分支粒子价格与赫斯顿示例

（20 02），Kouritzin（2018）），得出以下近似停止时间，这取决于使用的投影函数的数量J（τJT=t，τJT=t1{Zt≥PJt[ZτJt+1]}∩{Zt>0}+τJt+1{Zt<PJt[ZτJt+1]}∪{Zt=0}，T<T。这个问题仍然没有解决，因为这个投影PJt[ZτJt+1]=αJt·eJ（St，Vt），是用未知的系数αJt计算的。然而，Longsta off&Schwartz（2001）表明，这些系数αjt可以通过线性回归使用aMonte Carlo粒子系统的横截面进行估计。Kouritzin（2018）随后指出，随机近似可以作为原始最小二乘法的一种可避免的替代方法。这两种方法都没有考虑在branchingparticle系统中使用该方法，我们在这里就是这么做的。此外，为了提高算法的鲁棒性和性能，我们在投影中使用系数αjt的平均值。如果Hilber t空间的跨度是整个空间，则平均系数Was是Hilber t空间的子集。Cl'ement et al.（2002）还假设函数（ft）Tt=0，使得对于所有t=0，…，EE[Zτt | ft]=ft（St，Vt）。。。，T然而，可以用（S，V）生成的过滤来代替{Ft}，然后这些函数就存在于我们的支付过程中。分支粒子价格15首先由Polyak和Juditsky（1992）提出，现在是一种广泛使用的方法，可以加快随机近似算法的收敛速度。

接下来，我们重新分配分支粒子系统，并将随机近似算法应用到我们的设置中。此后，假设{（Ljt，Sjt，Vjt），t≥ 0}Nj=1如第3.2节so（3.1）所示，其中（S，V）满足（2.5），Zjt=p（t，Sjt）或Zjt=p（t，Rjt），Rjt=tPtk=1Sjt。此外，确定每个粒子的停止时间τJ，jT=TτJ，jT=t1{Zjt≥PJt【ZjτJ，jt+1】}∩{Zjt>0}+τJ，jt+1{Zjt<PJt[ZjτJ，jt+1]}∪{Zjt=0}，t<t.（4.3），假设=NNXj=1Aj，其中Aj=LjteJ（Sjt，Vjt）eJ（Sjt，Vjt）\'{Zjt>0}NPNi=1{Zit>0}，bNt=NNXj=1bj，其中bj=LjtZjτJ，jt+1eJ（Sjt，Vjt）1{Zjt>0}NPNi=1{Zit>0}满足limN→∞ANt=Ata。s、 和limN→∞bNt=bta。s、 式中，t=E[LteJ（St，Vt）eJ（St，Vt）\'{Zt>0}]P（Zt>0）=eE[eJ（St，Vt）eJ（St，Vt）\'{Zt>0}]P（Zt>0）和bt=E[LtZτJt+1eJ（St，Vt）1{Zt>0}]P（Zt>0）=eE[ZτJt+1eJ（St，Vt）1{Zt>0}]P（Zt>0），其中DEPDP公司Ft=Lt。现在，假设αJ，jt定义为αJ，0t=0，k=1，以及（αJ，jt，k）=（αJ，J-1t，k），Zjt=0αJ，J-1t+γLjtkχ（ZjτJ，jt+1- eJ（Sjt，Vjt）′αJ，J-1t）eJ（Sjt，Vjt），k+1），Zjt>0=（αJ，J-1t，k），Zjt=0（αJ，J-1t+γkχPNi=1Zjt>0N（bj- AjαJ，J-1t），k+1），Zjt>0，对于j=1，2。。。，N、 然后，如Kouritzin（201 8）limN所述→∞αJ，Nt=αJt=A-1tbta。s、 对于任何γ>0和limn→∞NNXj=1ZjτJ，J=eE[ZτJ]，算法的设计使这些弱相关的SLLN保持不变。然而，按照Kouritzin（2017a）的思路，未来还有一些数学工作要做，以获得理论收敛结果。16 M.KOURITZIN和A.Mackayith在Cl'ement et A l.（2002）yieldslimJ的帮助下→∞画→∞NNXj=1ZjτJ，J=eE[Zτ]，并给出了估计期权价值eE[Zτ]以及最佳执行τ的方法。算法4中描述了此过程。算法4可以通过使用系数的平均值‘αJ，Nt=NPNj=1αJ，Jt来近似Eee【ZτJt】来改进。该修改是通过为allt初始化“αJt=0”来完成的∈ {0, . . .

T- 1} ，在第11行之后添加以下行：(R)αJt=（（k- 1） \'\'αJt+αJt）/k，并使用eJ（Sjt，Vjt）\'\'αJt计算第15行中的投影。通常，当没有平均值时，增益阶跃γkχ中的指数χ等于t到1。然而，χ的最佳值通常低于1，取平均值。使用正确的参数，平均系数可以加快算法的收敛速度。这种修改的另一个重要时代是，它显著提高了算法对参数γ和χ的鲁棒性；因此，新的alg算法更易于在实践中使用，因为可以在更宽的参数间隔内实现收敛。由于投影系数取决于停止时间，而停止时间取决于投影系数，因此仍然存在一个潜在的问题。幸运的是，相关性可以解耦：αJ，jt依赖于τJ，jt+1和τJ，jt依赖于αJ，Nt，这意味着我们必须向后工作，使用事实τJ，jt=T，并在τJ，jt之前计算αJ，Nt。以下算法反映了这一点，其中{ek}Jk=1是所选的基函数，γ是一个正常数。数值结果在本节中，我们将说明如何使用branching来提高算法3的精度和效率。Kouritzin（2 018）在Heston模型中的路径依赖期权定价工具中展示了该算法。然而，模拟方法的一个缺点是它依赖于可能性或权重，其方差随时间增加，可能会降低蒙特卡罗价格估计的准确性。在这里，我们考虑三种不同的参数集，以确定分支明显提高加权模拟算法性能的情况。

表1给出了考虑的参数。我们表明，对于给定数量的模拟，分支通常在提高价格估计的精度和减少其方差方面非常有效。为了进行模拟，我们每年使用m个时间步长离散时间范围。我们首先考虑到期日为T的亚洲和欧洲跨座期权，在对提前行使的亚洲期权进行定价时，只需模拟RJ。选择这些参数是为了说明分支算法的效率，而不是它们对特定财务数据的适用性。分支粒子价格17算法4随机近似1：程序AmericanOptionPricing（ek，γ，χ，N，T）2：ζ=0，λ=03：{αJt=0}T-1t=0，{τJ，J=T}Nj=14：模拟{Lj，Sj，Vj，Rj}Nj=1，（^L，^S，^V，R）5的副本：Zjt=p（T，Sjt）或p（T，Rjt），用于所有T∈ {0，…，T}，j∈ {1，…，N}。6： 对于t=t- 1到0 do7：k=08：对于j=1到N do9：如果Zjt>0，则10：k=k+111：αJt=αJt+γLjtkχ（Zjτj，j- eJ（Sjt，Vjt）′αJt）eJ（Sjt，Vjt）12：结束if13：结束for14：对于j=1到N do15：如果Zjt>0且Zjt≥ eJ（Sjt，Vjt）′αJtthen16:τJ，J=t17:结束if18:结束for19:结束for20:期权价值=PNj=1LjτJ，jZjτJ，jPNj=1ZjτJ，j21:结束程序使用ZT=p（T，ST）=ST- K |对于欧式选项a和ZT=p（T，RT）=RT- K |亚洲期权。表1：。用于数值示例的市场参数。PS1 PS2 PS3S100 100 100u0.02 0.02 0.02ν0.085 0.424 0.225 6.21 6.00 2.86κ0.2 0.8 0.6ρ-0.7-0.75-0.96V0.501 0.11 0.07n 9 3 34ν/κ8.50 2.65 2.50在所有情况下，使用定理1的显式弱解需要模拟权重Ljsince4νκ不是整数。18 M.KOURITZIN和A.MACKAYWe在没有提前练习的情况下选择了第一个价格选项，以强调分支对模拟算法效率的影响。

然后，我们使用第4节的算法对美式期权定价，并表明当需要重新抽样时，应使用branchingalgorithms代替bootstrap算法。5.1. 仿真算法的效率。在本节中，我们使用第3.2节中介绍的分支算法，结合加权模拟法（算法3）对金融期权进行定价。蒙特卡罗价格估计是使用加权模拟价格路径计算的，我们假设不允许提前执行。换言之，有支付权的期权的价格估计由BC=PNj=1LjTZjTPNj=1LjT给出。（5.1）使用算法3和Simpson\'srule，每年50个时间步和M个子区间（具体值见表2）进行模拟，以计算确定性积分。分支参数rt（用于组合分支）和CEFF、cneff（用于有效分支）以及停止参数ε的选择方式如下：（1）找到ε*最小化NPNj=1（LjT- 1).（2） 使用ε*, 发现rt（用于组合分支）或ceff、cneff（用于有效分支）最小化PNj=1（LjTSjT-euTS）PNj=1LjT.使用已知量E【LT】=1和E【ST】=Eut可以有效校准分支参数。然而，我们注意到，根据问题的不同，目标函数PNj=1（LjTSjT-euTS）PNj=1LjT不平滑，因为它是基于模拟的，并且通常几乎偏离其最小值，这使得识别最佳参数更加困难。然而，可以确定算法中可以使用的良好参数的间隔。我们注意到，在PS2和PS3的情况下，4νκ接近2，这是伐木条件的阈值。因此，虽然在所有情况下都满足了确保VT不做任何事情的伐木条件，但我们预计，与PS1相比，使用PS2和PS3时，VT将更接近0。

由于weightedsimulation算法下面的显式解决方案仅在VT任意接近0之前有效，因此使VT远离0的参数设置应该“更容易”进行模拟。这解释了为什么对于第二个和第三个参数集，我们需要更小的时间子间隔来模拟Vt（即M=6）和更高的ε。实际上，设置ε=10-5有助于捕捉波动性下降过多的新路径，从而导致权重爆炸。发生这种情况时，权重设置为0；粒子被有效地从蒙特卡罗估计中去除，导致了一个偏差，我们表明这个偏差很小。分支粒子价格19表2。用于数值示例的模拟参数。PS1 PS2 PS3M 2 6 6m 50 50rt1.05 1.05 1.05ceff1.055 1.05 1.045CNEF0.2 1.5ε10-10-5.-55.1.1. 价格估算的准确性。在某些情况下，分支对于获得快速准确的定价算法至关重要。我们通过使用表1的市场参数和表2的模拟参数对欧洲跨接期权（可使用封闭式FORM）进行定价来说明这种情况。也就是说，我们使用（5.1）计算期权价格bc的蒙特卡罗估计量。为了测试Various定价算法的准确性，我们使用相对RMSeke[（bC- C） ]C，其中C是使用Heston模型中欧式期权价格的积分形式计算的实物期权价格（见Heston（1993）和Albrecher et al.（2007））。我们计算N的相对RMSE∈ {10，5×10，10，5×10}模拟。图1显示，对于第二和第三个参数集（PS2和PS3），价格估计的相对RMSE通过分支显著降低。

然而，对于第一个参数集（PS1），Branchingis的必要性较低，仅加权算法3就可以得到非常精确的估计。如上所述，选择分支参数rt、ceffand cneff来优化定价算法的性能。根据所使用的参数，产生的支链粒子的最佳比例会有所不同。PS1（低于20%）的比例远低于PS2和PS3（介于30%和35%之间）。用于近似数值积分的区间数M的选择取决于参数。表3显示了价格估算的RMSE对M变化的敏感性。为了隔离M对RMSE的影响，我们在不重新采样粒子的情况下执行所有计算。用PS1得到的结果在M=2时已经非常精确；增加它不会降低RMSE，但会减慢算法的速度。PS2和PS3并非如此；M的增加对RMSE有显著影响。我们注意到，在PS2的情况下，使用M=8可以得到更精确的结果，同时还可以进一步增加执行时间。我们还观察到，对于f或固定的M，PS1的算法要慢得多，因为它需要模拟n=9个高斯过程（相比之下，PS2和PS3的n=3）。但是，使用M=2允许运行时间保持较低。20 M.KOURITZIN和A.MACKAY0.00250.00500.00754.0 4.5 5.0 5.5log10（N）相对RMSecombinedeffective无分支（A）PS10.0050.0100.0154.0 4.5 5 5 5.0 5 log10（N）相对RMSecombinedeffective无分支（B）PS20.0040.0080.0124.0 4.5 5 5 5 5 5.0 5 log10（N）相对RMSecombinedeffective无分支（C）PS3图1。价格估计器^C在模拟数量、欧洲跨座期权方面的相对RMSE。5.1.2. B分支算法的性能。

我们已经证明，对于给定数量的初始粒子，分支可以提高价格估计的准确性。然而，这一额外步骤会减慢pr结冰算法的速度。在本节中，我们将价格估计的标准差视为时间的函数。除欧洲期权外，我们还对固定行使K=100的亚洲期权进行定价，因为不存在封闭式表达式。由于其速度快，加权模拟算法特别适合路径相关选项（另见Kouritzin（2018））。分支粒子价格21表3。价格估计器^C的运行时间（以秒为单位）和相对RMSE作为M的函数，欧洲跨座期权，N=10模拟，无分支。M 2 4 6 8PS1RMSE 0.0017 0.0022 0.0026 0.0022运行时间3.98 7.14 10.32 13.50PS2RMSE 0.4223 0.0315 0.0177 0.0044运行时间1.90 2.99 4.09 5.21PS3RMSE 0.2054 0.0105 0.0047 0.0050运行时间1.90 2.98 4.09 5.21为了比较alg算法的性能，我们考虑估计相对于真实期权价格的标准偏差，我们通过计算50次价格估计来近似。在欧式期权的情况下，使用SEMI分析公式计算真实期权价格。使用N=5×10和有效粒子分支的加权算法获得的50个价格估计值的平均值被认为是亚式期权的“真实”价格。在某些情况下，分支明显提高了pricingalgorithm的性能。PS2和PS3也是如此；从图2和图3中可以看出，使用BranChing时，可以更快地得出价格估计器的标准偏差。