复杂投资组合反向压力测试的三联法

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英文标题：
《A Triptych Approach for Reverse Stress Testing of Complex Portfolios》
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作者：
Pascal Traccucci, Luc Dumontier, Guillaume Garchery and Benjamin Jacot
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  The quest for diversification has led to an increasing number of complex funds with a high number of strategies and non-linear payoffs. The new generation of Alternative Risk Premia (ARP) funds are an example that has been very popular in recent years. For complex funds like these, a Reverse Stress Test (RST) is regarded by the industry and regulators as a better forward-looking risk measure than a Value-at-Risk (VaR). We present an Extended RST (ERST) triptych approach with three variables: level of plausibility, level of loss and scenario. In our approach, any two of these variables can be derived by providing the third as the input. We advocate and demonstrate that ERST is a powerful tool for both simple linear and complex portfolios and for both risk management as well as day-to-day portfolio management decisions. An updated new version of the Levenberg - Marquardt optimization algorithm is introduced to derive ERST in certain complex cases.
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中文摘要：
对多元化的追求导致了越来越多的复杂基金，它们拥有大量的策略和非线性回报。新一代另类风险溢价（ARP）基金就是近年来非常流行的一个例子。对于这类复杂的基金，行业和监管机构认为反向压力测试（RST）比风险价值（VaR）更具前瞻性。我们提出了一种具有三个变量的扩展RST（ERST）三联法：合理性水平、损失水平和情景。在我们的方法中，通过提供第三个变量作为输入，可以导出其中的任意两个变量。我们提倡并证明，ERST对于简单的线性和复杂的投资组合以及风险管理和日常投资组合管理决策都是一个强大的工具。介绍了一种更新的新版本的Levenberg-Marquardt优化算法，以推导某些复杂情况下的ERST。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> A_Triptych_Approach_for_Reverse_Stress_Testing_of_Complex_Portfolios.pdf (745.15 KB)

2022-6-24 06:06:15 上传

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关键词：投资组合 压力测试 Optimization Quantitative Applications

对复杂的PortfoliosPascal Traccucci、Luc Dumontier、Guillaume Garchery和Benjaminjacotgglobal进行反向压力测试的三联法，la FrancaisePartner风险总监、LFISPartner因子投资总监和la FrancaiseJune 27 LFISQuantitative风险经理定量研究总监，2019年，对多元化的追求导致了越来越多的具有大量策略和非线性回报的复杂基金。新一代的AlternativeRisk Premia（ARP）基金就是近年来非常流行的一个例子。对于这类复杂的基金，行业和监管机构认为反向压力测试（RST）比风险价值（VaR）更具前瞻性。我们提出了一种扩展的RST（ERST）三联图方法，该方法包含三个变量：可行性水平、损失水平和情景。在我们的方法中，任何两个变量都可以通过提供第三个变量作为输入来推导。我们提倡并证明ERST对于简单线性和复杂投资组合以及风险管理和日常投资组合管理决策都是一个强大的工具。介绍了一种更新的新版本theLevenberg-Marquardt优化算法，用于推导某些复杂情况下的ERST。关键词：反向压力测试、非线性投资组合理论、二次约束二次规划本文反映了作者的观点，而不一定是他们的雇主的观点。导言：对投资组合理论的案例进行了挖掘，以支持包含越来越多因素的投资解决方案的开发。在过去十年中，学者和从业者已经表明，传统资产类别对多元化的影响有限，尤其是在市场低迷时期。

例如，【Ins12】显示，股票（甚至与基础设施、房地产、高收益债券等替代资产相结合）和ZF债券仅代表两个宏观经济风险因素：GDP增长和通货膨胀。然而，近年来，投资者越来越担心，由于全球货币政策极其宽松，这些资产类别的成本高昂。作为回应，学者和从业者深入研究了现代投资组合理论（MPT），以确定作为ARP解决方案支柱的微观经济因素。在[MES+12]中，ARP 1.0方法结合了10到15种不同的长/短期投资组合，在更广泛的传统资产类别范围内捕获标准投资风格，如价值、利差、动量、低风险或流动性。为了进一步多元化，ARP2.0方法结合了多达30种策略，包括投资银行风格的溢价，可能使用具有二次利润的工具。[DG15]给出了商品市场中这种溢价的一个例子。随着复杂投资组合中因素的数量增加，风险也随之增加。[HLZ16]自20世纪60年代CAPM和市场因素被确定以来，因子发现呈指数级增长。“因子动物园”现在包括数百个因子。这引发了两个担忧。所有因素都不会实现模拟回报，并且存在一种风险，即给定的“新”因素只是现有因素的另一种表达，可能会带来相关回报——参见【SLP17】。

这尤其危险，因为投资组合波动性的校准误差会随着其包含的因素数量的增加而增加，如果这些因素（理论上预计是不相关的）最终会重新紧密相关，那么这种情况将更加严重。如[DUM16]所示，分别包含10个和30个理论上不相关因素的等风险贡献（ERC）投资组合的波动率将分别翻倍和超过三倍，实现了30%的成对相关性。此外，成对相关性往往会随着个人波动率水平的增加而增加，从而进一步增加投资组合波动率的校准误差。由此产生的风险是，当投资组合波动性上升时，个别策略会准确地传递负回报，从而导致权重。许多风险管理框架无法正确考虑非线性风险，也无法评估与组合异常多的策略相关的损失风险。具体而言，历史VaR是一个即时风险指标，与早期确定的情景不一致，因此需要进行补充压力测试。要构建压力测试工具，必须简化数据集，使用历史或预先定义的场景，而不必量化其合理性。因此，参数VaR依赖于amodel，以从VaR形式的分析框架中获益，并使该VaR对模型的所有参数具有敏感性。这需要解决几个数值问题，尤其是在二次损益（P&L）的情况下。本文介绍了一种创新的方法：ERST，它继承了[MAS17]和[PW19]中的工作。这种方法能够以较低的技术成本提供三个参数中的两个，前提是第三个参数作为输入。这三个参数分别是情景、合理性水平和损失水平（见图1）。

结果是一个更有意义的风险度量，对应于一个明确确定的情景。在下文中，S被定义为ascenario。这是一个向量，其长度n等于投资组合暴露的风险因素的数量。此处包含数量有限的风险因素，特别是投资组合敏感的每日收益率或隐含波动率Δσjt的变化。还可以纳入其他风险因素，如货币汇率、股息、利率或回购利率以及其他敏感性，如θ。总而言之：芝加哥大学的约翰·科克伦在2011年向美国金融协会发表的总统演讲中创造了这个术语。他使用了一种从莱文伯格·马夸德（Levenberg-Marquardt）推导出来的算法来处理复杂的问题。情景似然性和LVaRStress测试图1：扩展反向压力测试（ERST）的三联法以红色、绿色和蓝色显示。输入要么是一个场景，要么是一个合理性，要么是一个损益表，而输出则是另外两个。此外，风险因素的协方差矩阵将表示为∑。1从情景开始，情景驱动的ERST方法适用于考虑给定相反或最佳情景的投资组合经理。为了评估此类情景的合理性，计算情景的概率α与Sis相等或不太极端。如果α太高，则导出更合理的Sis版本，并建议投资组合经理。1.1测量合理性ERST在很大程度上依赖于合理性（或可能性）的概念来区分生成的场景。文献[GKK13][BRE08]中存在多种合理性度量。在本文中，似然性是根据马氏距离进行量化的。后者以标准偏差为单位测量平均情景u的多变量移动幅度，单位为S。

因此，它在多维空间中类似于Z分数Z或标准化变量的概念。提醒：z“x'uxσx（1），其中x是随机变量x的平均值ux和标准偏差σx的实现。马氏距离定义如下：马氏q“pS'uqJ∑1pS'uq（2）与其他度量不同，马氏距离既直观又易于使用。马氏距离的以下特征值得注意：1.低（或高）马哈拉诺比斯距离是一个非常合理（或不太可能）的场景的特征。2.MahapSq“Ris半径为R的椭球的表面。椭球内的点的Mahalanobis距离小于R。这些点离表面越远，它们离中心越近，越可信。3.假设S服从多元正态分布，MahapSq服从χpnqd分布，如[STU97]所示. 因此，χpnq密度的α分位数是椭球体的平方半径，其中α%的多元正态分布在其中。此后，该椭球体称为Eα。如图2所示。马氏距离适用于S的任何椭圆多变量分布，其中包括多变量正态分布以外的密度，例如，Student分布。这是最重要的，因为这种类型的分布通常比正常分布更适合历史分布，尤其是关于脂肪的分布。现在只需使用（2）即可轻松评估扫描的合理性。假设为正态分布，将所得值与χpnq的分位数进行比较，以确定与S相等或不太极端的情况的可能性。

对于其他椭圆分布●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●-0.3-0.2-0.1 0.0 0.1 0.2 0.3-0.3-0.2-0.10.00.10.20.3x[，1]x[，2]图2：具有椭圆密度的双变量随机变量的合理性域。内部（分别为外部）椭圆对应于25%（分别为95%）分位数。在中间相位对应于50%和75%的分位数。如果马氏距离定律未知，则存在数值解。首先，确定最佳拟合的椭圆分布。其次，对S进行蒙特卡罗模拟。然后，计算了马氏距离的近似分位数，并推导出概率α0，近似扫描。1.2拟合给定场景的合理性如果α或α0接近给定阈值αmax，则在可容许椭球Eαmax之外。在这种情况下，最接近子Eαmax的容许场景由同态定义。这一定义在STHUS方面提供了最小的修正，尽可能保留投资组合经理的直觉。为清楚起见，作出了无约束假设u“0”。然后：~S”KS，K P R（3）作为▄S P Eαmaxit得出▄SJ∑'1▄S”qαmaxit，其中qαmaxis是马氏距离平方密度的αmaxquantile。

该约束导致：△S？qαmaxSaSJ∑S（4）1.3应用程序投资组合经理运行两种长/短策略，每种策略基于不同的利差：第一种基于股票指数，另一种基于另一种资产类别。利差之间的相关性ρ低：ρ“0.25。为了论证，假设利差具有恒定的年波动率σ“10%。管理人想知道，在这些假设下，利差情景是否有很强的概率（例如50%）在一年内产生10%和20%的损失。基于Y”gpsq的密度推导公式，还存在一种更数学的方法，知道S的密度f：fYptq“f"g'1pqdg'1dtpqq。这里，g对应于（2）中引入的马氏距离. 虽然从理论角度来看更有趣，但这种解决方案可能会导致很长的复杂方程。年导致这种情况：S“r'10%，'20%S（5）在本例中，假设利差具有正态分布或学生的2个自由度分布。然而，在现实中，参考椭圆分布的参数将使用从历史分布衍生的最大似然估计值来确定。因此，SCOR响应88.2%（分别为68.0%）正态（分别为学生t）分布的概率。因此，经理心中的损失比预期的更不合理。在（4）中设置αmax“50%”，经理感兴趣的情景为：~S”r'7.5%，正常风险因素为'15.0%（6）“对于学生的t风险因素，r'5.8%，'11.5%s因此，设定的情景尊重投资组合经理预期的方向。只有冲击的幅度被改变，以符合情景合理性约束。显然，有人可以说，该示例中使用的相关性和波动性并不反映Soccurs的危机环境。

因此，这一示例的扩展将强调相关性和波动性，以最好地反映金融危机环境。该过程在第4.2.2节中进一步解释，从合理性开始，合理性驱动的ERST返回给定合理性水平的最极端损失和相应场景。该方法在[STU97]中进行了研究，并在[BRE+09]和[BRE08]中进行了进一步讨论。其优点是，它的回报率很高，可以与第2.1节中介绍的其他现有风险度量（如VaR）进行比较。如2.4第2.3节所示，对于线性和一些非线性投资组合，似然性驱动的ERSTis与VaR呈线性相关。然而，这种关系并不是非线性投资组合的一般规则，这使得似是而非的驱动力变得有趣而有价值。对于非线性投资组合，该方法可以视为VaR和预期缺口的连续统一体，并为风险度量设定了新的范式。然而，正如第2.5.2.1节现有风险值方法中所讨论的，确实存在一些限制。对于给定的αP r0，1s，VaRα返回损益密度的α分位数，表明损益没有VaR输出α%那么极端。损益密度可以是历史密度或任何其他固定密度。以具有n个风险因素和加权方案ω的线性投资组合的简单案例为例，假设风险因素为正态分布S"n p0，∑q，然后P&LpSq"n p0，ωJ∑ωq和：VaRα“'N'1pαq？ωJ∑ω（7）对于N'1pαq，标准正态分布的α分位数。对于二次投资组合，此表达式不成立。根据S的密度函数，p和LpSq的分布可能在分析上未知。

然而，在对S进行蒙特卡罗模拟并根据所得损益分布推导概率后，可以计算出近似的VaR。采用这种方法，VaR仅提供损失作为输出。这不允许投资组合经理更深入地挖掘和理解投资组合风险的潜在弱点所在。在这方面，合理性驱动的ERST提供了比VaR更完整的结果。除了由此产生的损失外，它还提供了相应的场景，确定投资组合的特定优势和劣势，以便采取对冲或投资组合调整等潜在对策。下面将进一步详细介绍这一优势。2.2问题陈述让α和MaxERSTbe为输入合理性水平和输出损耗。然后，可扩展性驱动的ERST就是优化问题：minMahapSqdqαP&LpSq（8）在以下两节中，该问题对于线性和二次投资组合都得到了解决。2.3 Delta One策略的应用在两个动量指数上使用长/短策略，P&LpSq“ωJS和ω”p1，'1q。这里，（8）可以通过使用库恩-塔克条件的拉格朗日优化来解决。对于给定的α，MaxERST和相应的场景Sα是：Sα“'？qα∑ω？ωJ∑ω（9）MaxERST“'？qα？ωJ∑ω（10），比较（7）和（10），MaxERST和VaR是成比例的。对于线性投资组合，[BRE06]指出了类似的关系，并补充说VaR和MaxERST也与预期短缺（ES）指标成比例。相应的证明在【SAD】中。因此，S是正态分布：VaRN'1pαq“MaxERST？qα”ESρpαqα“'？ωJ∑ω（11），其中qα是χpnq分布的α分位数，ρpαq是标准正态分布的密度[BRE06]。尽管与delta one策略成比例，但[BRE06]认为MaxERST比VAR更有用。