关于HJM仿射实现存在性的另一种方法

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英文标题：
《An alternative approach on the existence of affine realizations for HJM
  term structure models》
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作者：
Stefan Tappe
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We propose an alternative approach on the existence of affine realizations for HJM interest rate models. It is applicable to a wide class of models, and simultaneously it is conceptually rather comprehensible. We also supplement some known existence results for particular volatility structures and provide further insights into the geometry of term structure models.
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中文摘要：
我们提出了一种关于HJM利率模型仿射实现存在性的替代方法。它适用于广泛的一类模型，同时在概念上也相当容易理解。我们还补充了特定波动率结构的一些已知存在性结果，并进一步深入了解了期限结构模型的几何结构。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> An_alternative_approach_on_the_existence_of_affine_realizations_for_HJM_term_str.pdf (462.01 KB)

2022-6-24 07:45:31 上传

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关键词：HJM 存在性 Mathematical SIMULTANEOUS Differential

HJM TERM STRUCTUREMODELSSTEFAN Tappeastract中存在石蜡实现的另一种方法。我们提出了一种关于HJM利率模型存在函数优化的替代方法。它适用于广泛的一类模型，同时在概念上也相当容易理解。我们还对特定波动率结构应用了一些已知的存在性结果，并进一步深入了解了期限结构模型的几何结构。关键词：利率模型的几何结构、不变叶理、函数化、Riccati方程。91G80、60H151。简介到期日为T的零息债券是一种金融资产，以T向持有人支付一单位现金。其价格为t≤ T可以写成一单位现金的连续贴现p（T，T）=exp-ZTtf（t，s）ds,式中，f（t，t）是时间t时瞬时借款的现行利率，也称为日期t的远期利率。远期利率演变的经典连续框架可以追溯到Heath、Jarrow和Morton（HJM）[18]。他们假设，对于每个日期T，远期利率f（T，T）遵循形式df（T，T）=αHJM（T，T）dt+σ（T，T）dWt，T的It^oproces∈ [0，T]其中W是维纳过程。请注意，这种HJM利率模型是一个有限维的对象，因为对于每个到期日≥ 0我们有anIt^o流程。在实践中，我们之所以对有限维实现的存在感兴趣，有几个原因，也就是说，远期利率的演变可以通过有限维状态过程来描述。

这种有限维的实现确保了模型更大的分析可处理性，例如，从期权定价的角度来看。此外，如[1]所述，没有有限维实现的HJM模型似乎不合理，因为远期利率曲线f（t，t+·），t>0的支持度变得很大，因此从一开始就对市场现象建模的远期利率曲线的任何“形状”都以正概率被破坏。在[20、23、13、2、19、4、5、9、10]中，针对各种特殊情况，研究了HJM利率模型的有限维实现的存在和构建问题，并在[7、6、16]中得到了彻底解决，另请参见[3]中的调查。其主要思想是切换到正向曲线的Musiela参数化：t（x）=f（t，t+x）（见[22]），并将远期利率视为一个随机偏微分方程（SPDE）的解，即所谓的HJMM（Heath–Jarrow–Morton–Musiela）方程（drt=（ddxrt+αHJM（rt））dt+σ（rt）dWtr=h（1.1），在适当的正向曲线希尔伯特空间h上，其中dDxD表示微分算子，它由强连续半群（St）t生成≥0个班次。银行账户B是无风险资产，从一单位现金开始，在时间t以短期利率rt（0）持续增长，即B（t）=expZtrs（0）ds, t型≥ 根据[12]，隐含债券市场，我们现在可以表示为asP（t，t）=exp-ZT公司-ttrt（x）dx, 0≤ t型≤ 如果存在等价（局部）鞅测度Q，则T（1.2）是无套利的~ p确认贴现债券价格sp（t，t）B（t），t∈ [0，T]是所有到期T的局部Q-鞅。如果我们就这样一个等价鞅测度Q建立HJMM方程（1.1）~ P、 然后漂移由波动率决定，即。

αHJM:H→ （1.1）中的H由HJMdrift条件给出（见[18]）αHJM（H）=σ（H）Zo（H）（η）dη=ddxZo∑（h）（η）dη, h类∈ H、 （1.3）现在，我们可以从几何角度考虑问题，有限维实现的存在仅仅意味着存在不变流形，即无限维子流形，远期利率过程永远不会离开它。应用Frobenius定理，我们得到了存在不变流形，即dim{β，σ}LA<∞,i、 e.向量场7生成的所谓李代数→ β（h）：=ddxh+αHJM（h）-Dσ（h）σ（h）和h 7→ σ（h）必须是局部有限尺寸。这些是上述条款的基本思想【7、6、16】。这种方法的技术问题是，微分算子rdx通常是无界的，因此是非光滑算子。比约克等人[7，6]选择的状态空间H非常小，以至于DdxBecomes有界。因此，并不是所有基本HJM模型的正向曲线都属于该空间，例如，Cox-Ingersoll-Ross模型所暗示的正向曲线，见【16，第1节】。菲利波维奇（Filipovi\'c）和泰奇曼（Teichmann）[16]通过对[21]中开发的Fr'echet空间进行方便的分析，解决了这个问题，然而，这远远不是一个简单的问题。在他们的论文中，他们特别指出，任何具有有限维度实现的HJM模型都必然具有一个期限结构。本论文的贡献是提出一种替代方法，其特点是以下两个主要特征：仿射项结构模型的替代方法3o我们从[15，Sec.5]开始研究Hilbert空间H，该空间足够大，可以捕捉任何合理的正向曲线。

如前所述，Bj¨ork等人[7，6]选择空间H，使得微分算子Dx是有界的，因此它非常小同时，本文不需要关于Fr'echet空间的便利性分析的知识。菲利波维奇（Filipovi\'c）和泰奇曼（Teichmann）[16]使用了这种相当技术性的机器。我们通过直接将重点放在一个实现上来避免这个框架，由于[16]中提到的结果，这并不意味着限制。这使我们的方法相当容易理解。综上所述，我们提出了一种关于HJM模型存在有效实现的替代方法，该方法适用于广泛类别的模型，并且在概念上可供广大读者使用。我们的方法还允许我们补充[7]中特定脆弱性结构的一些存在结果（见备注6.6、7.4中的注释），并进一步深入了解期限结构模型的几何结构（见备注6.3、6.5、8.2中的注释）。在我们通过概述本文的其余部分来完成这篇介绍之前，让我们简要地提及另一种建模零息票债券的几何方法，这种方法在概念上与目前的HJM框架完全不同，但也会导致不变性问题。它由Brody和Hughston[8]提出，并受到信息几何方法的启发。他们定义了债券价格sp（t，t）=Z∞T-tρt（x）dx，其中每个ρ是R+上的密度。为了引入密度，作者在[8]中考虑了状态空间H=L（R+）上的一个过程ξ，通过构造，该过程保持在希尔伯特空间H中单位球体S的正正正角。这意味着ρt=√ξ确实是一种密度。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们提供了关于不变叶理的结果，在第3节中，我们提供了关于一般随机偏微分方程的有效实现。

在第4节中，我们介绍了前向曲线的空间。在这个空间上，我们给出了第5节中关于HJMM方程（1.1）不变叶理的一个结果。利用这一结果，我们研究了第6节中具有一般波动率的HJMM方程（1.1）和第7-9节中各种特定波动率结构的存在性。最后，第10节总结。2、一般随机偏微分方程的不变叶理在本节中，我们提供了关于一般随机偏微分方程不变叶理的结果，我们将随后应用于HJMM方程（1.1）。从现在开始，让(Ohm, F、 （Ft）t≥0，P）是一个满足通常条件的过滤概率空间，且W是一个实值维纳过程。这里，我们将在可分离的Hilbert空间（h，k·k，h·，·i）上处理类型为（drt=（Art+α（rt））dt+σ（rt）dWtr=h（2.1）的随机偏微分方程。在（2.1）中，操作员A:D（A）H→ H是C-半群（St）t的最小生成元≥0on H，带4个STEFAN TAPPEoperator A*: D（A*)  H→ H、 回想一下，域D（A）和D（A*) 在H中为致密，参见，例如，[24，第13.35.c条，第13.12条]。关于向量场α，σ：H→ 我们施加以下条件。2.1. 假定我们假设α，σ∈ C（H）且常数大于0，使得kα（H）- α（h）k≤ Lkh公司- hk，（2.2）kσ（h）- σ（h）k≤ Lkh公司- hk（2.3）适用于所有h、h∈ H、 Lipschitz假设（2.2）、（2.3）确保∈ H对于r=H的（2.1）存在唯一的弱解，请参见[11，第6.5条，第7.4条]。2.2. 定义。A子集U 对于（2.1）H称为不变量，如果对于每个H∈ Uwe haveP（rt∈ U） =1表示所有t≥ 0其中（rt）t≥0表示r=h的（2.1）的弱解。在下面的公式中，让V H是有限维线性子空间，d：=维数V。2.3. 定义。

A系列（Mt）t≥a ffine子空间Mt的0 H、 t型≥ 如果存在ψ，则0称为V生成的接触∈ C（R+；H）使得mt=ψ（t）+V，t≥ 0。（2.4）mapψ是叶理（Mt）t的参数化≥0.2.4. 评论请注意，叶理（Mt）的参数化≥0生成的byV不是唯一的。然而，由于条件（2.4），对于两个参数ψ，ψ，我们有ψ（t）- ψ（t）∈ V代表所有t≥ 0.在下面的内容中，让（Mt）t≥0是V生成的叶理。每t≥ 0设定πV⊥mt正好由一个点组成。因此，映射ψ：R+→ H、 ψ（t）：=πV⊥MTI定义良好，是叶理（Mt）t的唯一参数化≥0suchthatψ（t）∈ 五、⊥对于所有t≥ 0.2.5. 定义。对于每个t≥ 0我们定义了切线空间t Mt：=ψ（t）+V。通过备注2.4，切线的定义与参数化的选择无关。2.6. 定义。叶理（Mt）t≥如果forevery t，则（2.1）的0of子流形是不变的∈ R+和h∈ Mtwe haveP（rt∈ Mt+t）=1表示所有t≥ 0（2.5），其中（rt）t≥0表示r=h的（2.1）弱解。我们现在将看到，V生成的不变叶理是唯一的，前提是它存在。2.7. 引理。Let（Mit）t≥0，i=1，2是由V和M生成的两个叶理∩M6=, 对于（2.1）是不变的。那么对于所有t，我们有Mt=Mt≥ 0.仿射项结构模型的另一种方法。选择h∈ M∩ 手动（rt）t≥0是（2.1）的弱解，r=h。那么我们有πV⊥Mt=πV⊥rt=πV⊥Mt，t≥ 0完成证明。2.8. 提议假设叶理（Mt）t≥0of子流形对于（2.1）和let是不变的`∈ L（H；Rd）是`（V）=Rd的连续线性算子。那么，对于每t∈ R+和h∈ Mtwe几乎可以肯定的是，t=πV⊥Mt+t+`-1（`（rt）- `πV⊥Mt+t），t≥ 0（2.6），其中（rt）t≥0表示（2.1）的弱解，r=h，（2.6）是（rt）t的分解≥0根据V⊥⊕ 五、证据

通过条件（2.5），我们几乎可以得到surelyrt=πV⊥rt+πVrt=πV⊥Mt+t+πVrt，t≥ 因此我们几乎可以确定πVrt=rt- πV⊥Mt+t=`-1（`（rt）- `（πV⊥Mt+t）），t≥ 将（2.8）插入（2.7），我们得到（2.6）。2.9. 评论如果叶理（Mt）t≥0对于（2.1）是不变的，然后对于每个连续线性运算符`∈ L（H；Rd）（V）=Rd分解（2.6）提供了解决方案（rt）t的实现≥0通过有限维过程`（r）。现在我们将讨论本节的主要结果，即下面的定理2.11，它为叶理（Mt）t的不变性提供了一致性条件≥0.2.10. 引理。存在ζ，ζd∈ D（A*) 和同构φ：Rd→ v使φ（hζ，hi）=所有h的h∈ V，（2.9）其中我们使用符号hζ，hi：=（hζ，hi，…，hζd，hi）∈ Rd证明。用Gram-Schmidt方法，存在V的正交基{e，…，ed}。自D（A）起*) 在H中致密，存在ζ，ζd∈ D（A*) 带kζi-eik<2-D对于i=1，d、 因此，我们得到| hζi，eji |≤ |hei，eji |+| hζi- ei，eji |<2-D对于所有i，j=1，d，i 6=j和| hζi，eii |≥ |嗨，eii |- |hζi- ei，eii |>1- 2.-D对于所有i=1，d、 因此，我们有dxj=1j6=i | hζi，eji |<（d- 1)2-d<（2d- 1)2-d=1- 2d<| hζi，eii |对于所有i=1，d、 因此，根据Gerschgorin的定理，（d×d）-矩阵b：=hζ，ei···hζ，edi。。。。。。hζd，ei···hζd，edi是可逆的。Letψ：V→ Rdbe同构ψ（h）：=（he，hi，…，hed，hi），h∈ 五、 STEFAN TAPPEThen，同构Boψ：V→ Rdhas表示（Boψ） （h）=（hζ，hi，…，hζd，hi），h∈ 五、 定义同构φ：=（Bo ψ)-1： 研发部→ V完成证明。现在，让ψ∈ C（R+；H）是（Mt）t的参数化≥0并让φ：Rd→ Vbe是引理2.10中的同构。

我们定义了▄α，▄σ：R+×Rd→ Rdas▄α（t，z）：=hA*ζ、 ψ（t）+φ（z）i+hζ，α（ψ（t）+φ（z））-ψ（t）i，|σ（t，z）：=hζ，σ（ψ（t）+φ（z））i。根据假设2.1，我们有|α，|σ∈ C0,1（R+×Rd；Rd），存在常数tk>0，使得k|α（t，z）- α（t，z）kRd≤ Kkz公司- zkRdk￠σ（t，z）- σ（t，z）kRd≤ Kkz公司- zkRdfor所有t∈ R+和所有z，z∈ 因此，对于每个t∈ R+和每个z∈ rDzt=α（t+t，Zt）dt+σ（t+t，Zt）dWtZ=z存在唯一的强解。（2.10）我们定义了向量场ν：D（a）→ H asν（H）：=Ah+α（H），H∈ D（A）。这是我们关于叶理（Mt）t不变性的主要结果≥0适用于PDE（2.1）。2.11. 定理。叶理（Mt）t≥0是（2.1）的不变叶理当且仅当≥ 0我们有MT D（A），（2.11）ν（h）∈ T Mt，h∈ Mt（2.12）σ（h）∈ 五、 h类∈ Mt.（2.13）如果满足之前的条件，则mapR+→ H、 t 7→ A（πV⊥Mt）（2.14）是连续的∈ R+和h∈ M R=h的（2.1）弱溶液也是强溶液。“证明。”=>”: 让t∈ R+和h∈ V任意。那么我们有h：=ψ（t）+h∈Mt.Let（rt）t≥0为（2.1）的弱解，r=h，设z：=hζ，hi。自ζ，ζd∈ D（A*) 和（Mt）t≥0是（2.1）的不变叶理，我们使用（2.9）得到hζ，rt- ψ（t+t）i=hζ，h-ψ（t）i+Zt（hA*ζ、 rsi+hζ，α（rs）- ψ（t+s）i）ds+Zthζ，σ（rs）idWs=hζ，hi+Ztα（t+s，hζ，rs- ψ（t+s）i）ds+Zt∑（t+s，hζ，rs- ψ（t+s）i）dWs。仿射项结构模型的另一种方法7该恒等式表明，几乎可以肯定zt=hζ，rt- ψ（t+t）i，t≥ 0其中（Zt）t≥0表示Z=Z的（2.10）的强解。通过（2.9），我们几乎可以肯定φ（Zt）=rt- ψ（t+t），t≥ 0、设ξ∈ D（A*) 要专横。

通过It^o公式并应用线性函数hξ，·i，然后，（2.15）hξ，rt- ψ（t+t）i=hξ，φ（Zt）i=hξ，hi+Zthξ，φ（|α（t+s，Zs））ids+Zthξ，φ（|σ（t+s，Zs））idWs。自（rt）t起≥0是r=h的（2.1）的弱解，我们有（2.16）hξ，rt- ψ（t+t）i=hξ，h- ψ（t）i+Zt（hA*ξ、 rsi+hξ，α（rs）- ψ（t+s）i）ds+Zthξ，σ（rs）idWs。结合（2.15）和（2.16），我们得到（2.17）0=Zt（hA*ξ、 rsi+hξ，α（rs）- ψ（t+s）- φ（△α（t+s，Zs））i）ds+Zthξ，σ（rs）- φ（￠σ（t+s，Zs））idWs。因此，（2.17）中的所有被积函数都会消失，并且，由于ξ∈ D（A*) 是任意的，设置=0产生ψ（t）+h∈ D（A），证明（2.11）和恒等式ν（ψ（t）+h）=ψ（t）+φ（|α（t，z））∈ T Mt，（2.18）σ（ψ（T）+h）=φ（|σ（T，z））∈ V（2.19），显示（2.12），（2.13）。此外，标识（2.18）证明了（2.14）中定义的地图的连续性。”<=”: 让t∈ R+和h∈ Mtbe任意。存在唯一的z∈ Rdsuchth h=ψ（t）+φ（z）。Let（Zt）t≥0是Z=Z的（2.10）的强解。It^o的公式通过使用（2.11）–（2.13）和（2.9），ψ（t+t）+φ（Zt）=ψ（t）+φ（Z）+Zt（ψ（t+s）+φ（|α（t+s，Zs）））ds+Ztφ（|σ（t+s，Zs））dWs=h+Zt（ψ（t+s）+φ（hζ，ν（ψ（t+s）+φ（Zs））- ψ（t+s）i）ds+Ztφ（hζ，σ（ψ（t+s）+φ（Zs））i）dWs=h+Zt（A（ψ（t+s）+φ（Zs））+α（ψ（t+s）+φ（Zs）））ds+Ztσ（ψ（t+s）+φ（Zs））dWs，t≥ 0.8 STEFAN Tappeb通过（2.1）的解的唯一性，我们几乎可以确定Ryt=ψ（t+t）+φ（Zt）∈ Mt+t，t≥ 0其中（rt）t≥0表示（2.1）的弱解，r=h，其中（Mt）t≥0是不变叶理，我们得到（rt）t≥0也是一个强大的解决方案。2.12. 评论请注意，（2.11）–（2.13）是切线空间上的一致性条件（有关相关结果，请参见，例如，[14]）。自叶理（Mt）t≥对于一个有效的流形，我们不需要漂移的Stratonovich校正项。现在，我们用坐标系表示定理2.11中的一致性条件。