复杂投资组合反向压力测试的三联法

由于它是次可加的，而VAR不是，对于一些简单的非线性投资组合，例如同一基础上的一些货币外卖空和卖空组合，MaxERST已被证明是比VAR更可靠的限制系统。对于qα，是χpnq分布的分位数，limn~n8qα”8。因此，如果S是正态分布的，则投资组合面临的风险因素的数量n越高，MaxERST相对于VaR的极端程度就越高（11）。这可能会对不相关因素产生维度依赖性问题，如[MAS17]或[BRE+09]中所述并在第2.5节中讨论。这在历史VaR中是可能的，但仅适用于历史/过去情景。MaxERST最早于[STU97]引入，并表示为最大损失（ML）。i、 e.绝对损失是指MaxERSTpportfolio 1q ` MaxERSTpportfolio 2qěMaxERSTpportfolios 1+2qě0。●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●-0.04-0.02 0.00 0.02 0.04-0.04-0.020.000.020.04 11月。2011 SP 500欧元斯托克50●●95%VaR 95%ML和scenarioPortfolio directionωS95%图3：线性投资组合的合理性驱动ERST。两个动量指数（灰色）的300个数据点用于计算∑。似然性水平为α“95%，E95%为黑色。根据（7）和（10）知道VaR和MaxERST，显示其相应的Iso-P&L线。2.4非线性P&L的应用对于非线性P&L，考虑二阶近似值。

因此：P&LpSq“SJAS”BJS（12），其中A和B分别是投资组合的二阶和一阶敏感性。二阶敏感性是对称的，A是对称的，并且在最一般的情况下：A“>>--------------…BP&LBSIBSJP&LBSiBP&LBSiBP&LBSjBSi…BP&LBSiBσjBP&LBSjBσi…BP&LBσiBσjBP&LBσiBP&LBσjBσi…fifffifffifffifffiffib“>>--------------…BP&LBSi…BP&LBσi…fiffiffiffiffiffiffl（13）对于P&L的二次型，（8）的分辨率更复杂。objectivefunction可能不是凸函数，因此Kuhn-Tucker条件是不相关的。幸运的是，存在一种可以解决此问题的优化算法：Levenberg-Marquardtalgorithm。它在[NW99]并在[STU97]中应用，用（12）解（8）。对于与第2.3节相同的两个动量指数，一些A和B的结果如图4所示。此外，与第2.3节相反，MaxERST不再与VaR呈线性关系。这一结果证明了ERST而非VaR在非线性投资组合中的用途，因为该方法对投资组合经理具有附加值，并且是VaR的连续统一体。图5显示了上述非线性。然而，附录A中证明了B“0保持线性的具体情况。●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●-0.04-0.02 0.00 0.02 0.04-0.04-0.020.000.020.04 11月。2011 SP 500欧元斯托克50●●95%VaR 95%ML和scenarioS95%图4：非线性投资组合的合理性驱动ERST。与图3相反，由于A，所以SO-P&L线是弯曲的。

使用Levenberg-MarquardTopOptimization算法，可以找到与95%合理性约束内的最大损失相对应的场景S95%。●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●-10-5.-6.-4.-2VaR 95%RST最大损失95%-0.50.00.5●00.751.5Σ “"1 ρρ 1A“100”1B“β2ββ值ρ值图5：α“95%和两个风险因素的VaR和MaxERST输出之间的比较。为了简单起见，后者使用单一波动率进行模拟。对于β‰0，VaR和MaxERST之间的线性关系消失。对于β“1.5，VaR与正相关关系不大，而MaxERST与正相关关系不大。因此，在这里，后者是一个更有趣的风险度量，因为它对相关变化的反应更强烈。2.5与[MAS17]和[BRE08]中强调的维度依赖性有关，ERST方法的输出直接取决于问题的维度，即所考虑的风险因素的数量n。事实上，（8）中的qα随n而变化。如前所述，qα是正态分布S的χpnq分布的分位数。因此，即使风险因素在投资组合中的权重为零，也会对输出产生影响。虽然这可能被视为不稳定的来源，但从投资组合管理的角度来看，这也是积极的。这实际上是一种解释与间接驱动变化的外部但有意义的风险因素的相关性的方法。尽管如此，投资组合和风险经理仍有责任仔细选择要考虑的外部风险因素。此外，修改问题的公式可以解决维度依赖性问题。事实上，[ROU97]通过将（8）中的分位数qα替换为给定历史场景SHusing（2）的可行性，克服了这个问题。

这种方法更稳定，因为其合理性仅随实际依赖的风险因素而变化。3从损益驱动的ERST开始，将[MAS17]中表达的想法扩展到非线性投资组合。为此，设计并测试了一种新的、经过改编的Levenberg-Marquardt优化算法。与第2节相比，这种方法的主要优点是克服了第2.5.3.1节问题陈述中所述的问题。鉴于第2.5节，最好（8）中的约束独立于平方Mahalanobis分位数。在这里，颠倒问题公式是可行的，即找到具有给定损益最佳合理性的场景。这为本文讨论的第三种也是最后一种方法铺平了道路。优化问题变成：minP&LpSq“pMahapSq（14）【MAS17】中讨论了线性损益的情况，但非线性损益的解决方案尚未解决。本节的其余部分重点关注这一点。3.2非线性损益的解决方案（14）带来了损失L：minSJAS\'BJSdlSJ∑1S“min^SJ^a^S\'BJ^SdL}S}（15），其中变量的变化“U'JS使用∑和：^A“U AUJ（16a）^B”U B（16b）的Cholesky分解矩阵执行。更改变量允许二次优化问题使用中心碗而不是椭球。因此，该问题简化为查找最接近的场景^S到原点，并与值l的iso损失曲线相关。该问题与第2节中的Levenberg-Marquardt优化问题有关。然而，这里的约束不一定是凸的。

因此，引入了该方法的新版本。从[NW99]定理4.3中证明的等价性可以得出，当且仅当isa解验证了以下条件时，对于λm，^A的最小值和给定u：p^A `uIq^SB（17a）up^SJ^A^SBJ^Slq“0（17b）umaxp0，'λmq（17c），多维优化问题（15）在约束（17a）到（17c）下简化为标量优化问题. 这类问题可以迅速解决。如下所述，找到最佳u的对分算法允许直接推断^S。对于B“pπ，…，πnq对称矩阵的正交对角化基^A：^Siσiπi（18）^B”"yiβiπi（19）定义pλiq，考虑到（17c），在B中表示的（17a）的特征值为：σi“'βiλi'u@i R Im（20a）σj”'βjλm'@j p Imifu‰λm（20b）σjP R和βj“0@j p Imifu”’λm（20c）因此，如果满足（20b）且多个^S由pσjqjPImif（20c）参数化，则可以找到唯一的^S。这一结果很重要，因为它说明了^S的存在和唯一性的不同情况。在这方面，它比[NW99]和[STU97]中分析的原始Levenberg-Marquardt问题得到的函数表达式更复杂。如果f的不同动力学如所示，则在B中表达（17b）会产生upf puq'lq“0”，其中：fpuq'i''i''i'i'''βi'i'i''i''i'i'''''''''i''''m''''m'jPImσjifu'''''''m（21b）图6说明了以下关于^A的讨论：本文没有提供这一陈述的严格证据，类似于[NW99]中的陈述对于凸损益。为了清晰和适用性，本文表明，该语句解决了优化问题（14）的所有变化。ofpuq'λm'BJA'1OFPuq'λm“0ofpuq'λm图6：f puq当'λ不负、零值或正值时。

这也意味着^A是严格、半严格或非正定义。u方面的定义域（17c）。1、对于^A正定义，λma0和uě0 per（17c）。（a） 如果u“0，^S”^a'1'B per（17a）和P&Lp^Sq'BJ^a'1'B'BJA'1B，对应于全球最小损益。只要全球最小值的情景比损失L的最可能情景更合理，则选择u的该值。（B）如果u‰0，则根据（17b）获得损失L. 然而，此类损失必须大于全局最小损益。如果连续且不断增加，则单个u对应于任何损失，并且可以使用对分算法进行近似。2、对于半正定义，\'λm“0和uě0。（a）如果u”0，（20c）适用。根据（21b），损益不随任何σj、j P i变化，相应的风险因素变得不相关。因此，问题的维度减少，变得类似于1a。（b）如果u‰0，则损失L根据（17b）获得。如lim'λmf“8和lim'8f“0和f仍然是连续且不断增加的，单个u对应于任何损失，并且可以使用二分算法再次近似。3.对于任何其他^a，'λma0和uě'λm。（a）如果u”'λm，（20c）适用。根据（21b），P&L仍然随σj、j P Im变化。约束（17b）变为f Puq”L和根查找算法（如Newton-Raphson）可以确定Immust采用的值σj、j P。解决方案可能是唯一的，也可能不是唯一的。（b） 如果u‰0，则2b适用。这表明，只能解决（15）的损失（ld0）。这实际上是问题本身形成的直接后果。事实上，空场景总是按照（12）返回零值损益。此外，空场景返回（15）中目标函数的下边界。

因此，不能将利润输入（pa0）作为空方案获得，因为这两种方案都会在目标函数中返回较低的值，并且会考虑损益约束。然而，产生有利情景是非常重要的-60-50-40-30-20-10  0  0   0   0   0   0   0  0   0   0   0  0  0  0  10  20  30  40  50  60  70  80  90  100 -10-5 0 5 10-10-50510●-100-100-90-90-80-80-70-70-70-70-60-60-60-50-50-40-40-30-30-20-20-10-10  0  0  10  10  20  20  30  30  40  40  50  60  70  80  90  100 -10-5 0 5 10-10-50510● ●-100-100-100-100-90-80-80-80-80-80-80-70-60-50-40-30-20-20-10-10-5 0 5 10-10-50510●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●图7：当^S由两个风险因素组成时，问题（15）的解决方案。根据损益表达式，可以找到一个（左）、两个（中）或一个完整的（右）解决方案。评估投资组合损益的不对称性。

因此，对于pa0，（15）可以改写如下：min'r^SJ^A^S'BJ^Ssd'p}S}（22）3.3非线性p&L的应用在图7.4中，使用两个风险因素对组合测试了自适应的Levenberg-Marquardt算法。本节简要介绍了所有三种方法的可选但有用的工具。它们要么解决了降低问题维数的挑战，要么解决了（2）中协方差矩阵的压力。4.1降低维度许多投资组合具有大量风险因素。上述二次优化工具仍然可以运行，但输出变得更加难以解释。为了解决这个问题，下面提供了两种减少风险因素数量的方法。当然，这些方法意味着在输出的准确性和输入数据的数量之间进行权衡。4.1.1依靠第一个主成分，可以使用主成分分析（PCA）从分析上降低维度。PCA量化多元随机变量X的方差协方差矩阵∑如何响应每个分量pXiqi的变化。PCA通过确定∑所暴露的正交方向（也称为主成分或特征向量）来实现这一点。Levenberg-Marquardt算法具有最大特征值的方向，或[STU97]中强调的第一主成分，是时间多项式，因此非常适合于非凸优化问题。（FPC）是∑最容易接触到的。对∑影响最大的西齐是FPC中绝对值系数最高的西齐。事实上，他们引领着FPC的方向。将按风险因素对历史损益进行主成分分析，即当分别应用于每个风险因素时，对从等式（12）获得的序列进行主成分分析。

然后根据FPC中的绝对值系数选择n个最重要的因素，并对缩减后的投资组合进行RST。4.1.2因素模型如果FPC对所有风险因素进行同等权重，则之前的方法不再适用。投资组合的方差由所有风险因素按相等比例解释。在这种情况下，最好按行业、市场、国家、参考指数等集群对风险因素进行分组，以降低问题的维度，并保持满意的损益解释。具体而言，计算每个集群中风险因素的贝塔值。然后可以直接在集群上执行任何其他方法，从而减少维度。最后，可以根据风险因子的betavalue和RST的输出重构风险因子的变化。【PW19】最近开发了更详细的RST因子模型，具有正相关风险因子的合理性约束。4.2强调∑情景的合理性不仅取决于风险因素分布（即正态分布或学生t分布）的选择，还取决于（2）中的协方差矩阵∑。如果∑对应于以重相关和高波动性为特征的特定历史压力期，则相应的情景具有较低的马氏距离。相反，如果∑对应一个平静期，同样的情景具有更高的马氏距离，并且变得不太可信。∑因此显著影响RST输出。强调∑导致我们强调投资组合，这在风险管理中具有优先重要性。图8提供了两种方法，并对2018年2月的市场危机进行了说明，美国的市场波动率大幅上升，而短期下跌幅度较小。这场危机使所谓的独立溢价策略重新关联起来。

在长/短策略中也出现了反向去相关：两个历史上正相关的资产（例如，2018年2月4日的欧洲斯托克50指数和标准普尔500指数隐含波动率和现货水平）的短线上涨，而长线下跌。4.2.1收缩到一个短周期该方法从一个短周期内（通常从一周到一个月）计算的协方差矩阵∑中得出一个容许∑。计算马哈拉诺比斯距离需要正不确定性-见（2）。然而，如果风险因素的数量超过时间序列的长度，∑不能是正定义-见附录B中的证据。使用更长的时间窗口将适得其反，因为相关平均值的变化，与波动环境相对应的情景不再合理。（a） 2018年2月历史相关矩阵（b）收缩近似值（c）从2018年全年开始的单因素应力模型近似值correlationmatrix和θ“0.25。图8：2018年2月历史相关矩阵（a）如果风险因素的数量超过时间序列的长度，则不是正定义。然而，可以根据收缩率（b）或单因素应力模型（c）近似使用正定义矩阵。三组高度相关的数据（蓝色）由（自上而下）股票指数、单只股票和隐含波动率组成。正如所料，现货水平和挥发度呈负相关（红色）。一种更好的方法是使用收缩方法强制∑的正不确定性，其中许多方法在【BBP16】中介绍和比较。收缩的优势在于，它尽可能保留了危机期间观察到的相关性和波动性模式。例如，在图8中，风险因素高度相关块（蓝色）内的去相关（红色）保持不变。