传递α+（Z）≥ α（Z）。（iv）注意dom（α+） dom（α）按点（iii）计算。自α起≤ σS-1（A）正如第（i）点所证明的，我们还有（α） 巴（S）-1（A）） X′+。由于X′＋是σ（X′，X）-闭合的，所以dom（α）的形式仍然是s cl（dom（α+）。为此，让Z∈ dom（α），注意Φ（Z，W）对于某些W必须是有限的∈ 巴（A）。塔克斯*∈ dom（α+）与W*∈ 巴（A）∩ E′++，使得Φ（Z*, W*) 是有限的。然后，对于每个λ∈ [0，1]我们有α+（λZ+（1- λ） Z*) ≥ Φ（λZ+（1- λ） Z*, λW+（1- λ） W*) ≥ λΦ（Z，W）+（1- λ） Φ（Z*, W*) > -∞通过Φ的节理凸度。声明在s之后，让λ↑ 如备注2.5所述，S由∧诱导的情况下，大部分文献集中在冲击函数基于聚合函数∧：Rd的情况下→ R、 本小节的最后一部分致力于提供这种情况下α和α+的等效公式。我们关注正锥X′+，因为这两个映射在其他地方都取不定值。为了便于记法，对于每个Z∈ X′+we集+（Z）：=d[i=1{Zi>0}∈ F、 提案3.13。假设X对于特征函数的乘法是闭合的，即对于每个X∈ X和E∈ F我们有（EX，…，EXd）∈ 十、此外，考虑一个非常数、非减量的凹函数∧：Rd→ R满足∧（0）=0，并假设S（X）=∧（X）对于everyX∈ 十、然后，以下语句适用于每个非零Z∈ X′+：（i）我们有bar（A）∩ {W∈ E′+；E+（Z）}6上的W>0= 和α（Z）=supW∈条形图（A），E+（Z）上的W>0σA（W）+E{W>0}∧oZW公司W.（ii）如果bar（A）∩ E′++6=, 然后α+（Z）=supW∈巴（A）∩E′++σA（W）+EΛoZW公司W在这两种情况下，比率都是逐组件理解的。证据让K bar（A）为注释3.10中的凸锥，fix为非零元素Z∈ X′+。

根据Ararat和Rudloff【2】的指示，我们引用Rockafellar和Wets【32】中的定理14.60来获取INFX∈X{E[hX，Zi]- E[λ（X）W]}=Ehinfx∈Rd{xZ- ∧（x）W}i（3.3）每W∈ K（该结果要求X对于特征函数的乘法是闭合的）。回想一下K E′+，注意，对于每个W∈ K我们有INFX∈Rd{xZ- ∧（x）W}=ΛoZW公司W在{W>0}，0在{W=0}∩ （E+（Z））c，-∞ 在{W=0}上∩ E+（Z）。（3.4）根据αKand（3.3）的定义，αK（Z）=supW∈KnσA（W）+Ehinfx∈Rd{xZ- ∧（x）W}io。很明显，没有W∈ 带P（{W=0}）的条（A）∩ E+（Z））>0有助于上述上确界，因此αK（Z）=supW∈K、 E+（Z）nσA（W）+Ehinfx上的W>0∈Rd{xZ- ∧（x）W}io=supW∈K、 E+（Z）nσA（W）+Eh{W>0}infx上的W>0∈Rd{xZ- ∧（x）W}io=supW∈K、 E+（Z）nσA（W）+Eh{W>0}∧上的W>0oZW公司Wio，我们在最后一个等式中使用了（3.4）。d esir-ed断言后面接K=bar（A）和K=bar（A）∩ （E′）++∪ {0}).3.5支持函数σS的表征-1（A）正如我们已经注意到的，定理3.6中的对偶表示依赖于影响图和接受集A，通过系统接受集S的支持函数-1（A）。本小节的目的是提供依赖于“惩罚函数”α和α+的支持函数的等效描述。这是前一小节结果的直接结果。这里，我们用usc（α）表示α的σ（X′，X）-上半连续壳，即控制α的最小σ（X′，X）-上半连续映射（类似于α+）。定理3.14。支持函数σS-1（A）可表示为σS-1（A）=usc（α）。If bar（A）∩ E′++6=, 然后σS-1（A）也可以表示为σS-1（A）=usc（α+）。证据让K 条（A）应为注释3.10中的凸锥。在定理3.11的证明中，我们建立了-1（A）=\\Z∈X′{X∈ 十、E【hX，Zi】≥ αK（Z）}。（3.5）这意味着αK≤ σS-1（A）。

它来自σS的σ（X′，X）-上半连续性-1（A）我们也有usc（αK）≤ σS-1（A）。特别是，usc（αK）n取∞. 此外，注意USC（αK）（0）≥ αK（0）=0。因此，Zalinescu[34]中的命题2.2.7告诉我们，usc（αK）继承了αK，并具有正同质性。请注意，在（3.5）中，αkc可以被usc（αK）取代。因为只有σ（X′，X）-上半连续映射σ：X′→ [-∞, ∞) 这是凹面、正均质性和满意度-1（A）=\\Z∈X′{X∈ 十、E【hX，Zi】≥ σ（Z）}正是S的支持函数-1（A），参见Aliprantis和Border[1]中的定理7.51，我们得出结论usc（αK）=σS-1（A）亩持有量。所需的断言后面是K=bar（A）和K=bar（A）∩ （E′）++∪ {0}).很自然，我们会问，在定理3.14中取上半连续壳是否是多余的，因为α和/或α+首先是上半连续的，因此与s支持函数σs重合-1（A）。如以下示例所示，答案通常是否定的。示例3.15。让(Ohm, F、 P）是非原子的，考虑（X，X′）=（L）给出的对∞（Rd），L（Rd））和（E，E′）=（L∞（R） ，L（R））。固定λ∈ （0，1）和每个U∈ L（R）确定风险值和预期短缺水平λ处的U，由Varλ（U）：=inf{m∈ RP（U+m<0）≤ λ} ，ESλ（U）：=λZλVaRu（U）du。定义：X→ E和A E按设置（X）=dXi=1min（Xi，0），A={U∈ EESλ（U）≤ 0}.很快就会看到S-1（A）=X+，因此σS-1（A）=-δX′+=-δL+（Rd）。要确定α，取任意Z∈ X′+，回想一下F¨ollmer和Schied[19]中的定理4.52，σA=-δbar（A），bar（A）=W∈ E′+；W≤λE【W】.因此，我们推断α（Z）=supW∈E′+，W≤E[W]λinfX∈XE“dXi=1（西子- min（Xi，0）W）#=supW∈E′+，W≤E[W]λinfX∈X+E“dXi=1Xi（W- Zi）#。现在，如果Zjis对于某些j没有界∈ {1, . . .

，d}，然后P（W- Zj<0）>0，每W∈ 条形图（A）和infx∈X+E“dXi=1Xi（W- Zi）#≤ infn公司∈NE[n{W-Zj<0}（W- Zj）]=-∞.在这种情况下，我们有α（Z）=-∞. 否则，如果Z有界，则设置W=maxi∈{1，…，d}kZik∞∈ 条形图（A）并观察0≥ α（Z）≥ infX公司∈X+E“dXi=1Xi（W- Zi）#=0。总之，我们有α=-δX+=-δL∞+（Rd）。自L起∞（R） 6=L（R）当基本概率空间是非原子的时，我们得出σS-1（A）6=α。同样的结论也适用于α+（注意，bar（A）∩ E′++6=). 这是因为，根据命题3.12，我们总是有α+≤ α . 或者，我们可以重复上述论点，并在我们的情况下发现α+=α。备注3.16。通过将定理3.6中的对偶表示与σS的表示相结合-1（A）在定理3.14中得到，我们看到ρ（X）=supZ∈C{usc（α）（Z）- E[hX，Zi]}=supZ∈X′{usc（α）（Z）- δC（Z）- E[hX，Zi]}（3.6）对于每个X∈ 十、如果等式σS-1（A）=α保持不变，那么我们可以将上半连续壳放在表示式（3.6）中，得到ρ（X）=supZ∈C{α（Z）- E[hX，Zi]}=su-pZ∈X′{α（Z）- δC（Z）- E[hX，Zi]}（3.7）对于每个X∈ 十、人们可能想知道，即使等式σS-1（A）=α不成立。注意usc（α）- δCis凹和σ（X′，X）-上半连续和α- δCis凹面。因此，“简化”表示法适用于且仅适用于ifusc（α- δC）=usc（α）- δC。α+而不是α也适用（前提是bar（A）∩ E′++6=). 在没有对S和A进行额外假设的情况下，这个等式是否成立尚不清楚，因为一般来说，不可能从上部半连续船体中取出指示器功能。例如，考虑以下简单情况：Ohm = {ω} d=2。在这种情况下，我们有标识（X，X′）=（R，R）。

考虑凹正齐次函数f和由f=-δD，D={z∈ R0≤ z<z}∪ {（0，0）}，C={z∈ Rz=z=1}={（1，1）}。那么，很容易看出usc（f- δC）=-δ6= -δ{（1,1）}=usc（f）- δC.3.6恒等式σS的条件-1（A）=αto hold我们从定理3.14知道，系统接受集的支持函数-1（A）总是包含惩罚函数α的上半壳。然而，如例3.15所示，在一些简单的情况下，映射α不能是上半连续的，因此等式σS-1（A）=α不成立。在本小节中，我们建立了各种有效的条件来保持这种平等。显然，人们也可以问σS-1（A）=α+，这将自动执行α的语句。虽然很容易找到适用的例子，但本节中的任何条件都不适用于α+。作为第一步，我们强调所需的等式可以用一个合适的极大极小问题等价地表示。引理3.17。让Z∈ X′，并定义映射K:X×E′→ [-∞, ∞] 通过设置kz（X，W）：=σA（W）+E[hX，Zi]- E[S（X）W]。以下陈述是等效的：（a）σS-1（A）=α。（b） α是σ（X′，X）-上半连续的。（c） 对于每个Z∈ X′我们有INFX∈XsupW公司∈E′KZ（X，W）=supW∈E′infX∈XKZ（X，W）。证据定理3.14明确了（a）和（b）之间的等价性。与（c）等价，fix Z∈ X′，注意α（Z）=supW∈E′infX∈XKZ（X，W）由α定义。

还有待证明σS-1（A）（Z）=infX∈XsupW公司∈E′KZ（X，W）。考虑辅助功能fZ:X→ (-∞, ∞] 定义为Fz（X）：=E【hX，Zi】+δS-1（A）（X）和FZ:X×E→ (-∞, ∞] 定义为Fz（X，U）：=E[hX，Zi]+δA-S（X）（U）。请注意，对于每个X∈ X映射FZ（X，·）是凸的，下半连续且满足（FZ（X，·））*（W）=supU∈E{E[UW]- FZ（X，U）}=supU∈E、 U+S（X）∈A{E[UW]- E[hX，Zi]}=supV∈E{E[（V- S（X））W]- E【hX，Zi】}=-σA(-W）- E[hX，Zi]+E[S（X）(-W）]=-KZ（X，-W）对于每个W∈ E′。作为FZ（X，0）=每X的FZ（X）∈ X，我们可以应用Fenchel-Moreau得到σS-1（A）（Z）=infX∈XfZ（X）=infX∈XsupW公司∈E′{E[0W]- （FZ（X，·））*（W）}=infX∈XsupW公司∈E′KZ（X，W）。证据到此结束。前面的引理是这样的，对于每个Z∈ X′，恒等式σS-1（A）（Z）=α（Z）等价于函数KZ存在鞍值。不幸的是，标准极大极小定理，见。g、 Fan【17】，依赖于在我们的设置中不成立的紧凑性假设。本小节的其余部分将致力于展示一系列情况，其中恒等式有解，或者等效地，上述极大极小问题有解。线性案例我们首先在简单案例中证明所需的等式，其中影响图由所有金融机构的汇总或合并资本头寸给出。在这种情况下，对验收集没有限制。提案3.18。假设每个i的Xi=E f∈ {1，…，d}。如果S（X）=Pdi=1xi，每X∈ X，则α=σS-1（A）。证据首先，我们证明了对于每个Z∈ X′+我们有σS-1（A）（Z）=（σA（Z），如果Z=···=Zd，-∞ 否则要看到这一点，首先假设P（Zi>Zj）>0，对于一些不同的i，j∈ {1, . . .

，d}和f或每n∈ N定义随机向量Xn∈ X byXnk=-n{Zi>Zj}如果k=i，n{Zi>Zj}如果k=j，否则为0。因为S（Xn）=0∈ A代表每n∈ N、 我们显然有σS-1（A）（Z）≤ infn公司∈NE【hXn，Zi】=单位：fn∈NnE[{Zi>Zj}（Zj- Zi）]=-∞.接下来，假设Z=···=zd，注意，在这种情况下，我们有σS-1（A）（Z）=infX∈S-1（A）E[S（X）Z]=σA（Z）。这证明了上述说法。现在，对于每个Z∈ X′+注意α（Z）=supW∈bar（A）（σA（W）+infX∈XE“dXi=1Xi（Zi- W）#）=（σA（Z），如果Z=···=Zd∈ 巴（A），-∞ 否则这将产生所需的断言。二次曲线情形接下来，我们处理S是正齐次的，A是圆锥的情形。在这种情况下，我们证明α是由合适的指标函数给出的，并为σS之间的质量提供了一个通用的有效条件-1（A）和α。在稍后的阶段，我们将此一般条件应用于各种具体情况。引理3.19。假设S是正齐次的，A是圆锥。那么，我们有α=-δDforD：={Z∈ X′+；W∈ 巴（A）：E【hX，Zi】≥ E[S（X）W]，十、∈ X}。证据很明显，对于每个Z∈ D存在WZ∈ 条（A）使∈X{E[hX，Zi]- E[S（X）WZ]}=E[h0，Zi]- E[S（0）WZ]=0。因此，对于每个Z∈ D我们有0个≥ α（Z）≥ σA（WZ）+0=0，表示α（Z）=0。现在，fixz∈ X′\\D，并观察到∈ 条形图（A），我们发现XW∈ X使得E【hXW，Zi】<E【S（XW）W】。然后，infX∈X{E[hX，Zi]- E[S（X）W]}≤ infn公司∈N{E[hnXW，Zi]- E[S（nXW）W]}=infn∈N{N（E[hXW，Zi]- E[S（XW）W]）}=-∞.这意味着α（Z）=-∞ 并得出结论。引理3.20。假设S是正齐次的，A是圆锥。此外，假设S（e）∈R+\\{0}和该条（A）∩ {W∈ L（R）；千瓦k≤ 1} 是σ（E′，E）-紧的。那么，σS-1（A）=α。证据回想一下σS-1（A）=α成立的充要条件是α是σ（X′，X）-上半连续的。因此，根据Emma 3.19，可以证明D是σ（X′，X）-闭合的。

为此，取一个网（Zγ） D收敛到某个Z∈ 拓扑σ（X′，X）中的X′。请注意，Z∈ X′+。通过定义D，对于每个γ，我们发现γ∈ bar（A）使e[hX，Zγi]≥ E[S（X）Wγ]每X∈ 十、为了建立所需的封闭性，足以证明（Wγ）允许一个子网收敛到拓扑σ（E′，E）中的某个bar（a）元素。注意，bar（A）={σA≥ 0}A的二次锥度，表明条（A）是σ（E′，E）-闭合的。自bar（A） E′+，我们看到E[he，Zγi]≥ E[S（E）Wγ]≥ 0，或相当于[he，Zγi]S（e）≥ E[Wγ]≥ 0，对于每个γ。自E[he，Zγi]→ E[he，Zi]，网络（Wγ）在L（R）中有界，因此，通过使用紧性假设，它在拓扑σ（E′，E）中允许一个收敛子网。根据bar（A）的σ（E′，E）闭度，我们推断极限属于bar（A）。证据到此结束。下一个命题描述了一系列情况，在这些情况下，我们可以确保上述紧性条件，从而可以确定σS-1（A）=α。提案3.21。假设S是正齐次的，A是圆锥。此外，假设S（e）∈ R+\\{0}。那么，σS-1（A）=α，在以下每种情况下：（i）Ohm 是有限的。（ii）A是多面体，即有e xi st W，西尼罗河∈ E′+和a，一∈ 例如a=n\\i=1{U∈ EE【UWi】≥ ai}。（iii）A由预期短缺引起，即存在λ∈ （0，1）使得a={U∈ EESλ（U）≤ 0}.证据（i） 如果Ohm 是有限的，空间E′是有限的，并且由于bar（A）={σA，表3.20中的紧度条件明显满足≥ 0}始终是σ（E′，E）-闭合的。（ii）如果A是多面体，则很容易看出杆（A）是一个完全生成的凸锥，即存在W，西尼罗河∈ E′+，使得bar（A）=（nXi=1λiWi；λ，…，λn∈ [0, ∞)).注意，对于所有λ。

，λn∈ [0, ∞) 我们有nXi=1λiWi=nXi=1λikWik。因此，bar（a）∩ {W∈ L（R）；千瓦k≤ 1} 很容易看出是σ（E′，E）-紧的，我们可以应用yma 3.20来获得所需的结果。（iii）如例3.15所示，如果A是由预期短缺引起的，则BAR（A）=W∈ E′+；W≤λE【W】.因此，我们很容易看到atbar（a）∩ {W∈ L（R）；千瓦k≤ 1}  {W∈ L∞+（R） ；W≤ λ-1}.自设置栏（A）起∩ {W∈ L（R）；千瓦k≤ 1} isσ（L∞（R） ，L（R））-闭，它遵循BanachAlaoglu定理，它是偶σ（L∞（R） ，L（R））-紧凑型。作为E L（R），我们自动具有σ（E′，E）紧性，我们可以通过引理3.20得出结论。如果S的图像与AAs的内部相交是最后一步，我们遵循Rockafellar【31】建立恒等式σS-1（A）=在适当的内部条件下的α，这也出现在Armenti等人【3】和Biagini等人【6】中。提案3.22。（i） 如果存在X*∈ X使得S（X*) 长到A的σ（E，E′）-内部，则α=σS-1（A）。（ii）假设E′是E的范数对偶。如果存在X*∈ X使得S（X*) 属于A的标准内部，则α=σS-1（A）。证据（i） 通过假设，我们找到了零U的σ（E，E′）邻域 E使得S（X*) + U A、 现在，确定元素Z∈ X′并定义映射ψZ:E→ [-∞, ∞] 通过设置ψZ（U）：=infX∈XFZ（X，U）。这里，我们采用了引理3.17中引入的符号。很容易证明FZis是联合凸的，因此ψZis是凸的。注意ψZ（U）≤ FZ（X*, U） =E[hX*, Zi]对于每个U∈ U、 所以ψZis从上方有界于U。