系统性风险与异质平均场型银行间网络

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英文标题：
《Systemic Risk and Heterogeneous Mean Field Type Interbank Network》
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作者：
Li-Hsien Sun
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We study the system of heterogeneous interbank lending and borrowing based on the relative average of log-capitalization given by the linear combination of the average within groups and the ensemble average and describe the evolution of log-capitalization by a system of coupled diffusions. The model incorporates a game feature with homogeneity within groups and heterogeneity between groups where banks search for the optimal lending or borrowing strategies through minimizing the heterogeneous linear quadratic costs in order to avoid to approach the default barrier. Due to the complicity of the lending and borrowing system, the closed-loop Nash equilibria and the open-loop Nash equilibria are both driven by the coupled Riccati equations. The existence of the equilibria in the two-group case where the number of banks are sufficiently large is guaranteed by the solvability for the coupled Riccati equations as the number of banks goes to infinity in each group. The equilibria are consisted of the mean-reverting term identical to the one group game and the group average owing to heterogeneity. In addition, the corresponding heterogeneous mean filed game with the arbitrary number of groups is also discussed. The existence of the $\\epsilon$-Nash equilibrium in the general $d$ heterogeneous groups is also verified. Finally, in the financial implication, we observe the Nash equilibria governed by the mean-reverting term and the linear combination of the ensemble averages of individual groups and study the influence of the relative parameters on the liquidity rate through the numerical analysis.
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中文摘要：
我们研究了基于组内平均数和集合平均数线性组合得出的对数资本化相对平均数的异质银行间借贷系统，并通过耦合扩散系统描述了对数资本化的演化。该模型结合了集团内部同质性和集团之间异质性的博弈特征，其中银行通过最小化异质线性二次成本来寻求最优借贷策略，以避免接近违约壁垒。由于借贷系统的复杂性，闭环纳什均衡和开环纳什均衡均由耦合的Riccati方程驱动。当两组中的组数趋于无穷大时，耦合Riccati方程的可解性保证了平衡点在组数足够大的两组情况下的存在性。均衡由与一组博弈相同的均值回复项和由于异质性导致的组平均值组成。此外，还讨论了相应的任意群数的异质平均场对策。还验证了一般$d$异质群中$\\ε$-纳什均衡的存在性。最后，在金融含义中，我们观察了由均值回复项和各群体集合平均数的线性组合所控制的纳什均衡，并通过数值分析研究了相关参数对流动性比率的影响。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Systemic_Risk_and_Heterogeneous_Mean_Field_Type_Interbank_Network.pdf (378.01 KB)

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关键词：系统性风险 银行间 系统性 Mathematical Quantitative

系统性风险和异质平均场型银行间网络李显孙*摘要我们研究了基于组内平均数和集合平均数线性组合得出的对数资本化相对渗透率的异质银行间借贷系统，并通过一个耦合效应系统描述了对数资本化的演变。该模型引入了一种群体内同质和群体间异质的博弈特征，即银行通过最小化异质线性二次成本来寻求最优借贷策略，以避免接近违约壁垒。由于借贷系统的复杂性，闭环纳什均衡和开环纳什均衡均由耦合的Riccati方程驱动。当每组中的银行数量趋于一致时，耦合Riccati方程的可解性保证了银行数量足够大的两组情况下均衡的存在。均衡由与一组博弈相同的均值回复项和异质性导致的增长率组成。此外，还讨论了相应的具有任意组数的异质均值博弈。讨论了一般d异质群中-纳什均衡的存在性。

最后，在财务含义中，我们观察了由平均回归项和单个组的整体平均数的线性组合控制的纳什均衡，并通过数值分析研究了相关参数对流动性比率的影响。关键词：结构性风险、银行间借贷体系、异质群体、相对集合平均、纳什均衡、平均场博弈。1引言为了更深入地理解异质环境下借贷行为所产生的结构性风险，我们将Carmona等人[2015]研究的模型从一个同质组扩展到了几个异质组。货币储备的演变是由一个相互作用的差异系统描述的，该系统具有群体内部的同质性和群体之间的异质性。当资本化水平保持在全球平均水平以下时，银行打算向中央银行借款，当资本化水平保持在同一临界水平以上时，银行打算向中央银行放贷，方法是通过最小化其相应的借贷成本（由具有不同参数的线性二次目标函数给出）。此外，受Espinosa和Touzi【2015】的启发，我们提出了相对系综平均值，而不是全球系综平均值，它是组平均值和全球系综平均值的线性组合。对于具有异质组的有限参与者，我们解决*中央大学统计研究所，台湾中立，32001lihsiensun@ncu.edu.tw.Most grant 108-2118-M-008-002-MY2支持的工作使用动态规划原理和相应的反向耦合Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程研究闭环纳什均衡。

此外，通过Pontryagin极小化原理和相应的伴随前向和后向随机微分方程（FBSDE），我们得到了开环纳什均衡。由于异质性的复杂性，闭环纳什均衡和开环纳什方程由耦合的Riccati方程给出。因此，在两组情况下，我们提出了均衡存在的可解性条件，因为每组中的银行数量趋于一致，即在银行数量足够多的情况下，可以保证闭环纳什均衡和开环纳什均衡的存在。此外，我们还讨论了组数任意的常见噪声下的异质平均场对策（MFG）。由于常见噪声产生的复杂性，用HJB方程无法得到-纳什均衡。因此，采用ad联合FBSDE来求解平衡。在某些充分条件下，证明了-纳什均衡的存在性。正如Invanona等人【2015】的结果所示，闭环纳什均衡和开放式纳什均衡收敛到-纳什均衡。我们观察到，由于采用了线性二次调节器，平衡点是与Carmona et al.（2015）中讨论的单组系统相同的均值回复项和由h不均匀性给出的组系综平均值的线性组合。此外，通过数值研究，如果ban k s喜欢追踪全球集合平均值而不是他们自己组的平均值，他们打算提高流动性率，并且样本量越大也意味着流动性率越大。在文献中，这类连续时间的相互作用在几个模型中进行了研究。Fouque和Sun【2013年】，Carmona等人。

【2015年】描述基于耦合OrnsteinUhlenbeck（OU）型流程的系统性风险。Carmon a等人【2018年】也提出了这种带有延迟义务的OU型模型的扩展。Fouque和Ichiba【2013年】、Sun【2017年】研究了通过Cox-Ingersoll-Ross（CIR）型过程的系统崩溃。Garnier等人【2013a，b】讨论了由双稳态模型给出的与系统性风险相关的罕见事件。根据Garnier et al.【2013a，b】中的模型，由centralagent产生的稳定性由Garnier et al.【2017】提供。Lasry和Lions[2006a，b，2007]提出的MFGs解决了一个齐次群中随机微分对策的称为-Nash均衡的渐近均衡。这里，经验分布给出的相互作用，其解在时间上满足耦合的后向HJB方程，在时间上满足耦合的前向Kolmogorov方程。Huang等人【2006年、2007年】还独立开发了被视为MFGs类似案例的纳什确定性等价物。此外，Ensoussan等人【2016】、Carmona等人【2013】、Carmona和Lacker【2015】、Carmona和Delaure【2018a】研究了以FBSDE形式获得-Nash均衡的概率方法。Lacker和Webster【2015年】、Lacker【2016年】、Carmona和Delaure【2018b】讨论了具有常见噪声的MFG和主方程。特别是，L acker和Zariphopoulou【2019年】研究了平均场极限情况下异质相对性能下的最优投资。本文的组织结构如下。在第二节中，我们分析了具有相对性能的两个异构组的情况，并在第三节中研究了相应的闭环纳什均衡。在Barciular，第4节致力于使用耦合的FBSDE求解具有异构群的MFG中常见噪声的-Nash平衡。第5节说明了其社会意义。

第6.2节异类组中给出了结论性意见。根据Carmona等人【2015】中讨论的银行间借贷系统，考虑包含d组的银行间借贷模型是很自然的，NK表示k=1、··、d组中的银行数量，其中N=Pdj=1Nj。groupk中的第i家银行希望通过最小化其自身的线性二次成本函数j（k）i（α）=E来获得最优策略ZTfN（k）（X（k）it，X-（k） it，α（k）it）dt+g（k）（X（k）it，X-（k） iT）, （1） 其中X=（X（1）1，···，X（d）Nd），X=（X（1）1，··，X（d）Nd），α=（α（1）1，···，α（d）Nd），和X-（k） i=（X（1）1，···，X（k）i-1，X（k）i+1，····，X（d）Nd），其中运行成本为fn（k）（X（k）i，X-（k） i，α）=（α）- qkαxλk- x（k）i+kxλk- x（k）i, （2） 终端成本isgN（k）（x（k）i，x-（k） i）=ckxλk- x（k）i, （3） 带x-（k） i=（x（1）1，···，x（k）i-1，x（k）i+1，····，x（d）Nd），其中相对系综平均值为xλk=（1- λk）x（k）+λkx，其中，在约束TDx（k）it=（α（k）it+γ（k）t）dt+σk下，资本化的全局平均值和资本化的组平均值写为x=NdXk=1NkXi=1x（k）i，x（k）=NkNkXi=1x（k）iρdW（0）t+p1-ρρkdW（k）t+q1-ρkdW（k）it, （4） 当i=1时，···，具有非负扩散参数σk的NK，L中的非负确定性增长率γ（k）∞-表示为[0，T]上有界可测函数集合的空间。我们进一步假设W（k）It对于所有k=1、·····、d和i=1、·····、NK是标准布朗运动，W（0）和W（k）Tf对于k=1、····、d是组间和组内的常见噪声C对参数ρ和ρKf对于k=1、·······、d分别表示为组间和组内的相关性。请注意，所有布朗运动都是在过滤概率空间上定义的(Ohm, F、 P，{Ft}）称为K aratzas和Shreve【1998年】第2章第5.8节的定义。

初始值X（k）i也可以是平方可积随机变量ξ（k）fork=1，···，d，与定义的布朗运动无关(Ohm , F、 P，{Ft}）。也就是说，银行同业拆借制度具有集团内同质和集团间异质的特点。注意，α·是一个渐进可测的控制过程，如果α（k）i·满足Ezt给出的可积条件，则α（k）i·是可容许的α（k）为ds<∞. （5） 此外，参数qk、k和ckstay均为正满足qk≤ 为了保证α→ fN（k）（x，α）对于任何x和x都是凸的→ fN（k）（x，α）对于任何α都是凸的。参数0≤ λk≤ 1对于k=1，···，d被描述为集团平均值和全球平均值的相对考虑因素。大λ的情况意味着银行考虑通过全球平均值的大比率来追踪全球平均值，而不是集团平均值。最后，正如Carmona等人【20182015】中所述，QK代表了k组银行的借贷行为。为简单起见，对于有限参与者，我们研究了两个异质组的情况，其中d=2，因此，两个组的动力学都写为dx（1）it=（α（1）it+γ（1）t）dt+σρdW（0）t+p1- ρρdW（1）t+q1-ρdW（1）it, （6） anddX（2）it=（α（2）it+γ（2）t）dt+σρdW（0）t+p1- ρρdW（2）t+q1-ρdW（2）it, （7） 对于k=1，2和i=1，···，Nk，初始值X（k）。特别是，鉴于第一组由大型银行组成，第二组由小型银行组成，我们可以进一步假设0≤ λ< λ≤ 1因为大型银行打算追踪他们自己的集团整体平均数X（1），而不是全球平均数X。相反，小银行更喜欢通过全球整体平均数追踪大银行。

此外，大型银行的数量通常少于小型银行的数量N.3纳什均衡的构造本节致力于获得有限参与者博弈中的闭环纳什均衡和开环纳什均衡。用HJBAP方法给出了闭环纳什均衡的解。基于Pontryaginminimum原理，使用FBSDEs获得了开环纳什均衡。3.1闭环纳什均衡为了求解闭环纳什均衡，给定j 6=i的最优策略^α（k）jj以及相应的轨迹^X-（k） i=（^X（1）1，···，^X（k）i-1，^X（k）i+1，···，^X（2）N），bank（1）i和bank（2）j打算通过函数值f写为asV（1）i（t，X）=infα（1）i来最小化目标函数∈AEt，xZTtfN（1）（X（1）为，^X-（1） is，α（1）is）ds+gN（1）（X（1）iT，^X-（1） iT）, （8） andV（2）j（t，x）=infα（2）j∈AEt，xZTtfN（2）（X（2）js，^X-（2） js，α（2）js）ds+gN（2）（X（2）jT，^X-（2） jT）, （9） 受试者todX（1）it=（α（1）it+γ（1）t）dt+σρdW（0）t+p1- ρρdW（1）t+q1-ρdW（1）it, （10） anddX（2）jt=（α（2）jt+γ（2）t）dt+σρdW（0）t+p1- ρρdW（2）t+q1-ρdW（2）jt, （11） 其中，W（k）It对于所有k=1，2，i=1，···，Nand j=1，···，Nare标准布朗运动和W（0）and W（k）Tf对于k=1，2是组间和组内的常见噪声，对应于参数ρ和ρKf对于k=1，···，2分别表示为组间和组内的相关性。初值X（k）imay也可以是平方可积随机变量ξ（k）。控制过程α（k）是渐进可测的，A表示为α（k）i的容许集givenby（5）。注意，Et，xdenotes给出的期望Xt=x。定理1。

假设qk≤ kf对于k=1，2和η（i）tandφ（i）tf对于i=1，··，10满足（A.8）到（A.27），问题（8）和（9）的闭环纳什均衡的值函数由v（1）i（t，x）=η（1）t（x（1）给出- x（1）i）+η（2）t（x（1））+η（3）t（x（2））+η（4）t（x（1）- x（1）i）x（1）+η（5）t（x（1）- x（1）i）x（2）+η（6）tx（1）x（2）+η（7）t（x（1）- x（1）i）+η（8）tx（1）+η（9）tx（2）+η（10）t，（12）和v（2）j（t，x）=φ（1）t（x（2）- x（2）j）+φ（2）t（x（1））+φ（3）t（x（2））+φ（4）t（x（2）- x（2）j）x（1）+φ（5）t（x（2）- x（2）j）x（2）+φ（6）tx（1）x（2）+φ（7）t（x（2）- x（2）j）+φ（8）tx（1）+φ（9）tx（2）+φ（10）t，（13）和相应的闭环纳什均衡为^α（1）i（t，x）=（q+eη（1）t）（x（1）- x（1）i）+eη（4）tx（1）+eη（5）tx（2）+eη（7）t，（14）^α（2）j（t，x）=（q+eφ（1）t）（x（2）- x（2）j）+eφ（4）tx（1）+eφ（5）tx（2）+eφ（7）t，（15）对于i=1，···，与j=1，···，n其中η（1）t=（1-N） η（1）t-Nη（4）t，eη（4）t=（1-N） η（4）t-Nη（2）t- λ(1 - β） q，eη（5）t=（1-N） η（5）t-Nη（6）t+λβq，eη（7）t=（1-N） η（7）t-Nη（8）t，（16）andeφ（1）t=（1-N） φ（1）t-Nφ（5）t，eφ（4）t=（1-N） φ（4）t-Nφ（6）t+λβq2，eφ（5）t=（1-N） φ（5）t-Nφ（3）t- λ(1 - β） q，eφ（7）t=（1-N） φ（7）t-Nφ（9）t.（17）证明。参见附录A。同样，由于（A.8-A.27）给出的耦合常微分方程的复杂性，我们现在研究在N→ ∞ 和N→ ∞.提案1。

作为N→ ∞ 和N→ ∞, 耦合方程（A.8）至（A.13）和（A.18）至（A.23）重写为˙bη（1）t=2qbη（1）t+（bη（1）t）- (- q） ，（18）˙bη（2）t=2-bη（4）t+qλ（1- β)bη（2）t- （bη（4）t）-2.bφ（4）t+qλβbη（6）t- (- q） λ（β- 1） ，（19）˙bη（3）t=2-bφ（5）t+qλ（1- β)bη（3）t- （bη（5）t）-2.bη（5）t+qλβbη（6）t- (- q） λβ（20）˙bη（4）t=q（1+λ（1- β） ）bη（4）t- （bη（4）t）-bφ（4）t+qλβbη（5）t+（- q） λ（1- β） ，（21）˙bη（5）t=q- bη（4）t-bφ（5）t+qλ（1- β)bη（5）t- qλβbη（4）t- (- q） λβ，（22）˙bη（6）t=-bη（4）t-bφ（5）t+qλ（1- β） +qλ（1- β)bη（6）t-bη（5）t+qλβbη（2）t-bη（4）tbη（5）t-bφ（4）t+qλβbη（3）t+（-q） λ（1- β） β，（23）˙bφ（1）t=2qbφ（1）t+（bφ（1）t）-(- q） ，（24）˙bφ（2）t=2-bη（4）t+qλ（1- β)bφ（2）t- （bφ（4）t）-2.bφ（4）t+qλβbφ（6）t- (- q） λβ，（25）˙bφ（3）t=2-bφ（5）t+qλ（1- β)bφ（3）t- （φ（5）t）-2.bη（5）t+qλβbφ（6）t-(- q） λ（β- 1） ，（26）˙bφ（4）t=q- bη（4）t-bφ（5）t+qλ（1- β)bφ（4）t- qλβbφ（5）t- (- q） λβ，（27）˙bφ（5）t=q（1+λ（1- β） ）bφ（5）t-（bφ（5）t）-bη（5）t+qλβbφ（4）t+（- q） λ（1- β） ，（28）˙bφ（6）t=-bη（4）t-bφ（5）t+qλ（1- β） +qλ（1- β)bφ（6）t-bφ（4）tbφ（5）t-bη（5）t+qλβbφ（2）t-bφ（4）t+qλβbφ（3）t- (- q） λβ（β- 1） ，（29）终端条件bη（1）T=c，bη（2）T=cλ（β- 1） ，bη（3）T=cλβ，bη（4）T=cλ（β- 1） ，bη（5）T=cλβ，bη（6）T=cλ（β- 1)β.和bφ（1）T=c，bφ（2）T=cλβ，bφ（3）T=cλ（β- 1） ，bφ（4）T=cλβ，bφ（5）T=cλ（β- 1） ，bφ（6）T=cλβ（β- 1).其中0<β，β<1，β+β=1，0<λ，λ<1，q，q，，>0，带- q> 0和-q> 0。验证了耦合方程（18）至（29）的存在性。我们首先观察到，耦合方程（18-29）的存在依赖于耦合Riccati方程（21-22）和（27-28）的存在。