多项式过程的相关器

这里，B Arndorff-Nielsen&Shephard随机波动率模型考虑σ（t），这是一个多项式跳跃过程，将在下一节中定义。2多项式过程继【17】之后，我们考虑R上的跳跃微分算子，其形式为gf（x）=b（x）f′（x）+σ（x）f′（x）+ZR（f（x+z）- f（x）- f′（x）z）l（x，dz），（2.1）对于一些可测量的ma ps b:R→ R和σ：R→ R、 和一个传输内核l : R×R→ R如此l（x，{0}）=0和rr | z|∧|z|l（x，dz）<∞ 对于所有x∈ R、 然后，我们让Y是以G为扩展生成器的跳跃扩散随机过程。这意味着对于每个有界函数f:R→ 具有连续二阶导数a和y的R∈ R、 过程f（Y（t））-f（y）-RtGf（Y（s））ds是一个（Ft，Py）-局部鞅。现在，我们用Pol（R）表示R上多项式的代数，用Poln（R）表示R上所有次数小于或等于n的多项式的子空间。我们说G在Pol（R）ifRR | z | n上定义良好l（x，dz）<∞ 对于所有x∈ R和n≥ 2，对于f（x），Gf（x）=0≡ 然后，我们给出了多项式跳跃微分过程的以下定义。定义2.1（多项式跳跃扩散过程）。如果算子G多项式在Pol（R）上定义得很好，并且它将Poln（R）映射到每个n的自身，那么我们称其为G多项式∈ N、 在这种情况下，我们称Y为多项式跳跃扩散过程。假设G是多项式，从[17，引理D.4]，过程p（Y（t））- p（y）-ZtGp（Y（s））ds是所有p的（Ft，Py）-鞅（2.2）∈ Poln（右），y∈ R和t≥ 这基本上意味着（2.2）的所有增量都具有消失期望。此外，fr om[17，引理1]，G的多项式性质可以用其系数来表征：它必须保持b∈ Pol（R），σ+ZRzl（·，dz）∈ Pol（R）和Zrzml（·，dz）∈ 所有m的Polm（R）≥ 3.（2.3）为了满足这些条件，我们假设≥ 2存在b，b，σ，σ，σ，ξm。

，ξmm实常数，使得b（x）=b+bx，σ（x）=σ+σx+σxandZRzml（x，dz）=mXi=0ξmixi。（2.4）我们考虑一个例子。示例2.1。设B为标准的一维布朗运动，N（dt，dz）为带补偿器ν（dz）dt的补偿泊松随机测度。我们考虑由dy（t）=b（Y（t））dt+σ（Y（t））dB（t）+ZRδ（Y（t）给出的跳跃微分SDE-), z） ~N（dt，dz），漂移、波动和跳跃大小函数的形式为b（x）：=b+bx，σ（x）：=σ+σx+σx，δ（x，z）：=δ（z）+δ（z）x，对于b，b，σ，σ，σ，σ∈ R、 和δ，δ：R→ R使得rr |δi（z）| mν（dz）<∞ 对于所有m≥ 2和i=0，1。对于每个初始条件Y（0）=Y，SDE都有唯一的强解Y（t）∈ R、 此外，Y（t）是具有线性漂移b的多项式跳跃微分∈ Pol（R），二次微分σ∈ Po l（R）和跳跃测量l（x，dz）由Rf（z）给出l（x，dz）=RRf（δ（x，z））ν（dz）。特别是对于m≥ 2，通过二项式定理，我们发现Zr（δ（z）+δ（z）x）mν（dz）=mXi=0惯性矩ZRδ（z）m-iδ（z）iν（dx）xi，因此在这种情况下，方程式（2.4）中引入的常数ξmi为ξmi=惯性矩RRδ（z）m-iδ（z）iν（dx），对于i=0，m、 2.1生成矩阵将s e t{1，x，x，…，xn}视为Poln（R）的基础，并引入向量值函数Hn:R-→ Rn+1，Hn（x）=（1，x，x，…，xn）,具有 变换运算符，使每个多项式函数∈ Poln（R），坐标向量p=（p，p，…，pn）∈ Rn+1可以用p（x）=~ p表示Hn（x）=Hn（x）~p、 现在，我们严格地报告了[17，定理2.5]中多项式过程的矩公式，对于这一公式，我们在第3节中提供了对分析有用的证明。定理2.1（力矩公式）。对于n≥ 具有扩展生成元G:1的1和Y多项式过程。存在所谓的发电机matr ix Gn∈ R（n+1）×（n+1）使得Ghn（x）=Gnn（x）。(2.5)2.

对于每个p∈ 具有系数p向量的Poln（R）∈ Rn+1，力矩公式保持se[p（Y（T））| Ft]=~ peGn（T-t） Hn（Y（t）），0≤ t型≤ T、 证明。我们取f（x）=xk表示0≤ k≤ n、 由于Y是一个多项式过程，因此存在qk∈ Rn+1，因此Gxk=~ qkHn（x），0≤ k≤ n、 利用这些向量，我们可以构造一个矩阵Gn∈ R（n+1）×（n+1），使得GHn（x）=Gnn（x）。这证明了权利要求1。接下来，通过方程（2.2），我们写出e[p（Y（T））| Ft]=~ pE[Hn（Y（T））| Ft]=~ pHn（Y（t））+ZTt~pE【GHn（Y（s））| Ft】ds=~ pHn（Y（t））+~ pGnZTtE[Hn（Y（s））| Ft]ds。（2.6）我们关注Hn（Y（T））。对于Z（s）：=E[Hn（Y（s））| Ft]，方程（2.6）可以用微分形式写成，dZ（s）=GnZ（s）ds，通过分离变量，其解为Z（T）=eGn（T-t） Z（t）。从Z的定义，乘以向量p, 我们结束这次公关活动。定理2.1告诉我们，对于每个p，E[p（Y（T））| Ft]是Y（T）中的多项式函数∈ Poln（右）。我们指出，这适用于多项式的向量基的每一种选择，尽管在本文中我们重点讨论了单项式的向量基Hn（x）。此外，我们强调，动量公式强烈依赖于生成矩阵Gn的存在性和方程（2.2）中过程的马氏性质。这两个要素将是我们所有框架的关键。示例2.2。设n=2。然后H（x）=（1，x，x）和GH（x）=（G1，Gx，Gx）. 特别是，从方程（2.1）和（2.4）中，我们得到G1=0，Gx=b+bx和Gx=σ+ ξ+σ+2b+ξx个+σ+2b+ξx、 发现发电机矩阵G∈ R3×3满足（2.5）是=0 0 0bbσ+ξσ+2b+ξσ+2b+ξ.3两点相关器为了解决方程（1.1）中的（m+1）-点相关器问题，我们将分析形式定为1，因为为解决这种情况而开发的工具和思想对于理解第4节中将推广到m+1多项式的框架至关重要。

对于m=1，方程（1.1）r eads likeCp，p（s，s；t）：=E[p（Y（s）），p（Y（s））| Ft]，0≤ t<s<s，p∈ Poln（R）和p∈ Poln（右）。特别地，对于n：=max{n，n}，我们可以用p（x）=~p来表示这两个多项式函数Hn（x）和p（x）=~ pHn（x）。通过towerrule for Ft 定理2.1中的力矩公式Cp，p（s，s；t）可以用Cp重写，p（s，s；t）=~pEHn（Y（s））Hn（Y（s））英尺如n（s）-s） ~p.（3.1）这意味着两个多项式l函数乘积的条件期望降低为基函数Hn（x）与其自身的外积的条件期望，这是形式为xn（x）：=Hn（x）Hn（x）的单项式函数的矩阵=1 x xxnx xxxn+1xxxn+2xnxn+1xn+2x2n. （3.2）通过等式（2.2），我们注意到e[Xn（Y（s））| Ft]=Xn（Y（t））+ZstE[GXn（Y（s））| Ft]ds。（3.3）因此，本着定理2.1证明的同样精神，我们寻求一个线性算子，使得G（1）n:R（n+1）×（n+1）-→ R（n+1）×（n+1），GXn（x）=G（1）nXn（x），（3.4），这是通用电气发电机矩阵Gn的两个多项式设置中的等效线性运算符。然而，G（1）nca不能用矩阵表示。我们注意到GN将向量映射到向量，而G（1）将矩阵映射到矩阵。其思想是将矩阵矩阵问题转化为向量问题，并根据生成矩阵Gn构造线性算子G（1）。我们首先介绍一般矩阵a的下列运算符∈ Rn×m定义3。1（矢量化和逆矢量化）。给定矩阵a∈ Rn×m第j列我们用A:j表示，我们定义了vec:Rn×m→ RNMA与nm columnvectorvec（A）关联的运算符=A.:1A级:2A级:m级,这被称为A的向量化。对于v=vec（A），我们然后定义vec-1： Rnm公司→ Rn×mas与向量v关联的运算符n×m矩阵B=vec-1（v），使得[B]i，j=vn（j-1） +i，对于i=1。

，n和j=1，m、 在这种情况下，我们说B是v的逆向量化。特别是，B和A重合。然后，我们解决了将Xn（x）转换为GXn（x）的线性算子G（1）的查找问题，以及查找矩阵G（1）n的问题∈ R（n+1）×（n+1）使得Gvec（Xn（x））=~G（1）nvec（Xn（x）），（3.5），其中Gvec（Xn（x））=vec（GXn（x））。然后，通过将矩阵▄G（1）n与vec和vec组合，得到算子G（1）n满足方程（3.4-1操作员，名称为G（1）n=vec-1.oG（1）no vec公司。（3.6）我们考虑一个例子。示例3.1。设n=1。我们寻求G（1）∈ R4×4这样G1、Gx、Gx、Gx=G（1）1，x，x，x. 两个合适的▄G（1）选择是▄G（1）=0 0 0 0 BB0 0 0 BB0 0σ+ξσ+2b+ξ0σ+2b+ξ和▄G（1）=0 0 0 0 bb/2 b/2 0 bb/2 b/2 0σ+ξσ+2b+ξ/2.σ+2b+ξ/2σ+2b+ξ.我们从示例3.1中注意到，第一个G（1）有两个相同的行和一个空列，而第二个G（1）有两个相同的行和两个相同的共列。这是由于vec（Gx（x））中存在术语Gx的双重存在，或者类似地，vec（x（x））中存在术语x的双重存在。随着n值的增加，vec（GXn（x））和vec（Xn（x））中的冗余项数量增加，因此要找到矩阵G（1）nseems的递归并非易事。此外，我们想用生成器矩阵Gn来写矩阵▄G（1）。我们将在下一节中解决这个问题。3.1 L-向量化通过查看方程（3.2），我们注意到一种可能的方法，除其他外，从矩阵Xn（x）中获得所有元素而不重复（相当于获得x从0到2n的所有幂而不重复），就是选择第一列和最后一行。为此，我们引入以下操作符。定义3.2（L-矢量化）。

给定矩阵a∈ Rn×M，元素[A]i，j=ai，j，1≤ 我≤ n和1≤ j≤ m、 我们将A的L-矢量化定义为算子向量L:Rn×m→ Rn+m-1关联到（n+m-1） -通过选择A的第一列和最后一行获得的列向量，名称为VECL（A）=a1、1a2、1an、1an、2an、m.直观地说，vecL操作符是一个线性操作符，从矩阵a中选择元素，这些元素共同构成矩阵a中最大的“L”。在[28]中，作者介绍了半向量化操作符，该操作符从矩阵a开始，返回通过将a中包含的下三角矩阵的列叠加在一起而获得的列向量，它们提供了两个矩阵，消除矩阵和复制矩阵，分别将A的矢量化转换为半矢量化，反之亦然。我们的目标是为L矢量化获得相同的结果。这些矩阵的存在告诉我们，存在一个线性变换来从vec（Xn（x））（我们称之为L-消除矩阵）和相应的反向线性变换（L-复制矩阵）中移除重复项。从现在起，我们将用~ek，j表示Rk中的第j个正则基向量，用Ik表示Rk×k中的恒等矩阵，用 Kronecker产品，我们称之为定义。定义3.3（Kronecker产品）。矩阵a的Kronecker积∈ Rn×M，元素[A]i，j=ai，j，1≤ 我≤ n和1≤ j≤ m、 和矩阵B∈ Rr×s，是矩阵AB∈ Rnr×M由A给出 B类=a1,1B a1，mBan，1B an，mB.我们现在定义了L消除矩阵。定理3.1（L-消除矩阵）。每n，m≥ 1和每个矩阵A∈ Rn×m，存在L-消去矩阵En，m∈ R（n+m-1） ×n这样，En，mvec（A）=vecL（A）（3.7）En，m=nXi=1 ~ En+m-1，我~em、 1个~en、 i+mXi=2 ~ en+m-1，n+i-1.~em、 我~en、 n.（3.8）推论3.2。

对于每n≥ 1，L-消去矩阵En+1∈ R（2n+1）×（n+1）将vec（Xn（x））转换为vecL（Xn（x））由En+1给出：=En+1，n+1。示例3。设n=m=2。然后方程（3.8）变为2,2=Xi=1 ~ e3，i~e2,1~e2，i+Xi=2 ~ e3,2+i~e2，i~e2,2=1 0 0 00 1 0 00 0 0 1.对于∈ 表A的R2×2=aaaa级, 我们可以验证E2,2满足方程式（3.7）中的线性化矩阵定义，如索引2,2vec（A）=1 0 0 00 1 0 00 0 0 1aaaa级=aaa级= vecL（A）。此外，当应用于vec（X（X））=（1，X，X，X）它消除了双值x。接下来，我们要定义一个逆算子En，m，即将矩阵a的l向量化转换为其向量化的线性映射。然而，这种逆运算在以Rn×m为单位的矩阵空间中并没有很好的定义。事实上，当应用En，mto-vec（A）时，我们从维度nm的空间到维度n+m的空间- 1<牛米。然后，一般情况下不存在逆变换。因此，有必要找到n+m的Rn×mof维数的合适子空间-使图像空间维数和域空间维数重合。在[28]中，作者面临一个相似的问题，他们通过将域限制在对称矩阵的空间来解决这个问题。看看函数Xn（x）的矩阵，我们注意到从m向左到右的每个上升斜对角都是常数，这是所谓Hankel矩阵的一个性质。这类矩阵通常在方形情况下定义；然而，我们认为矩形矩阵的扩展定义如【16】中所述。定义3.4（Hankel矩阵）。我们定义了一个 Rn×mas——元素在同一斜对角上重合的矩阵空间。我们区分了与n≥ m或m≥ n、 所以矩阵a∈ An，mtakes one以下两种形式：A=Aamaamananan+m-1.或A=阿纳马纳曼+m-1.,对于。

. . , an+m-1.∈ R、 我们称之为∈ An，man Hankel矩阵，并写出An：=An，n=m。我们看到Xn（x）∈ An+1，我们现在可以定义En，mon-An，m的逆算子。定理3.3（L-复制矩阵）。每n，m≥ 1和每个矩阵A∈ An，m，存在L-复制矩阵Dn，m∈ Rnm×（n+m-1） 因此，Dn，mvecL（A）=vec（A）（3.9）Dn，m=nXi=1mXj=1 ~ en+m-1，i+j-1.~em，j~en，i.（3.10）推论3。4、每n≥ 1，L-复制矩阵Dn+1∈ 将vecl（Xn（x））转换为vec（Xn（x））的R（n+1）×（2n+1）由Dn+1给出：=Dn+1，n+1。示例3。设n=m=2。然后方程（3.10）变为2，2=Xi=1Xj=1~e3，i+j-1.~e2，j~e2，i=1 0 00 1 00 1 00 0 1.对于∈ A表的Aof=aaaa级, 我们可以验证D2,2vecL（A）=1 0 00 1 00 1 00 0 1aaa级=aaaa级= vec（A）。此外，当应用于vecL（X（X））=（1，X，X）, 它复制了缺失的值x。我们以矩阵En，mand Dn，m的一个重要属性作为本节的结论。命题3.5。每n，m≥ 1，Dn，mis每个A的En，mand的右倒数∈ An，m，产品Dn，男人，m∈ Rnm×nmacts on vec（A）就像一个身份操作符，Dn，mEn，mvec（A）=vec（A）。示例3。4.设n=m=2。来自示例3。2和3.3我们得到2,2E2,2=1 0 00 1 00 1 00 0 11 0 0 00 1 0 00 0 0 1=1 0 0 00 1 0 00 1 0 00 0 0 16=I.然而，对于A∈ A与vec（A）=（A、A、A、A）, 我们注意到D2,2E2,2vec（A）=vec（A），因此乘积D2,2E2,2b就像一个恒等算子，尽管与恒等矩阵不重合。3.2相关器的生成器我们现在关注的是原始问题：通过等式（3.6），我们寻求一个线性算子▄G（1）ntransformingvec（Xn（x））转化为Gvec（Xn（x））。从方程（3.2）中，我们注意到位于左侧Bottom“L”上的Xn（x）元素与x的幂从0到2n重合。引理3.6。

对于每n≥ 1，Xn（x）的L-向量化与2n阶单项式的向量基一致，即vecL（Xn（x））=H2n（x）。因此，通过将vec（Xn（x））转换为vecL（Xn（x）），我们将vec（Xn（x））的生成矩阵问题解决为H2n（x）的生成矩阵问题，这在第2.1节中得到了解决。然后我们可以证明以下结果。提案3.7。每t≥ 0和n≥ 1，矩阵▄G（1）n满足方程（3.5）及其矩阵指数分别由▄G（1）n=Dn+1G2nEn+1和e▄G（1）nt=Dn+1eG2ntEn+1给出，其中G2n是2n阶的生成矩阵。我们现在能够提供两点相关器问题的解决方案。定理3.8（两点相关器公式）。两点相关器的表达式由cp给出，p（s，s；t）=~pnvec公司-1.o Dn+1eG2n（s-t） En+1o vec（Xn（Y（t）））oeGn（s）-s） ~p，~p，~p∈ Rn+1多项式函数p的系数向量∈ Poln（R）和p∈Poln（R），n=max{n，n}和t<s<s。4高阶相关器在本节中，我们证明了每m≥ 1通过遵循第3节中针对m=1执行的类似步骤。我们记得，我们寻求Cp的显式表达式，。。。，pm（s，…，sm；t）：=E[pm（Y（s））pm-1（Y（s））········p（Y（sm））| Ft]，带pk∈ Polnk（R），k=0，m、 t<s<s<sm。我们从以下操作符开始。定义4.1（d-Kronecker产品）。

我们定义矩阵a的d-Kronecker乘积∈ Rn×manda ma trix B∈ Rr×s，当A的d次Kronecker幂在Kronecker意义上与B相乘时，ford≥ 1，或等于B，对于d=0，即（AdB=Ad B和d≥ 1A级B=B d=0。然后对于n≥ 1和r≥ 0，我们引入函数x（r）n（x）的矩阵：=Hn（x）对于rHn（x），（4.1），我们可以考虑以下因素：o对于r=0：我们得到x（0）n（x）=Hn（x）；o对于r=1：我们得到x（1）n（x）=Hn（x） Hn（x）=Hn（x）Hn（x）= Xn（x）∈ An+1；（4.2）o对于r=2：根据Kronecker产品的关联性x（2）n（x）=Hn（x） X（1）n（X）=X（1）n（X）xX（1）n（X）xX（1）n（X）···································································由形式为B（k）n，2=xk的n+1个块组成-1X（1）n（x）∈ An+1，k=1，（n+1）；o对于r=3：我们写X（3）n（X）=Hn（x）2. X（1）n（X），其中Hn（x）2=1 x xnx xxn+1···xnxn+1x2n∈ 使X（3）n（X）由（n+1）个块组成。对于每个blo-ck B（k）n，3存在jk∈ {0，…，2n}这样B（k）n，3=xjkX（1）n（x）和B（k）n，3∈ An+1，k=1，（n+1）。与前一种情况不同的是，现在，一些块在Hn（x）2重复使用某些电源。概括起来，我们可以陈述以下结果。提案4.1。每n，r≥ 1，X（r）n（X）是r（n+1）×（n+1）r中的矩形块矩阵，由（n+1）r组成-1块B（k）n，r（x）∈ An+1，存在索引jk∈ {0，…（r）- 1） n}使得B（k）n，r（x）=xjkX（1）n（x），k=1，（n+1）r-我们还可以注意到，X（r）n（X）包含X的所有幂，从0到（r+1）n。因此，去掉多余幂后，我们剩下Hn（r+1）（X）。然而，从命题4.1来看，X（r）n（X）是一个块矩阵，它的e块属于+1，但矩阵本身不属于+1，（n+1）r。示例4。设n=r=2。