列维项结构模型的存在性

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英文标题：
《Existence of L\\\'evy term structure models》
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作者：
Damir Filipovi\\\'c and Stefan Tappe
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  L\\\'evy driven term structure models have become an important subject in the mathematical finance literature. This paper provides a comprehensive analysis of the L\\\'evy driven Heath-Jarrow-Morton type term structure equation. This includes a full proof of existence and uniqueness in particular, which seems to have been lacking in the finance literature so far.
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中文摘要：
列维驱动的期限结构模型已经成为数学金融文献中的一个重要课题。本文对列维驱动的Heath-Jarrow-Morton型项结构方程进行了综合分析。这尤其包括对存在性和独特性的充分证明，这似乎是迄今为止金融文献中所缺乏的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
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2022-6-24 07:56:51 上传

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关键词：结构模型 存在性 Mathematical Applications Quantitative

存在L’EVY期限结构模型Damir FILIPOVI’C和STEFAN Tappeastract。列维驱动的期限结构模型已成为金融数学文献中的一个重要课题。本文对L'evy驱动的Heath–Jarrow–Morton型项结构方程进行了综合分析。这尤其包括对存在性和独特性的充分证明，这似乎是迄今为止财务文献中所缺乏的。关键词：正向曲线空间；L'evy项结构模型，希尔伯特空间中的随机积分；单位尺寸SDE的强、弱和温和溶液。1。简介到期日为T的零息债券是一种金融资产，以T向持有人支付一单位现金。其价格为t≤ T可以写成asP（T，T）=exp-ZTtf（t，u）du！其中f（t，t）是日期t的远期利率。远期利率演变的经典连续框架可追溯到Heath、Jarrow和Morton（HJM）[32]。他们假设，在风险中性度量下，对于每个日期T，远期利率f（T，T）遵循formdf（T，T）的It^o过程=nXi=1σi（t，t）ZTtσi（t，s）dsdt+nXi=1σi（t，t）dWit，t∈ [0，T]，（1.1），其中W=（W，…，Wn）是Rn中的标准布朗运动。动力学（1.1）保证贴现零息票债券价格过程-Rtf（s，s）dsP（t，t），t∈ [0，T]是所有到期T的局部鞅。这就是债券市场模型中存在套利的众所周知的条件。实证研究表明，基于布朗运动的模型对观察到的市场数据的拟合度很差。我们参考[51，第5章]，其中指出，根据经验观察到的零息票债券的对数收益率并非正态分布，这一事实早就为股票收益率分布所知。比约克等人[5，6]，埃伯林等人。

[22，21，16，19，20，18]和其他人（[55，37，33]）因此建议用更一般的过程X=（X，…，Xn）代替（1.1）中的经典布朗运动W，同时考虑到跳跃的发生。如果X是一个L'evy过程，这将导致todf（t，t）=αHJM（t，t）dt+nXi=1σi（t，t）dXit，t∈ [0，T]。（1.2）关键词和短语。91G80、60H15。我们感谢Bohdan Maslowski、Barbara R¨udiger、Josef Teichman和Jerzy Zabczyk的有益评论和讨论，以及一位匿名裁判提请我们注意van Gaans的结果【26，27】。2 DAMIR FILIPOVI'C和STEFAN Tappe相应地，将（1.1）中的HJM漂移替换为一些适当的αHJM（t，t），其由σ（t，t）和X的累积量生成函数确定，见下文（2.4）。方程（1.2）根据随机波动过程σ（t，t，ω）对远期利率过程f（t，t，ω）进行了一般描述。从金融建模的角度来看，人们更愿意考虑σ（t，t，ω），因此αHJM（t，t，ω）是现行正向曲线t 7的函数→ f（t-, T、 ω）=lims↑tf（s，T，ω），即σ（T，T，ω）=σ（T，T，f（T-, ·, ω） ），αHJM（t，t，ω）=αHJM（t，t，f（t，·，ω））。这使得f（t，t）是随机方程（df（t，t）=αHJM（t，t，f（t，·））dt+Pni=1σi（t，t，f（t-, ·))dXit，t∈ 对于某些给定的初始正向曲线h（T），f（0，T）=h（T）（1.3）。文献中经常考虑类型（1.3）的期限结构模型。典型的假设是漂移αhj和波动率σ取决于短期利率的当前状态，σ（t，t，ω）=σ（t，t，f（t-, t、 ω）），如【38】、【52】、【4】、【34】和【33】（后者研究跳跃差异驱动的模型）。【11】和【12】中考虑了一个模型，其中允许波动率σ取决于一定数量的基准远期利率。

我们强调，这些文件的设置是我们当前框架的特例，它们假设远期利率f（t，t）根据一个方程（1.3）演化。据我们所知，数学金融文献中没有明确的证据证明（1.3）的解的存在。因此，我们在本文中提供了这样的证明（定理4.6和推论4.7）。请注意，（1.3）是一个有限维的问题，因此是一个非平凡的问题。事实上，（1.3）不仅仅是一个由f（t，t），t∈ [0，T]，按T索引。实际上，这些方程耦合为αHJMandσ依赖于整个正向曲线f（t-, ·), 例如，关于短期利率f（t-, t） ，这是f（t）的一个函数-, ·). 为了表达这种函数依赖性，最好切换到备选参数rt（x）=f（t，t+x），x≥ 0，这是由于Musiela[46]。然后，我们为移位运算符st写入Stf（x）：=f（x+t）。方程（1.3）变成积分形式（1.4）rt（x）=Sth（x）+ZtSt-sαHJM（s，s+x，rs）ds+nXi=1ZtSt-sσi（s，s+x，rs-) dXis，其中St-在功能x 7上运行→ αHJM（s，s+x，rs）和x 7→ σi（s，s+x，rs-). 因此，本着Da Prato和Zabczyk【13】的精神，这个过程就是所谓的随机微分方程（drt）的温和解=ddxrt+αHJM（t，rt）dt+Pni=1σi（t，rt-) dXit，r=h（1.5），在某个适当的前向曲线希尔伯特空间h中，其中dDx是强连续移位半群St的生成元。注意符号αHJM（t，t+·，r）αHJM（t，r）和σi（t，t+·，r）σi（t，r）的轻微重叠。因此，在续集中，我们关注状态空间H的各种选择中的L'evy HJMM（Heath–Jarrow–Morton–Musiela）方程（1.5）。L'evy项结构模型的存在性3几位作者已经讨论了布朗运动X=W情况下（1.5）的存在性问题。

比约克和斯文森[7]选择的状态空间Hβ，γ足够小，以至于ddx:Hβ，γ→ Hβ，γ成为有界线性算子。在这种情况下，从有限维到（1.5）的方法基本上可以延续。然而，事实证明，Bj¨ork–Svensson空间Hβ，γ太小，并且不包含一些重要的经典项结构模型（见[25]）。在[24]中，我们分析并求解了更大空间Hw上X=W的（1.5），其中Ddxbecomes无界。在本文中，我们为L'evy情形提供了（1.5）的存在性证明。我们将按以下步骤进行。利用附录中的一般希尔伯特空间值随机微分方程的存在性结果，我们首先证明了（1.5）在Bj–Svensson空间Hβ，γ中的存在性。然而，往往证明Hβ，γ太小，无法断言αhjmli在Hβ，γ中，即使对于σ为常数且驱动因子X为复合泊松过程的非常简单的情况（例3.4）。之后，我们在更大的状态空间Hwfrom[24]中考虑（1.5），其中dDxBecomesunbounded。基于有限维驱动过程的期限结构模型在L'evy案例中进行了讨论，如[36]和[47]。同样，在这些论文中，通常认为正向曲线演化满足一个随机微分方程，但作者没有处理解的存在性和唯一性。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们介绍了一些符号并指定了HJM漂移αHJM，它确保债券市场没有套利。在第三节中，我们讨论了Bj¨ork–Svensson空间Hβ，γ上（1.5）强解的存在性。然后，第4节讨论了（1.5）在更大空间hwxbecomesunbounded上的弱解和弱解的存在性。

第5节结束。对于第3节和第4节的结果，我们应用了附录中导出的一般希尔伯特空间值随机微分方程的存在性结果。Van Gaans的两项工作为这一结果奠定了基础，即定理C.1。除了他的结果【27，Thm.4.1】之外，我们还证明了（1.5）的mildsolution具有c\'adl\'ag修改，并且存在唯一的弱解。解决方案的c\'adl\'ag特性是金融应用的一个重要特征。事实上，一般套利理论[15]要求基本金融工具，这里隐含的零息票债券价格P（t，t）=exp(-RT公司-trt（x）dx）是实半鞅，因此具有c\'adl\'ag路径。这本质上需要弱解（rt）的“adl”ag路径，这在我们的框架中是可以满足的。事实证明，van Gaans的随机积分【27】与通常用于金融建模的it^o积分不一致。因此，在附录A中给出概述和所需的符号后，我们在附录B中表明，van Gaans的Tochastic积分总是有一个c\'adl\'ag修正，并分析它何时与It^o积分重合。然后，在附录C中，我们证明了定理C.1，Hilbert空间值随机方程的存在唯一性结果。在附录C的末尾，我们对相关文献进行了概述。2、本文中的HJM漂移条件，X，滤波概率空间上的Xndnote独立实值L'evy过程(Ohm, F、 （Ft）t≥0，P）满足通常条件。设H为表示正演曲线空间的可分Hilbert空间，且设σ，σn：R+×H→ H为挥发性。

回想一下，如果概率测度P是局部鞅测度，那么形式（1.5）的L'evy期限结构模型是无套利的，即所有贴现债券价格都是局部鞅。4 DAMIR FILIPOVI'C和STEFAN Tappen为了提供确保P是局部鞅测度的条件，我们假设存在紧区间[a，b]，[an，bn]内点为零，因此L'evy测量F，Fnof X，Xn分别满足i=1，新西兰| x |>1ezxFi（dx）<∞, z∈ [ai，bi]。（2.1）条件（2.1）确保累积量生成函数ψi（z）：=ln E[exp（zXi）]，i=1，n（2.2）存在于[ai，bi]上，且属于C类∞（见[54，引理26.4]）。此外，L'evy过程XI具有任意阶矩。Let[ci，di] （ai，bi）在以零为内点的紧致区间之前。对于任何连续函数h:R+→ R我们定义：R+→ R asT h（x）：=Zxh（η）dη。（2.3）对于i=1，n表示ψiH：={h∈ H:-T h（R+） [ci，di]}。提供σi（R+×H） Aψih，对于i=1，n、 HJM漂移（2.4）αHJM（t，r）（x）=nXi=1ddxψi-Zxσi（t，r）（η）dη= -nXi=1σi（t，r）（x）ψi-Zxσi（t，r）（η）dη对于所有x，在点方向上定义良好。HJM漂移条件（2.4）意味着P是局部鞅测度。在【21，第2.1节】中，使用【5】中更一般设置的结果，推导出了当前L'evy情况下的结果。对于有限维L'evy设置中的类似漂移条件，请参见【36】。HJM漂移规范（2.4）给定理C.1的立即应用带来了一些问题。首先，我们必须确保αHJM（t，r）∈ H forall（t，r）∈ R+×H。此外，我们必须建立定理C.1的一个应用，即对于Lipschitz函数σ。

，σnN漂移αHJMis再次是一个lipschitz函数。这些要求强调，我们必须谨慎选择前进曲线的空间H。H的另一个可取特征是，对于每个x∈ R+点评估h 7→ h（x）：h→ R是连续线性泛函。因为常数变化公式（1.4）适用于所有x∈ R+，只要（rt）是（1.5）的温和溶液。在接下来的第3节中，我们讨论（1.5）强解的存在性，第4节专门讨论（1.5）弱解和弱解的存在性。3、正向曲线演化为无穷维随机微分方程的强解在本节中，我们讨论（1.5）强解的存在性，我们考虑了Bj¨ork和Svensson在[7]中使用的正向曲线的空间Hβ，γ。存在L’EVY项结构模型5We fix实数β>1和γ>0。设Hβ，γ为allh的线性空间∈ C∞（R+；R）令人满意∞Xn=0β新西兰∞dnh（x）dxne-γxdx<∞,我们定义了内产物Hg、hiβ、γ：=∞Xn=0β新西兰∞dng（x）dxndnh（x）dxne-γxdx用k·kβ，γ表示相应的范数。3.1. 提议空间（Hβ，γ，H·，·iβ，γ）是一个可分离的Hilbert空间，foreach x∈ R+，点评估h 7→ h（x）：hβ，γ→ R是一个连续的线性函数。证据这是【7，第4.2款】的结果。每个点求值都是一个连续的线性泛函，这一事实确保正演曲线（rt）求解（1.5）满足常数变化公式（1.4）。3.2. 提议我们有DDX∈ L（Hβ，γ），即ddxis是Hβ，γ上的有界线性算子。证据该主张是【7，第4.2款】的结果。3.3. 定理。设σi:R+×Hβ，γ→ Hβ，γ连续且满足σi（R+×Hβ，γ） AψiHβ，γ，对于i=1，n、 假设αHJM（t，r）∈ Hβ，γ表示所有（t，r）∈R+×Hβ，γ。

此外，假设αHJM（t，r）：r+×Hβ，γ→ Hβ，γ是连续的，并且有一个常数L≥ 0，这样对于所有t∈ R+和h，h∈ Hβ，γwehavekαHJM（t，H）- αHJM（t，h）kβ，γ≤ Lkh公司- hkβ，γ，kσi（t，h）- σi（t，h）kβ，γ≤ Lkh公司- hkβ，γ，i=1，n、 然后，对于每个h∈ Hβ，γ，存在一个独特的强适应c\'adl\'ag溶液（rt）t≥0至（1.5），r=hs满足要求支持∈[0，T]krtkβ，γ< ∞ 对于所有T>0。（3.1）证明。考虑到命题3.2，结果是推论C的结果。2.不幸的是，定理3.3有一些缺点，即要求漂移项αhjmac根据HJM漂移条件（2.4）再次映射到空间Hβ，γ中。下面的简单反例表明可能违反了此条件。3.4. 实例设σ=-1和X为复合泊松过程，强度λ=1，跳跃大小分布N（0，1）。请注意，复合泊松过程满足所有z的指数矩条件（2.1）∈ R、 因为它的L'evymeasure由f（dx）给出=√2πe-xdx。6 DAMIR FILIPOVI\'C和STEFAN Tappeb但我们有αHJM/∈ Hβ，γ，因为∞αHJM（x）e-γxdx=Z∞ddxψ（x）e-γxdx=Z∞ddx公司前任- 1.e-γxdx=Z∞xex公司-γxdx=∞.漂移αhjmm可能位于前向曲线Hβ，γ空间之外的现象与空间Hβ，γ在asense中是一个非常小的空间这一事实有关，特别是，每个函数都必须是实解析函数（见[7，Prop.4.2]）。这个空间之所以小，是因为我们处理的是强解的存在性，所以要求Ddx应该是富于算子。在下一节第4节中使用温和和弱溶液时，不会出现此类问题。然而，对于某些类型的期限结构模型，我们可以应用定理3.3。为此，我们从引理开始。

对于给定的实解析函数h:R+→ R通常很难确定h是否属于hβ、γ。对于以下功能，可以提供此功能。3.5. 引理。每个多项式p都属于Hβ、γ和δ∈ R满足δ<β和δ<γ，函数h（x）=eδx等于hβ，γ。证据第一句话很清楚。对于h（x）=eδx，我们得到∞Xn=0β新西兰∞dnh（x）dxne-γxdx=∞Xn=0β新西兰∞δneδxe-γxdx=∞Xn=0δβ新西兰∞e-(γ-2δ）xdx=1-δβ·γ - 2δ=β(β - δ)(γ - 2δ），其中h∈ Hβ，γ。设n=3，即我们有三个独立的驱动过程。我们表示byX，Xtwo标准维纳过程，Xis是强度λ>0的泊松过程。我们将挥发度指定为σ（r）（x）=Д（r）p（x），σ（r）（x）=Д（r）eδx和σ（r）（x）=-η、 其中p是多项式δ，η∈ R满足4δ<β，δ<γ和η<β，η<γ，式中：Hγ，β→ R表示i=1，2。注意σi（Hβ，γ） Hβ，γ，对于i=1，2，3 byLemma 3.5。根据HJM漂移条件（2.4）的漂移由αHJM（r）（x）=ddx“Д（r）q（x）+Д（r）给出eδx- 1δ+ λ（eηx- 1） #，其中q（x）=Rxp（η）dη再次是一个多项式。根据引理3.5和命题3.2，我们推断出αHJM（Hβ，γ） Hβ，γ。3.6. 提议假设有一个常数L≥ 0使得对于所有h，h∈ Hβ，γ我们有|Дi（H）- ^1i（h）|≤ Lkh公司- hkβ，γ，i=1，2 |Дi（h）- ^1i（h）|≤ Lkh公司- hkβ，γ，i=1，2。然后，对于每个h∈ Hβ，γ，存在一个独特的强适应c\'adl\'ag溶液（rt）t≥0到（1.5），r=hs满意（3.1）。L'EVY期限结构模型的存在性7证明。我们有所有的h，h∈ Hβ，γkσ（H）- σ（h）k≤ Lkpkβ，γkh- hkβ，γ，kσ（h）- σ（h）k≤ Lkeδokβ，γkh- hkβ，γ。利用命题3.2，我们得到了所有h，h∈ Hβ，γkαHJM（H）- αHJM（h）kβ，γ≤LkAkL（Hβ，γ）kqkβ，γ+kδ（eδo- 1） kβ，γkh公司- hkβ，γ。应用定理3.3完成了证明。为了推广命题3.6，通过允许η可能取决于正向曲线的当前状态，我们准备了两个辅助结果。3.7. 引理。设γ>0，g，h∈ C（R+；R）。