多项式过程的相关器

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英文标题：
《Correlators of Polynomial Processes》
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作者：
Fred Espen Benth and Silvia Lavagnini
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最新提交年份：
2021
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英文摘要：
  In the setting of polynomial jump-diffusion dynamics, we provide an explicit formula for computing correlators, namely, cross-moments of the process at different time points along its path. The formula appears as a linear combination of exponentials of the generator matrix, extending the well-known moment formula for polynomial processes. The developed framework can, for example, be applied in financial pricing, such as for path-dependent options and in a stochastic volatility models context. In applications to options, having closed and compact formulations is attractive for sensitivity analysis and risk management, since Greeks can be derived explicitly.
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中文摘要：
在多项式跳跃扩散动力学的背景下，我们提供了计算相关器的显式公式，即过程在其路径上不同时间点的交叉矩。该公式显示为生成器矩阵指数的线性组合，扩展了多项式过程的著名矩公式。例如，所开发的框架可以应用于金融定价，例如路径相关期权和随机波动率模型。在期权的应用中，具有封闭和紧凑的公式对于敏感性分析和风险管理很有吸引力，因为希腊语可以明确推导出来。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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PDF下载：
--> Correlators_of_Polynomial_Processes.pdf (506.44 KB)

2022-6-24 06:08:16 上传

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关键词：多项式 Applications Quantitative Mathematical Differential

多项式过程的相关器Fred Espen Benth*Silvia Lavagnini+2021年4月26日根据多项式跳跃扩散动力学的设置，我们提供了一个计算相关器的简化公式，即过程在其路径上不同时间点的交叉矩。该公式表现为生成器矩阵指数的线性组合，扩展了众所周知的多项式过程矩公式。例如，所开发的框架可以应用于金融定价，例如路径相关期权和随机波动模型。在期权的应用中，具有封闭和紧凑的公式对于敏感性分析和风险管理很有吸引力，因为希腊语可以明确推导出来。多项式跳跃扩散过程；相关器；消除和复制矩阵；发电机矩阵；汉克尔矩阵；随机波动率；路径相关选项；格力ks。1简介如果一个跳跃扩散过程的扩展生成器将任何多项式函数映射为一个等次或低次的多项式函数，则该过程称为多项式。因此，以当前状态之前的信息为条件，任何多项式对过程未来状态的期望都由当前状态的多项式给出。因此，可以在不知道概率分布或特征函数的情况下，以闭合形式计算条件矩，直至计算生成矩阵的指数。o类多项式过程包括指数allévy过程和a ffne过程，Ornstein–Uhlenbeck过程是一个典型的例子。此外，在马尔可夫[9，10]和非马尔可夫[17]背景下研究了多项式跳跃差异。

关于多项式微分的数学分析，请参考【15】。由于其闭合矩公式，多项式过程在金融中有许多应用，第一个过程在[35]中有介绍。在文献中，我们找到了利率[12，14]、随机波动率模型[1，2，15]、期权定价[3，17]和能源建模[25，32]的例子。在【10】中，利用跳跃扩散过程的特性来提高计算和统计方法的性能，如广义d矩法，以及蒙特卡罗方法中的方差缩减技术。进一步的例子包括s-tochastic-por-tfolio理论[11]。我们考虑一个随机基(Ohm, F、 P）过滤{Ft}t≥0和多项式跳跃微分实值过程Y。对于系数向量为p的n次多项式函数p∈ Rn+1关于多项式的向量基Hn（x）∈ Rn+1，公式给出的力矩【p（Y（T））| Ft】=~ peGn（T-t） Hn（Y（t）），0≤ t型≤ T、 带Gn∈ R（n+1）×（n+1）对应的生成器矩阵。本文将fr-amework推广到m+1多项式函数，并研究了对mE[pm（Y（s））pm的条件期望-1（Y（s））·····p（Y（sm））| Ft]（1.1），我们称之为（m+1）-点相关器。此处t<s<s<···<sm<t<∞ 和pk是次数为nk的多项式函数，k=0，m、 我们用n表示：=最大{n，…，nm}最大度。*奥斯陆大学数学系，挪威布林登0316；fredb@math.uio.no.+挪威布林登0316号奥斯陆大学数学系；silval@math.uio.no.Form=0方程（1.1）对应于Y的共同计算力矩，由力矩公式给出。因此，通过迭代矩公式，原则上可以获得任何m>0的（m+1）点相关器。

例如，对于m=1，将塔规则应用于Ft Fsto getE[p（Y（s））p（Y（s））| Ft]=E[p（Y（s））q（Y（s）；s- s） | Ft]（1.2），其中q（Y（s）；s- s） ：=E[p（Y（s））| Fs]=~ peGn（s）-s） Hn（Y（s））是将矩公式应用于p（x）得到的多项式。特别是，q（x；s）具有时间相关系数qs0、k、s≥ 0，k=0，n、 乘积▄p（x；s）：=p（x）q（x；s）是n+nw阶的多项式函数，其时间相关系数由▄ps1，j=Xk+i=jp1，iqs0，kforj=0，n+nand s≥ 力矩公式的另一个应用，这一次是p（x；s），产生了公式[p（Y（s））p（Y（s））| Ft]=~ ps的（1.2）表达式-seGn+n（s-t） Hn+n（Y（t））。然后，可以将此过程用于更大的m值。然而，由于操作所涉及的表达式的代数复杂性，执行计算并非微不足道。通过本文，我们通过为协相关器提供一个完全显式的闭合公式，在这个问题上取得了进展。证明力矩公式的关键在于发电机矩阵Gn的存在：对于多项式Hn（x）的x和固定基向量，这是扩展生成器对Hn（x）作用的线性表示。然而，对于m=1，我们必须处理两个基向量的乘积，这是形式为Hn（x）Hn（x）的对象∈ R（n+1）×（n+1），且不能为其构造生成矩阵。然后我们考虑Hn（x）Hn（x）的向量化, 也就是说，我们将Hn（x）Hn（x）的列堆叠起来变成一个单列向量。矩阵Hn（x）Hn（x）但包含冗余项，其矢量化也包含冗余项。对于Hn（x）：=（1，x，x，…，xn）, 这就是我们在这里考虑的情况，冗余项意味着x的重复幂。

这意味着相应的生成器矩阵包含相等的行和/或零列，因此无法将框架推广到m>1。我们通过引入两个线性算子来解决这个问题，其中第一个我们称为L-消去矩阵。这消除了Hn（x）Hn（x）的矢量化x和returnsa向量的冗余幂与H2n（x）重合，其中存在生成矩阵G2n。使用称为L-复制矩阵的逆算子，我们然后恢复全维向量，最后，通过逆向量化，我们获得所需的线性算子，从而可以计算m=1的相关器公式。我们在以下gra中总结了这些步骤：Hn（x）Hn（x）//向量化//L-消除矩阵//H2n（x）扩展生成器发电机矩阵GHn（x）Hn（x）逆向量化工具复制矩阵xoog2nh2n（x）oo当进一步增加多项式的数量时，这些步骤也起作用。对于m+1>1，我们必须处理m+1>1基向量Hn（x）。这导致了一个结构更复杂的对象，需要适当的消去和复制矩阵，为此我们证明了多项式数m的递归公式≥ 利用这些，我们计算了一般的c相关公式。我们将看到，对于Hn（x）=（1，x，x，…，xn）, 矩阵Hn（x）Hn（x）∈ R（n+1）×（n+1）是所谓的Hankel矩阵，对于该矩阵，斜对角上的元素重合。Hankel矩阵是一个重要的矩阵家族，在从计算机科学到工程、数学和统计学的各个领域发挥着基础性作用[30]。它们确实应用于矩理论[13，29]、时间序列分析[18，19]、信号分析[22，23]和正交多项式理论[31]等领域。

这意味着（部分）我们的分析可能会应用于许多不同的领域，这超出了这里研究的多项式跳变扩散理论。我们还提到Hankelmatrix是一个“行显示”的Toeplitz矩阵，因此本文中证明的一些结果可以适用于这类其他矩阵，以便进一步应用。我们指出，我们的相关器公式并不是迭代应用公式矩的真正替代方法，因为它实际上强烈依赖于它与Ft的塔式规则的结合 Fs公司 ··· Fsm。然而，它为直接应用动量公式时产生的代数负担提供了一个解决方案。corre-lator公式确实是完全显式的，而直接迭代矩公式时，获得显式表达式并不简单。由于具有闭合公式是一种优势，例如在那些需要区分的应用中，例如在计算格力ks时，我们的方法更方便。不足为奇的是，数值实验表明，用我们的公式得到的CorrelatorValue与通过迭代矩公式得到的值是一致的。此外，这两种方法的时间成本相当于大约m=10个多项式。我们将结果与蒙特卡罗方法进行了比较，结果表明，从时间成本的角度来看，后一种方法优于蒙特卡罗方法，而且精确度较低。我们强调，correlatorformula只涉及生成矩阵的矩阵指数的线性组合。

假设这些指数矩阵是精确的，我们就得到了一个相关器的公式，实际上是精确的。最后，我们为生成器矩阵及其矩阵指数提供了两个求取公式。尽管已经研究了几种方法来有效计算三棱形矩阵的矩阵指数【26，20】，但据我们所知，尚未对生成器矩阵及其指数的构建块进行严格研究。如前所述，这些结果可用于分析目的。我们指出，我们的框架是基于单项式基础的，这似乎便于更容易和明确地获得公式。然而，如果矩阵为基的变化提供了条件，它可以扩展到任何其他多项式基。对于实际应用，正交基确实更方便，但在分析上更具挑战性。论文的其余部分组织如下。在第1.1节中，我们阐明了名称相关器，并给出了研究它们的一些财务动机。在第2节中，我们将严格介绍多项式过程和生成器矩阵。在第3节中，我们解决了两点相关器问题，并在第4节中介绍了解决（m+1）点相关器问题的主要工具和框架。在第5节中，我们提供了生成矩阵及其矩阵指数的两种递归，以及基的变化公式。最后，在第6节中，我们考虑了一些应用和数值方面，第7节最后给出了一些备注。

附录A包含本文介绍的算子的一些组合性质，附录B是主要结果的证明。1.1动机【5，第9.3节】作者定义了相关器的概念，它是湍流理论中的标准工具。对于t<s<s<t<∞ 和k，k∈ N、 Y（s）和Y（s）之间的阶数（k，k）的相关器是由corrk定义的自相关系数的一般化，k（s，s；t）=eY（s）kY（s）k英尺E[Y（s）k | Ft]E[Y（s）k | Ft]。在本文中，我们将相关器的定义扩展到任何期望，如方程（1.1）中的期望。我们现在介绍两种可能的应用：亚式期权定价和随机波动率模型中的定价。我们打算激励我们的分析，为将来的工作留下细节。1.1.1路径依赖型期权我们考虑路径依赖型期权，例如亚洲期权，其中支付函数考虑了结算期[t，t]内价格过程的整个路径[24]。如果Y是标的资产的风险中性价格动态，r>0无风险利率和支付函数，则根据结算期内s pot价格Y的离散算术平均值，在时间t为亚洲式期权结算的贴现价格由∏（t）=e给出-r（T-t） E类φm+1mXj=0Y（sj）英尺对于t<s<s<···<sm=t和m≥ 0.（1.3）这种期权在北欧电力商品市场Nord Pool交易了十年[33]。其他类别的类似衍生工具包括日历价差期权和在不同时间评估的一揽子资产期权，以及连续平均的亚洲期权。对于有界区间上的实值连续函数，我们将^^视为^的多项式近似，例如通过Hermite多项式或Taylor展开，取决于^本身的性质。

然后，方程式（1.3）中亚洲期权的价格由∏（t）得出≈ e-r（T-t） E类^φm+1mXj=0Y（sj）英尺= e-r（T-t） XkαkEY（s）kY（s）k···Y（sm）km英尺对于某些系数{αk}和多指数k=（k，···，km）。这导致了对形式E的条件期望的研究Y（s）kY（s）k···Y（sm）km英尺, 这是方程（1.1）的一个特殊实例，pj（x）=xkj，j=0，m、 特别是，在[27]中，作者通过遵循刚刚描述的方法，即通过用正交多项式逼近支付函数和本文开发的相关器公式，推导出了看涨期权式离散平均算术亚式期权的显式价格公式。1.1.2 0的随机波动率模型≤ t型≤ T我们考虑由X（T）=RTtσ（s）dB（s）定义的过程X，其中B是一个标准的布朗运动a和σa波动过程，我们假设它独立于B。如果φ是支付函数，r>0是无风险利率，我们希望为金融衍生品定价，如下所示：π（T）=e-r（T-t） E[Д（X（t））|英尺]。[8]中建议的一种可能方法是考虑И的傅里叶变换。在ν上适当的可积条件下，我们可以写出Д（x）=R∞-∞^Д（z）e2πixzdz，期权价格为cω∏（t）=e-r（T-t） E类Z∞-∞^И（z）e2πiX（T）zdz英尺.对于σ和B独立，根据塔式法则，我们现在根据过滤{Fσt}t条件≥0由σ生成，直到时间T。然后，过程X（T）具有均值为0且方差为σ（s）ds的高斯分布，因此∏（T）=e-r（T-t） E类Z∞-∞^Д（z）e-2πzRTtσ（s）dsdz英尺= e-r（T-t） Z∞-∞^Д（z）EheλRTtσ（s）dsFtidzforλ≤ 通过考虑指数函数的泰勒展开式，表达式为λRTtσ（s）dsFti=E∞Xk=0k！λZTtσ（s）ds！k英尺=∞Xk=0λkk！EZTtσ（s）ds！k英尺, （1.4）也就是说，我们需要找到综合波动率的时刻，RTtσ（s）ds。

对于由多项式过程建模的Y（s）：=σ（s），我们注意到二元过程Y（T），RTtY（s）ds也是多项式。因此，可以使用应用于该二元多项式过程的矩公式计算出rttσ（s）ds的矩。作为另一种方法，迭代使用微积分的基本定理，可以证明对于每一个k≥ 1 RTTσ（s）ds的k次方可以用k-thorder积分重写，即ZTTσ（s）ds！k=k！ZTtZskt···ZstY（s）Y（s）··Y（sk）ds··dsk，（1.5）其中t<s<s<··<sk<t是[t，t]的一个分区。结合方程（1.4）和（1.5），我们得到λRTtY（s）dsFti公司=∞Xk=0λk（k！）ZTtZskt···ZstE[Y（s）Y（s）···Y（sk）·Ft]ds···dsk，（1.6），因此对于每k≥ 1我们需要研究对m of E[Y（s）Y（s）····Y（sk）| Ft]的期望。有趣的是，Y（T）=RTσ（s）ds也出现在波动率指数衍生品的定价中，也就是说，在r化方差和波动率上的变动率。对于支付ψ（Y（T））的导数，只要ψ是可积的，我们可以使用上面的傅立叶方法，用可积傅立叶变换bψ，以方程（1.6）中的一个传统表达式结束。波动率掉期价格，即对实际波动率的掉期价格，定义为T的条件预期值e【Y1/2（T）| Ft】≤ T扩展X 7→√x1x个≥0在Hermite函数中，作为空间L（R，γ（x）dx）与γ的标准正态密度函数的基础，我们得到了Y（T）条件动量的交换价格的级数表示。有关基于Fouriermethods的数值示例VIX导数的更多详细信息，请参阅[7]。