系统性风险与异质平均场型银行间网络

使用（21-22）和（27-28），我们得到了˙bη（4）t+˙bη（5）t=qbη（4）t- （bη（4）t）-bφ（4）tbη（5）t+qbη（5）t-bφ（5）tbη（5）t- bη（4）tbη（5）t=q- bη（4）tbη（4）t+bη（5）t- bη（5）tbφ（4）t+bφ（5）t（30）和类似的˙bφ（4）t+˙bφ（5）t=q-bφ（5）tbφ（4）t+bφ（5）t-bφ（4）tbη（4）t+bη（5）t（31）终端条件bη（4）T+bη（5）T=0和bφ（4）T+bφ（5）T=0。观察（30）和（31）是bη（4）t+bη（5）和bφ（4）t+bφ（5）的线性方程，终端条件为零意味着bη（4）t+bη（5）t=0，bφ（4）t+bφ（5）t=0，（32）表示0≤ t型≤ T即bη（4）t=-bη（5）tandbφ（4）t=-0的bφ（5）t≤ t型≤ T因此，有必要研究bη（5）和bφ（4）t的存在性。插入bη（4）t=-bη（5）tandbφ（5）t=-bφ（4）tinto bη（5）tandbφ（4）tgives˙bη（5）t=q+bη（5）t+bφ（4）t+qλβbη（5）t+qλβbη（5）t- (- q） λβ=（q+qλβ+qλβ）bη（5）t+（bη（5）t）+bφ（4）tbη（5）t- (- q） λβ和˙bφ（4）t=（q+qλβ+qλβ）bφ（4）t+（bφ（4）t）+bη（5）tbφ（4）t- (- q） λβ。现在，考虑erˇη（5）t=bη（5）t-tandˇφ（4）t=bφ（4）t-t、 则˙ˇη（5）t=-（q+qλβ+qλβ）ˇη（5）t- （ˇη（5）t）-ˇφ（4）tˇη（5）t+（- q） λβ，（33）˙ˇφ（4）t=-（q+qλβ+qλβ）ˋφ（4）t- （φ（4）t）- ˇη（5）tˇφ（4）t+（- q） λβ，（34），初始条件ˋη（5）=cλβ，ˋφ（4）=cλβ。简单参数表示ˇη（5）和ˇφ（4）t为0的正≤ t型≤ T那么，我们有˙ˇη（5）t≤ -（q+qλβ+qλβ）ˇη（5）t+（）- q） λβ，˙ˇφ（4）t≤ -（q+qλβ+qλβ）ˋφ（4）t+（- q） λβ，前束（q+qλβ+qλβ）tˇη（5）t≤ cλβ+（- q） λβ中兴通讯（q+qλβ+qλβ）sds≤ cλβ+（- q） λβq+qλβ+qλβe（q+qλβ+qλβ）tSCH that0≤ ˇη（5）t≤ cλβe-（q+qλβ+qλβ）t+（- q） λβq+qλβ+qλβ。（35）同样，我们也得到0≤ˇφ（4）t≤ cλβe-（q+qλβ+qλβ）t+（-q） λβq+qλβ+qλβ。（36）证明完整。根据命题1中的结果，当与否足够大时，就可以保证（A.8）到（A.27）之间存在耦合的代码。3.2开环纳什均衡参考Carm on a等人【2015年】，我们现在研究开环纳什均衡，其中策略是初始时间给定的函数。

也就是说，这些策略是t和Xgiven Incomona【2016】的功能。定理2。假设qk≤ 对于k=1、2和ηo，（i）和φo，（i）对于i=1、···、4，满足（B.19）至（B.26）。开环纳什均衡写为^αo，（1）i=q+（1-eN）ηo，（1）t（X（1）t-X（1）it）+qλ（β- 1) + (1 -eN）ηo，（2）tX（1）t+qλβ+（1-eN）ηo，（3）tX（2）t+1.-恩ηo，（4）t，（37）^αo，（2）j=q+（1-eN）φo，（1）t（X（2）t- X（2）jt）+qλβ+（1-eN）φo，（2）tX（1）t+qλ（β- 1) + (1 -eN）φo，（3）tX（2）t+1.-恩φo，（4）t，（38），其中k=1-λkNk+λkN，对于k=1，2。证据见附录B。由于耦合常微分方程（ODE）（B.19-B.26）的复杂性，我们还概述了（B.19-B.26）在N→ ∞ 和N→ ∞ 式中，方程式由˙bηo，（1）t=2qbηo，（1）t+（bηo，（1）t）给出- (- q） ，（39）˙bηo，（2）t=q（1+λ（1- β） ）bηo，（2）t- （bηo，（2）t）-bφo，（2）t+qλβbηo，（3）t+（- q） λ（1- β） ，（40）˙bηo，（3）t=q- bηo，（2）t-bφo，（3）t+qλ（1- β)bηo，（3）t-qλβbηo，（2）t- (- q） λβ，（41）˙bφo，（1）t=2qbφo，（1）t+（bφo，（1）t）- (- q） ，（42）˙bφo，（2）t=q- bηo，（2）t-bφo，（3）t+qλ（1- β)bφo，（2）t-qλβbφo，（3）t- (- q） λβ，（43）˙bφo，（3）t=q（1+λ（1- β） ）bφo，（3）t- （bφo，（3）t）-bηo，（3）t+qλβbφo，（2）t+（- q） λ（1- β） ，（44）终端条件为bηo，（1）T=c，bηo，（2）T=cλ（β- 1） ，bηo，（3）T=cλβ，bφo，（1）T=c，bηo，（2）T=cλβ，bφo，（3）T=cλ（β- 1).注：根据第3.1节的结果，我们得到了Riccati方程bηo，（2）T=bη（4）和bφo，（3）T=bφ（5）和线性常微分方程bηo，（3）T=bη（5）和bφo，（2）T=bφ（4）T。因此，命题1验证了耦合的存在性。然后，我们讨论了一般d组平均场博弈情况下的-纳什均衡。即N→ ∞, Nk公司→ ∞ 带NKN→ βk对于k=1，····，d.4-纳什均衡：平均场博弈回归到一般d组的情况。

k组中的第i个银行最小化j（k）i（α）=E给出的目标函数ZT“（α（k）it）- qkα（k）itXλkt- X（k）it+kXλkt- X（k）it#dt+ckXλkT- X（k）iT, （45）当qk<ksubj ect todX（k）it=（α（k）it+γ（k）t）dt+σkρdW（0）t+p1-ρρkdW（k）t+q1-ρkdW（k）it, （46）初始值X（k）i也可以是平方可积随机变量ξ（k）。平均现场限值为N→ ∞ andNkN公司→ βk对于所有k，与一个组的情况一样，d个异源组由d-players博弈求解。参考Carmona等人【2015】，解决-Nash均衡的方案如下：1。固定m（k）t=E[X（k）t |（W（0）s）s≤t] 这是x（k）tas Nk极限的候选值→ ∞:m（k）t=limIk→∞X（k）t，对于所有k，mt=limN，N。。。，Nk公司→∞dXk=1NkNX（k）t=dXk=1βkm（k）t，其中标准布朗运动的向量W（0）=（W（0），····，W（0），（d））表示常见噪声。2、用m（k）ttoX（k）代替m（k）ttoX（k），通过最小化目标函数来解决d-players控制问题∈AEZT“（α（k）t）- qkα（k）tMλkt-X（k）t+kMλkt-X（k）t#dt+ckMλkT- X（k）T当qk<ksubj受动时，x（k）t=（α（k）t+γ（k）t）dt+σkρdW（0），（0）t+p1-ρρkdW（0），（k）t+q1-ρkdW（k）t,（47）Mλkt=（1- λk）m（k）t+λkmt其中W（k）是与W（0）t无关的布朗运动。同样，解决固定点问题：finm（k）t=E[X（k）t |（W（0）s）s≤t、 （W（0），（k）s）s≤t] 定理3。

假设qk≤ kandηm，（k）t，ψm，（k），ht和um，（k）t满足˙ηm，（k）t=2qkηm，（k）t+（ηm，（k）t）- （k- qk，（48）˙ψm，（k），ht=qkψm，（k），ht-dXh=1ψm，（k），htψm，（h），ht+qhλh（βh- δh，h）-（k- qk）λk（βh- δk，h）（49）˙um，（k）t=qkum，（k）t-dXh=1ψm，（k），ht（um，（h）t+γ（h）t），（50），终端条件ηm，（k）t=ck，ψm，（k），ht=ckλk（βh-δk，h）和um，（k）T=0，对于k，h=1，···，d，-纳什平衡由^αm，（k）T=（qk+ηm，（k）T）（m（k）T）给出- x（k））+dXh=1eψm，（k），htm（h）t+um，（k）t，（51），其中m（k）由dm（k）t决定=dXh=1ψm，（k），htm（h）t+um，（k）t+γ（k）t+qkλkdXh=1（βh-δk，h）m（h）tdt+σkρdW（0），（0）t+p1-ρρkdW（0），（k）t对于k=1，··，d.给定ck≥ 最大值，hqkλkλh- qh公司当k=1、···、d时，可以证明（48）到（50）的耦合存在。参见附录C。尤其是在d=2的情况下，作为N→ ∞, N→ ∞, 和N→ ∞ 带nn→ β和nn→ β、 我们得到eη（4）t→eψm，（1），1t，eη（5）t→eψm，（1），2t，eη（7）t→ eum，（1）t，eφ（4）t→eψm，（2），1t，eφ（5）t→ ψm，（2），2t，andφ（7）t→ eum，（2）t对于0≤ t型≤ 因此，具有异质群的平均场博弈的-纳什均衡是具有异质群的有限人博弈的闭环和开环纳什均衡的极限。结果与Lacker【2018】一致。因此，库（1）i的渐近最优策略由^αm，（1）it=（q+ηm，（1）t）（x（1）给出- x（1）i）+eψm，（1），1tx（1）+eψm，（1），2tx（2）+um，（1）t。备注1。无公共噪声的情况意味着给定的MT0≤ t型≤ T是确定性函数。例如，在d=1的情况下，平均场游戏中的-纳什方程可以使用HJB方程获得tV+infααxV+σxxV+α- qα（mt- x） +（公吨- x）= 0，终端条件V（T，x）=c（mT- x） 。5财务影响本节的目的是调查这种异质银行间借贷模式的财务影响。

我们主要对闭环纳什均衡进行了评论，在有限参与者与开环纳什均衡和-纳什均衡具有吸引力的情况下。我们回忆起闭环纳什均衡，写为^α（1）i（t，x）=（q+eη（1）t）（x（1）- x（1）i）+eη（4）tx（1）+eη（5）tx（2）+eη（7）t，（52）^α（2）j（t，x）=（q+eφ（1）t）（x（2）- x（2）j）+eφ（4）tx（1）+eφ（5）tx（2）+eφ（7）t.（53）相应的最优轨迹写为dx（1）it=n（q+eη（1）t）（x（1）t- X（1）it）+eη（4）tX（1）t+eη（5）tX（2）t+eη（7）t+γ（1）todt+σρdW（0）t+p1-ρρdW（1）t+q1-ρdW（1）it=（q+eη（1）tNNXl=1（X（1）lt- X（1）it）+eη（4）tX（1）t+eη（5）tX（2）t+eη（7）t+γ（1）t）dt+σρdW（0）t+p1-ρρdW（1）t+q1-ρdW（1）it, （54）dX（2）jt=n（q+eφ（1）t）（X（2）t- X（2）jt）+eφ（4）tX（1）t+eφ（5）tX（2）t+eφ（7）t+γ（2）todt+σρdW（0）t+p1-ρρdW（2）t+q1-ρdW（2）it=（q+eφ（1）tNNXl=1（X（2）l- X（2）jt）+eφ（4）tX（1）t+eφ（5）tX（2）t+eφ（7）t+γ（2）t）dt+σρdW（0）t+p1-ρρdW（2）t+q1-ρdW（2）it（55）对于给定的初始值X（1）和X（2）ji=1，···，Nand j=1，···，N。与Carmon a等人[2015]中讨论的同质群情景相比，由于线性二次结构，异质性意味着银行不仅要考虑其资本化与自身集团资本化平均值之间的距离，这些术语可以重写为NPNL=1（X（1）lt- X（1）it）和NPNL=1（X（2）l- X（2）jt）显示了各自组内的借贷行为，与同质情况相同，但也是每组平均数的线性组合。特别是，根据关系eη（4）t=-eη（5）tandeφ（4）t=-eφ（5）tin命题1，我们重写系统（54-55）asdX（1）it=（q+eη（1）tNNXl=1（X（1）lt-X（1）it）+eη（5）t（X（2）t- X（1）t）+eη（7）t+γ（1）t）dt+σρdW（0）t+p1-ρρdW（1）t+q1- ρdW（1）it, （56）dX（2）jt=（q+eφ（1）tNNXl=1（X（2）l- X（2）jt）+eφ（4）t（X（1）t- X（2）t）+eφ（7）t+γ（2）t）dt+σρdW（0）t+p1-ρρdW（2）t+q1- ρdW（2）it.

（57）术语eη（5）t（X（2）t- X（1）t）和φ（4）t（X（1）t- X（2）t），eη（5）tandeφ（4）t为0正≤ t型≤ t使各组之间的均值回复相互作用，使系综平均值趋于接近。距离xdt=X（1）t的动力学-X（2）写为DXDT=-n（eη（5）t+eφ（4）t）XDt+（eη（7）t+γ（1）t-eφ（7）t- γ（2）t）odt+ρ（σ-σ） dW（0）t+p1-ρσρdW（1）t- σρdW（2）t+p1级-ρq1-ρNNXl=1dW（1）lt-第一季度-ρNNXl=1dW（2）lt！。（58）X（D）=X（1）- X（2）。作为N，N→ ∞, 距离XDtis由常见噪声W（0）t、W（1）和W（2）t决定。也就是说，相关性越强，组间的波动越大。相反，在ρ=ρ=ρ=0且无增长率γ（1）=γ（2）t=0的无公共噪声情况下，所有t≥ 0，我们得到x（D）t→ 0作为t→ ∞ 从长期行为的角度来看，所有银行都只跟踪由标度布朗运动驱动的全球平均值X。这意味着系统性风险的发生方式与s tudiedin Carmona et al.（2015）及其他人（τ<∞) = 限制→∞P（τ≤ T）=极限→∞2ΦD√Nσ√T！=1，Φ为标准正态分布函数，其中τ=inf{t:Xt≤ D} 使用特定的默认级别D。系统事件（NNXi=1X（i）t！≤ 对于Fouke和Sun【2013】定义的一些t）而言，D是可以避免的。在数值分析中，假设第一组是实力较强的银行，第二组是规模较小的银行。如第2节所述，我们首先假设β=0.2和β=0.8，并进一步确定相对整体平均值xλ=（1）的相关考虑λ=0.1- λ） x（1）+λx，因为主要参与者更喜欢追踪群体平均值，而不是整体平均值。通过使用不同的λ和N，我们得到以下含义：1。我们对两个极端情况不予评论。

当λ=λ=0或β=β=1时，模型退化为两个同质群模型，群之间没有相互作用，如Carmona等人【2015年】所述。2、在中间区域，在图1中，我们观察到流动性比率|η（1）=（1-N） η（1）-Nη（4）（59）在相对比例λ中增加。也就是说，当银行考虑追踪GlobalAssemble averagex时，他们打算更频繁地向中央银行借贷。3、随着终端时间T变大，图2显示流动性利率打算保持不变。Carmona等人【2015年】得出了相同的结果。4、随着N、N和NBE银行数量的增加，流动利率（59）也随之增加。银行间借贷行为更加频繁。例如，见图3。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1时间0.020.040.060.080.10.12流动性比率（1-1/N）（1）（4）/N=0=0.25=0.5图1：流动性-N） η（1）-Nη（4），变化λ，固定λ=0.1。对于0，固定参数为N=10、N=2、N=8、q=q=2、=5、=4.5、c=c=0、T=1和γ（1）T=γ（2）T=0≤ t型≤ T6结论我们研究了具有h个不同质组的银行间借贷系统，其中借贷取决于组内同质参数和组间异质参数。借贷金额基于相对集合平均数xλk=（1- λk）x（k）+λkx，k=1，···，d.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10时间0.020.040.060.080.10.12流动性比率（1-1/N）（1）（4）/N=0=0.25=0.5图2：流动性-N） η（1）-Nη（4），变化λ，固定λ=0.1。

固定参数为N=10、N=2、N=8、q=q=2、=5、=4.5、c=c=0、T=10和γ（1）T=γ（2）T=0≤ t型≤ T0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1时间0.020.040.060.080.10.120.14流动性比率（1-1/N）（1）（4）/NN=10N=100N0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10时间0.020.040.060.080.10.120.14流动性比率（1-1/N）（1）（4）/NN=10N=100n图3：流动性-N） η（1）-Nη（4）随N，N，nw的变化而变化，比例β=0.2，β=0.8。终端时间为T=1（左）和T=10（右）。参数为λ=0.5，λ=0.1，q=q=2，=5，=4.5，c=c=0，对于0，γ（1）T=γ（2）T=0≤ t型≤ T由于结构的异质性，通过耦合的Riccati方程给出了值函数和相应的闭环和dopen-loop Nash方程。在两组情况下，当组数足够大时，可以证明耦合Riccati方程的存在性，从而保证值函数和平衡点的存在。此外，在与一般d组进行平均场博弈的情况下，也验证了-纳什均衡的存在。我们观察到，由于异质性，均衡由其OWN组平均值和所有组集合平均值的均值回复项组成。在没有常见噪声的平均场情况下，几乎可以肯定s y系统事件会在长时间内发生。数值结果表明，由于银行打算将全球平均值追踪为较大的λk，因此他们更喜欢经常使用较大的流动性比率进行清算。银行数量的流动性比率也在增加。这个问题可以扩展到几个方向。首先，根据Carmona等人【2018】、Fouque和Zhang【2018】研究的模型，讨论延迟义务很有意思。其次，考虑系统中的随机增长率是很自然的。

第三，CIR类型流程可用于描述b和k s的资本化。参见Fouque和Ichiba【2013年】，Sun【2017年】。此外，参考Biagini等人[2019]，泡沫资产值得在银行间借贷体系中研究。上述伸展平衡的容许条件也值得研究。致谢作者感谢Jean-Pierre Fouke和Shuenn Jyi Sheu就这一主题进行的对话和提出的建议。定理1和验证理论的证明值函数（8）和（9）对应的耦合HJB方程读取tV（1）i+infα（1）iNXl6=i，l=1γ（1）t+α（1）l（t，x）x（1）lV（1）i+γ（1）t+αix（1）iV（1）i+NXh=1γ（2）t+α（2）h（t，x）x（2）hV（1）i+σNXl=1NXh=1(ρ+ (1 - ρ） ρ+δ（1）l，（1）h（1- ρ)(1 - ρ)x（1）lx（1）hV（1）i+σσNXl=1NXh=1ρx（1）lx（2）hV（1）i+σσNXl=1NXh=1ρx（2）lx（1）hV（1）i+σNXl=1NXh=1(ρ+ (1 - ρ） ρ+δ（2）l，（2）h（1- ρ)(1 - ρ)x（2）lx（2）hV（1）i+（α（1）i）- qα（1）ixλ- x（1）i+（xλ-x（1）i）= 0，（A.1），终端条件V（1）i（T，x）=c（xλ-x（1）i）和tV（2）j+infα（2）jNXl=1γ（1）t+α（1）l（t，x）x（1）lV（2）j+NXh6=j，h=1γ（2）t+α（2）h（t，x）x（2）hV（2）j+γ（2）t+α（2）jx（2）jV（2）j+σNXl=1NXh=1(ρ+ (1 - ρ） ρ+δ（1）l，（1）h（1- ρ)(1 - ρ)x（1）lx（1）hV（2）j+σσNXl=1NXh=1ρx（1）lx（2）hV（2）j+σσNXl=1NXh=1ρx（2）lx（1）hV（2）j+σNXl=1NXh=1(ρ+ (1 - ρ） ρ+δ（2）l，（2）h（1- ρ)(1 - ρ)x（2）lx（2）hV（2）j+（α（2）j）- qα（2）jxλ- x（2）j+（xλ- x（2）j）= 0，（A.2），终端条件V（2）j（T，x）=c（xλ- x（2）j）。一阶条件给出了银行（k）i最优策略的置信区间，写为^α（k）i=qk（xλk- x（k）i）-x（k）iV（k）i。

（A.3）在（A.1）和（A.2）中插入（A.3）给出tV（1）i（t，x）+NXl=1γ（1）t+q（xλ-x（1）l）- x（1）lV（1）lx（1）lV（1）i+NXh=1γ（2）t+q（xλ- x（2）小时）-x（2）hV（2）hx（2）hV（1）i+σNXl=1NXh=1(ρ+ (1 - ρ） ρ+δ（1）l，（1）h（1- ρ)(1 - ρ)x（1）lx（1）hV（1）i+σσNXl=1NXh=1ρx（1）lx（2）hV（1）i+σσNXl=1NXh=1ρx（2）lx（1）hV（1）i+σNXl=1NXh=1(ρ+ (1 - ρ） ρ+δ（2）l，（2）h（1- ρ)(1 - ρ)x（2）lx（2）hV（1）i+(x（1）iV（1）i）+- q（xλ-x（1）i）= 0，（A.4），终端条件V（1）i（T，x）=c（xλ-x（1）i）和tV（2）j（t，x）+NXl=1γ（1）t+q（xλ-x（1）l）- x（1）lV（1）lx（1）lV（2）j+NXh=1γ（2）t+q（xλ- x（2）小时）-x（2）hV（2）hx（2）hV（2）j+σNXl=1NXh=1(ρ+ (1 - ρ） ρ+δ（1）l，（1）h（1- ρ)(1 - ρ)x（1）lx（1）hV（2）j+σσNXl=1NXh=1ρx（1）lx（2）hV（2）j+σσNXl=1NXh=1ρx（2）lx（1）hV（2）j+σNXl=1NXh=1(ρ+ (1 - ρ） ρ+δ（2）l，（2）h（1- ρ)(1 - ρ)x（2）lx（2）hV（2）j+(x（2）jV（2）j）+-q（xλ- x（2）j）= 0，（A.5），终端条件V（2）j（T，x）=c（xλ-x（2）j）。