一类存在的可解多维停止问题

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英文标题：
《A Class of Solvable Multidimensional Stopping Problems in the Presence
  of Knightian Uncertainty》
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作者：
Luis H. R. Alvarez E. and S\\\"oren Christensen
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We investigate the impact of Knightian uncertainty on the optimal timing policy of an ambiguity averse decision maker in the case where the underlying factor dynamics follow a multidimensional Brownian motion and the exercise payoff depends on either a linear combination of the factors or the radial part of the driving factor dynamics. We present a general characterization of the value of the optimal timing policy and the worst case measure in terms of a family of an explicitly identified excessive functions generating an appropriate class of supermartingales. In line with previous findings based on linear diffusions, we find that ambiguity accelerates timing in comparison with the unambiguous setting. Somewhat surprisingly, we find that ambiguity may result into stationarity in models which typically do not possess stationary behavior. In this way, our results indicate that ambiguity may act as a stabilizing mechanism.
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中文摘要：
我们研究了在潜在因素动态遵循多维布朗运动且运动回报取决于因素的线性组合或驱动因素动态的径向部分的情况下，奈特不确定性对模糊厌恶决策者的最佳时机策略的影响。我们给出了最优定时策略值和最坏情况测度的一般特征，即一系列显式识别的过度函数生成一类适当的超鞅。与之前基于线性扩散的研究结果一致，我们发现，与无歧义设置相比，歧义会加速计时。令人惊讶的是，我们发现，在通常不具有平稳行为的模型中，模糊性可能会导致平稳性。这样，我们的结果表明，歧义可能起到稳定机制的作用。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> A_Class_of_Solvable_Multidimensional_Stopping_Problems_in_the_Presence_of_Knight.pdf (511.88 KB)

2022-6-24 08:06:37 上传

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关键词：存在的 Mathematical Quantitative stationarity Differential

奈特不确定性存在下的一类可解多维停止问题Luis H.R.Alvarez E。*S¨oren Christensen+2019年7月10日摘要我们研究了在基本因素动态遵循多维布朗运动，运动回报取决于各因素的线性组合或驱动因素动态的径向部分的情况下，奈特不确定性对模糊厌恶决策者的最佳时机策略的影响。我们给出了最优定时策略值的一般特征和最坏情况度量，即一系列明确识别的过度函数生成一类适当的超鞅。与之前基于线性差异的发现一致，我们发现，与明确的设置相比，模糊性加快了计时。有些令人惊讶的是，我们发现，在通常不具有平稳行为的模型中，模糊性会导致平稳性。这样，我们的结果表明，歧义可能起到稳定机制的作用。AMS主题分类：60J60、60G40、62L15、91G80关键词：κ-歧义、多维布朗运动、扩散过程、贝塞尔过程。*芬兰图尔库大学图尔库经济学院会计与金融系，FIN-20014，电子邮件：lhralv@utu.fi+阿尔布雷希茨大学数学研讨会，地址：德国基尔路德维格-梅恩街4号，邮编：D-24098，电子邮件：christensen@math.uni-基尔。de1简介高斯过程，更准确地说，布朗运动在标准金融模型中的因子动力学建模中起着重要作用，考虑到存在不确定性时不可逆决策的最佳时机。

在基准设置中，影响决策的所有不确定性都被总结为一个单独的概率度量，完全描述了潜在跨期影响因素动态的概率结构。然而，正如奈特（1921）最初指出的那样，在现实中，决策者在特定概率度量的合理性或可信度方面面临着不可测量的不确定性（所谓奈特不确定性）。在这种情况下，决策者可能必须基于描述世界备选状态概率结构的几个甚至一系列不同度量来做出决策。根据奈特（1921）在吉尔博亚（Gilboa）和施梅德勒（Schmeidler）（1989）的一项临时多重先验研究中所做的开创性工作，模糊性首次被严格公理化（有关进一步的问题，另请参见Bewley（2002）、Klibano Off等人（2005）、Maccheroni等人（2006）和Nishimura andOzaki（2006））。随后，Epstein和Wang（1994）、Chen和Epstein（2002）、Epstein和Miao（2003）以及Epstein和Schneider（2003）等人将atemproal公理化扩展为跨期执行多先验设置。在西村和小崎（2004）的求职模型中，最初研究了模糊最佳时机决策的影响。随后，他们在西村（Nishimura）和小崎（Ozaki）（2007）中扩展了他们的原始分析，在基于几何布朗运动的连续时间模型中考虑了奈特不确定性对不可逆投资机会最佳时机决策的影响。Alvarez E.（2007）专注于Knightian不确定性对单调单侧停止问题的影响，并在最坏情况下，根据基础差异的最小过度映射表示停止边界的值以及最优性条件。

Riedel（2009）反过来分析了模糊厌恶存在时的离散时间最优停止问题，并开发了一种通用的极小极大鞅方法来解决所考虑的问题（参见Miao和Wang（2011）对一般离散时间Feller连续马尔可夫过程问题的分析）。随后，Riedel（2009）开发的方法在Cheng和Riedel（2013）中扩展为连续时间设置。在Cheng andRiedel（2013）中，最优政策的值被证明是支配行权支付过程的最小右连续G鞅。Christensen（2013）研究了在奈特不确定性存在的情况下，模糊厌恶决策者对线性差异的最优停止，并明确确定了产生最坏情况测度的最小过度映射，以及描述最优政策价值所需的适当类别的超鞅。Epstein和Ji（2019）研究了基本驱动布朗运动受漂移模糊影响的情况下的最优学习。最近，Alvarez E.和Christensen（2019）将Christensen（2013）提出的方法扩展到了多维环境，并研究了在运动报酬正均一且潜在差异为二维几何布朗运动的情况下，Knightian不确定性对规避歧义投资者的最佳时机政策的影响。他们发现，在多层面的情况下，模糊性不仅通过改变潜在过程的增长速度影响最优政策，还影响问题被忽视的速度。鉴于阿尔瓦雷斯E。

和Christensen（2019），我们在本文中的目标是分析在基础遵循多维布朗运动的情况下，奈特不确定性对模糊厌恶决策制定者的最佳时机策略的影响。Westudy the general stopping problem and identify two special cases which the problem can be explicly solved by reduced the dimensional of the problem and then used the approach developed in Christensen（2013），Westudy the general stopping problem and identify the probl。我们将价值和最佳时机政策描述为参数化函数空间中运动支付的最小优化元素。我们的结果表明，奈特不确定性不仅加速了最优定时策略与明确基准情况的比较，而且可能导致受控系统的平稳行为，即使基础系统不具有长期平稳分布。这一观察结果表明，在某些情况下，模糊性如何在最坏情况下对潜在过程的随机动力学产生重要影响。本文的主要内容如下。在第2节中，我们介绍了基本的随机动力学，说明了所考虑的最优停止问题，并说明了模糊性对最优定时策略及其值的影响的特征。在第3节中，我们关注的是取决于驱动因素线性组合的支付。在第4节中，我们将重点讨论径向对称支付。

最后，第5节总结了我们的研究。2基本动力学和问题集设W是测度P下的d维标准布朗运动，并假设d≥ 2、通常在受奈特不确定性影响的模型中，给出模糊度κ>0，并用Pκ表示所有概率测度的集合，这些概率测度等价于密度过程为mθt=e的P-RtθsdWs-渐进可测过程{θt}t的Rtkθskds≥0满足不等式kθtk≤ κ表示所有t≥ 也就是说，我们假设密度发生器过程满足不等式dI=1θit≤ κforall t≥ 假设Xt=x+wt表示测量值P下的潜在差异。我们的目标是考虑以下最佳停止问题vκ（x）=supτ∈TinfQθ∈PκEQθxe-rτF（Xτ）{τ<∞}, （2.1）式中F:Rd7→ R是一个可测量的函数，将在本文考虑的两种情况下具体说明。通常，我们用Cκ={x表示∈ Rd:Vκ（x）>F（x）}停车次优的连续区域，由Γκ={x∈ Rd：Vκ（x）=F（x）}顶部区域。所考虑的停止问题的具体化导致了以下引理，描述了模糊性对最优停止策略的影响及其在一般设置中的价值。引理2.1。模糊度的增加通过降低最优策略的值来加速最优定时，从而缩小等待最优的延续区域。形式上，如果^κ>κ，那么V^κ（x）≤ 所有x的Vκ（x）∈ RDA和C^κ Cκ。证据假设^κ>κ。自{θ∈ Rd:kθk≤ κ}  {θ ∈ Rd:kθk≤ 我们注意到infqθ∈P^κEQθxe-rτF（Xτ）{τ<∞}≤ infQθ∈PκEQθxe-rτF（Xτ）{τ<∞}意味着V^κ（x）≤ 所有x的Vκ（x）∈ Rd.假设x∈ C^κ。因为在这种情况下vκ（x）≥ V^κ（x）>F（x）我们注意到x∈ Cκ也是。

因此，C^κ Cκ完成了引理的覆盖。引理2.1表明，模糊度与最佳时机之间的关系为正。同时，模糊度增加会降低最佳停止策略的值，表明在没有模糊度的情况下会达到最高值。这一机制自然并不奇怪，因为它本质上表明，潜在有害结果集越大，可实现的价值就越小。我们现在注意到，在由似然比QθdP=Mθtwe定义的度量Qθ下，我们自然会得到thatXt=x-Ztθsds+Wθt，其中Wθt表示Qθ-布朗运动。在测度Qθ下引入与基础过程X相关的微分算子∈ PκbyAθ=dXi=1xi-dXi=1θixi对于两次连续可微分函数u:Rd7→ R+，It^o-D¨oblin定理得出在测度Qθ下∈ Pκe-rtu（Xt）=u（x）+中兴通讯-卢比（Aθu）（Xs）- ru（Xs）ds+中兴通讯-卢比u（Xs）·dWθs.（2.2）现在，在kθk条件下，相对于θ最小化（Aθu）（x）≤ κ通向外壳密度发生器θ*t=κu（Xt）ku（Xt）k，其中k·k表示标准欧几里德范数。现在假设存在一个两次连续可微分函数\'u:Rd7→ R+满足偏微分方程(\'u）（x）- κk\'\'u（x）k- 在某些G上，r'u（x）=0（2.3） 在那种情况下-rT'u（XT）=u（x）+中兴通讯-rs（κk\'\'u（Xs）k- θs·\'u（Xs））ds+中兴通讯-卢比\'u（Xs）·dWθs≥ \'u（x）+中兴通讯-卢比\'u（Xs）·dWθs，（2.4），其中T=T∧ inf{t≥ 0：Xt6∈ A} 和A G是开的，在G中是紧闭包。取期望结果为qθxe-rT'u（XT）≥ 只有当θ*= θ. 不幸的是，显式求解偏微分方程（2.3）通常是不可能的。

幸运的是，有两种情况可以应用降维技术，并允许将原始多维问题转换为可解的一维设置。我们将在以下部分重点讨论这些问题。3支付取决于因子的线性组合独立正态分布随机变量的线性组合为正态分布。另一方面，独立布朗运动的线性组合是连续鞅，因此构成布朗运动的时间变化。鉴于这些观察结果，现在考虑这样一种情况，即练习支付额为asF（x）=^FaTx公司=^FdXi=1aixi！，（3.1）如果∈ Rdi是常数参数向量，且^F:R 7→ R是一个可测量的函数。关注函数su（x）=haTx公司以密度发生器θ为特征的最坏情况先验结果*= κsgn（h（aTx））akak。在这种情况下，求解（Aθ*u） （x）=ru（x）结果转化为solvingkakh（aTx）- κkakh（aTx）- rh（aTx）=0on{x:h（aTx）≥ 0}和kakh（aTx）+κkakh（aTx）- 在{x:h（aTx）<0}上，rh（aTx）=0on。现在定义常数ψκ=κkak+sκkak+2rkak，Дκ=κkak-sκkak+2rkak，^ψκ=-Дκ和^Дκ=-ψκ表示h（y）=ceψκy+ceДκyon{y:h（y）≥ 0}和h（y）=^ce^ψκy+^ce^Дκyon{y:h（y）<0}。给定这些函数，让c∈ R为任意参考点，定义两次连续可微且严格凸的函数Uc:R 7→ R为Uc（y）=max（h1c（y），h2c（y）），其中h1c（y）=ψκψκ- ДκeДκ（y-c）-φκψκ- Дκeψκ（y-c） h2c（y）=ψκψκ- ^Дκe^Дκ（y-c）-^φκ^ψκ- ψκeψκ（y-c） 是两个满足条件h1c（c）=h2c（c）=1和h1c（c）=h2c（c）=0的映射。因此，函数uc构成了边值问题kakuc（aTx）的解- κsgn（aTx- c） kakUc（aTx）- rUc（aTx）=0Uc（c）=1，Uc（c）=0。类似地，我们让U-∞（y） =eψκyand U∞（y） =e^Дκyde注意与极端情况相关的解决方案，其中c=-∞ 或c=∞.

正如Christensen（2013）所证明的那样，这些函数生成了一类有用的超鞅，用于解决存在歧义时的最优停止问题。为了证明在这个多维环境中也是如此，我们将It^o-D¨oblin定理应用于函数uctate-rTUc（aTXT）=UcaTx公司+中兴通讯-rt公司κsgn（aTXt- c） 卡克- θt时Uc（aTXt）dt+中兴通讯-rtUc（aTXt）aTdWθt.自-κkak≤ -在θ处≤ 满足kθk条件的容许密度发生器的κkak≤κ、 我们观察到κsgn（aTx- c） 卡克- 在θ处Uc（aTx）≥ 0表示所有x∈ 因此-rTUc（aTXT）≥ 坎特伯雷大学aTx公司+中兴通讯-仅当θt=θ时，rtUc（aTXt）aTdWθtwith恒等式*t=κsgn（aTXt-c） 。因此，我们注意到，在当前情况下，eqθxe-rTUc（aTXT）≥ 公式θ*x个e-rTUc（aTXT）= 坎特伯雷大学aTx公司对于所有Qθ∈ Pκ。利用标准的可选采样参数表明，进程{e-rtUc（aTXt）}t≥0实际上是一个正Qθ*-鞅，因此是一个超鞅。在这一点上，值得指出的是，过程Yt=ATXT满足了SDEdYt=aTdXt=-在θtdt+aTdWθt时，Y=aTx。（3.2）自-κkak≤ -θt时≤ 满足kθtk条件的容许密度发生器的κkak≤ κ我们注意到（3.2）有一个唯一的强解。特别是在Qθ下*我们有DYT=-κkaksgn（Yt- c） dt+aTdWθ*t、 Y=aTx，这是一个具有交替漂移的标准布朗运动。

有趣的是，我们观察到，虽然标准布朗运动不具有平稳分布，但受控过程具有平稳分布。更准确地说，对于固定参考点c，受控差异的平稳分布为（拉普拉斯分布）p（aTx）=κkake-2κkak | aTx-c |此外，这一过程是积极循环的，这意味着到达恒定边界的时间几乎肯定是有限的。在对基本动力学和调和函数类进行了特征化后，我们发现Christensen（2013）中定理1的条件是满足的，因此，我们可以用半显式形式对值进行特征化，如下所述。定理3.1。（A） 对于所有x∈ RdVκ（x）=inf{λUc（aTx）：c∈ [-∞, ∞], λ ∈ [0, ∞], λUc（aTx）≥^F（aTx）}（3.3）和参考点c的最小值。（B） A点x∈ 停止区域中的RdisΓ={x∈ Rd:Vκ（x）=^F（aTx）}当且仅当存在c∈ [-∞, ∞] 这样的thatyc∈ argmax（^F（y）Uc（y））和aTx=yc。证据所谓的主张是Christensen（2013）定理1的直接含义。定理3.1将Christensen（2013）中定理1的发现扩展到了当前情况。这种扩展有效性的主要原因自然是这样一个事实，即尽管processXt是多维的，但它的过程不是，因此，我们可以从一维特征中分析问题。表示法（3.3）在确定值和相关的最坏情况先验中自然有用，因为它本质上将原始问题的分析简化为具有已知特性的比率的分析，而不必调用强光滑性或正则性条件。