多项式过程的相关器

然后我们得到以下矩阵xx（2）（x）=1 x xx xxxxxx XXXXXXXXXXXXXX其块s属于A，但X（2）（X）/∈ A3,9因此它不是Hankel矩阵。这尤其意味着，我们不能使用第3节中定义的L-消除矩阵和L-复制矩阵。我们需要两个新的定制运营商。提案4.2。对于n，m≥ 1，存在一个m次L消矩阵E（m）n+1∈ R（n（m+1）+1）×（n+1）m+1，使得E（m）n+1vec（X（m）n（X））=Hn（m+1）（X）。特别地，E（m）n+1由递归公式（E（1）n+1=En+1m=1E（m）n+1=Enm+1，n+1）给出输入+1 E（米-1） n+1m级≥ 2、提案4.3。对于n，m≥ 1，存在一个m次L-复制矩阵D（m）n+1∈ R（n+1）m+1×（n（m+1）+1），使得D（m）n+1Hn（m+1）（x）=vec（x（m）n（x））。特别地，D（m）n+1由递归公式（D（1）n+1=Dn+1m=1D（m）n+1）给出=输入+1 D（米-1） n+1Dnm+1，n+1m≥ 2、提案4.4。每n，m≥ 1，矩阵D（m）n+1是E（m）n+1的右逆，乘积D（m）n+1E（m）n+1作用于向量（X（m）n（X）），就像一个恒等式算子，D（m）n+1E（m）n+1vec（X（m）n（X））=向量（X（m）n（X））。示例4。设n=m=2。根据命题4.2，我们发现E（1）=E（2）=E5,3我 E（1）= E5,3E（1）0 00 E（1）0 0 E（1）.为了更好地理解，我们在示例4.1中编写vec（X（2）（X）），如下所示：vec（X（2）（X））=vecvec○ x xx○ xxx个○x个○x个○vec公司x个○ xxx个○ xxx个○x个○x个○vec公司x个○ xxx个○ xxx个○x个○x个○!,因此，通过应用 E（1），我们从X（2）（X）的每个块中选择它们的L-矢量化（记住，L-消除矩阵作用于矩阵的矢量化，并返回矩阵本身的L-矢量化），这些元素用圆圈标记。我们只剩下我 E（1）vec（X（2）（X））=vec○ x xx○ xxx个○ xxx个○ xxx个○x个○x个○. （4.3）我们注意到，我们需要的元素位于左下角的“L”（标有圆圈的元素）。应用E5,3得到H（x）=H2（2+1）（x）。

此外，方程式（4.3）右侧的矩阵属于A5,3。然后由命题4.3和isD（2）给出相应的L-复制矩阵=我 D（1）D5,3=D（1）0 00 D（1）0 0 D（1）D5,3。在第r节中，D5,3作用于H（x）的矩阵在方程（4.3）右侧旋转（1），由于与I（即I）相乘，作用于每列上的矩阵奇异D（1））返回x（2）（x），表明D（2）是E（2）的逆算子。我们现在导出（m+1）点相关器的闭合公式。定理4.5（协相关公式）。每m≥ 1，让pk∈ Polnk（R）与vect或系数pk∈ Rn+1，k=0，m、 n=最大{n，…，nm}和t<s<s<···<sm。存在m+1矩阵G（r）n∈ R（n+1）R+1×（n+1）R+1，R=0，m、 因此，CP，。。。，pm（s，…，sm；t）=~ pmnvec公司-1.oeG（m）n（s）-t）o vec公司X（m）n（Y（t））MYK=1eG（m-k）n（sk-sk公司-1)输入+1m级-k ~ pm-k其中，qmk=1是从k=1对应的矩阵开始，然后在右侧乘以以下矩阵，直到k=m对应的矩阵。特别是，G（r）n=D（r）n+1Gn（r+1）E（r）n+1和E（G（r）nt=D（r）n+1eGn（r+1）tE（r）n+1，其中G（0）n=G（0）n=Gn。5生成矩阵的递归公式我们在本节中重点讨论定理2.1中定义的生成矩阵GN。特别地，我们为它提供了一个递推公式，并为它的矩阵指数提供了第二个递推公式。这些公式引用了单项式的基向量，但也可以推广到不同的多项式基向量。在这种情况下，需要矩阵来改变基础。5.1生成器矩阵我们提供了生成器矩阵的递推公式。定理5.1（生成器矩阵递归）。

对于每n≥ 2、发电机矩阵Gn∈ 对于单项式Hn（x）的向量基，满足方程（2.5）的R（n+1）×（n+1）由gn给出=Gn公司-1～不适用ncn公司带G=0 0bb.这里是一个0的n维向量，~ an=（ann，an-1n，an）∈ Rnwithan=nb+n（n- 1） σ+nXk=2nk公司ξkk-1，an=n（n- 1） σ+nXk=2nk公司ξkk-2，ain=nXk=ink公司ξkk-如果i=3，n、 cn=nb+n（n- 1） σ+nXk=2nk公司ξkk。（5.1）备注5.1。从定理5.1中，我们注意到对于n≥ 1生成器矩阵GNI为下三角形。此外，对于n≥ 2表格GNI的主对角线（Gn）=（0，b，c，c，…，cn）, （5.2）尤其是矩阵GNI不可逆。引理5.2。如果l（x，dz）≡ R为0，则Gnis为（下）三对角矩阵。现在，我们提供了Gn的矩阵指数的递归公式。定理5.3（指数生成器矩阵递归）。对于固定的n≥ 2，如果满足以下条件（每2个cj6=0≤ j≤ ncj6=每1个cifor≤ j<i≤ n（5.3）那么递归公式成立：eGnt=eGn公司-1t~n~an∧-1n埃克丁- eGn公司-1吨ecnt带EGT=1 0bbebt公司- 1.ebt公司如果b6=0且eGt=1 0bt 1如果b=0。引理5。4、如果l（x，dz）≡ R为0，则条件（5.3）等于b6=-kσ每1≤ k≤2（n- 1). 特别是，系数带σ不能同时等于0.5.2个基的变化。单项式的向量基Hn（x）是直观的，可以方便、明确地记下计算。然而，当涉及到应用程序时，通常更自然地选择正交基，例如Hermite多项式或Legendre多项式等。将正交基的性质与多项式过程的性质相结合，可以带来改进，例如期权定价[3、17、34]。基于这一事实，我们给出了一个结果，它可以得到生成矩阵及其关于多项式基的指数。

这允许在更广泛的应用程序中使用我们的框架。对于n∈ N、 我们考虑了一组多项式函数{q（x），q（x），…，qn（x）}，其值为R，这构成了Poln（R）的基础。然后介绍向量值函数qn:R-→ Rn+1，Qn（x）=（q（x），q（x），qn（x））.在经典线性代数中，存在一个可逆矩阵Mn∈ R（n+1）×（n+1）使得mnhn（x）=Qn（x）和M-1nQn（x）=Hn（x）。（5.4）我们进一步用Jn表示∈ R（n+1）×（n+1）在定理2.1意义下，关于基向量Qn（x）的生成R矩阵，即gqn（x）=JnQn（x）。（5.5）然后我们可以证明关于Jn的以下结果。提案5.5。对于每n∈ N和t≥ 0，生成器矩阵jn及其矩阵指数由以下矩阵乘积jn=MnGnM给出-1nand eJnt=MneGntM-1n。示例5。设Qn（x）为Hermite多项式给出的向量基。对于n=4，我们得到q（x）=（1，x，x- 1，x- 3x，x- 6x+3）而M-1分别由M给出=1 0 0 0 00 1 0 0 0-1 0 1 0 00 -3 0 1 03 0 -6 0 1和M-1=1 0 0 0 00 1 0 0 01 0 1 0 00 3 0 1 03 0 6 0 1.我们考虑l（x，dz）≡ 0.通过直接计算，可以得出=0 0 0 0 0 bb0 0 0σ2b+σ2b+σ0 0 0 0 3σ3（b+σ）3（b+σ）00 0 6σ2（2b+3σ）2（2b+3σ）andJ公司=0 0 0 0 0 bb0 0 0σ+2b+σ2b+σ2b+σ0 03σ3（2b+3σ+σ）3（b+σ）012σ12σ6（2b+σ+5σ）2（2b+3σ）2（2b+3σ）.通过矩阵乘法，可以验证命题5.5。6应用和数值方面如定理4.5所示，为相关器推导一个封闭而紧凑的公式在灵敏度分析和风险管理方面具有吸引力。例如，在期权的应用中，希腊人在对冲方面发挥着重要作用。期权的等级是根据各种参数的价格函数的导数定义的。

在第1.1.1节中介绍的路径相关选项的上下文中，我们将在本节中推导两个希腊语的表达式，即Delta和Theta。然后，我们将从数值角度分析我们的协相关公式，也将与利润矩公式和蒙特卡罗方法相关。6.1希腊语的计算最常见的两种希腊语是Delta和Theta。第一种方法衡量期权价格相对于基础资产价格变化的变化。第二个指标是对运动时间的敏感性。从第1.1.1节可以看出，亚式期权的价格可以通过Ck、…、，。。。，km（s，…，sm；t）：=EY（s）kY（s）k···Y（sm）km英尺,对应于相关器Cp，。。。，pj（x）=xkj，j=0，…，时的pm（s，…，sm；t），m、 然后，为了计算亚式期权的Delta，即价格函数∏（t）相对于初始条件Y（t）的偏导数，我们需要Cp，…，的导数，。。。，pm（s，…，sm；t）相对于Y（t）。提案6.1。每m≥ 在定理4.5的相同符号中，我们有内容提供商，。。。，pm（s，…，sm；t）Y（t）=~ pm（vec-1.o eG（m）n（s）-t）o vec公司X（m）n（Y（t））Y（t）！）mYk=1eG（m-k）n（sk-sk公司-1)输入+1m级-k ~ pm-k哪里X（m）n（Y（t））Y（t）=Hn（Y（t））Y（t） X（米-1） n（Y（t））+Hn（Y（t））X（米-1） n（Y（t））Y（t）带Hn（Y（t））Y（t）=X（0）n（Y（t））Y（t）=（0，1，…，n）0，Hn-1（Y（t））.同样，要计算亚式期权的θ，我们首先需要计算Cp的导数，。。。，pm（s，…，sm；t），关于所涉及的m+1时间点，即s<s<··<sm。提案6.2。

每m≥ 1，在定理4.5的相同符号中，我们有Θ=~ pmnvec公司-1.oG（m）neG（m）n（s-t）o vec公司X（m）n（Y（t））MYK=1eG（m-k）n（sk-sk公司-1)输入+1m级-k ~ pm-k+- ~pmnvec公司-1.o eG（m）n（s）-t）o vec公司X（m）n（Y（t））oG（m-1)nmYk=1eG（m-k）n（sk-sk公司-1)输入+1m级-k ~ pm-k;Θj=~ pmnvec公司-1.o eG（m）n（s）-t）o vec公司X（m）n（Y（t））o··j-1Yk=1e￠G（m-k）n（sk-sk公司-1)输入+1m级-k ~ pm-k克（米-j）neG（m-j）n（sj-sj公司-1)输入+1m级-j ~ pm-j··mYk=j+1eG（m-k）n（sk-sk公司-1)输入+1m级-k ~ pm-k+-jYk=1eG（m-k）n（sk-sk公司-1)输入+1m级-k ~ pm-k克（米-j-1)neG（m-j-1)n（sj+1-sj）输入+1m级-j-下午1点至1点-j-1.··mYk=j+2eG（m-k）n（sk-sk公司-1)输入+1m级-k ~ pm-k对于1≤ j<m；Θm=~ pmnvec公司-1.o eG（m）n（s）-t）o vec公司X（m）n（Y（t））o··m-1Yk=1e￠G（m-k）n（sk-sk公司-1)输入+1m级-k ~ pm-kG（0）neG（0）n（sm-sm-1)输入+1~p,在这里，我们引入了紧凑符号Θj：=内容提供商，。。。，pm（s，…，sm；t）sjfor 0≤ j≤ m、 然后，通过命题6.1获得亚式期权的Delta：∏（t）Y（t）≈ e-r（T-t） XkαkCk，。。。，公里（s，…，sm；t）Y（t），类似地，θ由命题6.2获得：∏（t）sj公司≈ e-r（T-t） XkαkCk，。。。，公里（s，…，sm；t）sjfor 0≤ j≤ m、 对于某些系数{αk}和k=（k，···，km）一个多指数。关于Greeksof离散平均拟亚式期权的更详细分析，见[27]，其中系数{αk}是根据埃尔米特多项式的基显式计算的。6.2数值性能我们对定理4.5中的相关器公式进行了数值分析，该公式明确给出了相关器的值，直至计算m+1矩阵的指数G（r）n，r=0，m、 这意味着，当将这些矩阵指数求和为精确值时，相关器公式提供了correlatorvalue。正如我们在第1节中讨论的那样，同样的精确值也可以通过迭代应用公式的力矩来获得。然后，我们从时间成本的角度比较这两种程序。

特别地，我们考虑了具有密集矩阵的实现和具有稀疏矩阵的实现。最后，我们考虑一种蒙特卡罗方法，该方法从时间成本和精度角度与我们的相关器公式进行了比较。对于实验，我们考虑由dy（t）=（b+bY（t））dt定义的Ornstein-Uhlenbeck过程+√σdB（t）（6.1）和模型规格B=+0.75b=-5.00σ=+0.01Y（t=0）=+0.15，对应于σ=σ=0和l（x，dz）≡ 0（见方程式（2.4））。此外，对于n≥ 1，我们考虑公式cn（s，…，sm；t）的方程（1.1）的一种特殊情况：=E[Y（s）nY（s）n····Y（sm）n····Ft]，对应于pk（x）=xn=~ En+1，n+1Hn（x），k=0，m、 我们在第1.1.1节中发现了这种形式的术语，这是在随机波动性模型背景下激励对金融衍生品定价相关因素的研究。n=1时，这两种情况一致。我们还提到，Ornstein–Uhlenbeck流程是常见的金融模式。除其他外，我们还发现了电力现货价格建模的例子，这是一个非高斯例子，在[6]中进行了处理。蒙特卡罗模拟基于Y（s）=Y（t）eb（s）给出的方程（6.1）的条件解-t） +bbeb（s）-t）- 1.+√σZsteb（s-v） dB（v），用于s≥ t型≥ 0、我们定义k： =sk-sk公司-1，k=0，m、 带s-1： =t，并将其重写为s=sk和t=sk-1，名称Y（sk）=Y（sk-1） 电子商务k+bb电子商务k- 1.+√σZsksk-1eb（sk-v） dB（v）。（6.2）对于固定数量的时间点m+1≥ 1，然后根据（6.2），使用Y（sk），依次模拟Y（sk）中的样本-1） 作为起点和事实，根据塔式规则，它持有SCN（s。

smt） =EY（s）nEY（s）nEY（s）n··EY（sm）n | Fsm-1.···Fs公司Fs公司英尺.当增加问题的复杂性，即增加n和/或m时，蒙特卡罗方法需要更多的模拟来获得精度，也需要更多的计算时间。然而，为了比较不同的实验，我们将模拟次数固定为N=10，每次重复10次，以获得多个值。在这些值中，我们从相关器公式的最高相对误差中选择最差的一个，并将其作为集合的代表。对于时间成本评估，代表是通过平均10次模拟所需的时间成本来获得的。最后，我们将公差设置为1·10-3如果相对误差大于此，则声称蒙特卡罗失败，计算10次模拟中的失败次数。在表1中，我们报告了时间成本实验的结果。在这里，我们比较了具有稠密（稠密）和稀疏（稀疏）矩阵的协相关公式，以及具有稠密（Iter.稠密）和稀疏（Iter.稀疏）矩阵的矩公式的迭代应用，以及Monte Carlo方法（MC平均）。我们注意到，具有稠密矩阵的相关器公式与具有稠密矩阵的迭代几乎是可比的，而具有稀疏矩阵的相关器公式则是相同的。然而，对于更高的复杂性，校正公式往往会稍微慢一些。特别是，我们指出，不管人们怎么想，使用spa rse矩阵都会降低这两种方法的成本。主要原因在于稀疏矩阵的矩阵指数可能不是稀疏的。因此，将稀疏矩阵用于密集矩阵反而会降低计算速度。然而，我们强调，当问题的复杂性进一步增加时，稀疏矩阵是至关重要的。

我们确实记得，对于给定的n和m，生成矩阵的维数为（n（m+1）+1）×（n（m+1）+1），因此用稠密矩阵存储它是不可行的。我们还从表1中观察到，这四个实验的时间成本随着问题复杂性的增加而增加，这是因为所涉及矩阵的维数会增加。然而，对于固定的m，蒙特卡罗方法（MC平均）的时间成本几乎是不变的，反映出时间点的数量是固定的。然而，为了使该方法尽可能通用，我们不直接计算幂x，而是进行向量乘法n+1，n+1Hn（x）反映了如果考虑一般多项式函数而不是单项式ls，我们将得到的情况。密集稀疏Iter的时间成本性能。致密Iter。