系统最优风险转移均衡

约束越多，可行向量集越小∈ B使得pnn=1eYnX=0，这反过来意味着B的极性集更大（我们将用Q表示w，请参见第4节第4项中的定义。只有当我们被允许在这个较大的集合Q中选择pricingvector QXin时，均衡才存在，但Q中的元素不需要具有所有相等的组成部分。从经济上讲，可能会出现多种定价措施，因为风险交换机制可能会被限制为代理人群体，如本例中所示，并且代理人来自不同的集群可能会采用不同的均衡定价措施。有关集群的更多详细信息，请参见示例3.17和4.20。B–uhlmann均衡（YX）满足两个相关属性：帕累托最优（不存在可行的分配Y，使得所有代理与YX相等或更好，至少其中一个更好）和个人理性（每个代理与YnXthan相比更好）。满足这两个属性的任何可行分配都被称为最优风险分担规则，见Barrieu和El Karoui【4】或Jouini等人【30】。我们证明了一个排序器是唯一的（一旦定价函数的类别被限制为pn（·）=EQn[·]）。我们还证明了帕累托最优，参见定义3.1和理论4.17中的精确公式。然而，分拣员缺乏个人理性。这在第5.2节的玩具e示例中显示，但从方程式（8）中的表达式也可以看出。如前所述，每个代理都表现得很理性，实现了预期效用的最大化，但受到预算约束pnX（Yn）≤这是通过额外的系统最大化问题（supa）全局确定的∈RN{…| PNn=1an=A}），将优先级分配给系统性能，而不是每个单独的代理。

在SORTE中，我们用这样一种系统诱导的个人理性取代了个人理性，这也表明了SORTE和最优风险分担规则的概念之间的差异。我们还指出，通过使用适当的集合B，可以适当缓解或加强风险分担机制的参与，见e。g、 示例4.20：限制子系统的风险共享。从技术角度来看，我们将不依赖与inf卷积概念相关的任何方法和结果，inf卷积是一种常见的工具，用于证明存在最优风险分担规则（参见示例[4]或[30]），因为我们不要求效用函数是加性的。我们的证明基于（系统）效用最大化的双重方法。第4.1节对此进行了总结。此外，第5节详细讨论了指数情况。备注1.3。按照一般均衡和风险分担文献中的惯例，我们可以考虑更一般的问题来代替（8）和（9）∈RN（NXn=1supYn{E[γnun（Xn+Yn）]| pnX（Yn）≤ an}NXn=1an=A），（11）NXn=1YnX=A P- a、 s.，（12）式中，正权重γ=（γ，…，γN）∈ 一位社会规划师表示，RN可能是外生选择的。在这种更一般的问题中，平衡通常取决于所选的权重。然而，在本文中，我们关注的是均衡的存在性、唯一性和帕累托最优性，对于这种分析，我们可以在不丧失普遍性的情况下限制我们对功利主义选择γ=…=γN=1，正如我们现在所解释的。很容易检查给定的u，不满足我们的假设（即假设3.10（a）），相关函数x 7→ uγn（x）：=γnun（x），n=1。

，N将满足相同的假设3。10.（a）和so（11）可写成∈RN（NXn=1supYn{E[uγn（Xn+Yn）]| pnX（Yn）≤ an}因此，从技术上讲，对非功利设置（γ6=1）中平衡的存在性、唯一性和帕累托最优性的研究归结为（8）和（9）中的一个。当然，研究向量γ的最优解的依赖性，并分析平衡点相对于效用函数的稳定性，可能是有意义的。在第5.3节中，我们讨论了指数效用函数的这个问题，但一般情况留待将来研究。文献回顾：本pap源自Biaginiet al.【6】和【7】提出的系统风险方法。在【7】中，主要关注的是系统风险度量ρ（X）：=infY的分析∈ BCR（NXn=1Yn | E“NXn=1un（Xn+Yn））#≥ B） ，B∈ R、 （14）将系统风险计算为最小资本nn=1Yn∈ 保护aggre网关系统的R（EhPNn=1un（Xn+Yn）i≥ B） 通过将随机分配yn注入单个机构Xn。分拣机的概念受到以下效用最大化问题的启发，与风险最小化问题（14）相关，supY∈ BCR（E“NXn=1un（Xn+Yn）#| NXn=1Yn≤ A） ，A∈ R、 （15）[7]中也介绍了这一点。有关系统性风险度量的相关论文有Feinstein et al.【23】、Acharya et al.【2】、Armenti et al.【3】、Chen et al.【17】、Kromer et al.【32】。有关系统性风险文献的详细概述，请参见赫德（Hurd）[29]和福克（Fouke）与朗萨姆（Lang sam）[27]。关于Arrow-Debreu平衡的回顾（见Debreu【20】；关于有限维情况，见Mas Colell和Zame【34】），我们参考了F¨ollmer和Schied【26】的第3.6节，这与我们的设置很接近。

在Arrow-Debreu均衡理论中，B¨uhlmann[12]和[13]证明了纯交换经济中存在风险交换均衡。从Borch【11】的开创性研究开始，这种风险分担均衡就以不同的形式进行了研究，其中Pareto最优分配被证明是凹效用函数的共单调，a和B¨uhlmann和Jewell【14】。在详细介绍之前，已经强调了与B–uhlmann的设置和我们的方法之间的差异。Barrieu和El Karoui[4]引入了凸风险测度的卷积作为研究风险分担的基本工具。Jouini等人[30]获得了法律确定的货币效用函数的最优风险分担的存在性，然后由Acciaio[1]和Filipovi\'c和Svindland[25]将其推广到非单调ris k测度的情况，由Carlier和Dana[15]和Carlier等人[16]将其推广到多变量风险，以实现Mastrogiacomo和Rosazza Gianin[35]提出的次加性和准i凸性测度。Dana和Le Van【19】、Hea th和K u【28】、Tsanakas【39】、Weber【40】等也对风险分担进行了进一步的研究。Embrechts等人[22]通过显式构造研究了基于分位数的风险度量的风险分担问题，并在[21]中研究了异质信念。在菲利波维奇（Filipovi\'c）和库珀（Kupper）[24]中，资本和风险转移被建模为通过一组不确定的金融工具对资本和风险进行（确定性确定的）再分配。研究了存在性问题，引入了平衡的相关概念。最近，Liebrich和Svindland得到了进一步的扩展[33]。2注释SLET(Ohm, F、 P）是一个概率空间，并考虑以下概率向量集(Ohm, F） 请注意：=Q=（Q，…，QN）|这样Qj<< P对于所有j=1。。。，N.对于概率测度向量Q，我们写Q<< P表示Q<< PQN公司<< P

类似于Q~ P设置L(Ohm, F、 P；RN）=（L（P））N.对于Q∈ Plet L（Q）：=L(Ohm, F、 Q；R） 是Q的向量空间- 可积随机变量与L∞（Q） ：=L∞(Ohm, F、 Q；R） 是Q的空间-本质上有界的随机变量。设置L+（Q）=Z∈ L（Q）Z≥ 0季度- a、 s。和L∞+（Q） ={Z∈ L∞（Q） | Z≥ 0季度- a、 s.}。对于Q∈ PNletL（Q）：=L（Q）×。。。×L（QN），L+（Q）：=L+（Q）×。。。×L+（QN），L∞（Q） ：=L∞（Q） ×···×L∞（QN），L∞+（Q） ：=L∞+（Q） ×···×L∞+（QN）。对于每个j=1。。。，N考虑一个向量子空间ljr和R Lj公司 L(Ohm, F、 P；R） 和se tL：=L×。。。×LN（L（P））N.现在考虑一个子集Q Pn并假设对（L，Q）满足每个Q∈ QL系列 L（Q）。我们可以把它看作Lj，例如，L∞或者一些Orlicz空间。我们的优化问题将在稍后指定的向量空间上确定。对于每个n=1。。。，N、 让联合国：R→ R为凹形且严格递增。固定X=（X，…，XN）∈五十、 对于（Q、a、a）∈ Q×RN×R deneuqnn（an）：=sup{E[un（Xn+Y）]| Y∈ Ln，EQn【Y】≤ an}，（16）SQ（A）：=sup（NXn=1UQnn（an）| A∈RNs。t、 NXn=1an≤ A） ，（17）∏Q（A）：=sup（E“NXn=1un（Xn+Yn）#| Y∈ 五十、 NXn=1EQn【Yn】≤ A） 。（18） 显然，这些数量也与X有关，但由于X在整个分析过程中保持不变，我们可以避免在符号中明确规定这种依赖关系。随着unis的增加，我们可以在UQnn（an）、SQ（A）和∏Q（A）的定义中，用等式代替预算约束中的不等式。当向量Q∈ Q是一个S，我们可以考虑两个问题。首先，对于每一个n，UQnn（an）是在预算约束方程n[Y]下，经典的一维期望效用最大化问题m的最优值，且其方差为x≤ an，由实数an和与Qn相关的估值运算符EQn[·]确定。

其次，如果我们将Quantitypn=1un（·）解释为系统的聚合效用，那么∏Q（A）是整个系统X的最大预期效用，在所有Y中∈ L满足总体预算约束nn=1EQn【Yn】≤ A、 注意，在这些问题中，向量Y不需要属于CR，而只需要属于向量空间l。我们将在引理4.11中显示非常明显的等式SQ（A）=∏Q（A）。3关于均衡的几个概念3.1帕累托分配定义3.1。给定一组可行的分配V L和向量X∈ 五十、 根据∈ V是V ifY的Paretoallocation∈ V和E【un（Xn+Yn）】≥ Ehun（Xn+bYn）ifor all n（19）意味着E[un（Xn+Yn）]=Ehun（Xn+bYn）ifor all n。一般来说，帕累托分配不是唯一的，毫不奇怪，以下版本的第一福利orem是正确的。确定优化问题∏（V）：=supY∈VNXn=1E[un（Xn+Yn）]。（20） 提案n 3.2。Whenverby公司∈ V是∏（V）的唯一最优解，则是V的帕累托分配。证据LetbY对于∏（V）是最佳的，因此EhPNn=1un（Xn+bYn）i=∏（V）。假设存在Y，使得（19）成立。作为Y∈ 我们有：E“NXn=1un（Xn+bYn）#=∏（V）≥ E“NXn=1牛顿（Xn+Yn）#≥ E“NXn=1un（Xn+bYn）#，by（19）。因此Y也是∏（V）的最优解。最优解的唯一性意味着Y=by。3.2系统效用最大化下一个定义是效用最大化问题，在N个代理系统的情况下。定义3.3。修复Q∈ Q、 这对（YX，aX）∈ L×RNis a Q-预算A的最优分配∈ R if1）对于每个n，YnXis对于UQnn（anX）是最优的，2）轴对于SQ（A）是最优的，3）YX∈ 五十、 注意，在上述定义中，向量Q∈ Q是外源指定的。给定总预算ta∈ R、 矢量aX∈ RN最大化所有可行方案中的系统效用NN=1UQnn（an）∈RN（PNn=1an≤ A） 并且ynx在所有可行分配Y中最大化单代理期望效用E[un（Xn+Y）]∈ Lns。t。

方程n【Y】≤ anX。自Q起∈ 给定Q，预算约束qn【Y】≤ 所有人都有明确的焦虑∈ L我们不需要表单的附加条件∈ 经典的单主体效用最大化的一个简单化产生了以下存在性结果。提案n 3.4。在Assumption3.10（a）下，为一些Q选择Q={Q}∈ Qv（见（26））和Q~ P设置L=L（Q）×····×L（QN），并设X∈ MΦ（见（79））。然后是a Q-O存在最佳分配。证据可使用第4.2节【7】中使用的相同参数获得收益。Let（YX，aX）∈ L×RNbe a Q-优化配置。由于引理4.11，∏Q（A）=SQ（A）和∏Q（A）=SQ（A）=supa∈RN，PNn=1an=ANXn=1supYn∈Ln{E[un（Xn+Yn）]| EQn[Yn]=an}=NXn=1supYn∈Ln{E[un（Xn+Yn）]| EQn[Yn]=anX}，其中我们将预算约束中的不等式替换为等式，作为非单调的。因此，具有总体预算约束A的系统效用最大化问题∏Q（A）减少为n个单代理最大化问题的总和，然而，其中每个代理的预算约束由anX=EQn[YnX]分配，向量ax使系统的总体性能最大化。我们还将在分类器的编号中恢复此功能，其中概率向量将由内生确定，而不是像本例中那样由先验指定。3.3风险交换均衡我们在此正式确定了B–uhlmann在纯交换经济中的风险交换均衡，【12】和【13】，已在导言第1项条件（a’）和（B’）中提及。设Q为概率测度的向量集，所有分量均为Q：=Q∈ PN | Q=…=QN公司.为了与定义3.3保持一致，我们对相应的条件保持相同的编号。定义3.5。修复A∈ R、 a∈ RN使PNN=1an=A。

这对（YX，QX）∈ L×Qis arisk交换均衡（预算A和分配A∈ RN）if：1）对于每个n，YnXis对于UQnXn（an）是最优的，3）YX∈ CR，PNn=1YnX=A P-A.s.定理3.6（B¨uhlmann，[13]）。对于两倍不同、凹形、严格增加的效用u，联合国：R→ R，使得他们的风险厌恶为正Lipschitz，对于L=（L∞（P））N，Q=Qand X∈ 五十、 存在一个非唯一的帕累托最优风险交换均衡。证据见【13】。在具有预算a的风险交换均衡中，向量a∈ Rn使得Pnn=1an=A等时分配，而最优交换变量yx和均衡价格测度qx都是内生确定的。相反，在a Q中-最优分配定价测度是先验的，而最优分配yx和最优预算ax是内生的。我们现在将引入一个概念，该概念要求从系统预算a.3.4系统最优风险转移均衡（SORTE）中内生恢复三重（YX、QX、aX）。方程式（8）（9）和（10）中提出的新均衡概念现在可以形式化如下。为此，回顾一下（1）CRand fix a凸锥的定义 CRof容许分配，例如RN+B=B。定义3.7（SO RTE）。三重（YX、QX、aX）∈ L×Q×RN是一个系统最优的风险转移均衡，预算为a∈ R如果：1）对于每个n，YnXis对于UQnXn（anX）是最优的，2）轴对于SQX（A）是最优的，3）YX∈ B CRandPNn=1YnX=A P-A.s.备注3.8。它来自于每个unthatPNn=1anX=A和EQnX[YnX]=anX的单调性。HenceNXn=1EQnX[YnX]=NXn=1anX=A，且NXn=1YnX=NXn=1EQnX[YnX]P-A.s.（21）本文的主要目的是提供有效的基因ral假设，以保证分类器的存在性、唯一性以及良好的性能。备注3.9。

我们将显示三元组（YX、QX、aX）的存在∈ L×Q×RN验证定义3.7中的三个条件。因此，我们还获得了（5）、（6）、（10）或（8）、（9）、（10）中所述的模拟中的分类器的存在性，以验证引言中所述的条件（i）、（ii）和（iii）（另见备注4.3）。在续集中，我们将在以下假设3.10下工作。假设3.10。（a） 公用设施：u，联合国：R→ R是凹的，严格增加Limx的可微函数→-∞un（x）x=+∞ 林克斯→+∞un（x）x=0，对于任何n∈ {1，…，N}。此外，我们假设以下性质成立：对于任何n∈ {1，…，N}和Qn<< 体育课越南λdQndP< +∞ 对于某些λ>0<==> E越南λdQndP< +∞ 对于所有λ>0，（22），其中vn（y）：=supx∈R{un（x）- xy}表示un的凸共轭。（b） 约束条件：b CRis是一个凸锥，概率闭合，使得RN+B=B。备注3.11。特别是，假设3.10（b）意味着所有常量向量都属于b。条件（22）与效用函数上的合理渐近弹性条件有关，该条件在[38]中介绍。这种假设，即使很弱（见[8]第2.2节），也是保证经典效用最大化问题最优解存在的基础（见[8]和[38]）。定理3.12。存在系统最优风险转移均衡（YX，QX，aX），其中QX，qnx相当于P。定理3.13。在额外假设B是封闭的（定义4.13）下，系统最优风险转移均衡是唯一的，是帕累托最优配置。形式陈述和证明推迟到第4节，定理4.12和定理4.17。备注3.14。先验地，没有理由认为Q-最优分配YXin定义3.3也会满足约束nn=1YnX∈ R

分拣机的存在实际上是概率度量QX存在的结果，因此QX最优分配YXin定义3.3也满足额外的风险转移约束Tpn=1YnX=a P-a.s。备注3.15。如果没有定义3.7中2）所表示的额外特征，对于所有轴满足PNN=1anX=A的选择，存在定义3.5意义上的平衡（YX，QX）（见定理3.6）。然后，分类器的唯一性是条件2）中最优解唯一性的序列。备注3.16。取决于三个对象（Y、Q、a）中的哪一个∈ L×Q×RNwe保持不变，我们得到了不同的平衡概念（见上述各种定义）。与第3.2节系统框架中的mo再分类效用优化问题相比，风险交换均衡和排序的特征是条件pnn=1YnX=a P-a.s.和均衡定价向量QX的存在。对于平衡的两个概念（定义3.5和分类），每一位参与者都在理性地通过最大化其预期效用来实现行为，给出了一个预算约束。这两种方法因预算建设不同而不同。在布尔曼的定义中，向量a∈ 分配预算约束的RN（EQnX[Yn]≤ a）是事先规定的。相反，在SORTER方法中，向量a∈ RN，其中pnn=1an=A，表示预算约束方程qnx【Yn】≤ ANI是通过优化条件2中的问题来确定的），因此通过考虑c计数，最优系统效用SQX（a），其（通过定义）大于B–uhlmann平衡中的系统效用nn=1UQnXn（an）。SO RTE优先考虑问题的系统方面，以优化整体系统性能。第5.2节提供了一个玩具示例，展示了布尔曼平衡和分类器之间的差异。示例3.17。