列维项结构模型的存在性

假设c>0，ε∈ (-∞, γ） 和x∈ R+使得| g（x）h（x）|≤ ceεXF适用于所有x≥ x、 那么我们有了∞g（x）h（x）e-γxdx=γg（0）h（0）+Z∞g（x）h（x）e-γxdx+Z∞g（x）h（x）e-γxdx.证据对三个因子进行部分积分，得到hg（x）h（x）e-γxi∞=Z∞g（x）h（x）e-γxdx+Z∞g（x）h（x）e-γxdx- γZ∞g（x）h（x）e-γxdx。根据假设，我们有limx→∞g（x）h（x）e-γx=0，因此所述公式如下。3.8. 引理。设γ>0和h∈ C（R+；R）为h，h，h≥ 假设c>0，ε∈ (-∞,γ） 和x∈ R+使得| h（x）|≤ ceεxand | h（x）|≤ ceεXF适用于所有x≥ x、 那么我们有了∞h（x）e-γxdx≤γZ∞h（x）e-γxdx。证据利用2次引理3.7，我们得到∞h（x）e-γxdx=γZ∞h（x）h（x）e-γxdx+γh（0）=γZ∞h（x）e-γxdx+Z∞h（x）h（x）e-γxdx+γh（0）+γh（0）h（0）.因为h，h，h≥ 假设为0，则所述不等式如下。现在我们通过假设η：Hβ，γ来推广命题3.6→ 允许R在前进曲线的当前状态下后退。我们目前框架的其余部分与提案3.6.3.9完全相同。提议假设，除了命题3.6的假设之外，我们还有γ≤√2，η（Hβ，γ） [0,γ) ∩ [0,√β） 和|η（h）- η（h）|≤ Lkh公司- hkβ，γ表示所有h，h∈ Hβ，γ。然后，对于每个h∈ Hβ，γ，存在一个独特的强适应c\'adl\'ag溶液（rt）t≥0到（1.5），r=hs满意（3.1）。8 DAMIR FILIPOVI\'C和STEFAN TAPPEProof。结果表明：Hβ，γ→ Hβ，γ定义为Γ（r）（x）：=eη（r）xisLipschitz连续。那么让h，h∈ Hβ，γ是任意的。在不失去普遍性的情况下，我们假设η（h）≤ η（h）。观察Γ（h）的所有导数-Γ（h）为非负。所以我们通过应用引理3.8得到（注意γ≤√2）和Lipschitz性质| ex- ey |≤ ex | x- y |表示y≤ x thatkΓ（h）- Γ（h）kβ，γ=∞Xn=0β新西兰∞η（h）neη（h）x- η（h）neη（h）xe-γxdx≤ββ - 1Z∞eη（h）x- eη（h）xe-γxdx≤ββ - 1Z∞eη（h）x（η（h）- η（h））xe-γxdx≤ββ - 1.Z∞xeη（h）xe-γxdxLkh公司- hkβ，γ。积分是有限的，因为我们有η（h）∈ 假设为[0，γ]。

应用定理3.3完成证明。4、正向曲线演化为无穷维随机微分方程的弱解和弱解在本节中，我们讨论（1.5）的弱解和弱解的存在性，我们考虑了[24，第5章]中介绍的正向曲线空间Hwof。让w：R+→ [1, ∞) 是一个非递减C函数，使得w-∈ L（R+）。4.1. 实例w（x）=eαx，对于α>0.4.2。实例w（x）=（1+x）α，对于α>3。设hw为所有绝对连续函数h:R的线性空间+→ RsatisfyingZR+| h（x）| w（x）dx<∞,其中hdenotes是h的弱导数。我们定义内积（g，h）w：=g（0）h（0）+ZR+g（x）h（x）w（x）dx，并用9·9w表示相应的范数。由于远期曲线会延长到期时间x，因此从经济角度来看，HW的选择是合理的。4.3. 提议空间（Hw，（·，·）w）是一个可分Hilbert空间。每小时∈ Hwis连续、有界和极限h(∞) := 林克斯→∞h（x）存在。此外，foreach x∈ R+，点评估h 7→ h（x）：Hw→ R是一个连续的线性函数。证据所有这些陈述都可以在[24，Thm.5.1.1]的证明中找到。每个点求值都是一个连续的线性泛函，这一事实确保正演曲线（rt）求解（1.5）满足常数变化公式（1.4）。确定常数C，C> 0 asC：=千瓦-1kg（R+），C：=1+C，C：=kw-kL（R+），C：=千瓦-kL（R+），存在L'EVY项结构模型9我们对所有h∈ HW估计HKL（R+）≤ C9 h9w，（4.1）khkL∞（R+）≤ C9 h9w，（4.2）kh- h类(∞)kL（R+）≤ C9 h9w，（4.3）k（h- h类(∞))wkL（R+）≤ C9 h9w，（4.4），随后检查[24，Thm]的证明。

5.1.1].因为对于定理C.1的应用，我们要求移位半群（St）t≥0定义为t=h（t+·）表示t∈ R+在Hw的封闭子空间中是伪收缩的，我们执行了一个想法，这是由于Tehranchi[57]，即我们改变为内积hg，hiw：=g(∞)h类(∞) +ZR+g（x）h（x）w（x）dx，并用k·kw表示相应的范数。估算值（4.1）–（4.4）也很低，所有h的标准值为k·Kw∈ Hw，这与原始标准9·9w完全相同。因此，我们得出结论，使用（4.2），（1+C）khkw≤ 9h9w≤ （1+C）khkw，h∈ Hw表明k·kwand 9·9ware在Hw上的等效规范。从现在起，我们将使用标准k·kw。4.4. 提议（St）是Hwwith generatorddx:D（ddx）中的一个C半群硬件→ Hw，ddxh=h，domain（ddx）={h∈ Hw | h∈ Hw}。子空间Hw：={h∈ Hw | h(∞) = 0}是Hwand（St）的闭子空间，Hwand（St）在hw中相对于范数k·kw是可压缩的。证据除最后一项声明外，我们参考了[24，Thm.5.1.1]的证明。通过w的单调性，我们得到ksthkw=ZR+| h（x+t）| w（x）dx≤ KHKW适用于所有t∈ R+和h∈ Hw，表明（St）在Hw中是收缩的。我们定义了任何h=（h，…，hn）∈ ∏ni=1AψiHw∑h（x）：=-nXi=1hi（x）ψi-Zxhi（η）dη, x个∈ R+。(4.5)4.5. 提议存在一个常数C>0，这样对于所有g，h∈ ∏ni=1AψiHwwehavek∑g- ∑hkw≤ CnXi=11+khikw+kgikw+kgikw卡尔古利- 高功率。（4.6）此外，对于每小时∈ ∏ni=1AψiHwwe有∑h∈ Hw，且map∑：πni=1AψiHw→HW连续。证据We定义：=supx∈【ci，di】|ψi（x）|，Li：=supx∈【ci，di】|ψi（x）|和Mi：=supx∈【ci，di】|ψi（x）| 10 DAMIR FILIPOVI'C和STEFAN Tappefori=1，n、 根据导数ψ离子的有界性，∑的定义（4.5）得出每h∈ ∏ni=1AψIHW极限∑h(∞) := 林克斯→∞∑h（x）存在且∑h(∞) = 0，小时∈ ∏ni=1AψiHw。（4.7）使用（4.7）和普遍不等式| x+…+xk公司|≤ k|x |+。

+| xk|, k∈ 任意g，h的Nwe-get∈ ∏ni=1AψIHW估算K∑g- ∑hkw=ZR+nXi=1hi（x）ψi-Zxhi（η）dη-nXi=1gi（x）ψi-Zxgi（η）dη+nXi=1gi（x）ψi-Zxgi（η）dη-nXi=1hi（x）ψi-Zxhi（η）dηw（x）dx≤ 4n（I+I+I+I），其中我们有putI：=nXi=1ZR+| hi（x）|ψi-Zxhi（η）dη- ψi-Zxgi（η）dηw（x）dx，I：=nXi=1ZR+ψI-Zxgi（η）dη|hi（x）- gi（x）| w（x）dx，I：=nXi=1ZR+gi（x）ψi-Zxgi（η）dη- ψi-Zxhi（η）dηw（x）dx，I：=nXi=1ZR+ψI-Zxhi（η）dη（gi（x）- hi（x））w（x）dx。使用（4.3）yieldsI≤nXi=1Likhikwkgi- hikL（R+）≤ CnXi=1Likhikwkgi- hikw和Iis估计asI≤nXi=1Kikgi- 高功率。考虑到（4.3）和（4.4），我们得到≤nXi=1MikgiwkL（R+）kgi- hikL（R+）≤ CCnXi=1Mikgikwkgi- 利用H¨older不等式和（4.4），我们得到≤nXi=1LiZR+（gi（x）+hi（x））w（x）（gi（x）- hi（x））w（x）dx≤nXi=1Lik（gi+hi）wkL（R+k）（gi- hi）wkL（R+）≤ 2CnXi=1Li（kgikw+khikw）kgi- hikw，存在L'EVY期限结构模型11，这给了我们期望的估计（4.6）。对于所有h∈ ∏ni=1AψiHwwe有∑h∈ Hwby（4.6）和（4.7），且map∑：πni=1AψiHw→ Hwis局部Lipschitz continuousby（4.6）。根据命题4.5，对于给定的波动率σi:R+×Hw→ Hw满足σi（R+×Hw） Aψihwf对于i=1，n、 根据HJM漂移条件（2.4）定义漂移项αHJM：=σo σ：R+×Hw→ Hw，（4.8），其中σ=（σ，…，σn）。现在，我们准备在Hwof正向曲线空间上建立L’evy项结构模型的存在性。4.6. 定理。设σi:R+×Hw→ Hwbe连续且满足σi（R+×Hw）Aψihwf对于i=1，n、 假设有M，L≥ 0，这样对于所有i=1，n和T∈ R+我们有kσi（t，h）kw≤ M、 h类∈ Hwkσi（t，h）- σi（t，h）kw≤ Lkh公司- hkw、h、h∈ 硬件。然后，对于每个h∈ Hw，存在唯一的温和和唯一的弱适应性C\'adl\'ag溶液（rt）t≥0至（1.5），r=hs满足要求支持∈[0，T]krtkw< ∞ 对于所有T>0。（4.9）证明。根据命题4.5，αHJMmaps转化为Hw，参见（4.8）。因为σ=（σ。

，σn）：R+×Hw→ 假设∏ni=1AψiHwis连续∑：ni=1AψiHw→ hw与命题4.5连续，因此αHJM=∑oσ是连续的。此外，通过估计（4.6），我们得到∈ R+和h，h∈ hw估计kαHJM（t，h）- αHJM（t，h）kw≤ C（1+M）nXi=1kσi（t，h）- σi（t，h）kw≤ C（1+M）nLkh- hkw。同时考虑到命题4.4，应用定理C.1完成证明。作为直接结果，我们得到了具有恒定方向波动率的L'evy项结构模型的存在性。4.7. 推论设σi:R+×Hw→ hw定义为σi（t，r）=σi（r）=Дi（r）λi，其中λi∈ AψiHwandДi:Hw→ [0，1]对于i=1，n、 假设有L≥ 0，对于所有i=1，n我们有|Дi（h）- ^1i（h）|≤ Lkh公司- hkw、h、h∈ 硬件。然后，对于每个h∈ Hw，存在唯一的温和和唯一的弱适应性C\'adl\'ag溶液（rt）t≥0到（1.5），r=hs满意（4.9）。证据对于所有h，h∈ H所有i=1，n我们得到kσi（h）- σi（h）kw≤ Lkλikwkh- hkw。还观察到kσi（h）kw≤ kλIKWF适用于所有h∈ H和i=1，n、 证明是定理4.6的直接结果。12 DAMIR FILIPOVI'C和STEFAN Tappeth关于驱动列维过程X的唯一假设，为了应用之前的结果，Xn是指数矩条件（2.1）。它明显满足布朗运动和泊松过程。还有几个完全不连续的L'evy过程（2.1），例如Barndorff Nielsen[2]引入的广义双曲线过程及其子类，即正态逆高斯过程和双曲线过程。Eberlein及其合著者在一系列论文中（如[17]中）将其应用于融资。满足（2.1）的其他纯间断L'evy过程是广义回火稳定过程，见[10，第。

4.5），其中包括方差伽马过程【43】、CGMY过程【9】和双边伽马过程【42】。因此，定理4.6适用于由上述任何类型的列维过程驱动的期限结构模型。结论我们已经在两个正向曲线空间上建立了L'evy项结构模型的存在性，即在第3节中，Bj¨ork–Svensson空间Hβ，γ上，Dx是一个有界线性算子；在第4节中，在更大的空间Hw上，Ddx是无界的。在第3节中，证明了Hβ，γ太小，无法断言由HJM漂移条件（2.4）产生的αHJM位于Hβ，γ中。然而，对于某些跳跃扩散模型，我们已经确定了该空间的存在性和唯一性，请参见命题3.6和命题3.9。我们在第4节（定理4.6和推论4.7）的主要结果中，我们在更大的空间Hw上工作，适用于大范围的驱动L'evy过程，包括布朗运动和泊松过程的混合物，以及纯间断L'evy过程，如广义双曲过程和广义回火稳定过程以及几个子类。L'evy项结构模型的存在性结果基于Hilbert空间值随机方程的一般结果，参见附录中的定理C.1。这一结果依赖于van Gaans的两项工作【26，27】。为了使[27，Thm.4.1]适用于金融应用，其中人们对具有c\'adl\'ag轨迹的解决方案特别感兴趣，我们在附录中显示，在van Gaans[27]中构造的Tochastic积分具有c\'adl\'ag修改，并且我们分析了它何时与通常的it^o积分重合。附录A。

概述和注释附录A–附录C的目标是提供有限维随机微分方程解的存在性结果，这是建立L'evy项结构模型存在性所必需的。我们打算应用van Gaans的结果【27，Thm.4.1】。然而，正如我们在B节中所看到的，van Gaans[27]中定义的随机积分（G-）RtΦSDX与通常用于财务建模的It^o-积分RtΦSDX不一致。从金融应用的角度来看，这一点很重要，因为正如我们在第1节末尾所述，我们特别感兴趣的是具有c\'adl\'ag路径的解决方案流程。为了使[27，Thm.4.1]适用，我们回顾了附录B中van Gaans[27]中定义的随机积分，表明它始终具有c\'adl\'ag修正，并在与通常的it^o积分一致时进行分析。在附录C中，我们通过应用[27，Thm.4.1]得到了关于弱解的期望存在性结果，定理C.1。利用我们在附录B中的发现，我们还发现，存在的L’EVY期限结构模型13进一步表明，该解决方案具有c’adl’ag修改，并且也是一种aweak解决方案。设H表示内积H·、·ih和关联范数k·kH的可分Hilbert空间。如果没有歧义，我们只需写h·、·i和k·k。让T>0为有限时间范围。

我们用Cad（[0，T]；L）表示(Ohm; H） ）所有连续映射的空间Φ：[0，T]→ L(Ohm; H） 也进行了调整。对于两个随机过程（Φt）t∈[0，T]和（ψ）T∈[0，T]我们说，对于所有T，如果P（ΦT=ψT）=1，ψ是Φ的修正∈ [0，T]。一种自适应H值过程（Φt）t∈如果E[kΦtk]<∞ 对于所有t∈ [0，T]；oE[Φt | Fs]=Φs（P–a.s.），对于所有0≤ s≤ t型≤ T对于在可分解Banach空间中具有值的随机变量的条件期望的概念，我们参考[13，第1.3节]。一个不可或缺的工具将是Doob的鞅不等式支持∈[0，T]kΦtk≤ 4支持∈[0，T]EkΦtk= 4EkΦTk,（A.1）对每个H值c\'adl\'ag鞅Φ有效，它是Thm的结果。3.8和支柱。3.7英寸【13】。附录B.随机积分设M是满足E[M]<∞. 我们回顾了在这种情况下，van Gaans（27，第3节）定义的随机积分（G-）RtΦSDM是如何定义Φ的∈ Cad（[0，T]；L）(Ohm; H） ）。B、 1。引理。LetΦ∈ Cad（[0，T]；L）(Ohm; H） ）。对于每个t∈ [0，T]，存在唯一的随机变量Yt∈ L(Ohm; H） 因此，对于每个ε>0，存在δ>0，因此e“年初至今-n-1Xi=0（Mti+1- Mti）Φti#< 每个分区的ε（B.1）0=t<t<…<tn=t，supi=0，。。。，n-1 | ti+1- ti |<δ。证据该主张是【27，第3.2.1款】的结果。B、 2。定义。LetΦ∈ Cad（[0，T]；L）(Ohm; H） ）。然后随机积分Yt=（G-）RtΦsdMs，t∈ [0，T]是随机过程Y=（Yt）T∈[0，T]其中每个ytis都是来自L的唯一元素(Ohm; H） 使（B.1）有效。我们观察到∈ [0，T]随机积分（G-）RtΦsdMsis仅确定为P-零集。关于我们在融资方面的应用，我们提出了一个问题，即我们是否可以用c\'adl\'agpaths修改随机积分，这是一个在[27]中没有处理的问题。LetΦ∈ Cad（[0，T]；L）(Ohm; H） ）。

我们定义（Φ）：=（G-）ZtΦsdMs，t∈ [0，T]（B.2）和c\'adl\'ag适应过程的序列sin（Φ）：=n-1Xi=0（Mtni+1- Mtni）Φtni，n∈ N（B.3），其中我们设置为N∈ Nand i∈ {0，…，2n}tni：=i2-nT，（B.4）14 DAMIR FILIPOVI'C和STEFAN Tappeth这是一系列区间[0，T]的并矢分解。注意，每个In（Φ）是一个鞅，对于每个t∈ [0，T]我们有Int（Φ）→ L中的It（Φ）(Ohm; H） 引理B.1。我们让Mbe是所有c\'adl\'ag H值鞅（Φt）t的线性空间∈[0，T]，它们是平方可积的，即kΦtk< ∞ 对于所有t∈ [0，T]，配备NORMKΦk=E支持∈[0，T]kΦtk.注意，根据Doob鞅不等式（A.1），每个Φ的kΦkis有限∈ M、 因此，k·kde在线性空间M上定义了一个范数。对于下一个结果，我们可以严格遵循[13，Prop.3.9]的证明，该证明考虑了连续时间的情况。为了方便读者，我们在这里提供证据。B、 3。提议赋范空间（M，k·k）是Banach空间。证据设（Φn）为M中的Cauchy序列，即对于每个ε>0，都有一个指数n∈ N这样e支持∈[0，T]kΦnt- Φmtk< ε表示所有n，m≥ n、 （B.5）根据马尔可夫不等式，存在一个子序列（Φnk），使得p支持∈[0，T]kΦnk+1t- Φnktk≥ 2.-k≤ 2.-k所有k∈ N、 Borel-Cantelli引理表明，对于几乎所有ω∈ Ohm 序列（Φnk（ω））是[0，T]上c\'adl\'ag函数空间中具有上确界范数的Cauchy序列。因此，（Φnk）在[0，T]上一致地将P–a.s.收敛到一个自适应过程Φ。因此，Φ是c\'adl\'ag。对于每个t∈ [0，T]，收敛Φnkt→ Φ在L中有效(Ohm; H） ，因为（Φnt）是L中的Cauchy序列(Ohm; H） 根据（B.5）。对于0≤ s≤ t型≤ T和k∈ N我们有E[Φnkt | Fs]=Φnks（P–a.s.），这意味着E[Φt | Fs]=Φs（P–a.s.）。

因此，Φ是一个鞅，通过Doob鞅不等式（a.1），我们得到支持∈[0，T]kΦT- Φntk≤ 4支持∈[0，T]EkΦt- Φntk= 4EkΦT- ΦnTk→ 0by（B.5）和L的完整性(Ohm; H） ，即Φn→ Φin M。在下面的辅助结果中，hM，M i表示实值平方可积鞅M的可预测二次协变量，参见[35，Thm.i.4.2]。B、 4。引理。设0=t<…<tn=T和Zi：Ohm → 当i=0，…，H为Fti可测量值，n-1、那么我们就有了“n-1Xi=0（Mti+1- Mti）Zi#= E“n-1Xi=0（hM，M iti+1- 嗯，M iti）kZik#。L'EVY期限结构模型的存在性15证明。通过使用标识kxk=hx，xiH，x∈ 我们得到了n-1Xi=0（Mti+1- Mti）Zi-n-1Xi=0（hM，M iti+1- hM，M iti）kZik=2n-1Xi，j=0i<j（Mti+1- Mti）（Mtj+1- Mtj）hZi，ZjiH+n-1Xi=0（Mti+1）- hM，M iti+1- （Mti）+hM，M iti- 2Mti（Mti+1- Mti）kZikis是一个鞅。SincePn公司-1i=0（hM，M iti+1-hM，M iti）kZikis连续且因此可预测，可预测二次协变量的唯一性dn-1Xi=0（Mti+1- Mti）Zi,n-1Xi=0（Mti+1- Mti）ZiE=n-1Xi=0（hM，M iti+1- hM，M iti）kZik，证明了所声称的方程式。B、 5。定理。LetΦ∈ Cad（[0，T]；L）(Ohm; H） ）。那么I（Φ）有一个属于Mand的修改，此外，In（Φ）→ I（Φ）在M.Proof中。设ε>0为任意值。自Φ：【0，T】→ L(Ohm; H） 在紧致区间[0，T]上一致连续，存在δ>0使得ekΦt- Φsk<ε4Tc+RRxF（dx）（B.6）对于所有s、t∈ [0，T]带| T- s |<δ，其中c表示高斯部分和M的F theL'evy度量。选择n∈ N这样2-nT<δ。对于所有n，m∈ n宽度>m≥ nwe获得（Φ）- Im（Φ）=n-1Xi=0Mtni+1- Mtni公司Φtni- Φtnj（一）带j（i）∈ {0，…，i}这样| tni- tnj（i）|<2-对于所有i=0。