一类存在的可解多维停止问题

为了说明定理3.1的发现的有用性，我们现在考虑一类有趣的运动支付，这类运动支付在这类模型中形成了一个明确可解的对称设置。我们对这些问题的主要发现总结如下。定理3.2。假设行权支付F（x）为偶数，即F（x）=F(-x） 对于allx≥ 如果存在唯一的阈值x，则比值^F（x）/U（x）也是偶数*= argmaxx>0（^F（x）U（x）），因此^F（x）/U（x）在（0，x）上增加*) 并在（x）上递减*, ∞), 然后，最佳停止策略inf{t≥ 0：aTXt6∈ (-x个*, x个*)} 读取asVκ（x）=^F（aTx），aTx 6∈ (-x个*, x个*),^F（x*)U（x*)U（aTx），aTx∈ (-x个*, x个*).（3.4）此外，导致最坏情况度量的最佳密度生成器是θ*t=κsgn（aTXt）akak。证据我们首先观察利用恒等式^Дκ=-ψκ和^ψκ=-νκU（x）=U(-x） 对于所有x≥ 因此，我们注意到^F（x）/U（x）的比率与所声称的一样。假设存在唯一的最大化器x*> 比率^F（x）/U（x）的0，使得^F（x）/U（x）在（0，x）上递增*) 并在（x）上递减*, ∞).现在用τ表示*= inf{t≥ 0：aTXt6∈ (-x个*, x个*)} 进程从集合中退出的第一次时间(-x个*, x个*) 通过^Vκ（x）提出的值函数（3.5）。很明显，sinceQθ*∈ Pκ对于任何容许的停止时间τ∈ T thatinfQθ∈PκEQθxhe-rτ^F（aTXτ）{τ<∞}我≤ 公式θ*xhe公司-rτ^F（aTXτ）{τ<∞}i、 因此，我们发现Vκ（x）≤ supτ∈TEQθ*xhe公司-rτ^F（aTXτ）{τ<∞}i、 现在考虑一下流程mt=e-rtU（aTXt）。如前所示，Mtis为正Qθ*-鞅。此外，由于SDEdYt所描述的过程=-κkaksgn（Yt）dt+aTdWθ*t、 Y=aTx，是正循环的，我们知道第一次退出时间τ*= inf{t≥ 0:Yt6∈ (-x个*, x个*)} = inf{t≥0：aTXt6∈ (-x个*, x个*)} 是Qθ*-几乎可以肯定是最后一刻。

因此，假设的最大theratio^F（x*)/U（x*) =^F(-x个*)/U型(-x个*) 保证Beibel和Lerche（1997）的定理4适用，我们发现（参见Lerche和Urusov（2007）、Christensen和Irle（2011）以及Gapeev和Lerche（2011））Vκ（x）=supτ∈TEQθ*xhe公司-rτ^F（aTXτ）{τ<∞}i提供Vκ（x）≤所有x的^Vκ（x）∈ Rd.为了扭转这种不平等，我们首先观察到如果x∈ {x∈ Rd：aTx∈ (-x个*, x个*)} 那么我们自然就有了Vκ（x）≥ infQθ∈PκEQθx“e-rτ*^F（aTXτ*)U（aTXτ*)U（aTXτ*){τ*<∞}#≥^F(-x个*)U型(-x个*)∧^F（x*)U（x*)!infQθ∈PκEQθxhe-rτ*U（aTXτ*){τ*<∞}i=^F（x*)U（x*)公式θ*xhe公司-rτ*U（aTXτ*){τ*<∞}i=^F（x*)U（x*)U（aTx）=^Vκ（x），证明所有x的^Vκ（x）=Vκ（x）∈ {x∈ Rd：aTx∈ (-x个*, x个*)} 对于x，Vκ（x）=^F（aTx）∈ {x∈ Rd:aTx=-x个*或aTx=x*}. 最后，如果x∈ {x∈ Rd:aTx 6∈ (-x个*, x个*)}, 然后τ*= 0 Qθ-几乎可以肯定和Vκ（x）≥ infQθ∈PκEQθxhe-rτ*^F（aTXτ*){τ*<∞}i=^F（aTx）=^Vκ（x），完成我们定理的证明。备注3.1。值得指出的是，学位的正同质性-常数ψκ、Дκ、^ψκ、^Дκ中的1作为参数向量a的函数，保证函数ucremainunchanged用于等长的参数向量，即满足条件kak=kak的向量。因此，解决关于1的停止问题∈ Rdresultsinto a optimal policy and value for a other class of problem constrained by the requirements that kak=kak约束的一整类问题。此外，有趣的是，正如Mordeckiand Salminen（2019）所研究的那样，在维数d=1的情况下，最坏情况度量下的基本过程是具有断裂漂移的布朗运动。因此，在本文研究的这类问题中，自然会出现带有断裂漂移的最优停止问题。

然而，在这里，断点总是位于连续集。定理3.2描述了对称情况下的最优定时策略，其中行权支付为偶数，且比率^F（y）/U（y）在R+（以及在R-). 定理3.2的发现清楚地表明，在目前的设置中，对称性有助于描述值和最坏情况度量。为了证明事实确实如此，我们现在给出了一个对对称周期支付有效的一般观察结果。定理3.3。假设行权支付F（x）满足以下条件（A）函数F（x）是周期性的，周期长度P>0；（B） 存在阈值x∈ R使^F（x）≥^F（x）≥^F（x），其中x=x- P/2，用于所有x∈ R（C） 函数^F（x）满足对称条件^F（x- x） =所有x的^F（x+x）∈[0，第2页]。还假设存在唯一的内部阈值X*= argmaxx∈[x，x]（^F（x）Ux（x）），因此^F（x）/Ux（x）在（x，x）上增加*) 并在（x）上递减*, x） 。然后，最优停止策略的值inf{t≥ 0：aTXt6∈ ∪n∈Z（y*n、 z*n） }读取asVκ（x）=^F（aTx），aTx 6∈ ∪n∈Z（y*n、 z*n） ，^F（x*)Ux（x*)Ux（aTx），aTx∈ ∪n∈Z（y*n、 z*n） ，（3.5），其中y*n=2倍- x个*+ nP和z*n=x*+ nP，n∈ Z、 此外，引入最坏情况测度的最佳密度生成器是θ*t型=-κakak，aTXt∈ ∪n∈Z[x+nP，x+nP]κakak，aTXt∈ ∪n∈Z[x+nP，x+（n+1）P]证明。假设的周期性和对称性的运动payoff^F意味着我们可以关注[x]上的比率^F（y）/Ux（y）的行为- P、 x]（从最大值到下一个）。很明显，由于^ψκ=-Дκ和^Дκ=-ψκwe haveUx（x- x） =ψκψκ- ^Дκe-^Дκx-^φκ^ψκ- ^Дκe-^ψκx=ψκψκ- ДκeДκx-φκψκ- ψκeψκx=x的Ux（x+x）∈ [0，第2页]。因此，假设（C）保证^F（x+x）Ux（x+x）=^F（x- x） Ux（x- x） 对于所有x∈ [0，第2页]。

另一方面，我们假设存在一个内部最大化阈值x*^F的对称性保证2x- x个*= argmaxx∈[x-P、 x]（^F（x）Ux（x））和^F（x*)Ux（x*)=^F（2x- x个*)用户体验（2x- x个*).将该结果与假定的支付周期相结合，则表明z*n=x*+ nP=argmaxx∈[x+nP，x+nP]（^F（x）Ux+nP（x））y*n=2倍- x个*+ nP=argmaxx∈[x+（n-1） P，x+nP]（^F（x）Ux+nP（x））。所谓的最优密度发生器的最优性和特征现在与定理3.2.3.1的证明一致。为了说明我们的一般发现，我们现在将重点放在不连续非对称数字期权的情况下，其中^F（x）=（kx+k）{x≥0}- kx{x<0}，其中k，k，k∈ R+是已知的正常数。在当前设置中，需要研究函数∏（x）=（kx+k）/h1c（x）和∏（x）=-kx/h2c（x）。标准差异产生∏（x）=f（x）/h1c（x）和∏（x）=kf（x）/h2c（x），其中f（x）=kh1c（x）- h1c（x）（kx+k）f（x）=h2c（x）x- h2c（x）。由于f（c）=k>0，f（c）=-1<0f（x）=-h1c（x）（kx+k）f（x）=h2c（x）xlimx→∞f（x）=-∞, 和limx→-∞f（x）=∞ 我们注意到存在两个阈值sx*（c） >c∨-k/k和x*（c） <c∧0，使一阶条件f（x*（c） ）=0，f（x*（c） ）=满足0。此外，阈值x*（c） ，x*（c） 作为参考点c的函数递增，并满足极限条件limc→-∞x个*（c） =-k/k+1/ψκ，极限值→-∞x个*（c）=-∞, limc公司→∞x个*（c） =∞, 和limc→∞x个*（c） =1/710^Иκ。因此，我们注意到，通过利用我们的结果，limc→-∞∏（x*（c） ）=0，limc→∞∏（x*（c） ）=∞, 极限→-∞∏（x*（c） ）=∞, andlimc公司→∞∏（x*（c） ）=0。因此，我们注意到存在唯一的^c，使得∏（x*（^c））=π（x*满足（^c））。出现了两个案例。

如果x*（^c）≥ 0，然后是c*= ^c是密度生成器从一个极端切换到另一个极端的最佳状态，最佳策略readsasVκ（x）的值=kaTx+k，aTx≥ x个*（c）*),∏（x*（c）*))坎特伯雷大学*（aTx），x*（c）*) < aTx<x*（c）*),-kaTx，aTx≤ x个*（c）*).尤其是，该值满足最佳边界x处的平滑条件*（c）*) andx*（c）*). 这种情况如图1所示，假设kak=0.1、r=0.02、k=1、k=0.5和k=0.35（意味着c*= -0.0941818，x*= -0.616587和x*= 0.205943)-2.-1.5-1.-0.50.51.1.52.x0.51.1.52。图1：如果x*（^c）<0则情况会发生变化，因为在这种情况下，0成为最佳停止边界，在该边界处，值以不可微的方式与支付一致。在这种情况下，值读数为asVκ（x）=kaTx+k，aTx≥ 0，∏（x*（c）*))坎特伯雷大学*（aTx），x*（c）*) < aTx<0，-kaTx，aTx≤ x个*（c）*),其中，最优边界和临界开关状态是方程h2c的唯一根*（十）*（c）*))x个*（c）*) = h2c*（十）*（c）*))-kx公司*（c）*)h2c*（十）*（c）*))=kh1c*(0).这种情况如图2所示，假设kak=0.1、r=0.02、k=1、k=0.5和k=0.7（意味着c*= -0.348597，x*= -0.739769和x*= 0)-2.-1.5-1.-0.50.51.1.52.x0.51.1.52。图2：值函数（均匀）和练习支付（虚线）此时值得指出的是，在k=0和k=k的情况下，练习支付是连续且均匀的，定理3.2的结果适用。在这种情况下，最优性边界可以从最优性条件ψκeψκx中求解*(1-Иκx*) = ДκeДκx*(1-ψκx*).3.2定期和偶数支付为了说明该方法如何应用于导致多个基础的定期设置，请考虑定期支付F（x）=cos（x）。

由于payoff是偶数，在点yn=2nπ处达到最大值，在点xn=（2n+1）π处达到最小值，并且在集合[2nπ，2（n+1）π]上对称，n∈ Z、 我们注意到，我们可以扩展定理3.2的发现，并得出最佳参考点为c的结论*n=xn。为了证明事实确实如此，我们首先观察到，如果y∈ [yn，xn]然后∏xn（xn+y）=∏xn（xn-y） ，自cos（xn-y） =cos（xn+y）和uxn（xn- y） =ψκψκ- ^Дκe-^Дκy-^φκ^ψκ- ^Дκe-^ψκy=-φκψκ- ψκeψκy+ψκψκ- ИκeДκy=所有y的Uxn（xn+y）∈ R和n∈ Z、 因此，有必要研究[xn，yn+1]上的比率∏xn（y）。标准差异产生∏xn（y）=un（y）/Uxn（y），其中un（y）=Дκψκ- Дκeψκ（y-xn）（sin（y）+ψκcos（y））-ψκψκ- ДκeДκ（y-xn）（sin（y）+Дκcos（y））。现在注意到un（xn）=0，un（yn+1）=ψκψκ- φκeψκπ- eИκπ< 0，andun（y）=Дκ（ψκ+1）eψκ（y-xn）- ψκ（Дκ+1）eДκ（y-xn）cos（y）ψκ- νκ我们注意到方程un（y）=0有唯一的根z*n∈ （xn+π，yn+1）使得z*n=argmaxy∈[xn，yn+1]πxn（y）。现在很清楚，最优停止策略的值为asVκ（x）=∏xn（z*n） Uxn（aTx），aTx∈ ∪n∈Z（xn- z*n、 xn+z*n） ，cos（aTx），aTx 6∈ ∪n∈Z（xn- z*n、 xn+z*n） 。该值和最优策略在y中进行了说明∈ [-在κ=0.02、r=0.03和σ=0.1的假设下（意味着最佳阈值为-5.07233, -1.21086, 1.21086, 5.07233). 值得注意的是，之前最坏的情况是诱导-6-4-2x-1-0.50.51.图3：在当前情况下，密度生成器θ的值函数（均匀）和运动payoff（虚线）*=κakak，（2n+1）π≤ aTx公司≤ 2（n+1）π，-κakak，2nπ≤ aTx公司≤ （2n+1）π，对于所有n∈ Z

从本质上讲，最佳密度发生器倾向于将潜在差异的动力学推向运动回报的最小点xnof。4径向对称payoff从线性微分的文献中众所周知，多维布朗运动的径向部分构成贝塞尔过程。我们现在的目标是通过关注径向对称的运动支付来利用这种联系。更准确地说，我们现在假设payoff的形式为F（x）=^Fkxk公司=^FdXi=1xi！，（4.1）式中^F:R+7→ R是已知的可测函数。我们现在做一个ansatz，重点讨论径向对称的函数，也就是，公式（x）=h的函数kxk公司= hdXi=1xi！，其中h:R+7→ 假设R+在R+上连续可微两次。在这种情况下，ashort计算得出最坏情况的先验值为θ*= κsgn（h（kxk））xkxk，因此最坏情况下的漂移分别指向原点或远离原点。在这种情况下，求解（Aθ*u） （x）=ru（x）结果转化为solving2（kxk）h（kxk）+（d- 2κkxk）h（kxk）=rh（kxk）在{x上∈ Rd:h（kxk）≥ 0}和2（kxk）h（kxk）+（d+2κkxk）h（kxk）=rh（kxk）on on on on{x∈ Rd:h（kxk）≤ 0}. 现在用Ma表示，用Wa表示，b第一类和第二类的Whittaker函数，并定义函数ψ（y）=uκ(√y） ，Д（y）=vκ(√y） ，ψ（y）=u-κ(√y） ，和Д（y）=v-κ(√y） ，其中uκ（y）=y1-deκyMaκ，bp2r+κyvκ（y）=y1-deκyWaκ，bp2r+κy,b=d/2- 1，andaκ=κ（d- 1)√κ+2r。替换h（kxk）=v（kxk）表明这些常微分方程的解为（cf.Linetsky（2004））hkxk公司= {x上的cψ（kxk）+cД（kxk）∈ Rd:h（kxk）≥ 0}和灰kxk公司= {x上的^cψ（kxk）+^cД（kxk）∈ Rd:h（kxk）≤ 0}.

与前一小节一样，我们现在让c∈ R+为任意参考点，定义两次连续可微函数uca为边值问题2（kxk）Uc（kxk）的解+d- 2κkxksgn（kxk- c）Uc（kxk）- rUc（kxk）=0Uc（c）=1，Uc（c）=0。（4.2）我们再次发现Uc（kxk）=max（^h1c（kxk），^h2c（kxk）），其中^h1c（kxk）=B-1.ψ（c）S（c）Д（kxk）-Д（c）S（c）ψ（kxk）,^h2c（kxk）=B-1.ψ（c）S（c）Д（kxk）-Д（c）S（c）ψ（kxk）,B类=√2r+κΓ（d- 1)Γd-1.- aκ,B类=√2r+κΓ（d- 1)Γd-1.- 一-κ,S（y）=e2κ√yy年-d、 S（y）=e-2κ√yy年-d、 与前一小节的情况一样，我们定义了与极端参考点相关的两种情况，即u（y）=ψ（y）=（2pκ+2r）d-1e（κ-√κ+2r）√yM（d）- 1)1.-κ√κ+2r, d- 1，2pκ+2r√yU∞（y） =Д（y）=（2pκ+2r）d-1e级-(√κ+2r+κ）√yU（d）- 1)1 +κ√κ+2r, d- 1，2pκ+2r√y其中，M和U分别表示第一类和第二类的反超几何函数。值得注意的是，由于下边界是下扩散过程的入口，因此我们有（参见Borodin和Salminen（2015）第19页）limy→0+^hic（y）=∞石灰→0+^hic（y）Si（y）=B-1iψi（c）Si（c）limy→0+Дi（y）Si（y）>-∞当c∈ (0, ∞). 反过来，上边界对于潜在的扩散过程来说是自然的，因此，我们有了它（参见Borodin和Salminen（2015）第19页）→∞^hic（y）=+∞石灰→∞^hic（y）Si（y）=+∞当c∈ (0, ∞). 然而，与自然边界行为相比，我们现在注意到在极端情况下→0+ψ（y）=（2pκ+2r）d-再次，我们观察到函数UCI是凸的。引理4.1。函数Uc（y）在R+上是严格凸的。证据Uc（y）为非负且在（0，c）上递减。因此，我们通过调用（4.2）注意到2yuc（y）=rUc（y）- （d+2κ√y） Uc（y）>0证明Uc（y）在（0，c）上是严格凸的。

另一方面，（4.2）也意味着（c，∞) 我们有2Yuc（y）S（y）=r（Uc（y）- yUc（y））S（y）- （d）- 2κ√y- ry）Uc（y）S（y）。SinceddyUc（y）- yUc（y）S（y）=（d- 2κ√y- ry）Uc（y）m（y），其中m（y）=1/（2yS（y）），我们通过从c到y的积分注意到thatrUc（y）- yUc（y）S（y）=rS（c）+rZycd- 2κ√t型- rt公司Uc（t）m（t）dt。另一方面，由于uc（y）S（y）=rZycUc（t）m（t）dt，我们最终发现2yuc（y）S（y）=rS（c）+rZyc2κ(√y-√t） +r（y-t）Uc（t）m（t）dt>0证明Uc（y）在（c）上是严格凸的，∞) 也利用It^o-D¨oblin定理，现在表明过程Yt=kxtksatives the SDEdYt=d- 2κpYtsgn（Yt- c）dt+2pYtdWθct，Y=kxk，（4.3），其中Wθcti是由密度生成器θct=κsgn（kXtk）所表征的测度Qθc下的布朗运动- c） XtkXtk。因此，我们再次观察到受控过程对于参考点c具有平稳分布。在本例中，其读数为aspc（y）=mc（y）mc（0，∞)式中，mc（y）=yd-1e级-2κ|√y-√c |和MC（0，∞) =(2κ)-de2κ√cΓ（d，2κ√c） +e-2κ√cZ2κ√ctd公司-1etdt！。还值得注意的是，将It^o-D¨oblin定理用于过程Zt：=√Yt=kXtkresults进入SDEdZt=d- 12Zt- κsgn（Zt-√c）dt+dWθct，Z=kxk，构成d/2阶贝塞尔过程- 1具有交替漂移。在这种情况下，定理3.1中表示的修改特征也自然有效，因为在这种情况下，可接受的参考点集为[0，∞].还值得注意的是，函数Uc（y）不再是对称的，因此，不再可能与定理3.2和定理3中的表达式相似。此外，由于下边界是基础过程的入口，因此可能会出现与前一节中考虑的情况完全不同的政策。

我们将在下面的小节中明确说明这一点。4.1非线性跨座期权为了说明与本案例相关的特点，让我们考虑非线性跨座期权案例^F（y）=|√y- K |，其中K>0是一个外源设置的固定罢工价格。首先考虑函数（Lψ^F）（y）=(√y- K） ψ（y）S（y）-√yψ（y）S（y）。我们注意到（Lψ^F）（0+）=0和（Lψ^F）（y）=r(√y- K） +κ-d- 1.√yψ（y）m（y）证明（Lψ^F）（y）=Zyr(√t型- K） +κ-d- 1.√t型ψ（t）m（t）dt。自r起(√y- K） +κ- （d）- 1)/(2√y） 是单调递增的，满足不等式r(√y- K） +κ- （d）- 1)/(2√y） T 0表示y T▄y，其中▄y是r的唯一根(√y- K） +κ-（d）- 1)/(2√y） =0，我们发现，对于y>^y>y，我们有（Lψ^F）（y）=（Lψ^F）（^y）+Zy^yr(√t型- K） +κ-d- 1.√t型ψ（t）m（t）dt≥ （Lψ^F）（^y）+r（p^y- K） +κ-d- 1.√^yZy^yψ（t）m（t）dt=（Lψ^F）（^y）+r（p^y- K） +κ-d- 1.√^yrψ（y）S（y）-ψ（^y）S（^y）.因此，limy→∞（Lψ^F）（y）=∞ 证明存在唯一的y*K> 满足条件（Lψ^F）（y*K） =0。注意到thatddy√y- Kψ（y）=-S（y）ψ（y）（Lψ^F）（y）反过来证明y*K> Kis比率∏（y）的唯一阈值=√y- Kψ（y）最大化。此外y*K级/K>0，limK→∞y*K=∞, 和limK→0+y*K=y*> 0，其中阈值y*∈ R+是一阶最优性条件ψ（y）的唯一根*) = 2ψ（y*)y*.现在确定单调递增且连续可微分的函数Vκ：R+7→ R+as▄Vκ（y）=ψ（y）supx≥y√x个- Kψ（x）=√y- K、 y型∈ [是*K∞),∏（y*K） ψ（y），y∈ （0，y*K） 。因为Vκ（y）是非负的并且占主导地位√y- K代表所有y∈ R+it占主导地位(√y- K） +也是。