亚扩散Black-Scholes模型的加权有限差分法

n- 1,0，在其他情况下，通过（7）和（10）的线性组合，我们得到一个加权方案：C^u=^u+（1- θ） G+θG+θB^u，C^uk+1=k-1Xj=0北京- 北京+1英国-j+bk^u+（1- θ） Gk+1+θGk+θB^uk，（11）其中k≥ 1，C=θI+（1- θ） A，θ∈ （8）中定义了相应的初始边界条件。Le tus表示，在经典B-S模型的情况下，θ=1/2定义了C-N方案【15】。基于这一事实，在整篇论文中，我们假设如下：定义3.1。θ=1/2的方案（11）称为C-N离散方案。3.2. weig-hted离散模式的一致性在本节中，我们将展示以下定理3.1。对于θ∈ [0、1]和1≤ 我≤ n、 1个≤ j≤ N、 截断错误RjifollowsRji公司≤ Cmaxtαt2级-α+ x个.证明：。正如【18】中所述，卡普托导数可以表示为如下cdαt=Γ（1- α） kXj=0u（x，tk+1-j）- u（x，tk-j）tα（j+1）1-α- j1-α+ rk+1t、 其中RK+1t型≤ 铜t2级-α.另一方面，我们可以应用（9）。具有截断误差的离散加权方案的完整公式如下所示：-广告x+bd2x！（θui+1+（1- θ） ui+1）+2adx+cd！（θui+（1- θ） 用户界面）-广告x个-bd2x！（θui-1+ (1 - θ） 用户界面-1） =用户界面- ui+（1- θ） Ri+θRi，-广告x+bd2x！（θuki+1+（1- θ） 英国+1 I+1）+2 ADx+cd！（θuki+（1- θ） 英国+1i）-广告x个-bd2x！（θuki-1+ (1 - θ） 英国+1i-1） =bkui- 英国+1i+k-1Xj=0北京- 北京+1英国-ji+（1- θ） Rk+1i+θRki。（12） 这里是k≥ 1，i=1，2，n- 1和（8）中定义的相应初始边界条件。通过卡普托导数的近似和（9），我们得到Rji公司≤ Cji公司tα(t2级-α+ x） ，其中Cjiare常量（1≤ 我≤ n、 1个≤ j≤ N） 。让我们表示Cmax=max1≤我≤n、 1个≤j≤NCji。然后，对于截断错误，它需要Rji公司≤ Cmaxtαt2级-α+ x个.注意，参数θ对上述分析没有影响。3.3.

用冯·诺依曼方法处理加权离散模式的稳定性。对于l=0，1。n，k=0，1。。，N让我们表示ukl=u（xl，tk）-数值格式的精确解，^ukl-ukl的某种近似。省略截断错误和引入后，GEKL=ukl- ^ukl，（12）h的形式为：-广告x+bd2x！θei+1+（1- θ） ei+1+2adx+cd！θei+（1- θ） ei公司-广告x个-bd2x！θei-1+(1 - θ） ei公司-1.= 工程安装- 工程安装，-广告x+bd2x！θeki+1+（1- θ） ek+1i+1+2adx+cd！θeki+（1- θ） ek+1i-广告x个-bd2x！θeki-1+(1 - θ） ek+1i-1.= bkei公司- ek+1i+k-1Xj=0北京- 北京+1埃克-ji，ek=ekn=0，（13），其中k≥ 1，i=1，2，n- 1、我们引入以下网格函数：ek（x）=ekl，x∈xl码-1/2，xl+1/2, l=1，2，n- 1,0，x∈（xmin，xmin+x/2]∪ [X最大值- x/2，x最大]。因为ek=ekn，我们对Ekl进行周期为Y=xmax的周期展开- xmin。那么ek（x）具有以下傅立叶级数展开：ek（x）=∞Xj公司=-∞vkjexp（2 jπxi/Y），其中vkj=YZYek（x）exp（2 jπxi/Y）dx，i=√-1，k=0，1。N、 我们定义了标准k·kxas公司埃克x=vutn-1Xj=1x个ekj公司,式中，ek=（ek，ek，…，ekn-1).因为ek=ekn=0，所以它如下埃克x=ZY埃克（x）dx公司=埃克（x）,其中k·k是L[0，Y]。使用Parseval标识，我们可以：埃克x=n-1Xj=1x个ekj公司= Y∞Xj公司=-∞vkj,k=0，1，N、 基于上述分析和xl=xmin+lh的事实，我们推断（13）的解的形式为：ekl=vkeiλ（xmin+lh），（14），其中λ=2πlY。代入（13），我们得到：-广告x+bd2x！eiλx+adx+cd！-广告x个-bd2x！e-iλx！θv+（1- θ） 五= v- v-广告x+bd2x！eiλx+adx+cd！-广告x个-bd2x！e-iλx！θvk+（1- θ） vk+1=k-1Xn=0（bn- bn+1）vk-n+bkv- vk+1，k≥ 1.（15）为了继续，我们必须找到系数bj之间的关系。提案3.1。系数bj=（j+1）1-α- j1-α满足：1。bj>0，j=0，1。2.1=b>b>···>bk3。利姆→∞bk=04。k-1Xj=0（bj- bj+1）+bk=1屋顶：。1.

bj=（j+1）1-α- j1-α> 0，代表j≥ 0和α∈ (0 , 1).2、对于x≥ 0让我们考虑函数b（x）=（x+1）1-α-x1-α. 注意b′（x）=（1-α） （（x+1）-α-x个-α） <0，因此函数严格递减为x≥ 0.3. 这是（1）和（2）的结果，因为正系数的严格递减序列收敛到0.4。k-1Xj=0（bj- bj+1）+bk=（1）- b） +（b- b） +（b- b） +··+（黑色-1.- bk）+bk=1。现在我们将检查在哪些条件下| vn |≤v对于每个n=1，N、 那么埃克≤e, 换句话说，加权方案是稳定的。定理3.2。Letθ∈ [0，1）。如果（i）1- 日志2.-θ1 - θ≤ α、 或（ii）1- 日志2.-θ1 - θ> α或θ=1，以及不等式d（θ-(1 - θ） （b）- b） （）4a级x+c+bx！≤ 2c（b- b） ，（16）成立，则方案（11）稳定。证明：。我们必须证明（14）中定义的vn遵循| vn |≤v对于n=1，2，k、 让我们表示ζ=-4 sinλx！+2.-广告x！+2adx+cd- 2ibd2xsin（λx） =正弦λx！4adx+cd- ibdxsin（λx） 。让我们观察Reζ=sinλx！4adx+cd>0。这一事实的证明是直接的，因为a、d、c、，x>0。首先，我们将说明这两种状态都暗示b- b- ζθζ(1 - θ)+ 1≤ b- b、 （17）让我们假设第一种说法。然后是1- 日志2.-θ1 - θ≤ α等于θ-(1 - θ） （b）- （b）≤ 0θ-(1 - θ） （b）- （b）sinλx！4adx+cd+sin（λx） bd公司x！- 2（b）- b） sinλx！4adx+cd！(θ +(1 - θ） （b）- b） ）！≤ 0So（b- b） cd光盘-(θ -(1 - θ） （b）- b） ）（cd）≥ 各0个保留t，x>0。让我们观察一下0≤ 2（b）- b） cd光盘-(θ -(1 - θ） （b）- b） ）（cd）≤（b）- b） sinλx！4adx+cd！-(θ -(1 - θ） （b）- b） ）sinλx！4adx+cd！。如下所示：0≤ 2（b）- b） （θ+（1- θ） （b）- b） ）sinλx！4adx+cd！-θ-(1 - θ） （b）- （b）sinλx！4adx+cd！≤（b）- b） （θ+（1- θ） （b）- b） ）sinλx！4adx+cd！-θ-(1 - θ） （b）- （b）sinλx！4adx+cd+sin（λx） bd公司x！.请注意，大于0的右侧表达式等效于（17）。

假设第二个状态t，（16）等于0≤ 2cd（b- （b）-(θ -(1 - θ） （b）- b） （）4adx+cd+bd公司x！.让我们观察一下，如果1- 日志2.-θ1 - θ> α或θ=1，然后θ-(1 - θ） （b）- b） >0。So0公司≤ 2cd（b- （b）-(θ -(1 - θ） （b）- b） （）4adx+cd+bd公司x！≤2cd（b- （b）-(θ -(1 - θ） （b）- b） （）sinλx！4adx+cd+bd公司xsinλx！.与第一个语句类似，可以看出，右侧表达式高于0意味着（17）。我们将遵循数学归纳法，证明对于每个n=1，2，N有| vn |≤v.1、n=1，由identitysinz=-eiz公司- 2+e-iz公司,（15）的第一个等式的形式为-4 sinλx！+2.-广告x+广告x+cd！- 2ibd2xsin（λx） 哦·(1 - θ） v+θv= v- v、 相当于ζ(1 - θ） v+θv= v- v、 （ζ（1- θ） +1）v=（1- ζθ）v.Sov=1.- ζθζ(1 - θ)+ 1v.很容易检查（17）是否暗示1.- ζθζ(1 - θ)+ 1≤ 1，所以v≤v.2、假设| vn |≤v,对于n=1，2，k、 为了完成证明，我们必须证明vk+1≤v.根据（15）的第二个方程式，对于k≥ 1我们有：ζ(1 - θ） vk+1+θvk= -vk+1+k-1Xn=0（bn- bn+1）vk-n+bkv，相当于VK+1（（1- θ)ζ + 1)= -θζvk+k-1Xn=0（bn- bn+1）vk-n+bkv。所以vk+1|((1 - θ)ζ + 1)| ≤ |（b）- b- θζ)|vk公司+k-1Xn=1（bn- bn+1）vk公司-n+ 黑色v.除以|（1- θ） ζ+1 |我们得到vk+1≤（b）- b- θζ)(1 - θ)ζ + 1vk公司+k-1Pn=1（bn- bn+1）（1- θ)ζ + 1vk公司-n+黑色|（1- θ)ζ + 1|v≤（b）- b- θζ)(1 - θ)ζ + 1v+k-1Xn=1（bn- bn+1）v+ 黑色v≤（b）- （b）v+k-1Xn=1（bn- bn+1）+bkv=v,其中，第二个不等式成立，因为Reζ>0，最后一个不等式成立（17）。因此，我们有vk+1≤v.用数学归纳法完成了证明。

特别地，隐式格式对于每个α都是无条件稳定的∈(0, 1). 类似地，显式和C-Nschemes对于每个α都是条件稳定的∈(0, 1).3.4. 加权离散模式的收敛性us表示ukl=u（xl，tk）-在网格点计算的（6）的精确解，^ukl-数值模式（11）的解。让我们通过Ekl=ukl来确定点（xl，tk）处的误差- ^ukl，l=0，1。n、 k=0，1。。，N、 类似地，如（13）所示，我们得到了下面的词干：-广告x+bd2x！θEi+1+（1- θ） Ei+1+2adx+cd！θEi+（1- θ） Ei公司-广告x个-bd2x！θEi-1+(1 - θ） Ei公司-1.= 工程安装- Ei+tαθRi+（1- θ） 国际扶轮社,-广告x+bd2x！θEki+1+（1- θ） Ek+1i+1+2adx+cd！θEki+（1- θ） Ek+1i-广告x个-bd2x！θEki-1+(1 - θ） Ek+1i-1.= bkEi公司- Ek+1i+k-1Xj=0北京- 北京+1埃克-冀+tαθRki+（1- θ） Rk+1i,Ei=0，Ek=Ekn=0，（18），其中k=1，N、 i=1，2，n-1和θ∈ [0, 1]. 类似于稳定性的情况，我们将继续使用vonNeumann方法。我们介绍以下网格函数：Ek（x）=Ekl，x∈xl码-1/2，xl+1/2, l=1，2，n- 1,0，x∈（xmin，xmin+x/2]∪ [X最大值- x/2，x最大]。Rk（x）=Rkl，x∈xl码-1/2，xl+1/2, l=1，2，n- 1,0，x∈（xmin，xmin+x/2]∪ [X最大值- x/2，x最大]。因为Ek=Ekn，我们用周期Y=xmax对ekl进行周期展开-xmin。那么Ek（x）具有以下傅立叶级数展开：Ek（x）=∞Xj公司=-∞wkjexp（2 jπxi/Y），其中wkj=YZYEk（x）exp（2 jπxi/Y）dx，i=√-1，k=0，1。N、 通过分析，因为Rk=Rkn，我们用周期Y对Rkl进行周期ic展开。然后Rk（x）具有以下傅立叶级数展开：Rk（x）=∞Xj公司=-∞rkjexp（2 jπxi/Y），其中rkj=YZYRk（x）exp（2 jπxi/Y）dx，i=√-1，k=0，1。N、 我们定义了标准k·kxas公司埃克x=vutn-1Xj=1x个Ekj公司,Rk公司x=vutn-1Xj=1x个Rkj公司,whereEk公司=Ek，Ek，Ekn公司-1.,Rk公司=Rk，Rk。

，Rkn-1..因为Ek=Ekn=0，Rk=Rkn=0，所以存在埃克x=ZY埃克（x）dx公司=埃克（x）LRk公司x=ZYRk（x）dx公司=Rk（x）五十、 使用Parseval标识，我们可以：埃克x=n-1Xj=1x个Ekj公司= Y∞Xj公司=-∞wkj公司,Rk公司x=n-1Xj=1x个Rkj公司= Y∞Xj公司=-∞rkj公司,（19） 其中k=0，1，N、 基于上述分析和xl=xmin+lh的事实，我们假设（）的解的形式为：Ekl=wkeiλ（xmin+lh），Rkl=rkeiλ（xmin+lh），其中λ=2πlY。替换为（）我们得到：-广告x+bd2x！eiλx+adx+cd！-广告x个-bd2x！e-iλx！θw+（1- θ） w=w- w+tαθr+（1- θ） r,-广告x+bd2x！eiλx+adx+cd！-广告x个-bd2x！e-iλx！θwk+（1- θ） 周+1=k-1Xn=0（bn- bn+1）周-n+bkw- 周+1+tαθrk+（1- θ） rk+1,（20） 其中k=1，N- 让我们登上奥特辛兹=-eiz公司- 2+e-iz公司.然后，考虑到r=0和w=0，（20）具有以下形式ζ(1 - θ） w=-w+tα（1- θ） r，ζ(1 - θ） wk+1+θwk= -周+1+k-1Xn=0（bn- bn+1）周-n+tαθrk+（1- θ） rk+1,（21）其中k=1，N- 1, θ ∈ [0，1]和ζ之前已定义。引理3.1。如果定理3中的条件（i）或（ii）。2满意，工作如下周+1≤最大值（1- θ、 C）黑色tαr.其中k=0，1，N- 1和θ的常数Cis指数，t和x、 证明：。因为Rkl=Ot2级-α+ x个, 存在一个正常数C，这样Rkl公司≤ Ct2级-α+ x个.然后Rk公司x个≤ C√Yt2级-α+ x个. （22）第二行（）中rig ht系列的收敛性意味着rk公司=Rkl公司≤ CRl型= Cr.然后根据（21）和命题3.1，我们得到w=(1 - θ)|ζ(1 - θ)+ 1|tαr≤(1 - θ） b类tαr≤最大值（1- θ、 C）btαr.第一个不等式为真，因为Reζ>0。现在让我们假设| wn |≤最大值（1- θ、 C）黑色-1.tαr,其中n=2，3。

，k和Cis是一个与θ无关的常数，t和x、 到（21）时，我们有|（1- θ)ζ + 1|周+1=-ζθwk+k-1Xj=0北京- 北京+1工作时间：-j+tα(1 - θ） rk+1+θrk≤|1.- b- ζθ|工作时间：+k-1Xj=1北京- 北京+1工作时间：-j+ Ctαr≤|1.- b- ζθ|最大值（1- θ、 C）黑色-1+k-1Xj=1北京- 北京+1最大值（1- θ、 C）黑色-1+最大值（1- θ、 C）tαr≤|1.- b- ζθ|+k-1Xj=1北京- 北京+1+ 黑色最大值（1- θ、 C）黑色tαr,除以系数|（1- θ） ζ+1 |，我们得到周+1≤b- b- θζζ(1 - θ)+ 1+k-1Xj=1北京- 北京+1+ bk |ζ（1- θ)+ 1|最大值（1- θ、 C）黑色tαr≤b- b+k-1Xj=1北京- 北京+1+ 黑色最大值（1- θ、 C）黑色tαr=最大值（1- θ、 C）黑色tαr.最后一个不等式在（17）中为真，因为Reζ>0。通过数学归纳法完成了证明。定理3.3。如果满足定理3.2中的条件（i）或（ii），则离散格式（）是收敛的，如下所示ukl公司- ^ukl≤ 最大值（1- θ、 C）Ct2级-α+ x个,对于k=1，2，N、 式中，C表示与θ无关的正常数，t和x、 证明：。让我们在b观察th-1公里-1公里-α≤ 1/(1 - α） ，k=1，2，N、 引理3.1工作时间：≤最大值（1- θ、 C）黑色-1.tαr=最大值（1- θ、 C）黑色-1.tαkαk-αr≤最大值（1- θ、 C）1- α(tk）αr≤最大值（1- θ、 C）1- αTαr.类似地，通过（）和（）我们有以下内容：埃克x个≤最大值（1- θ、 C）1- αTαRx个≤最大值（1- θ、 C）1- αTα√Yt2级-α+ x个.取C=Tα后√Y1级- α证明完成。0 0.2 0.4 0.60.1 0.3 0.5-2.-3.-1.-3.5-2.5-1.5-0.50.51.5图2：欧洲买入价格对θ的依赖性。跳转到负区域是区间[0，ˇθα]之外缺乏无条件稳定性的结果。

参数为n=5000，σ=1，n=140，xma x=10，xmin=-20，T=4，K=1，Z=2，r=0.04，α=0.5。让我们观察一下，这是定理3.3的一个直接结论，即给定α的θ的最佳选择为log2-ˇθα1 -ˇθα!= 1.-α、 等效ˇθα=2- 21-α3 - 21-α. 然后，在不失去非条件稳定性/收敛性的情况下，获得了误差的最低界限。在图2中，跳转到负值是误差增大的结果，这是缺乏稳定性的结果。注意，对于隐式格式的经典B-S模型（α=1），该方法具有(x+t） ，但对于ˉθ=1/2，该方法具有(x+t） 收敛阶[15]。类似地，C-N格式仅在α=1时无条件收敛。示例2证实，对于接近1的α，C-N具有最低的数值误差，而不会加快计算时间。如【31】所示，在类似的问题类别中，解在初始时间t=0附近具有弱奇异性。由于这一事实，相对于时间的收敛顺序可以从值2下降- α至α。在我们的例子中，解u在所考虑的域中没有奇点。从u作为期权价格的直接解释可以看出，f或初始时间t=0等于Payoff函数。θ=0的情况是[35]中研究的隐式数值格式。我们的工作证实了以前的结果，并将其推广到其他类型的数值格式中。我们还发现了以下一类分形类型p问题的参数θ的最佳值cDαtu（x，t）=au（x，t）x+bu（x，t）x+cu（x，t），u（x，0）=f（x），u（xmin，t）=p（t），u（xmax，t）=q（t），对于（x，t）∈ X×（0，T）。这里，X=[xmin，xmax]是固定区间，T是时间范围，a，b，c∈ R、 α∈ (0, 1). 我们假设u、q、p、f足够光滑（见[14]和其中的参考文献）。3.5.

数字示例示例1。让我们取参数T=1，Z=1，σ=1，r=0.04，K=2。使用P的事实≈ 对数u（h）- uu（h/2）- u、 其中，p是收敛阶，~u（h）是数值格式（11）的解（在固定点计算，类似于a s u），对于等于h的网格长度，我们可以数值检查数值格式的收敛阶（相对于每个变量）。为这两个变量准备的比较代表表1和表2。经验顺序与t和x应接近2- α和2。αh温度阶理论值相对误差0.99 0，01 1，02 1，01 1，39%0.7 2，22×10-31, 32 1, 3 1, 27%0.5 1, 67 × 10-31, 51 1, 5 0, 67%0.3 1, 39 × 10-31, 7 1, 7 0, 21%0.1 1, 25 × 10-31、85、1、9、2、7%表1：关于t表示θ=0，x=0，2，xma x=1，xmin=-1和不同的α。我们将u近似为t=3，85×10-4、函数在点x=-0.01.α经验阶理论值相对误差0.99 1、97 2 1、64%0.7 1、96 2 2、05%0.5 1、95 2 2、3%0.3 1、95 2 2、52%0.1 1、95 2 2 2、71%表2：关于x表示θ=0，t=0，05，xma x=10，xmin=-1和不同的α。为了证明顺序不应依赖于α，在每种情况下，我们取hx=5，5×10-2、我们用▄u近似u，计算如下：t=3，33×10-3和x=1，83×10-函数在x=xma x点进行评估。示例2。让我们考虑σ=1，r=0.04，xmax=10，xmin=-20，T=4，K=2，Z=1。表3和表4显示了欧洲调用的误差和计算时间的比较，这取决于参数θ、n、n。对α=0.999进行模拟s，并将其与等于0.593的B-s公式的结果进行比较。

θ的最佳选择接近ˋθ=1/2。（n，n）（5000140）（30001000）（500,50）（100,20）（200200）（501300）θ=0.63%0.87%1.74%6.31%0.58%3.17%θ=0.25 0.43%0.59%1.12%4.87%0.44%3.15%θ=0.5 0.23%0.31%0.61%2.04%0.3%3.13%θ=0.6 6 6 6.45×10%5.23×10%68.34%2.58%3.12%θ=0.9 1.06×10%6.13×10%2.09×10%85%1.03×10%3.09%，n和n.（n，n）（5000140）（3000100）（500,50）（100,20）（200200）（501300）θ=0 9.7s 3.9s 0.7s 0.3s 3.6s 112.4sθ=0.25 10.3s 4.3s 0.7s 0.3s 3.6s 110.6sθ=0.5 9.7s 3.9s 0.6s 0.3s 3.6s 110.4sθ=0.6 10.5s 4.8s 0.3s 3.6s 110sθ=0.9 10.2s 4.1s 0.7s 0.4s 3.5s 111稳定4：与表3的运行有限差分法相关的时间。示例3。设u s取参数Z=σ=1，r=0.04，n=1000，n=140，xmax=10，xmin=-20, θ =ˇθα.因为ESα（T）=TαΓ（1-α） ，对于T>1，欧式看涨期权的价格是α的递增函数（见图4和图5），对于T<1，欧式看涨期权的价格也是α的递减函数。对于T>1，它遵循ourintuition，因为随着α值的减小，底层仪器的动力学常数周期出现得更频繁。这类资产可以被认为更具可预测性，因此其欧洲看涨期权的价值应低于由α值较高驱动的工具的相同期权。欧洲看涨期权对T和α的依赖性如图3所示。在图5中，我们将有限差分法（FD）与文献[20]中介绍的蒙特卡罗法（MC）进行了比较。MC围绕FD输出振荡。这两种方法都很有效，可以用来计算欧式期权的价格。0.20.40.60.80.20.40.60.10.30.50.7图3：欧洲买入价格对T和α的依赖性。