关于HJM仿射实现存在性的另一种方法

Letψ∈ C（R+；H）是（Mt）t的参数化≥0设{λ，…，λd}为V的基。2.13. 推论以下陈述等效：（1）（Mt）t≥0是（2.1）的不变叶理。（2） 我们有ψ（R+） D（A），（2.20）λ，λd∈ D（A）（2.21），存在u，γ：R+×Rd→ Rd使νψ（t）+dXi=1yiλi= ψ（t）+dXi=1ui（t，y）λi，（t，y）∈ R+×Rd（2.22）σψ（t）+dXi=1yiλi=dXi=1γi（t，y）λi，（t，y）∈ R+×Rd.（2.23）如果满足之前的条件，u和γ是唯一确定的，我们有u，γ∈ C0,1（R+×Rd；Rd），存在一个常数K>0，使得Ku（t，y）- u（t，y）kRd≤ Kky公司- ykRd（2.24）kγ（t，y）- γ（t，y）kRd≤ Kky公司- 所有t的ykRd（2.25）∈ R+和y，y∈ Rd，每t∈ R+和h∈ M r=h的（2.1）弱解也是强解。证据断言的等价性来自定理2.11。通过λ的线性独立性，λd，映射u和γ是唯一确定的。用π表示：Rd→ V同构π（y）：=Pdi=1yiλi，我们可以表示为u（t，y）=π-1.νψ（t）+dXi=1yiλi- ψ（t）,γ（t，y）=π-1.σψ（t）+dXi=1yiλi.由于（2.14）中定义的映射根据定理2.11是连续的，因此我们有u，γ∈根据假设2.1，C0,1（R+×Rd；Rd）和（2.24），（2.25）。假设叶理（Mt）t≥0对于（2.1）是不变的。现在我们将确定基本的坐标过程Y。让t∈ R+和h∈ Mtbe任意。存在唯一的y∈ Rd使得h=ψ（t）+Pdi=1yiλi。考虑到（2.24），（2.25），我们让（Yt）t≥0是（dYt=u（t+t，Yt）dt+γ（t+t，Yt）dWtY=y的强解，（2.26）仿射项结构模型的另一种方法，其中u，γ：R+×Rd→ Rd由（2.22）、（2.23）给出。根据It^o公式，过程rt=ψ（t+t）+dXi=1Yitλi，t≥ 0（2.27）是（2.1）的强解，r=h.2.14。评论如果我们考虑利率模型，状态过程Y没有直接的经济解释。

命题2.8表明，对于任何连续线性构造器`∈ L（H；Rd）`（V）=Rd我们可以选择`（r）作为状态进程。我们可以考虑\'i（h）=xiRxih（η）dη（基准收益率）或\'i（h）=h（xi）（基准远期利率）。有关相关结果，请参考【6，第7节】、【5，第5.1节】、【7，第3.3节】、【10，第2节】、【13，第5节】。3、一般随机偏微分方程的仿射实现上一节的结果导致对a函数实现的以下定义。3.1. 定义。让V H是有限维线性子空间。SPDE（2.1）每小时有一个由V if生成的a ffine实现∈ D（A）存在摩擦（Mht）t≥0由V和h生成∈ Mh，对于（2.1）是不变的。我们称d：=dim V为a ffine实现的维度。3.2. 引理。让d∈ N和λ，λd∈ H是线性独立的。假设PDE（2.1）有一个由V=hλ，…，生成的d维函数实现，λdi。然后，存在Φ，Φd∈ C（H；R），使得σ（H）=dXi=1Φi（H）λi，H∈ H、 （3.1）证明。定理2.11中的关系式（2.13）得出σ（h）∈ V代表所有h∈ D（A）。由于（A）在H中是稠密的，V是闭合的，我们得到σ（H）∈ V代表所有h∈ H、 因此，存在Φ，Φd:H→ R使得（3.1）满足σ∈ C（H），我们有Φ，Φd∈ C（H；R）。假设SPDE（2.1）具有由有限维子空间V生成的一个完整实现 H、 然后，对于每个H∈ D（A）叶理（Mht）t≥0由引理2.7唯一确定。

我们将奇异集∑定义为（3.2）∑={h∈ D（A）：Mh=MHT对于所有t≥ 0}={h∈ D（A）：h+V是不变流形}。从几何角度来看，奇异集由所有起点SH组成∈ D（A），对应的叶理（Mht）t≥0只包含一个单叶，也就是说，求解过程甚至停留在d维a函数空间h+V上。对于h∈ ∑映射u，γ：Rd→ Rdin（2.26）不依赖于时间t，因为坐标过程Y是时间齐次的，并且a fine实现（2.27）中的参数化ψ可以选择为ψ≡ h、 （3.2）中单数集定义的结果是恒等式∑+V=∑。（3.3）尤其是，∑是（2.1）的不变集。10斯特凡挺杆3.3。提议假设SPDE（2.1）有一个由V生成的a ffine实现。然后，奇异集∑由∑={h给出∈ D（A）：ν（h）∈ V}，（3.4）每小时∈ D（A）和t∈ R+我们有Mht∩Σ =  或Mht ∑，和forevery t∈ R+带Mht ∑对于所有t，我们有Mht=Mht≥ t、 证明。让h∈ D（A）任意。根据定理2.11的条件（2.12），我们得到了ν（h）∈ V当且仅当ν（h）∈ V代表所有h∈ h+V，这意味着h+V是不变流形，证明（3.4）。考虑到（3.3），我们获得了以下声明。3.4. 评论假设SPDE（2.1）有一个由V生成的a ffine实现。对于任何h∈ D（A）我们定义了确定性停止时间t=inf{t≥ 0：ψ（t）∈ Σ} ∈ [0, ∞]根据备注2.4和（3.3），其不取决于（Mht）t的参数化ψ的选择≥根据命题3.3，强解（rt）t≥0对于（2.1），R=hh为二分行为P（rt/∈ ∑）=1，t∈ [0，t）（3.5）P（rt∈ ∑）=1，t∈ [t，∞)（3.6）即，直到时间t，解在奇异集∑之外进行，然后在∑中进行，因此甚至在一个有效流形上。

特别是，如果t=0，我们有P（rt∈ ∑）=1表示所有t≥ 0，如果t=∞ 我们有P（rt/∈ ∑）=1表示所有t≥ 对于我们以后关于a ffene实现存在性的研究，拟指数函数（参见[7，第5节]），我们现在将在一般上下文中介绍，它将发挥重要作用。归纳地，我们定义了域SD（An）：={h∈ D（An-1） ：An-1小时∈ D（A）}，n≥ 2as以及交叉点d（A∞) :=\\n∈ND（An）。3.5. 定义。A元素h∈ D（A∞) 称为准指数ifdimhAnh:n∈ 镍<∞.(3.7)3.6. 引理。让h∈ H任意。以下陈述是等效的。（1） h是准指数。（2） 存在d∈ N使得h∈ D（Ad）和Adh∈ 啊，啊，广告-1你好。（3） 存在有限维子空间V D（A）带h∈ V这样的AV∈ V代表所有V∈ 五、（3.8）证明。(1) => （2） ：对于h=0，这一点很清楚，对于h 6=0，存在一个最小整数d（3.7）∈ 这样h，啊，广告-1h是线性独立的。因此，我们有Adh∈ 啊，啊，广告-1你好。(2) => （3） ：有限维子空间V=hh，Ah，广告-1hi具有所需的属性。(3) => （1） ：对于每个n，通过感应使用（3.8）∈ N我们有h∈ D（An）安丹∈ V，产生h∈ D（A∞) 和（3.7），其中h是准指数。仿射项结构模型的另一种方法11在后续章节中，H将是函数空间，a=ddx微分器。然后，域D（A∞) 包含所有C∞-任何导数都属于函数空间H的函数。如引理3.6所示，函数H∈D（A∞) 如果满足d阶d=d的线性常微分方程，则为准指数-1Xn=0cnah（3.9），对于某些d∈ N、 特别是，任何指数函数都具有这一性质，这就解释了拟指数这一术语。注意，（3.9）表示有限维子空间V=hh，Ah。

广告-1嗨 D（A）在算子A下不变，即我们有AV 五、准指数函数将对术语结构模型的表征起到决定性的作用，并得到充分的实现，见后续第6–8.4节。前向曲线的空间在本节中，我们定义了前向曲线的空间，我们将在接下来的章节中研究HJMM方程（1.1）。这些空格已在【15，第5节】中产生。我们假设一个任意常数β>0。设Hβ为所有绝对连续函数的空间H:R+→ R使KHKβ：=|h（0）|+ZR+| h（x）| eβxdx< ∞.（4.1）Let（St）t≥0be由Sth定义的Hβ上的移位半群：=H（t+·）表示t∈ R+。由于远期曲线应适用于较长的到期时间x，因此从经济角度来看，选择Hβ是合理的。4.1. 定理。设β>0为任意值。（1） 空间（Hβ，k·kβ）是一个可分Hilbert空间。（2） 对于每个x∈ R+，点评估h 7→ h（x）：hβ→ R是连续线性泛函。（3） （St）t≥0是Hβ上的一个C半群，具有极小生成元dx:D（ddx）Hβ→ Hβ，ddxh=H，域Dddx公司= {h∈ Hβ：H∈ Hβ}。（4） 每小时∈ Hβ是连续的，有界的，极限H(∞) := 林克斯→∞h（x）存在。（5） Hβ：={H∈ Hβ：H(∞) = 0}是Hβ的一个闭子空间。（6） 存在一个普适常数C>0，仅取决于β，因此对于所有h∈ Hβ我们有估计的KHKL∞（R+）≤ Ckhkβ。（4.2）（7）对于每个β>β，我们有Hβ Hβ及其关系khkβ≤ khkβ，h∈ Hβ。（4.3）证明。注意，Hβ是空间Hwfrom【15，第5.1节】，权重函数w（x）=eβx，x∈ R+。因此，前六项陈述源自【15，第5.1.1条，第5.1.1条】。对于每个β>β，观测Zr+| h（x）| eβxdx≤ZR+| h（x）| eβxdx，h∈ Hβ12斯特凡挺杆Hβ Hβ和（4.3）。4.2. 引理。

以下陈述有效。（1） 对于所有h，g∈ Hβ我们有hg∈ Hβ与乘法映射m:Hβ×Hβ→ Hβ定义为m（H，g）：=hg是一个连续的双线性算子。（2） 对于所有h，g∈ D（ddx）我们有hg∈ D（ddx）。证据函数hg是绝对连续的，因为h和g是绝对连续且有界的，见定理4.1。通过估算（4.2），我们得到KHGKβ=| h（0）| g（0）|+ZR+| h（x）g（x）+g（x）h（x）| eβxdx≤ khkL公司∞（R+）kgkL∞（R++2khkL）∞（R+）ZR+| g（x）| eβxdx+2kgkL∞（R+）ZR+| h（x）| eβxdx≤ Ckhkβkgkβ+2Ckhkβkgkβ+2CKKKKβKKKβ<∞.因此，我们有hg∈ Hβ和估算的km（H，g）kβ≤pC+4Ckhkβkgkβ，证明m是一个连续的双线性算子。如果h，g∈ D（ddx），我们有hg∈ C（R+）（hg）=hg+hg，从何处hg∈ D（ddx）由第一份声明确定。对于λ∈ Hβ我们定义∧：=Iλ：=Roλ（η）dη，它属于C（R+），即从R+到R的所有连续函数的空间。4.3。引理。设0<β<β为任意实数。对于每个λ∈ Hβ我们有∧∈ Hβ和图I:Hβ→ Hβ是连续线性算子。证据Letλ∈ Hβ是任意的。那么Iλ是绝对连续的。由于Iλ（0）=0，使用Cauchy-Schwarz不等式，我们得到了kiλkβ=ZR+λ（x）eβxdx=ZR+Z∞xλ（y）eβye-βydyeβxdx≤锆+Z∞xλ（y）eβydyZ∞xe公司-βydyeβxdx≤ kλkβZR+βe-(β-β） xdx=β（β- β） kλkβ，证明该断言。5、HJMM方程的不变叶理我们现在将研究HJMM方程（1.1）的不变叶理，方法是从上一节开始研究正向曲线的空间。设0<β<β为任意实数，设σ：Hβ→ 给出Hβ。5.1. 假定

我们假设σ∈ C（Hβ）带σ（Hβ） Hβ，存在L，M>0，使得kσ（H）- σ（h）kβ≤ Lkh公司- 所有h、h的hkβ∈ Hβ，kσ（H）kβ≤ M代表所有h∈ Hβ。仿射项结构模型13的另一种方法使用上一节的符号，HJM漂移项（1.3）由αHJM=m（σ，Iσ）给出。回想一下，这种漂移的选择确保了隐含债券市场（1.2）将没有套利机会。根据【15，Cor.5.1.2】，我们得到了αHJM（Hβ） Hβ存在一个常数tk>0，使得kαHJM（H）- αHJM（h）kβ≤ Kkh公司- 所有h、h的hkβ∈ Hβ。因此，对于每个h∈ Hβ（1.1）存在唯一的弱解，r=H，见[11，Thm.6.5，Thm.7.4]。注意，（1.1）是状态空间H=Hβ上随机偏微分方程（2.1）的一个特殊示例，其中生成器a=ddx，漂移α=αHJM。此外，引理4.2、4.3产生αHJM∈ C（Hβ），假设2.1中的所有必要条件均已满足。现在让（Mt）t≥0be由有限维子空间V生成的叶理Hβ。我们设置d：=尺寸V。为了研究（Mt）t的不变性≥0对于HJMequation（1.1），我们直接切换到坐标系。Letψ∈ C（R+；H）bea（Mt）t的参数化≥0设{λ，…，λd}为V的基。那么，集合{∧，…，λd}在C（R+）中是线性独立的。5.2. 评论让E {1，…，d}是一个索引集。我们设定：={（i，j）∈ E×E:i<j}。然后，有子集D Eand和 Esuch thatB={∧，…，λd}∪ {∧i:i∈ D}∪ {∧i∧j：（i，j）∈ D} （5.1）是向量空间W=h∧，∧di+h∧i:i∈ Ei+h∧i∧j：（i，j）∈ 工程安装。（5.2）每m∈ 存在唯一（cmi）i=1，。。。，d R、 （dmi）i∈D R和（dmij）（i，j）∈D R使得∧m=dXi=1cmi∧i+Xi∈Ddmi∧i+X（i，j）∈Ddmij∧i∧j，（5.3）和每个（m，n）∈ 存在唯一（cmni）i=1，。。。，d R、 （dmni）i∈D 兰德（dmnij）（i，j）∈D R使得∧m∧n=dXi=1cmni∧i+Xi∈Ddmni∧i+X（i，j）∈Ddmnij∧i∧j.（5.4）5.3。定理。

叶理（Mt）t≥0对于HJMM方程（1.1）是不变的，如果只有（2.20），（2.21），则存在u，γ∈ C0,1（R+×Rd；Rd），使得ν（ψ（t））=ψ（t）+dXi=1ui（t，0）λi，t∈ R+（5.5）14 STEFAN TAPPEand（2.23），有（aki）k=1，。。。，di=1，。。。，d R、 （bki）k=1，。。。，di公司∈D R和（bkij）k=1，。。。，d（i，j）∈D 所有（t，y）的R∈ R+×Rd我们有-ykui（t，y）+Xm∈E\\Dcmiyk（γm（t，y））（5.6）+X（m，n）∈E\\Dcmniyk（γm（t，y）γn（t，y））=aki，i=1，d、 k=1，dyk（γi（t，y））+Xm∈E\\Ddmiyk（γm（t，y））（5.7）+X（m，n）∈E\\Ddmniyk（γm（t，y）γn（t，y））=bki，i∈ D、 k=1，dyk（γi（t，y）γj（t，y））+Xm∈E\\Ddmijyk（γm（t，y））（5.8）+X（m，n）∈E\\Ddmnijyk（γm（t，y）γn（t，y））=bkij，（i，j）∈ D、 k=1，D此处E {1，…，d}的选择应确保E {i=1，…，d：γi6≡ 如备注5.2所示，选择0}和其他量，我们得到了Riccati方程dDx∧k+dXi=1aki∧i+Xi∈Dbki∧i+X（i，j）∈Dbkij∧i∧j=λk（0），k=1，d、 （5.9）证明。”=>” 假设（Mt）t≥0是（1.1）的不变叶理。根据推论2.13，我们有（2.20）–（2.23）。关系（5.5）后面是在（2.22）中设置y=0。在（2.22）中插入（2.23），考虑HJM漂移条件（1.3），我们得到ddxψ（t）+dXi=1yiddxλi+ddxdXi=1γi（t，y）∧i= ψ（t）+dXi=1ui（t，y）λifor all（t，y）∈ R+×Rd.与ykwe的差异获得ddxλk+ddxdXi=1γi（t，y）∧idXi=1ykγi（t，y）∧i=dXi=1ykui（t，y）λi，k=1，D全部（t，y）∈ R+×Rd.积分得到λk-dXi=1ykui（t，y）∧i+dXi，j=1γi（t，y）ykγj（t，y）∧i∧j=λk（0），k=1，D全部（t，y）∈ R+×Rd.注意E {i=1，…，d：γi6≡ 0}，我们可以把这个方程表示为λk-dXi=1ykui（t，y）∧i+Xi∈Eyk（γi（t，y））∧i+X（i，j）∈Eyk（γi（t，y）γj（t，y））∧i∧j=λk（0），k=1，仿射项结构模型的dAN替代方法15适用于所有（t，y）∈ R+×Rd.介绍函数fi:R+×Rd→ Rd，i=1。

，dand gi：R+×Rd→ Rd，i∈ Das以及gij：R+×Rd→ Rd，（i，j）∈ Dbyfi（t，y）：=-ui（t，y）+Xm∈E\\Dcmiγm（t，y）+X（m，n）∈E\\Dcmniγm（t，y）γn（t，y），gi（t，y）：=γi（t，y）+Xm∈E\\Ddmiγm（t，y）+X（m，n）∈E\\Ddmniγm（t，y）γn（t，y），gij（t，y）：=γi（t，y）γj（t，y）+Xm∈E\\Ddmijγm（t，y）+X（m，n）∈通过考虑（5.3）和（5.4），我们得到dXi=1ykfi（t，y）∧i+Xi∈Dykgi（t，y）∧i+X（i，j）∈Dykgij（t，y）∧i∧j=-（λk- λk（0）），k=1，D全部（t，y）∈ R+×Rd.由于（5.1）中定义的B是（5.2）中向量空间W的基础，我们推导出（5.6）、（5.7）、（5.8）和Riccati方程（5.9）。”<=”: 关系式（1.3），（2.23），（5.3），（5.4）产量（5.10）αHJMψ（t）+dXi=1yiλi=ddx公司dXi，j=1γi（t，y）γj（t，y）∧i∧j=ddx公司xi∈Eγi（t，y）∧i+2X（i，j）∈Eγi（t，y）γj（t，y）∧i∧j=ddx公司dXi=1（ui（t，y）+fi（t，y））∧i+Xi∈Dgi（t，y）∧i+X（i，j）∈Dgij（t，y）∧i∧j对于所有（t，y）∈ R+×Rd。特别是，通过设置y=0，我们得到（5.11）αHJM（ψ（t））=ddxdXi=1（ui（t，0）+fi（t，0））∧i+Xi∈Dgi（t，0）∧i+X（i，j）∈Dgij（t，0）∧i∧j16 STEFAN挺杆用于所有t∈ R+。关系式（5.10）、（5.6）、（5.7）、（5.8）、（5.11）和Riccati方程（5.9）给出了αHJMψ（t）+dXi=1yiλi=ddx公司dXi=1ui（t，y）+fi（t，0）+dXk=1akiyk∧i+Xi∈Dgi（t，0）+dXk=1bkiyk∧i+X（i，j）∈Dgij（t，0）+dXk=1bkijyk∧i∧j=ddx公司dXi=1（ui（t，0）+fi（t，0））∧i+Xi∈Dgi（t，0）∧i+X（i，j）∈Dgij（t，0）∧i∧j+ddxdXi=1（ui（t，y）- ui（t，0）∧i+ddxdXk=1ykdXi=1aki∧i+Xi∈Dbki∧i+X（i，j）∈Dbkij∧i∧j= αHJM（ψ（t））+dXi=1（ui（t，y）- ui（t，0））λi-dXk=1ykddxλkforall（t，y）∈ R+×Rd。通过进一步合并（5.5），我们得出结论ψ（t）+dXi=1yiλi=ddxψ（t）+dXi=1yiddxλi+αHJMψ（t）+dXi=1yiλi= ν（ψ（t））+dXi=1（ui（t，y）- ui（t，0））λi=ψ（t）+dXi=1ui（t，y）λifor all（t，y）∈ R+×Rd，显示（2.22）。根据推论2.13，叶理（Mt）t≥0是（1.1）的不变量。请注意，特别是Riccati方程的系统（5.9）对于获得有关某一实现存在的知识非常有用。

我们将在后续章节中举例说明EOREM 5.3，以描述HJMM方程（1.1）允许有效实现的波动率结构。我们将从第6节中的一般波动率开始，并将在第7–9.6节中获得特定波动率结构的结果作为推论。具有一般挥发性的HJMM方程的仿射实现在本节中，我们假设HJMM方程（1.1）中的挥发性σ的形式为σ（h）=pXi=1Φi（h）λi，h∈ Hβ（6.1），其中p∈ N表示正整数，Φ，Φp:Hβ→ R是泛函，λ，λp∈ Hβ与线性无关。我们假设Φi∈ C（Hβ；R）对于i=1，存在L，M>0，对于所有i=1，p我们有Φi（h）- Φi（h）|≤ Lkh公司- 所有h、h的hkβ∈ Hβ，|Φi（H）|≤ M代表所有h∈ Hβ。然后，假设5.1已完成。仿射期限结构模型17的另一种方法注意到，从引理3.2来看，这是最普遍的波动率，我们可以对HJMM方程（1.1）进行有效的实现。相应的jm漂移项（1.3）由αHJM（h）给出=pXi=1Φi（h）λipXi=1Φi（h）∧i, h类∈ Hβ。(6.2)6.1. 提议假设存在h，hp（马力）∈ Hβ使得σ（H），σ（hp）与线性无关，h∈ D（ddx），以满足以下条件之一：o我们有D（ΦiΦj）（h）λk=0，i，j，k=1，p、 （6.3）o存在k，l∈ {1，…，p}这样函数sh 7→ D（ΦiΦj）（h）（λk，λl），h∈ h+hλ，λpi（6.4）与1线性无关≤ 我≤ j≤ p、 如果HJMM方程（1.1）有一个有效的实现，则λ，λpare拟指数。证据让V Hβ是生成a ffine实现的有限维子空间，集d：=维数V。引理3.2得出σ（h）∈ V代表所有h∈ Hβ。由于σ（h），σ（hp）与线性无关，我们得到λ，λp∈ V，因为关联式（6.1）产生hλ。