亚扩散Black-Scholes模型的加权有限差分法

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英文标题：
《A weighted finite difference method for subdiffusive Black Scholes Model》
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作者：
Grzegorz Krzy\\.zanowski, Marcin Magdziarz, {\\L}ukasz P{\\l}ociniczak
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  In this paper we focus on the subdiffusive Black Scholes model. The main part of our work consists of the finite difference method as a numerical approach to the option pricing in the considered model. We derive the governing fractional differential equation and the related weighted numerical scheme being a generalization of the classical Crank-Nicolson scheme. The proposed method has $2-\\alpha$ order of accuracy with respect to time where $\\alpha\\in(0,1)$ is the subdiffusion parameter, and $2$ with respect to space. Further, we provide the stability and convergence analysis. Finally, we present some numerical results.
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中文摘要：
在本文中，我们重点研究了次扩散Black-Scholes模型。我们工作的主要部分是将有限差分法作为所考虑模型中期权定价的数值方法。我们推导了控制分数阶微分方程和相关的加权数值格式，它是经典Crank-Nicolson格式的推广。所提出的方法相对于时间的精度为$2-\\alpha$，其中$\\alpha\\in（0,1）$是次扩散参数，相对于空间的精度为$2$。此外，我们还提供了稳定性和收敛性分析。最后，我们给出了一些数值结果。
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分类信息：

一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Computational Engineering, Finance, and Science        计算工程、金融和科学
分类描述：Covers applications of computer science to the mathematical modeling of complex systems in the fields of science, engineering, and finance. Papers here are interdisciplinary and applications-oriented, focusing on techniques and tools that enable challenging computational simulations to be performed, for which the use of supercomputers or distributed computing platforms is often required. Includes material in ACM Subject Classes J.2, J.3, and J.4 (economics).
涵盖了计算机科学在科学、工程和金融领域复杂系统的数学建模中的应用。这里的论文是跨学科和面向应用的，集中在技术和工具，使挑战性的计算模拟能够执行，其中往往需要使用超级计算机或分布式计算平台。包括ACM学科课程J.2、J.3和J.4（经济学）中的材料。
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一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Numerical Analysis        数值分析
分类描述：cs.NA is an alias for math.NA. Roughly includes material in ACM Subject Class G.1.
cs.na是Math.na的别名。大致包括ACM学科类G.1的材料。
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Numerical Analysis        数值分析
分类描述：Numerical algorithms for problems in analysis and algebra, scientific computation
分析和代数问题的数值算法，科学计算
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> A_weighted_finite_difference_method_for_subdiffusive_Black_Scholes_Model.pdf (348.22 KB)

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关键词：SCHOLES choles 有限差分法 Black Holes

亚分化布莱克-斯科尔斯模型的加权有限差分法波兰弗罗茨瓦夫科技大学（50-370）弗罗茨瓦夫分校（50-370）纯数学与应用数学学院乌卡斯·奥西尼查卡阿胡戈·施泰因豪斯中心马金·马吉亚尔扎（Marcin Magdziarza）Grzegorz˙zanowskia）这篇论文主要研究亚分化布莱克-斯科尔斯（B-S）模型。我们工作的主要部分包括将有限差分法作为所考虑模型中期权定价的具体应用方法。我们发现支配分数微分方程和相关的加权数值格式是经典Crank-Nicolson（C-n）格式的泛化。建议的方法有2个-α精度相对于时间的阶数，其中α∈ （0，1）是次扩散参数，是相对于空间的d 2。此外，我们还提供了稳定性和收敛性分析。最后，我们给出了一些数值结果。关键词：加权有限差分法、细分、时间分数Black-Scholes模型、欧式期权、Caputo分数阶导数。1、介绍期权是最受欢迎和最重要的金融衍生品之一，因此其估值问题对金融机构和全球经济具有重要意义。著名的欧洲期权B-S公式【3，25】非常重要，因此作者于1997年获得了非贝尔经济学奖。经过最近的研究[30]，B-S-Merton公式虽然简单明了，但在许多情况下似乎无法使用。其中一个最生动的例子是，基本工具的动力学倾向于具有恒定周期或突然跳跃的情况【6】。可以观察到市场停滞的特征，例如在新兴市场[4]和利率行为[16]。

经典的B-S模型是在一些严格的假设下提出的，但是已经建立了一些改进的模型来削弱这些假设，例如随机波动率模型[1 2]，随机利率模型[23]，具有交易成本的模型[1，8]，跳跃扩散模型[24]。近年来，框架微分方程理论在计量经济学和金融领域有着重要的应用【22】。许多研究者也研究了B-S方程在分数情形下的推广。这种泛化的原因是金融市场的分形结构和分数微积分的兴趣。通常，程序是用分馏布朗运动取代经典模型中使用的标准布朗运动[2，17，33]。更准确地说，时间变化dt的or顺序由赫斯特指数H（0<H<1）代替。在H=1/2的情况下改变自相似性参数会导致描述金融资产动态的过程缺乏鞅性质。这与这种广义模型允许套利是等价的。我们采取了完全不同的方法。在定义描述标的资产的过程时，我们将几何布朗运动Z（t）替换为次几何布朗运动Z（Sα（t）），并使用逆辅助因子Sα（t）[29]。通过这种方式，我们找到了相应的分数微分方程，这与文献中所考虑的大多数不同，但与[32]和[35]中给出的相同。

有关次级B-S模型的其他结果，请参见【10、11、13、34】。已经提出了许多有效的数值方法来求解分数阶微分方程，其中包括有限差分方法、有限元方法、有限体积方法、光谱方法和无网格方法（见[35]和其中的参考文献）。电子邮件地址：grzegorz。krzyzanowski@pwr.edu.pl（Grzegorz Krzy˙zanowski），marcin。magdziarz@pwr.wroc.pl（MarcinMagdziarz），卢卡斯。plociniczak@pwr.edu.pl（ukasz Plociniczak）预印本于2020年4月30日提交给Elsevier，开发分数阶积分和导数的数值离散化方法因其广泛的应用而成为分数阶微积分的重要主题之一。在这项工作中，我们提出了逼近Caputo导数的求积方法，这意味着精度阶数等于2- α . 在[9，19]中，作者研究了3阶近似- α、 第[5]页，共4页- α. 在[19]中，使用r+1次拉格朗日插值近似Caputo导数，并获得了一系列精度为r+1的高阶数值格式- 第n步处的α（n≥ r） 。随着精度的提高，复杂度会增加，数值格式的稳定性可能会丧失。2、子功能B-S模型2.1。次级效应B-S模型的假设让我们考虑一个市场，其演变将持续到时间范围T，并包含在概率空间中(Ohm, F、 P）。在这里Ohm 是样本空间，F是过滤，解释为投资者完全可用的资产价格历史信息，P是客观概率度量。

这些假设与经典案例【15】中的假设相同，但我们不必假设市场流动性，基础工具而非几何布朗运动（GBM）必须遵循唯一的GBM【20】：（Zα（t）=Z（Sα（t）），Z（）=Z，其中Zα（t）-基础资产的价格，Z（t）=Z（）exp（ut+σBt），σ-波动率（常数），u-漂移（常数），Bt-布朗运动，Sα（t）-定义为Sα（t）=inf（τ>0：Uα（τ）>t）的逆α稳定从属函数[20]，其中Uα（t）是α稳定从属函数[29]，0<α<1。对于每个t，我们假设Sα（t）独立于bt∈ [0，T]。0 210.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 1.80.20.40.60.81.21.41.61.82.20 210.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 1.80.20.40.60.81.21.41.61.82.4图1：亚扩散性GBM（左）及其经典类似物（右）的样本轨迹。在次级效应情况下，可以观察到新兴市场的恒定周期特征。参数为Z=σ=u=1，α=0.7。次级效应B-S是标准模型在市场可能不流动的情况下的推广。然后是次扩散参数α∈ （0，1）可被视为非流动性的度量。常数周期随α的减小而增大。带α→ 1次级效应B-S模型简化为经典（液体）情况。经典的B-S模型由于其简单性和实用性，是期权定价中应用最广泛的模型之一。尽管与次级案例相反，它没有考虑到恒定价格周期的经验性质。在图1中，我们比较了经典市场模型和次级市场模型中基础资产的样本模拟。经典的B-S模型无法模拟市场的短暂停滞。作为B-S模型的推广，其次级效应等效物可用于广泛的情况，包括可以应用B-S c的所有市场。

[27]中描述了根据经验数据进行B-S模型c a次效应振动的方法。根据经典的看跌期权奇偶性[26]，我们有以下事实：命题2.1。[20] 对于次级B-S模式l中欧洲看涨期权和看跌期权的公平价格，我们有以下关系：CsubB（Z，K，T，σ，r，α）- PsubBS（Z，K，T，σ，r，α）=Z- Ke公司-本文和整篇论文：CsubBS——欧洲看涨期权的公平价格，PsubBS——欧洲看跌期权的公平价格，K——履约，T——成熟度，σ——波动率，r——利率。市场上最令人期待的资产之一是，如果不承担风险，就不可能获得Money。这一特性被称为缺乏套利，从形式上来说，这意味着无法构建在没有任何中间损失概率的情况下遵循正利润的自我融资策略φ。根据资产定价的基本理论[7]，市场模型d描述为(Ohm, F、 P）和基础仪器t Zα（t）与过滤∈[0，T]是套利free，当且仅当存在与P等价的概率测度Q（称为风险中性测度），使得资产Zα（T）是关于Q的鞅。在该测度下，金融工具具有相同的预期收益率，而不管价格的可变性。这与物理概率测量（价格的实际概率分布）相反，在这种情况下，风险较大的工具的预期回报率高于风险较小的工具。让我们介绍概率度量q（A）=ZAexp-γB（Sα（T））-γSα（T）！dP，（1）式中γ=u+σ，A∈ F、 如[20]所示，过程Zα（t）是关于Q的鞅，因此我们有以下定理2.1。[20] 次级效用B-S模型是无套利的。市场模型的另一个特性是所谓的完备性。

直观地说，如果可以用现有资产构建对未来世界状态的一系列可能赌博，那么市场模型就是完整的。更详细地说，如果每英尺∈[0，T]-可测量的随机变量X允许重复自我融资策略φ[7]。资产定价的第二个基本定理[7]指出(Ohm, F、 P）和基础工具Zα（t）和过滤Ft∈[0，T]是完备的当且仅当存在唯一鞅m e a与P等价。定理2.2。[20] 标的工具价格遵循次级GBM Zα（t）的市场模型是不可数te。市场不完全性意味着金融衍生品不存在唯一的公平价格，因为对于不同的干预措施，可以获得不同的价格。尽管（1）中定义的Q不是唯一的，但在最小相对熵的标准意义上，它是“最佳”鞅测度。这意味着度量Q使到度量P的距离最小化[21]。另一个基本事实是α的that→ 1，Q降到了经典B-Smodel的测度，它是套利fr-ee和完备的。如果我们将次级B-S模型视为标准B-S模型的推广，这与我们的直觉是一致的。因此，在整篇文章中，我们将使用（1）中定义的鞅测度Q作为参考测度。2.2. 次级B-S模型中所有看涨期权的公平价格让我们定义次级B-S模型和经典B-S模型中看涨期权的公平价格：v（t）=CsubB（Z，K，t，r，σ，α），h（t）=CBS（Z，K，t，r，σ）。根据B-S公式[3，25]，我们得到h（t）=ZΦ（d+）- Ke公司-rtΦ（d-),d±=logZK+r±σtσ√t、 这里Φ表示标准范数a l分布的累积分布函数。根据[20]，函数v和h之间的关系如下：v（t）=Eh（Sα（t））=Z∞h（z）α（z，t）dz，其中，α（x，t）是Sα（t）的PDF。

此外，v（t）fo llowsv（t）=Z∞h（x）t-αgα（x/tα）dx，其中gα（z）根据Fox函数H1,01,1（z（1））给出-α、 α）（0,1））（见[20]及其参考文献）。请注意v（）=h（）。让我们考虑函数v的拉普拉斯变换：L{v}（k）=Z∞e-ktv（t）dt=Z∞e-ktZ公司∞h（z）α（z，t）dzdt=z∞Z∞h（z）α（z，t）e-ktdtdz=Z∞h（z）L{α} （z，k）dz。与[20]中的方法相同，我们发现{α} =kα-1e级-zkα。因此，我们有：Z∞h（z）L{α} （z，k）dz=z∞h（z）kα-1e级-zkαdz=kα-1Z∞h（z）e-zkαdz=kα-1L{h}（kα）。作为结论，我们得到以下结果：L{h}（k）=k（1-α） /αL{v}k1/α. （2） 让我们写出描述h（z，t）的B-S方程【15】：h（z，t）t+σzh（z，t）z+rzh（z，t）z- rh（z，t）=0，h（z，t）=最大值（z- K、 0）。现在让我们做关于t:kL{h}（k）的L空间变换- h（）+σzL{h}（k）z+rzL{h}（k）z- rL{h}（k）=0，然后我们使用公式（2）和v（0）=h（0）的事实，得到：L{v}kαkα- v（）+σzk1-ααL{v}kαz+rzk1-ααL{v}kαz- k1级-ααrL{v}kα= 现在让我们改变变量-我们用kα替换k：kL{v}（k）- v（）=k1-α-σzL{v}（k）z- rz公司L{v}（k）z+rL{v}（k）！。反转拉普拉斯变换，我们得到：v（z，t）t=RLD1-αt-σzv（z，t）z- rz公司v（z，t）z+rv（z，t）！，（3） 其中α∈（0，1），RLDαtis Riemann-Louville分数阶导数定义为RLDαtg（t）=Γ（1- α） ddtZt（t- s）-αg（s）ds。上面我们使用了α∈（0，1），Riem-ann-Louville分数导数的拉普拉斯变换如下[28]：L{RLDαtf（t）}=kαL{f}（k）-RLDα-1tf（t）t=0，其中f∈ C

注意，Caputo分馏l导数的La-place变换如下【28】：l{cDαtf（t）}=kαl{f}（k）-f（0）k1-α、 其中f∈ C、 α∈（0，1）和cDα定义为[28]cDαtg（t）=Γ（1- α） Ztdg（s）ds（t- s）-αds。利用分数阶导数的基本性质，将（3）变换为cdαtv（z，t）=-σzv（z，t）z- rz公司v（z，t）z+rv（z，t）。通过这种方式，我们找到了以下系统：cDαtv（z，t）=-σzv（z，t）z- rz公司v（z，t）z+rv（z，t），v（z，t）=最大值（z- K、 0），v（0，t）=0，limz→∞v（z，t）~ z、 对于（z，t）∈(0, ∞)×（0，T）。让我们引入以下变量：x=ln z（4）和函数：u（x，t）=v（ex，t- t） 。（5） 因此，我们有：定理2.3。次级B-S模型中看涨期权的公平价格等于v（z，t），其中v（z，t）满足（4）和（5），u（x，t）是系统的解：cDαtu（x，t）=σu（x，t）x+r-σ!u（x，t）x个- ru（x，t），u（x，0）=最大值（ex- K、 0），极限→-∞u（x，t）=0，limx→∞u（x，t）~ ex，（6）（x，t）∈(-∞, ∞)×（0，T）。（6）的解存在且唯一（见【14】和其中的参考文献）。3、有限差分法为数值求解上述模型，我们将用有限数近似极限，用有限差分近似导数。在得到（6）的离散类似物后，我们将使用初始边界条件反复求解该问题。我们将进行类似的处理，正如在[35]中对隐式方法所做的那样。3.1. 子功能B-S模型的加权方案系统（6）具有以下形式：cDαtu（x，t）=au（x，t）x+bu（x，t）x个- cu（x，t），u（x，0）=f（x），u（xmin，t）=p（t），u（xmax，t）=q（t），其中a=σ，b=r-σ!, c=r，f（x）=最大值exp（x）- K、 0个, p（t）→ 如果xmin，则为0→ -∞, q（t）→ exp（xmax）ifxmax→ ∞. put调用奇偶校验imp位于t p（t）=0，q（t）=exp（xmax）- K经验值(-r（T- t） ）。让我们表示bj=（j+1）1-α- j1-α、 d=Γ（2- α)tα，英国=英国，英国，英国-1.T、 Gk=adx个-bd2x！英国，0。

，0，adx+bd2x！ukn！T、 f级=0，f，f。fn公司-3，fn-2，qT、 式中，uki=u（xi，tk），fi=f（xi），i=2，n-2，qk=q（tk），k=0，1，N、 此外t=t/N，x=（xmax-xmin）/nare-time和spac-e步骤。我们将对spac e导数使用以下近似值：u（xi，tk+1）x=u（xi+1，tk+1）- u（xi-1，tk+1）2x+Ox个,u（xi，tk+1）x=u（xi+1，tk+1）- 2u（xi，tk+1）+u（xi-1，tk+1）x+Ox个.我们将分数时间导数近似为：cDαtu（xi，tk）=Γ（2- α） kXj=0uxi，tk+1-j- uxi，tk-jtα（j+1）1-α- j1-α+ Ot2级-α.省略截断错误后，imp licit d iscrete方案可表示为以下形式：A^u=^u+G，A^uk+1=k-1Xj=0北京- 北京+1英国-j+bk^u+Gk+1，（7），其中k≥ 1，A=ai j公司（n）-1） ×（n-1） ，以便：ai j=1+2 ADx+cd，对于j=i，i=1，2，n- 1.-广告x个-bd2x！，对于j=i- 1，i=2，n- 1.-广告x+bd2x！，对于j=i+1，i=1，n- 2.0，在其他情况下，相应的初始边界条件为^u=f，^uk=0，^ukn=qk，（8）其中k≥ 以类似的方式，让我们编写显式离散格式。我们对空间导数使用近似值，如下所示：u（xi，tk）x=u（xi+1，tk）- u（xi-1，tk）2x+Ox个,u（xi，tk）x=u（xi+1，tk）- 2u（xi，tk）+u（xi-1，tk）x+Ox个.（9） 在矩阵形式中，显式离散格式可表示为以下形式：^u=B^u+^u+G，^uk+1=B^uk+k-1Xj=0北京- 北京+1英国-j+bk^u+Gk，（10），其中k≥ 1，B=bi j公司（n）-1） ×（n-1） ，因此：bi j=-广告x+cd！，对于j=i，i=1，n- 1，adx+bd2x、 对于j=i+1，i=1，n- 2，adx个-bd2x、 对于j=i- 1，i=2。