分支粒子价格与赫斯顿示例

纠正f的一个好方法是切换到Kouritzin（2017b）中的分支算法。分支粒子价格7算法1引导算法1：过程引导（S，V，N）2：{（Sj，Vj，Lj）=（S，V，1）}Nj=13：WN+1=14：对于t=1到t独立地释放粒子5：使用定理1和{（Sjt-1，Vjt-1，Ljt-1） Nj=1}要创建N（bSjt，bVjt，bLjt）oNj=1.6：Lt=NPi=1bLitNormalize weights7：对于j=1到N do8：wjt=bLjtLt，pj=jPi=1wit9：结束10：k=N- 1示例11：对于j=N到1 do12：模拟[0，1]-均匀Uj13：Wj=UjjWj+114：而Wj≤ pkdo15：k=k- 116：结束w hile17：（Sjt、Vjt、Ljt）。=（bSk+1t，bVk+1t，1）18:end for19:end for20:end Procedure请注意，Del Moral等人（2001）提出的第二种（非自举）重采样算法具有所需的历史属性。然而，第二种算法比下面讨论的分支算法更慢，也更复杂。3.2. 分支算法。与上述boot-strap等集体重采样算法相比，个别分支通过简化决策提高了速度。分支（或杀死）粒子的决定（即对同一粒子进行多次采样或完全不采样的决定）基于该单个粒子的重量和所有粒子的总重量，而不是其他粒子的单个值。我们的基本分支框架在算法2中描述。第7行和第22行描述了算法2的关键步骤。它们以无偏的方式确定新的粒子数Nt和权重{Ljt}Ntj=1。分支算法的主要思想如下。当prior8 M.KOURITZIN和A。

MACKAYAlgorithm 2分支算法hm1：过程一般分支（S，V，N，T，r）2：对于T=1到T，使用定理13独立地对粒子进行模拟（bSjt，bVjt，bLjt）Nt-1j=1来自{（Sjt-1，Vjt-1，Ljt-1） Nt公司-1j=1}。计算平均权重4:At=NPNt-1j=1bljt检查哪些粒子到分支5：l=06：对于j=1到Nt-1do7：ifbLjt∈rtAt，rtAt然后将非固定粒子移动到最终矢量8：（Sj-lt，Vj-lt，Lj-lt）=（bSjt，bVjt，bLjt）9：else10：l=l+111：（bSlt，bVlt，bLlt）=（bSjt，bVjt，bLjt）12：结束if13：结束算法的分支部分14：Nt=l15：模拟{Wjt}Nt-1j=l+1，带Wjt~hj公司-l-1Nt-1.-l、 j-lNt公司-1.-li-Uniform16：设p是{l+1，l+2，…，Nt的随机置换-1} 17：Ujt=Wp（j）t18：对于j=l+1到Nt-1do19:Njt=jbLj-ltAtk+1（Ujt≤bLj公司-ltAt公司-$bLj公司-ltAt%！）20： 对于k=1至Njtdo21：（SNt+kt，VNt+kt，LNt+kt）=（bSj-lt，bVj-lt，At）22:end-for 23:Nt=Nt+Njt24:end-for 25:end-for 26:end-procedureweightbljt对于第j部分来说是极端的（即，在平均权重周围的某个间隔之外），我们进行（有限的）重复式分支，这有助于保持进程分布。分支的粒子会导致在与粒子相同的位置添加零个或多个粒子，这些粒子被指定为平均重量。换句话说，我们复制（或杀死）具有极端先验权重的路径，并给副本（如果有）当前的平均权重。当其先前的权重分支粒子价格9BLJT不极端时，粒子不会分支并保持其先前的权重。这类算法的灵活性在于我们如何确定“极端”。重采样参数r=（rt；t≥ 0）确定颗粒外部平均重量周围的间隙大小，其中颗粒被视为极端且分支。

可以使用不同的方法（见下文）获得该参数，并控制分支量：如果rt=∞, 那么就没有分支了。如果rt=1，则每个粒子都有分支。这两种情况很少都是好的。相反，我们会寻找一个好的固定∈ (1, ∞) （联合分支）甚至使RTdependent依赖于粒子系统（有效的粒子分支）。当需要记录整个路径而不仅仅是其初始值时，我们只需将子路径附加到其父路径。接下来，每个孩子≥ 2在时间t具有唯一的参数- 1和祖父母t- 2但一个阁楼t在t+1时可能没有或有几个孩子。然后，历史路径{Sj[0，T]，Vj[0，T]}NTj=1（或其离散化）可用于期权定价。实际上，在第5节中，我们使用LIMN为期权定价→∞NNXj=1bLjT∧ηjεδbSj[0，T]，bVj[0，T]=L（S[0，T]，V[0，T]）a.S.（3.1）精确的数学证明类似于Kourit-zin（20 17a）中定理5.1中的强大数定律，但仍有待进一步研究。有关这种分支alg算法框架的更多信息，请参见Kouritzin（2017b）。K-ouritzin（2017b）中讨论的这些分支算法的一个关键方面是粒子数变化不大。野生粒子数变化可能会影响性能并导致方法失败。请注意，第4行中的平均权重由粒子的初始数量（而不是电流）进行归一化，这将强制给定电流的未来粒子的预期数量为初始N。我们在下面给出了两个分支选项。第二个是第一个的竞争对手，应该表现更好。

我们提到分支算法的性能取决于它们控制粒子数的能力，以及在什么情况下它们会分支更多，请读者联系库里津（2017b），了解更多详细信息和其他分支算法。3.2.1. 组合分支。这是算法2中使用的基本算法。它使用分级重采样来帮助控制粒子数并提高算法性能。{ρjt}Nt-1j=1呈负相关，这对于粒子控制是可取的。由于{ρjt}Nt之间的负相关，大量新粒子的生成更有可能在生成少量新粒子后得到补偿-1j=1。在算法2的第7到12行中，我们处理非分支部分ICLE，同时移动将分支到该行前面的ICLE。在第15行中，我们创建所需数量的分层均匀随机数{Ujt}，在第18至22行中，我们对指定用于分支的粒子进行分支。ρjt=1Ujt公司≤bLjtAt公司-bLjtAt公司10 M.KOURITZIN和A.MACKAYso我们实际上使用的是残留技术（见KOURITZIN（2017b））。然而，生成负相关{ρjt}Nt-1j=1，而不是像Kouritzin（20 17b）的剩余分支算法那样的独立分支算法，降低了获得大部分大或大部分小均匀随机数的概率。这减少了ρjt的变化，从而减少了粒子的数量。备注3。在组合分支中，我们使用合适的固定rt=r>1。更好的值取决于模型，我们的选择在第5节的每个示例中给出。对于大多数问题，在每个时间步分支的路径的最佳比例在0.05到0.65之间。

对于给定的问题，可以通过最小化均方根误差（RMSE）或另一种方法来选择n，即在理论上已知的量的理论值和估计值之间的差异，如LTO或ST的实验。可以使用随机梯度下降算法来实现这种最小化。在许多情况下，RMSE对r不太敏感。在这种情况下，应选择r来管理现在添加分支噪声和重新分布粒子以更好地未来使用之间的权衡。3.2.2. 有效颗粒破碎。在之前的方法中，常数rts仅用于隐式。如果一个人需要快速、准确的期权定价，那么还有更好的选择。直接使用定理1产生的不均匀权重s会导致可估计的有效粒子数Neff。在我们的环境中，有效和非有效粒子的估计数量为：Nefft-1=NAtNt-1Pj=1bLjt公司=Nt公司-1Pj=1bLjt！Nt公司-1Pj=1bLjt公司, Nnonef英尺-1=Nt-1.- 内夫特-1、从第二个等式可以看出，Nefft-1=Nt-1如果所有BLJT都相同，那么所有粒子都具有相同的效果和Nefft-1=1，如果除一个外，所有BLJT均为0，则只有一个有效粒子。（BLJT中没有一个可以为零，但它们可以非常接近。）否则，它会给我们一个介于两者之间的数字，可以解释为粒子的有效数量。在几乎没有有效粒子的情况下，当更多或更少的粒子分支时，预测更好的结果是非常合理的。第一个直觉可能会让我们得出这样的结论：为了立即获得更多的有效粒子，最好进行更多的压缩。然而，如果这几个高质量的粒子碰巧是错误的，那么我们很可能会创建这些“坏”路径的大量副本。

我们不假设任何先验，而是在有效粒子分支算法中，我们设置RT=ceffNefft-1+cnonef fNnonef英尺-1Nt-1=cnonef f+（ceff- cnonef f）Nefft-1Nt-1（3.2）对于实验测定的常数ceff，cnonef f>0，由数据决定。分支粒子价格113.3。加权显式赫斯顿模拟。现在，我们将注意力转向基本分支算法hm中的第3行（该步骤也出现在bootstrap算法的第5行），其中（Sjt-1，Vjt-1，Ljt-1） Nt公司-1j=1经过进化以获得（bSjt、bVjt、bLjt）Nt-1j=1。在此，我们回顾了如何使用定理1执行这一步骤（另请参见Kouritzin（2018））。定义常量A=p1- ρ、 b=u-νρκ，c=ρκ-, d=ρκ，e=ν- νκ，f=eκ- ν - νκ，我们发现（2.2,2.4）可以重写为eSt=eSt-1expaZtt公司-1eVsdBs+b+cZtt-1eVsds+d（eVt-eVt公司-1)（3.3）eLt=eLt-1exp（elneVteVt-1!+ !+ fZtt公司-1eVsds），（3.4），简化了未来时间步的数值模拟。事实上，（3.3）中的托氏积分是有条件的（给定的）高斯积分，因为EV和B是独立的，所以它可以模拟为一个中心正态随机变量，方差aRtt-1EVSD。即使是可能性（3.4）也可以避免随机整数。有许多方法可以计算（3.3）和（3.4）中的两个确定性积分。Kouritzin（2018）提到，辛普森的规则M=6是一个不错的选择。一般来说，M的选择应取决于Heston的模型参数，更具体地说，取决于比率νκ和时间步长的大小。事实上，如果νκislow（或者在我们的情况下，如果4νκ接近2），则应使用更大的M，即一个较小的离散化，以便模拟的Vjt不会降得太接近零。当νκishigher时，数值试验表明，使用较小的M不会影响估计的精度（见第5.1节）。

在这种情况下，最好使用较低的值f或M来加速算法。当然，如果模拟中使用的时间步长较长，则应选择较大的M来提高确定性积分的精度。然而，由于算法3的优点之一是速度快，我们建议在需要在短时间间隔内模拟金融市场时，使用它来为路径相关期权定价。对于算法的介绍，移除颚化符并定义另外两个常数σM=κs1将非常方便- e-M4级, αM=e-2米。（3.5）算法3给出了使用长度为1的T时间步长模拟赫斯顿模型路径的结果程序。备注4。算法3以其最基本的形式呈现。通过对Zj，i’s使用对偶变量，可以进一步提高算法的性能。进一步加速算法的另一种方法是生成大量正态随机变量样本，并以这种方式重新使用它们，以最小化由此产生的依赖性。该方法的应用为今后的工作奠定了基础。12 M.KOURITZIN和A。

MACKAYAlgorithm 3加权模拟1：程序加权模拟（S、V、n、n、M、T）2：（Sj，Lj，ηjε）=（S，1，T）Nj=1，nYj，i=qVnoN，Nj，i=1，nVjkM=0oN，M Tj，k=13：对于t=1到t do4：{Vjt=0}Nj=05：对于k=M- 1到0 do6：生成（0，1）-正态随机变量{Zj，i}N，nj，i=17：{Yj，it-kM=αMYj，it-k+1M+σMZj，i}N，nj，i=18：{Vjt-kM=Vjt-kM+Pni=1（Yj，it-kM）}Nj=19：结束10：（IntVj=Vjt-1+4Vjt-M-1M+2Vjt-M-2M+···+2Vjt-M+4Vjt-M+Vjt3M）Nj=111：生成N0，a√IntVj公司-法线{Zj}Nj=1.12：{Sjt=Sjt-1exp（Nj+b+c IntVj+d（Vjt- Vjt公司-1） ）}Nj=113：对于j=1到N do14：如果t≤ ηjεthen15：如果水貂∈{0,1，…，M-1} Vjt公司-kM>εthen16：IntVj=3M“Vjt-1+Vjt-M-1M+Vjt-M-2M+···+Vjt-M+Vjt-M+Vjt#17：Ljt=Ljt-1expe自然对数VjtVjt-1.+ + fIntVj公司18： else19：ηjε=t-120：结束if21：结束if22：结束for23：结束for24：结束过程4。SA/D P算法定价我们现在将注意力转向赫斯顿模型中的美式期权定价。我们未来使用的风险中性（定价）指标是（2.5）中EP表示的指标。换句话说，对于任何n，ν6=nκ∈ N、 为了定价，我们必须借助算法3以及分支来模拟（S，V）的路径。我们考虑的期权只能在到期前或到期时的任何时间行使一次。期权的支付过程代表了分支粒子价格13投资者收到的金额，前提是在t行使期权，对于t∈ {0，1，…，T}我们用{Zt，T}表示这个过程≥ 0}并假设对于某些非负可测函数p，满足Zt=p（t，St）或Zt=p（t，Rt），其中Rt=tPtk=1是基础资产价格的运行平均值。例如，使用符号x+=max（x，0），我们得到p（t，St）=e-ut（K- St）+对于美式看跌期权或p（t，Rt）=e-ut（K- Rt）+用于亚洲推杆和早期练习。

回想一下（2.5），u表示风险中性度量的发育迟缓漂移，因此e-ut从时间t到0查找付款。备注5。在数值实现中，应通过设置R=0和rt=t，从价格S中粗略计算运行平均价格Rt- 1 RT-t的1+TST∈ {1，2，…，T}。带支付流程Zt的美式期权t=0时的价格，由Cis定义的asC=supτ表示∈T0，TeE[Zτ]，（4.1），其中，Tt，tde表示停止时间的集合，取{t，t+1，…，t}中的值，e表示对toeP的期望。通过让τt∈ Tt，Tbe，使ee[Zτt]=supτ∈Tt，T形三通[Zτ]和0≤ τ≤ τ≤ ··· ≤ τT=T，我们有C=eE[Zτ]。因此，美式期权定价问题涉及计算不同价值t的ee[Zτt]∈ {0，…，T}，这可以使用蒙特卡罗模拟和动态规划来完成。这种所谓的最小二乘蒙特卡罗方法具有高度灵活性的优点（参见Longstaff&Schwartz（2001），Cl'ement等人（2002））。在此，我们回顾了该方法的主要思想，并提出了一种利用随机逼近技术提高执行速度和数值稳定性的算法（另见Kouritzin（2018））。如下所述，定价算法的一个关键步骤依赖于未来支付的预测。Cl'ement等人（2002年）使用了下文讨论的一般假设，以确保该项目能够正确进行。我们首先不认为该过程依赖于马尔可夫链{Xt}的基础模型∞t=0，并且在支付形式上，Zt=f（t，Xt）。因此，当根据运行平均值对支付进行定价时，有必要在基础模型中添加第三状态变量Rt。我们用D=DS×DV×dr表示Markovprocess（S，V，R）的状态空间。

然后，需要以下假设来使用投影来近似Eee【Zτt】。由于我们只考虑椎间盘rete运动时间，我们从技术上来说是百慕大群岛的选择。为了便于记法，我们使用N的子集来表示可能的运动时间，而不损失一般性。有关美式期权定价的更多详细信息，请参见比约克（2009）第21章。14 M.KOURITZIN和A.MACKAYoTotal：存在可测量的R值函数（ek）∞k=1on D，使得{ek（St，Vt，Rt）}∞对于所有t=1，…，k=1是总的L（σ（St，Vt），1{Zt>0}deP）。。。，T-1.非单数：eE[eJ（St，Vt，Rt）（eJ（St，Vt，Rt））\'{Zt>0}]对所有J都是正定义∈ N、 其中eJ=（e，…，eJ）′。这些条件的要点是我们需要一个合适的函数集合{ek}∞k=1可用于预测未来薪酬。通常，{ek（St，Vt，Rt）}∞k=1是基函数{ek（St），ek（Vt），ek（Rt）}的序∞k、 k，k=1。基函数的不同选择是可能的。Longstaff&Schwartz（2001）提到了加权L aguerre、Hermite、Legendre、Chebyshev、Gegenbauer和Jacobi多项式。Kouritzin（2018）还讨论了对Haar多项式的修改。这两篇文章都在数值例子中使用了加权拉盖尔多项式，这就是我们在第5节中所做的。从理论上讲，通过从T向后工作可以获得合适的停车时间：（τT=T，τT=t1{Zt≥eE【Zτt+1 | Ft】}∩{Zt>0}+τt+1{Zt<eE[Zτt+1 | Ft]}∪{Zt=0}，T<T.（4.2）备注6。通常，eE[Zτt+1 | Ft]>0 so∩{Zt>0}和∪{Zt=0}不影响（4.2）中的递归。实际上，条件期望{eE[Zτt+1 | Ft]}t-1t=0，并且不能立即计算停车时间。因此，我们遵循Long Staff&Schwartz（2001），并通过预测eJ（St，Vt）的闭合线性范围来近似条件预期（另见Cl'ement et al。