列维项结构模型的存在性

，2n- 我们通过Doob鞅不等式（A.1）、引理B.4和（B.6）得到了alln，m∈ n>m的n≥ 氖支持∈[0，T]kInt（Φ）- Imt（Φ）k≤ 4E“n-1Xi=0Mtni+1- Mtni公司Φtni- Φtnj（一）#= 4n-1Xi=0EhhM，M itni+1- 嗯，M itnikΦtni- Φtnj（i）ki=4c+ZRxF（dx）n-1Xi=0（tni+1- tni）EhkΦtni- Φtnj（i）ki<ε。后一个恒等式是有效的，因为hM，M i是[35，Prop.i.4.50.b]对[M，M]的补偿器，并且因为关系式[M，M]t=ct+Ps≤t型MSI根据[35，Thm.I.4.52]有效。因此，序列（In（Φ））是M中的柯西序列。命题B.3和引理B.1完成了证明。对于Φ∈ Cad（[0，T]；L）(Ohm; H） ，根据[27，引理3.6]，关于dt的积分可以定义为黎曼积分。更准确地说：16 DAMIR FILIPOVI\'C和STEFAN TAPPEB。引理。LetΦ∈ Cad（[0，T]；L）(Ohm; H） ）。对于每个t∈ [0，T]，存在唯一的随机变量Yt∈ L(Ohm; H） 因此，对于每个ε>0，存在δ>0，因此e“年初至今-n-1Xi=0（ti+1- ti）Φti#< 每个分区的ε（B.7）0=t<t<…<tn=t，supi=0，。。。，n-1 | ti+1- ti |<δ。证据修复t∈ [0，T]并设ε>0为任意值。自Φ：【0，t】→ L(Ohm; H） 在紧致区间[0，t]上是一致连续的，存在δ>0使得ekΦs- Φrk<所有r、s的εt（B.8）∈ [0，t]带| s- r |<δ。设Z={0=t<t<…<tn=t}和Z={0=s<…<sm=t}是满足supi=0的两个分解，。。。，n-1 | ti+1- ti |<δ和SUPI=0，。。。，m级-1 | si+1- si |<δ。然后有一个唯一的分解Z={0=r<r<…<rp=t}，这样Z=Z∪ Z、 因此，我们得到-1Xi=0（ti+1- ti）Φti-m级-1Xi=0（si+1- si）Φsi=p-1Xi=0（ri+1- ri）（Φai- Φbi）带ai∈ Z、 bi公司∈ Zand | bi- ai |<δ对于所有i=0，p- 1.

我们通过Cauchy-Schwarz不等式和（B.8）E“n-1Xi=0（ti+1- ti）Φti-m级-1Xi=0（si+1- si）Φsi#≤ Ep-1Xi=0（ri+1- ri）k（Φai- Φbi）k≤ Ep-1Xi=0（ri+1- ri）p-1Xi=0（ri+1- ri）kΦai- Φbik= tp-1Xi=0（ri+1- ri）EkΦai- Φbik< ε.根据L的完整性(Ohm; H） ，证明了引理。B、 7。定义。LetΦ∈ Cad（[0，T]；L）(Ohm; H） ）。那么积分Yt=（G-）RtΦsds，t∈ [0，T]是随机过程Y=（Yt）T∈[0，T]其中每个yti都是L中唯一的元素(Ohm; H） 使（B.7）有效。同样，对于每一个t∈ [0，T]积分（G-）RtΦsds仅在aP–null集上确定。我们将证明连续修改的存在性。LetΦ∈ Cad（[0，T]，L）(Ohm; H） ）。我们定义（Φ）：=（G-）ZtΦsds，t∈ [0，T]（B.9）和连续自适应过程的序列Jnt（Φ）：=n-1Xi=0（tni+1∧ t型-tni公司∧ t） Φtni，n∈ N（B.10），其中（B.4）中定义了时间。注意，对于每个t∈ [0，T]我们有Jnt（Φ）→Jt（Φ）in L(Ohm; H） 引理B.6。存在L'EVY期限结构模型17B。8、定理。LetΦ∈ Cad（[0，T]；L）(Ohm; H） ）。那么J（Φ）有一个连续的修改，而且，支持∈[0，T]kJnt（Φ）- Jt（Φ）k→ 0 P–a.s.证明。设ε>0为任意值。自Φ：【0，T】→ L(Ohm; H） 在紧致区间[0，T]上一致连续，存在δ>0使得ekΦt- Φsk<εT（B.11），适用于所有s，T∈ [0，T]带| T- s |<δ。选择n∈ N这样2-nT<δ。对于所有n，m∈ n>m的n≥ nwe获得JN（Φ）- Jm（Φ）=n-1Xi=0tni+1∧ t型-tni公司∧ t型Φtni- Φtnj（一）带j（i）∈ {0，…，i}这样| tni-tnj（i）|<2-对于所有i=0，…，nT<δ，2n个-1.

我们通过Cauchy-Schwarz不等式和（B.11）获得所有n，m≥ n与n>我支持∈[0，T]kJnt（Φ）- Jmt（Φ）k= E“支持∈[0，T]n-1Xi=0t型∧ tni+1- t型∧tni公司Φtni- Φtnj（一）#≤ T E公司支持∈[0，T]n-1Xi=0t型∧ tni+1- t型∧tni公司kΦtni- Φtnj（i）k= 田纳西州-1Xi=0ti+1- ti公司EhkΦtni- Φtnj（i）ki<ε。根据马尔可夫不等式，存在这样一个子序列（Jnk（Φ）），即支持∈[0，T]kJnk+1t（Φ）- Jnkt（Φ）k≥ 2.-k≤ 2.-k所有k∈ N、 Borel-Cantelli引理表明，对于几乎所有ω∈ Ohm 序列（Jnk（Φ）（ω））是[0，T]上连续函数空间中具有上确界范数的Cauchy序列。因此，（Jnk（Φ））将P–a.s.收敛到一个自适应过程，在[0，T]上一致，因此是连续的。根据引理B.6，该极限过程是对积分过程J（Φ）的修正。现在设X是E[X]<∞. 然后它允许aunique分解Xt=Mt+bt，其中M是满足e[M]<∞ b=E[X]。根据[27，Def.3.7]，我们设置（G-）ZtΦsdXs：=（G-）ZtΦsdMs+b·（G-）ZtΦsds。我们还应使用符号G（Φ）t=（G-）ZtΦsdXs，t∈ [0，T]。请注意，G（Φ）=I（Φ）+b·J（Φ），其中I（Φ）在（b.2）中定义，J（Φ）在（b.9）中定义。对于n，我们还引入了Gn（Φ）=In（Φ）+b·Jn（Φ）∈ N、 其中（Φ）在（B.3）中定义，Jn（Φ）在（B.10）中定义。对于可预测的H值过程Φ和实值半鞅X，我们可以定义通常的It^o积分（例如在Jacod和Shiryaev【35】或Protter18 DAMIR FILIPOVI'C和STEFAN TAPPE【48】中开发的）ZtΦsdXs，用于财务建模。该构造与实值积分一样，即首先定义简单被积函数的积分，然后通过it^o等距对其进行扩展。

为了得到It^o-等距，状态空间H是Hilbert空间是至关重要的。在更一般的情况下，驱动半鞅也可能是有限维的，随机积分的构造可以在M'etivier【44】中找到。Da Prato和Zabczyk【13】以及Carmona和Tehranchi【8】将有限维布朗运动中的情况视为积分器，在【8】中还重点关注利率模型。我们还注意到，在适当的Banach空间，即所谓的M型2空间上，仍然可以定义随机积分。那么积分仍然是一个有界线性映射器，但通常没有等距。有关更多详细信息，请参阅[53]。我们现在观察到，van Gaans的积分（G-）RtΦsdxs【27】与金融建模中常用的随机积分RtΦsdxs不一致。例如，设X是一个标准泊松过程，其值为R。在[27]的例3.9中，推导出（G-）ztxsdx=Xt公司- Xt公司.显然，这与路径Lebesgue Stieltjes integralztxsdx不一致=Xt+Xt,但我们有（G-）ztxsdx=ZtXs-dXs，表明一旦使用带跳跃的被积函数，就会出现不一致。实际上，关于van-Gaans积分和通常的It^o积分之间的关系，我们有以下一般结果：B.9。定理。LetΦ∈ Cad（[0，T]；L）(Ohm; H） ）保持连续或连续。那我们就要全力以赴了∈ [0，T]（G-）ZtΦsdXs=ZtΦs-dXsP–a.s.（B.12）证明。如果Φ是连续的，我们有supt∈[0，T]kGnt- Gtk公司→ 0几乎可以肯定是定理B.5和定理B.8，因此也是概率。对于通常的It^ointegral，我们有支持∈[0，T]Gnt公司-RtΦsdXs→ 概率为0，这在实值情况下被证明是正确的，参见例如[35，Prop.I.4.44]。

因此，我们得到所有t∈ [0，T]（G-）ZtΦsdXs=ZtΦsdXsP–a.s.（B.13），并且，由于Φ是左连续的，因此也存在关系（B.12）。如果Φ是c\'adl\'ag，我们显示Φ-是Φ的修正，因为（B.12）是下面（B.13）和引理B.11的结果。让t∈ （0，T）是任意的，（tn）是一个序列，使得tn↑ t、 自Φ：【0，t】→ L(Ohm; H） 是连续的，wededuce E[kΦt-Φtnk]→ 因此，有一个子序列（nk）与kΦt-Φtnkk→ 几乎可以肯定，因此我们有P（Φt=Φt-) = 1.存在L'EVY期限结构模型19B。10、备注。如果驱动过程X是一个（可能是有限维）布朗运动，则范甘斯积分与通常的随机积分的等价性（有限维情况见Da Prato和Zabczyk[13]）见[26，第3节。它还需要显示以下辅助结果，我们在定理B.9的证明中使用了这些结果。B、 11。引理。LetΦ，ψ∈ Cad（[0，T]；L）(Ohm; H） ）使得ψ是Φ的修正。那么G（ψ）是G（Φ）的修正。证据让t∈ [0，T]是任意的。根据假设，对于所有n，我们有P（Gnt（Φ）=Gnt（ψ））=1∈ N、 自Gnt（Φ）→ Gt（Φ）和Gnt（ψ）→ L中的Gt（ψ）(Ohm; H） 由LemmaB提供。引理B.6，有一个子序列（nk），使得Gnkt（Φ）→ Gt（Φ）几乎可以肯定，另一个子序列nkl使得Gnklt（ψ）→ Gt（ψ）几乎可以肯定，表明P（Gt（Φ）=Gt（ψ））=1。附录C.随机微分方程Snow let（St）t≥0be可分Hilbert空间H中的C-半群，即有界线性算子族St:H→ H使得oS=Id；oSs+t=所有s，t的SSST≥ 0;o 限制→0Sth=所有h的h∈ H带发电机A:D（A） H→ H、 用k·kL（H）表示有界线性算子的算子范数。

半群（St）在H ifkStkL（H）中称为收缩的≤ 1，t≥ 如果有常数ω，则H中的0和伪收缩≥ 0，这样的话KSTKL（H）≤ eωt，t≥ 0.在本节中，我们打算找到这类随机微分方程的温和解（drt=（Art+α（t，rt）），dt+Pni=1σi（t，rt-)dXit，r=h（C.1），由实值L'evy过程X，xn满足E[（Xi）]<∞, i=1，n、 对于每个初始条件h∈ H、 也就是说，一个过程（rt）t≥0满意率=某物+ZtSt-sα（s，rs）ds+nXi=1ZtSt-sσi（s，rs-)dXis，t∈ R+。（C.2）我们还打算证明弱解（rt）t的存在性≥0至（C.1），即（rt）满足所有ζ∈ D（A*),hζ，rti=hζ，hi+Zt哈*ζ、 rsi+hζ，α（s，rs）ids+nXi=1Zthζ，σi（s，rs-)每个t的idXis（C.3）∈ R+。按照惯例，（C.1）的解的唯一性指的是数量。这是我们的主要存在性和唯一性结果：20 DAMIR FILIPOVI\'C和STEFAN TAPPEC。1、定理。Let（St）t≥0是H中的C-半群，H H是一个封闭的子空间，使得（St）在H中是伪收缩的。设α，σ，σn：R+×H→Hbe连续。假设有常数L≥ 0，使得kα（t，h）- α（t，h）k≤ Lkh公司- hk（C.4）kσi（t，h）- σi（t，h）k≤ Lkh公司- hk，i=1，n（C.5）表示所有t∈ R+和所有h，h∈ H、 然后，对于每个H∈ H、 存在唯一的MIL和唯一的弱适应c\'adl\'ag溶液（rt）t≥0至（C.1），r=hs符合要求支持∈[0，T]krtk< ∞ 对于所有T>0。（C.6）证明。让h∈ H任意。我们将每个L'evy过程Xit=Mit+bitino分解到其鞅和有限变分部分，其中我们注意到bi=E[Xi]。根据[27，Thm.4.1]，存在唯一的自适应连续函数r:r+→ L(Ohm; H） 因此，对于所有t≥ 0rt=Sth+（G-）ZtSt-sα（s，rs）ds+nXi=1（G-）ZtSt-sσi（s，rs）dMis，其中▄α（t，r）=α（t，r）+Pni=1biσi（t，r）。根据假设，（St）是伪收缩静脉H。

因此存在一个常数ω≥ 0使得C-半群（Tt）t≥0定义的asTt：=e-ωtSt，t∈ R+（C.7）在H中是收缩的。根据关于酉扩张的Szek¨ofalvi-Nagy定理（参见[56，Thm.I.8.1]或[14，Sec.7.2]），存在另一个可分离的Hilbert空间，即强连续酉群（Ut）t∈Rin Hsuch那张图----→ Hx公司`yπHTt----→ H每t的命令∈ R+，其中“：H”→ 等轴测嵌入（hencethe伴随算子π：=`*是Hinto H的正交投影），即所有t的πUt\'H=Tth∈ R+和h∈ H、 （C.8）使用（C.7），（C.8）和[27，Thm.3.3]，我们得到所有i=1，n和t≥ 0（G-）ZtSt-sσi（s，rs）dMis=（G-）Zteω（t-s） Tt-sσi（s，rs）dMis=eωt（G-）Zte-ωsπUt-s′σi（s，rs）dMis=eωtπUt（G-）Zte-ωsU-s `σi（s，rs）dMis。中兴通讯整体流程-ωsU-s `σi（s，rs）dMishas a c ` adl\'ag根据定理B.5进行修改。因此，过程（G-）ZtSt-sσi（s，rs）dMishas a c\'adl\'ag修改，因为（t，h）7→ Uth在紧子集上是一致连续的，参见例如[23，引理I.5.2]。L'EVY项结构模型的存在性21A类似的论证，使用定理B.8，表明（G-）ZtSt-sα（s，rs）Ds具有连续修改。因此，（rt）有一个c\'adl\'ag修改，根据定理B.9，它满足esrt=Sth+ZtSt-sα（s，rs）ds+nXi=1ZtSt-sσi（s，rs-)dMis，t≥ 因此，（rt）t≥0是（C.1）的温和溶液，即满足（C.2）。工艺简介Φt：=ZtSt-sα（s，rs）ds，（C.9）ψit：=ZtSt-sσi（s，rs-)dMis，i=1，n（C.10）根据上述发现，我们得到RT=Sth+Φt+nXi=1ψit，t≥ 0。（C.11）我们假设任意T>0。通过（C.7），（C.8）并注意到kπkL（H；H）=1和kutkl（H）≤ 所有t均为1∈ [0，T]，对于每个i=1。

，东北支持∈[0，T]kψitk= E“支持∈[0，T]ZtSt公司-sσi（s，rs-)dMis公司#= E“支持∈[0，T]eωtπUtZte-ωsU-s`σi（s，rs-)dMis公司#（C.12）≤ e2ωTE“支持∈[0，T]中兴通讯-ωsU-s`σi（s，rs-)dMis公司#< ∞.后一个表达式由定理B.5和定理B.9确定。我们通过（C.7），（C.8），H¨older不等式和Fubini定理得到（注意K|α（t，rt）kis C\'adl\'ag，因此B[0，t] F-可测量）E支持∈[0，T]kΦtk= E“支持∈[0，T]ZtSt公司-s▄α（s，rs）ds#= E“支持∈[0，T]eωtπUtZte-ωsU-s`~α（s，rs）ds#≤ T e2ωTEZTkα（t，rt）kdt≤ T e2ωTZTEk▄α（t，rt）kdt公司≤ Te2ωTsupt∈[0，T]Ek▄α（t，rt）k< ∞.后一个上确界是有限的，因为t 7→ Ek▄α（t，rt）k在压缩间隔[0，T]上连续，如T 7→ α（t，rt）通过r的连续性是连续的：[0，t]→L(Ohm; H） 和（C.4），（C.5）。由于求解过程（rt）由（C.11）给出，我们获得（C.12）和（C.6）是有效的。我们继续证明（rt）t≥0也是（C.1）的弱解。Letζ∈D（A*) 要专横。22 DAMIR FILIPOVI\'C和STEFAN TAPPEWe为任意T∈ R+B[0，T]P-可测函数Hi:[0，T]×[0，T]×Ohm → R asHi（a，t）：=（hA*ζ、 南非-tσi（t，rt-)i、 a≥ t0，a<t。我们通过Cauchy-Schwarz不等式和（St）在Hthat | Hi（a，t）|中的伪收缩性得到≤ eωTkA*ζk·kσi（t，rt-)k、 a，t∈ [0，T]。（C.13）过程Yit：=（RTHi（a，t）da）1/2由（C.13）和Lebesgue的支配收敛定理保持连续，因此是可预测的。在[0，T]上考虑的L'evy鞅属于Protter[48，p.156]中定义的意义，因为通过使用[35，Thm]。

一、 4.52]，kMikH≤ kMcikH+kMdikH=E[Mci，Mci]T1/2+E[Mdi，Mdi]T1/2=（ciT）1/2+EXs型≤T型(管理信息系统）1/2=（ciT）1/2+TZRxFi（dx）1/2< ∞,其中，我们将Mi=Mci+mdi分解为连续鞅部分和纯间断鞅部分，其中cidenotes是高斯部分和Mi的fithel'evymeasure。根据σ的假定连续性，σn，常数CT>0，使得kσi（t，0）k≤ CTfor所有t∈ [0，T]和i=1，n、 因此，我们得到了所有的t∈ [0，T]，全部h∈ H和所有i=1，n乘以（C.5）kσi（t，h）k≤ kσi（t，0）k+kσi（t，h）- σi（t，0）k≤ （L）∨ CT）（1+khk）。（C.14）通过不等式（C.13）和（C.14），我们得到ZT（Yit）d[米，米]t=ci+ZRxFi（dx）EZTZTHi（a，t）dadt≤ T（L∨ CT）e2ωTkA*ζkci+ZRxFi（dx）E支持∈[0，T]（1+krtk）.因此，在Rotter定义的意义上，过程yi是（H，Mi）可积的[48，p.165]，因为从H¨older不等式和（C.6）我们推断支持∈[0，T]（1+krtk）≤ 1+2E支持∈[0，T]krtk1/2+E支持∈[0，T]krtk< ∞.因此，我们有易∈ L（Mi），即每个yi在Protter的意义上都是可积的[48，p.165]，因此我们可以应用Fubini定理，参见Thm。四、 65 in【48】，对于被积函数Hi。使用Fubini定理和[58，LemmaVII.4.5（a）]，我们得到每个i=1，nZthA公司*ζ、 ψisids=ZtZshA*ζ、 不锈钢-uσi（u，ru-)idMiuds=ZtDA*ζ、 ZtuSs公司-uσi（u，ru-)dsEdMiu=ZtDζ，AZt-uSsσi（u，ru-)dsEdMiu=Zthζ，St-uσi（u，ru-) - σi（u，ru-)idMiu=hζ，ψiti-Zthζ，σi（s，rs-)idMis，存在L'EVY期限结构模型23，其中ψ在（C.10）中定义。

使用标准Fubini定理的类似计算给出了usZthA*ζ、 Φsids=hζ，Φti-Zthζ，|α（s，rs）ids，其中Φ在（C.9）中定义，最后，通过再次考虑[58，LemmaVII.4.5（a）]，我们得到ZthA*ζ、 Sshids=Dζ，AZtSshdsE=hζ，Sthi- hζ，hi。与（C.11）一起，后三个恒等式表明hζ，rti=hζ，hi+Zt哈*ζ、 rsi+hζ，|α（s，rs）ids+nXi=1Zthζ，σi（s，rs-)idMisfor所有t∈ [0，T]。自T起∈ R+是任意的，（rt）t≥0是（C.1）的弱解决方案，是无效填充（C.3）。这个弱解是唯一的，这有待证明。Let（rt）t≥0是任何适用于（C.1）的C\'adl\'ag弱溶液，即（rt）满足（C.3）所有ζ∈ D（A*). Letζ∈D（A*) 和g∈ C（[0，T]；R）表示任意T∈ R+。通过定义二次协变量[X，Y]，参见[35，定义I.4.45]，我们得到了hg（t）ζ，rti=hg（0）ζ，hi+Ztg（s）dhζ，rsi+Zthζ，rsidg（s）+[g，hζ，ri]t∈ C（[0，T]；R），根据[35，Prop.4.49.d]，我们有[g，hζ，ri]=0。因此，由于（C.3），我们得到hg（t）ζ，rti=hg（0）ζ，hi+Zthg（s）ζ+A*g（s）ζ，rsi+hg（s）ζ，α（s，rs）ids+nXi=1Zthg（s）ζ，σi（s，rs-)idXis。自集合{t 7→ g（t）ζ| g∈ C（[0，T]；R）}在C（[0，T]；D（A）中是稠密的*)), 我们推导出hg（t），rti=hg（0），hi+Zt汞（s）+A*g（s），rsi+hg（s），α（s，rs）ids+nXi=1Zthg（s），σi（s，rs-)IDXIS适用于所有g∈ C（[0，T]；D（A*)), 我们回忆起T∈ R+是任意的。定义G∈ C（[0，t]；D（A*)) 对于任意t∈ R+和任意ζ∈ D（A*) asg（s）：=s*t型-sζ，s∈ [0，t]，我们得到g（s）=-A.*g（s）和hencehζ，rti=hζ，Sthi+Zthζ，St-sα（s，rs）ids+nXi=1Zthζ，St-sσi（s，rs-)idXis。自D（A）起*) 在H中是稠密的，过程（rt）t≥0也是（C.1）的温和解决方案，即满足（C.2），证明了所需的唯一性。在特殊情况下∈ L（H），即。