关于HJM仿射实现存在性的另一种方法

，λpi=hσ（h），σ（hp）i.选择λp+1，λd∈ 使得{λ，…，λd}是V的基。让h∈ D（ddx）满足上述条件之一。现在，我们将定理5.3应用于不变叶理（Mht）t≥根据（2.23）和（6.1），函数γ=γ（0，·）：Rd→ Rdi由γi（y）=Φi给出h+dXi=1yiλi, i=1，pγi（y）=0，i=p+1，d、 特别是，我们有γ∈ C（Rd），我们可以选择E={1，…，p}。如果（6.3）满足要求，则（5.7）、（5.8）给出所有i的bki=0∈ D、 k=1，pand bkij=0表示所有（i，j）∈ D、 k=1，p、 因此，Riccati方程（5.9）表明λ，λpare拟指数。如果存在k，l∈ {1，…，p}使得函数（6.4）对于1是线性独立的≤ 我≤ j≤ p、 然后我们声称D=D=, 根据theRiccati方程（5.9），这意味着λ，λpare拟指数。相反，假设D6= 或D6=.如果D6=, 选择i∈ d对yl进行二异（5.7），其屈服Φi（h）（λk，λl）+Xm∈E\\DdmiDΦm（h）（λk，λl）+X（m，n）∈E\\DdmniD（ΦmΦn）（h）（λk，λl）=0（对于所有h）∈ h+hλ，λpi。这与（6.4）的线性独立性1相矛盾≤ 我≤ j≤ p、 类似地，如果D6=, 选择（i，j）∈ 与Yl的差异（5.8）与1的线性独立性（6.4）产生矛盾≤ 我≤ j≤ p18斯特凡挺杆6.2。提议如果λ，λpare拟指数，则HJMM方程（1.1）有一个有效的实现。证据由于λ，λpare拟指数，线性空间w：=Dddx公司nλ：n∈ NE++Dddx公司nλp:n∈ 氖 Dddx公司是有限维的，我们有DDXW∈ W代表所有W∈ W（6.5）自……以来 所有t的Hβ≥ 0，我们有W Hβ。设置q:=dim W。存在λp+1，λq∈ W使得{λ，…，λq}是W的基。我们定义了子空间v：=W+hλi∧j:i，j=1，气。请注意，V D（ddx）由引理4.2、4.3得到。

设置d：=尺寸V并选择λq+1，λd∈使得{λ，…，λd}是V的基。关系式（6.5）表示ddx∧i∈ h1，∧，∧qi，i=1，q、 （6.6）通过（6.6）和（6.5），我们得到了ddx（λi∧j）=λiddx∧j+λjddxλi∈ 五、 i，j=1，Q我们从哪里得到了DDXV∈ V代表所有V∈ 五、（6.7）让h∈ D（ddx）是任意的。我们定义了映射ψ∈ C（R+；Hβ），ψ（t）：=Sth（6.8）映射γ∈ C0,1（R+×Rd；Rd），γi（t，y）：=（Φi（ψ（t）+Pdj=1yjλj），i=1，p0，i=p+1，d、 （6.9）和u∈ C0,1（R+×Rd；Rd）为ui（t，y）：=γk（t，y）γl（t，y）+Pdj=1ajiyjif i∈ 对于某些k，l，{q+1，…，d}和λi=λk∧lf∈ {1，…，p}，Pdj=1ajiyj，否则，（6.10），其中，由于（6.7），（aij）i，j=1，。。。，d R的选择应确保ddxλi=dXj=1aijλj，i=1，d、 然后，条件（2.20）–（2.23）完全满足，因此，根据推论2.13，叶理（Mht）t≥0由V=hλ，对于HJMM方程（1.1），参数化ψ的λdi是不变量。6.3. 评论注意，命题6.2的证明同时提供了有效实现的构造。对于h∈ D（ddx）不变叶理（Mht）t≥0由hλ生成，λdi，具有（6.8）中定义的参数化ψ。Forh公司∈ MHT与一些t∈ R+强解（rt）t≥0对于r=h的（1.1），由（2.27）给出，其中映射u，γ：r+×Rd→ （6.9）、（6.10）中定义了状态过程的RD2.26。我们参考[6，第5.1部分，第6.1部分]获得类似结果。仿射期限结构模型的另一种方法196.4。评论根据备注2.14，对于任何连续线性运算符`∈L（Hβ；Rd）`（V）=Rd我们可以选择`（r）作为状态过程。例如，组成部分可以是对基准收益率或基准远期利率的评估。这提供了对a ffne实现的经济解释。6.5. 评论

结合命题3.3和关系式（6.2），（6.8），奇点集∑由（d+1）维线性空间∑=h1，∧，∧di，以及注释3.4，对于每个h∈ D（ddx）我们有（3.5），（3.6），其中tdenotest确定性停止时间t=inf{t≥ 0：某物∈ Σ} ∈ [0, ∞]其中（rt）t≥0表示（1.1）的强解，r=h.6.6。评论请注意，命题6.1中的条件是奇异事件，因为只需满足一个单点h的相应条件。因此，命题6.1、6.2得出的结论是，除了像CIRmodel这样的退化示例外，有效实现的存在本质上等同于λ、…、，λpare准指数（这意味着Riccati方程系统（5.9）中的所有二次项都消失）。这也是对[7，第6.4款]的补充，提供了充分的含义。7、具有恒定方向波动率的HJMM方程的仿射实现在本节中，我们研究了具有恒定方向波动率的HJMM方程（1.1）的一个有效实现的存在性，即，我们假设HJMM方程（1.1）中的波动率σ的形式为σ（h）=Φ（h）λ，h∈ Hβ（7.1），其中Φ：Hβ→ R是一个函数，λ∈ λ6=0的Hβ。我们假设Φ∈ C（Hβ；R），存在L，M>0，使得Φ（H）- Φ（h）|≤ Lkh公司- 所有h、h的hkβ∈ Hβ，|Φ（H）|≤ M代表所有h∈ Hβ。然后，假设5.1已完成。7.1. 推论假设Φ6≡ 如果HJMM方程（1.1）有一个有效的实现，那么λ是准指数，或者我们有Φ（h）（λ，λ）=0，h∈ Dddx公司和（7.2）DΦ（h）λ6=0，h∈ Dddx公司.（7.3）证明。这是提案6.1的直接后果。7.2. 评论条件（7.2），（7.3）表示在每个前向曲线h∈ D（ddx）函数Φ在λ方向是一个函数，但不是常数，这是CIR型模型的典型特征。7.3. 推论

如果λ为准指数，则HJMM方程（1.1）具有唯一实现。证据这是提案6.2的直接结果。20斯特凡挺杆7.4。评论假设我们有Φ6≡ 0且存在h∈ D（ddx）使得DΦ（h）（λ，λ）6=0或DΦ（h）λ=0。然后，根据推论7.1、7.3，HJMM方程（1.1）只有在λ为准指数时才有一个有效的实现。因此，我们放宽了[7，Prop.6.1]中的假设，其中假设Φ（h）6=0表示所有h∈ 对于所有H，Hβ和DΦ（H）（λ，λ）6=0∈ Hβ。8、具有恒定波动性的HJMM方程的仿射实现在本节中，我们研究具有恒定波动性的HJMM方程（1.1）的一个有效实现的存在性，即我们有σ≡ λ与λ∈ Hβ，λ6=0。然后，假设5.1已完成。8.1. 推论HJMM方程（1.1）只有当λ是准指数时才有一个有效的实现。证据该断言是推论7.1、7.3的直接结果，因为σ的形式为（7.1）和Φ≡ 1.8.2. 评论如果λ是拟指数的，我们甚至可以得到d维函数化，其中d：=dimh（ddx）nλ：n∈ 镍。对于h∈ D（ddx）不变叶理（Mht）t≥0由hλ生成，λdi与λi=ddx公司我-1λ，i=1，dand具有参数化ψ（t）=-∧+Sth+λ, t型∈ R+，可以使用推论2.13来表示（参见[6，第4.1款]）。使用命题3.3，奇异集∑由（d+1）-维a f ne空间∑=-∧+h1，∧，∧di，以及注释3.4，对于每个h∈ D（ddx）我们有（3.5），（3.6），其中tdenotest确定性停止时间t=infnt≥ 0：Sth+λ∈ h1，∧，∧dio∈ [0, ∞]其中（rt）t≥0表示（1.1）的强解，r=h.8.3。评论不足为奇的是，推论8.1的陈述与[7，Prop.5.1]的陈述一致。HJMM方程的短期利率实现在最后一节中，我们讨论了维度d=1的一个实现。

如备注6.4所述，我们可以对函数化进行经济解释，并选择（在轻微规律性条件下）短期利率r（0）作为状态过程。在本例中，我们还讨论了短速率实现。假设波动率σ的形式为σ（h）=φ（h（0）），h∈ Hβ（9.1）仿射项结构模型的另一种方法21其中H 7→ h（0）：hβ→ R表示短期利率的评估，其中φ：R→ Hβ是一个任意映射。然后，短期利率过程将是一维随机微分方程的解。利用我们之前d=1的结果，并考虑到波动率的特殊结构（9.1），我们可以看到σ属于以下三种类型之一：（1）我们可以有σ≡ ρ具有常数ρ∈ R、 这是Ho Lee模型。（2） 我们可以有σ≡ ρe-co具有适当的常数ρ，c∈ R、 这是瓦西塞克模型的船体白色延伸。（3） 我们可以得到σ（h）=pc+dh（0）λ，h∈ 具有适当常数c、d的Hβ∈ R、 其中∧=Roλ（η）dη满足一个Riccative方程，即dDx∧+a∧+b∧=λ（0）。这是考克斯-英格索尔-罗斯模型的赫尔-怀特扩展。因此，我们已经认识到了三种众所周知的短期利率模型，这与现有文献完全一致，参见，例如，[20，7，17]。结论我们提出了一种关于HJM利率模型是否存在有效实现的替代方法，该方法的特点是适用于广泛的模型类别，并且在概念上相当容易理解。运用这种方法，我们能够进一步深入了解一种实现的结构。特别是，我们已经看到，基本上所有实现有效的波动率结构都是λ，…，的形式（6.1），λpBeing准指数。

所有剩余的波动率（如CIRmodel）可被视为退化示例，见备注6.6。我们的证明提供了a ffne实现的构造（见备注6.3、6.4），并且我们能够确定奇异集∑，见备注6.5，其中我们还展示了远期利率过程相对于∑的二分法行为。此外，对于特定的波动率结构，我们补充了一些已知的存在性结果。确认作者感谢WWTF（维也纳科学技术基金）的支持。作者还感谢两位匿名推荐人的有益评论和建议。参考文献[1]Baudoin，F.，Teichmann，J.（2005）：有限维中的亚椭圆性及其在利率理论中的应用。《应用概率年鉴》15（3），1765-1777年。[2] Bhar，R.，Chiarella，C.（1997）：将Heath–Jarrow–Morton模型转换为Markoviansystems。《欧洲金融杂志》第3期，第1-26页。[3] 比约克（2003）：关于利率模型的几何学。巴黎普林斯顿数学金融讲座，133–215。[4] 比约克，T.，克里斯滕森，C.（1999）：利率动态和一致的远期利率曲线。数学金融9（4），323–348.22 STEFAN TAPPE【5】Bj¨ork，T.，Gombani，A.（1999）：利率模型的最小实现。《金融与随机》3（4），413–432。[6] 比约克，T.，兰德恩，C.（2002）：关于非线性远期利率模型的有限维回归的构建。金融与随机6（3），303–331。[7] Bj¨ork，T.，Svensson，L.（2001）：关于非线性正向速率模型有限维实现的存在性。数学金融11（2），205–243。[8] 布罗迪，D.C.，休斯顿，L.P.（2001）：利率和信息几何，伦敦皇家学会学报。系列A。

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