分支粒子价格与赫斯顿示例

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英文标题：
《Branching Particle Pricers with Heston Examples》
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作者：
Michael A. Kouritzin, Anne MacKay
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  The use of sequential Monte Carlo within simulation for path-dependent option pricing is proposed and evaluated. Recently, it was shown that explicit solutions and importance sampling are valuable for efficient simulation of spot price and volatility, especially for purposes of path-dependent option pricing. The resulting simulation algorithm is an analog to the weighted particle filtering algorithm that might be improved by resampling or branching. Indeed, some branching algorithms are shown herein to improve pricing performance substantially while some resampling algorithms are shown to be less suitable in certain cases. A historical property is given and explained as the distinguishing feature between the sequential Monte Carlo algorithms that work on path-dependent option pricing and those that do not. In particular, it is recommended to use the so-called effective particle branching algorithm within importance-sampling Monte Carlo methods for path-dependent option pricing. All recommendations are based upon numeric comparison of option pricing problems in the Heston model.
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中文摘要：
提出并评价了在路径相关期权定价模拟中使用序贯蒙特卡罗方法。最近的研究表明，显式解和重要性抽样对于有效模拟现货价格和波动率非常有用，尤其是对于路径相关期权定价而言。生成的模拟算法类似于加权粒子滤波算法，可通过重采样或分支进行改进。事实上，本文展示了一些分支算法以显著提高定价性能，而一些重采样算法在某些情况下不太合适。给出了一个历史属性，并解释为适用于路径相关期权定价的顺序蒙特卡罗算法与不适用于路径相关期权定价的顺序蒙特卡罗算法之间的区别。特别是，建议在路径相关期权定价的重要抽样蒙特卡罗方法中使用所谓的有效粒子分支算法。所有建议均基于赫斯顿模型中期权定价问题的数值比较。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Branching_Particle_Pricers_with_Heston_Examples.pdf (368.61 KB)

2022-6-24 06:27:30 上传

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关键词：Applications Quantitative Monte Carlo Computation QUANTITATIV

以赫斯顿（HESTON）为例，对粒子价格进行了分支，如米切尔A.库里津（Smichael A.KOURITZIN）和安妮麦凯大学（ANNE MACKAYUniversity of Alberta）以及乌卡马布斯特拉特（UQAMAbstract）。提出并评价了在路径依赖定价模拟中使用序贯蒙特卡罗的方法。最近，有研究表明，显式解决方案和重要性抽样可以有效模拟现货价格和波动率，尤其是路径相关期权定价。由此产生的模拟算法类似于加权粒子滤波算法，可通过重采样或固定加以改进。实际上，本文展示了一些分支算法，以实质性地改善定价性能，而一些重采样算法在某些情况下不太合适。给出了一个历史属性，并解释为适用于路径相关期权定价的顺序蒙特卡罗算法与不适用于路径相关期权定价的顺序蒙特卡罗算法之间的区别。特别是，建议在重要抽样蒙特卡罗方法中使用所谓的有效粒子分支算法进行路径相关期权定价。所有建议均基于赫斯顿模型中期权定价问题的数值比较。简介几年前，赫斯顿（1993年）推出了一种经受住时间考验并广受欢迎的资产模型。它的流行源于欧式期权价格封闭形式解的可用性和随机波动性的包含。在某种程度上，它是“随机波动世界的布莱克-斯科尔斯模型”，广泛用于模拟股票、债券和外汇价格。

最近，Kouritzin（2 018）引入了易于模拟的Heston模型二维随机微分方程（SDE）解的显式弱解。让(Ohm, F、 {Ft}Tt=0，P）是支持（标量）独立标准布朗运动B，β的完全过滤（风险中性）概率空间。然后，Heston（1993）对资产价格S及其波动率Vbyd进行了建模StVt公司=uStν- 及物动词dt+p1- ρStVtρStVt0κVt！dBtdβt, （1.1）关键词和短语。美式期权，序贯蒙特卡罗，分支过程，赫斯顿模型，随机逼近。支持这项工作的部分资金由NSERC发现拨款和FRQNTresear ch对新学者的支持提供。2 M.KOURITZIN和A.MACKAYwith parametersu∈ R、 ρ∈ [-1，1]和ν，, κ > 0. 对于某些n，当ν=nκ时，该模型对P有一个显式解（对于所有t>0）∈ {1, 2, 3, . . .}.否则，仍然可以针对新的概率BP up unt il（波动率下降过低的停止时间）生成显式解决方案。不允许闭式解的期权价格通常通过蒙特卡罗模拟进行定价。使用Kouritzin（2018）的显式解，可以模拟多个Heston pa ths{（Sjt，Vjt），t≥ 0}Nj=1有效。由于在下一段中会很明显的原因，我们通常将这些模拟路径中的每一条都称为粒子。每个粒子（Sjt，Vjt）在定价度量P下都有期望的分布（我们想要定价的下一个），并且相关的可能性（或Radon-Nikodym导数）Ljt=PbPjFt可以视为其重量。因此，Kouritzin（2018）期权定价的模拟算法可以被认为是顺序蒙特卡罗方法中加权粒子滤波器的模拟，在每个时间步产生σN[0，t]=NPNj=1Ljtδ（Sj[0，t]，Vj[0，t]）形式的加权经验度量。

这里，δ（Sj[0，t]，Vj[0，t]）表示Dirac测度，（Sj[0，t]，Vj[0，t]）表示第j个粒子的价格和波动率在[0，t]上的路径，但从t开始保持不变。本文的目的是讨论重采样和分支在期权定价过程中的使用，其方式与顺序蒙特卡罗方法中使用重采样和分支的方式大致相同。加权粒子滤波器（归功于Handschin（19 70），Handschin&Mayne（1969））也产生了σN[0，t]形式的对象，作为跟踪和模型选择等问题中非正规滤波器的近似值。虽然应用和精确的可能性形式不同，但人们可以在蒙特卡罗-赫斯顿模拟的背景下以同样的方式思考整个对象。粒子可能性{Ljt}Nj=1提供了模拟路径{（Sj[0，t]，Vj[0，t]）}Nj=1是基础模型路径（S[0，t]，V[0，t]）的良好表示的相对几率。然而，粒子过滤（或顺序蒙特卡罗）中有一个众所周知的问题：如果单独使用，随着t的增加，许多模拟粒子{（Sit，Vit）}Ni=1会离开基础模型（St，Vt），从而将粒子系统缩小到越来越少的相关粒子（即模型的良好表示的粒子）。顺序蒙特卡罗法的解决方案是以无偏的方式定期对粒子进行重新采样或分支，以杀死坏粒子，同时以高概率复制好粒子。Gordon等人（1993年）提出的第一种也是目前最流行的算法，称为bootstrap算法，它只是根据不同粒子的相对可能性，将不同粒子独立地重新分布回其最后观察到的位置。

该算法后来通过Liu和Chen（1998）的剩余重采样、北川的分层重采样（1996）、Douc和Capp\'e（2005）中讨论的组合重采样和Carpenter等人（1999）的系统重采样进行了改进。在所有情况下，都进行了足够的重采样，以便在重采样后将权重Lit重置为1。不同的方法是takenin Kouritzin（2017b）。在这里，粒子是单独分支的，而不是集体重新采样，分支仅在需要时发生。事实上，分支粒子定价3通过重新采样和分支来重新平衡系统的成本是引入噪声，噪声会立即降低估计值。因此，不需要过多的重新采样或分支。通过这种有限的分支，在分支后将保持权重。提出了不同的分支方法，即残差、组合、动态和有效的颗粒分支算法，并证明其在跟踪和模型选择方面优于上述所有重采样粒子算法（见Kouritzin（2017b））。Kouritzin（2017a）也对这些算法中最简单的残差算法进行了分析。在此，我们重点关注其中两种新的分支算法，并在Kour it zin（2018）的赫斯顿仿真框架中介绍它们。另外，我们从经验上表明，bootstrap算法不太适合路径依赖性强的期权定价，主要是因为其过度重采样会影响路径估计的分布。相反，我们展示了新分支算法的简单部署和有效性，并建议在基于模拟的pat h依赖选项优先级问题中使用所谓的有效粒子分支，当任何n∈ N（当ν=Nκ时，无需考虑分支或采样）。

为此，我们将重点放在路径相关期权和允许提前行使的期权的定价上。PATH相关期权，包括美式、亚式和掉期期权，可以使用模拟和动态规划（DP）进行有效定价。首先模拟基本期权价格和其他相关市场变量（如随机波动率）的路径，直至期权到期。然后，DP算法通过每次模拟（即粒子）在时间上向后运行，比较即时行使产生的收益与未行使期权的贴现未来（风险中性）预期收益。特别是，美式（和其他连续可执行）期权是离散近似的，因此产生了百慕大式期权，其最佳行使时间是从期权到期日开始递归确定的。Longsta off&Schwartz（2001）等人（见Carriere（1996）、Tsitsiklis和Van Roy（2001））在该方法中的一个关键突破是认识到可以使用模拟粒子路径估计贴现未来支出的条件预期，并且可以通过易于计算的预测来近似（不可计算的）条件预期。最初，在该投影过程中使用最小二乘回归。然而，这需要解决一个经常病态的线性方程组。Kouritzin（2018）随后提议用一步随机近似（SA）代替回归，这可以实现更高效、准确的定价，而不存在数值稳定性问题，但其性能对所选的阶跃增益敏感。为了降低算法对阶跃增益选择的敏感性，我们建议对基于Polyak和Juditsky（1992）的算法进行修改。

在此，我们进一步发展了Longstaff&Schwartz（2001）提出的蒙特卡罗定价方法，在该方法中引入了重要性抽样。最后，我们通过使用分支算法而不是使用相互作用的算法（如多项式引导）进行重采样，来证明重采样的先进性。4 M.KOURITZIN和A.Mackay本文的其余部分安排如下：在下一节中，我们回顾了Heston模型的弱解，并在建议重新采样或分支的框架中提出了加权Heston模拟算法。在第3节中，我们重新调用bootstrap算法，并解释为什么它不适用于美式期权定价。我们还介绍了分支算法，并将其插入加权Heston算法中，以产生新的组合有效粒子分支Heston模拟器。在第4节中，我们将这些分支模拟器插入到SA/DP期权定价算法中。第5节是我们关于期权定价的实证结果。最后，第6节包含了我们的结论。2、显式加权Heston算法Sheston（1993）在aspeci fic随机波动率模型中为欧洲看涨期权开发了一个封闭形式的解决方案。Broadie&Kaya（2006）随后提出了赫斯顿模型的精确模拟方法。这两种方法都是基于（St，Vt）分布的特征化和演化。后来，Kouritzin（2018）表明，赫斯顿SDE实际上是显式可解的，其方式非常便于模拟，这有助于对价格不能以封闭形式书写的奇异期权进行定价。具体来说，如果我们让νκ=nκ，uκ=u+ρκ（νκ- ν） ，（2.1）对于某些n∈ N、 然后在Kouritzin（2018）：定理1中得出了以下结果。Letε∈ (0, 1); T>0；五、 Sbe给定随机变量，V>ε；和{W。

，Wn，B}be独立标准布朗运动(Ohm, F、 {Ft}t∈[0，T]，P）。Let alsoeSt=Sexpp1级- ρZteVsdBs+hu-νρκit+ρκ-ZteVsds+ρκ（eVt- 五）（2.2）eVt=nXi=1（Yit），ηε=影响：eVt≤ εoand（2.3）eLt=exp（ν- νκ“lneVtV！+Ztκ- νκ- νeVs+ ds#）（2.4），其中Yit=κRte-（t-u） dWiu+e-如果i=1，2。。。，n，其中{Yi}ni=1满足V=nPi=1（Yi）。定义βt=nXi=1ZtYiuqPnj=1（Yju）dWiu+Zt∧ηεν - νκeVsds，andeP（A）=E[1AeLT∧ηε] A.∈ 那么，ηε是一个停止时间∧ηε是一个似然（即，对于任何r>0，关于P的非负Lr鞅，使得e[eLt∧ηε]=1表示所有t≥ 0). 此外，（B，β）是独立的标准布朗运动和D埃斯特夫特=ueStν- eVt！dt+p1- ρeSteVtρeSteVt0κeVt！dBtdβt！，t型≤ ηεuκeStνκ- eVt！dt+p1- ρeSteVtρeSteVt0κeVt！dBtdβt！，t>ηε（2.5）（在[0，t]上）相对于toeP。如果我们拿n=4νκ+∨ 1 in（2.1）（或等效于（2.3）），然后埃斯特夫特=uκeStνκ- eVt公司dt+p1- ρeSteVtρeSteVt0κeVt！dBtdβt,被称为最接近的显式Heston模型。然后，定理1提供了一种产生所需赫斯顿模型加权粒子的方法，直到波动率下降到ε以下，然后求助于最接近的显式模型。备注1（注）。我们使用，eV来求解P下的最显式hestonlodel，保留S，V来求解（1.1）。此后，我们将使用eβt=nPi=1RtYiuqPnj=1（Yju）DWIU和βt=eβt+Rt∧ηεν-νκeVsds。有必要在波动性变得太小之前停止（ηε）。事实上，当波动率达到Vt=0时，最接近的显式和一般的赫斯顿波动率方程是经济确定性方程Vt=νκdt，dVt=νdt，很明显我们有哪种解决方案。当νk6=ν时，模型分布彼此奇异。假设{（eLj，eSj，eVj，ηjε）}Nj=1是i.i.d。

（eL，eS，eV，ηε）的副本，其中定理1中的eS，eV，eL，ηε区域，andeSj[0，T]，eVj[0，T]表示jthparticle的（连续）路径。然后，通过（测度值）强大数定律，我们发现→∞NNXj=1eLjT∧ηjεδeSj[0，T]，eVj[0，T]=L（S[0，T]，V[0，T]）a.S.（2.6），其中右侧表示（S[0，T]，V[0，T]）自（2.5）的分布。然而，权重{eLjT∧ηε}Nj=1通常是非常不均匀的，因此车辆的有效数量，在这里用比率NeffT近似：=NPk=1eLkT.NPk=1eLkT公司, 6 M.KOURITZIN和A.Mackay比N小得多，且收敛速度慢（N）。我们将引入采样和分支以防止这种情况发生。3、序贯蒙特卡罗和分支赫斯顿算法上述章节的结果可用于有效模拟赫斯顿路径及其相关可能性，然后用于期权价格计算中的每条路径加权。为了避免少数路径的可能性明显高于其他路径的情况，从而增加估计的方差并降低模拟算法的性能，我们采用了粒子的规则重采样。我们首先回顾bootstrap算法，该算法稍后将被证明不适用于美国期权定价。然后，我们提出了两种分支算法，可以提高Kouritzin（2018）的Heston模拟程序的性能。3.1. 引导算法。bootstrap算法背后的主要思想是利用与每个粒子相关的似然度构造一个多项式分布，并从该分布中采样。为清楚起见，在算法1中，我们总结了bootstrap算法，该算法可用于Hestonmodel股票价格和波动率的模拟。备注2。

第5行中描述的步骤故意含糊不清，以免影响bootstrap算法。这些赫斯顿模拟详细信息显示在下面，可以插入以代替此步骤。然而，我们认为并通过实验证明，这种自举算法在美国式期权定价中的表现不如其他再映射算法，我们建议不要使用它。路径相关期权定价中bootstrap算法存在的问题是重采样噪声过大。假设我们一直跟踪每个粒子。当发生重采样时，“子粒子”会移动到“粒子位置”，通过将子粒子的路径附加到其父粒子的路径，可以创建历史路径{Sj[0，t]，Vj[0，t]}Nj=1。如果我们只关注离散时间，则在El Moral等人（2001）中可以看到，对于引导算法，limN→∞NNXj=1δ（Sj，Vj），（Sj，Vj），。。。，（SjT，VjT）=L（S，V） L（S，V） ··· L（ST，VT），意思是限制不是所需Heston模型的（离散时间）过程分布，而是边缘的产品度量，即独立性。这意味着历史属性（2.6）不成立，在使用自举法时，无法根据横截面数据正确确定未来贴现支付的条件预期，这对路径依赖型期权定价有重大影响。如果一个人错误地用boo t stra p计算了这个估计值，他或她将得到一个常规的期望值，而不是一个有条件的期望值，这对许多期权定价问题都没有用处。