系统最优风险转移均衡

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英文标题：
《Systemic Optimal Risk Transfer Equilibrium》
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作者：
Francesca Biagini, Alessandro Doldi, Jean-Pierre Fouque, Marco
  Frittelli, Thilo Meyer-Brandis
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We propose a novel concept of a Systemic Optimal Risk Transfer Equilibrium (SORTE), which is inspired by the B\\\"uhlmann\'s classical notion of an Equilibrium Risk Exchange. We provide sufficient general assumptions that guarantee existence, uniqueness, and Pareto optimality of such a SORTE. In both the B\\\"uhlmann and the SORTE definition, each agent is behaving rationally by maximizing his/her expected utility given a budget constraint. The two approaches differ by the budget constraints. In B\\\"uhlmann\'s definition the vector that assigns the budget constraint is given a priori. On the contrary, in the SORTE approach, the vector that assigns the budget constraint is endogenously determined by solving a systemic utility maximization. SORTE gives priority to the systemic aspects of the problem, in order to optimize the overall systemic performance, rather than to individual rationality.
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中文摘要：
我们提出了一个系统最优风险转移均衡（SORTE）的新概念，这一概念是受B“uhlmann的均衡风险交换经典概念的启发。我们提供了充分的一般假设，以保证此类SORTE的存在性、唯一性和帕累托最优性。在B“uhlmann和SORTE定义中，在预算约束下，每个代理通过最大化其预期效用来理性行事。这两种方法因预算限制而异。在B中\\“uhlmann的定义——分配预算约束的向量是先验的。相反，在SORTE方法中，分配预算约束的向量是通过解决系统效用最大化而内生确定的。SORTE优先考虑问题的系统方面，以优化整体系统性能，而不是个人合理性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
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2022-6-24 08:11:32 上传

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关键词：Mathematical maximization Endogenously Quantitative Applications

系统最优风险转移均衡*Alessandro Doldi+Jean-Pierre FoukeMarco Frittelli§Thilo Meyer BrandisP2020年6月29日摘要我们提出了一个系统最优风险转移均衡（SORTE）的新概念，其灵感来自于伯尔曼的均衡风险交换的经典概念。我们提供了有效的一般假设，以保证这种排序的存在性、唯一性和帕累托最优性。在B¨uhlmann和t the sort定义中，每个代理都在预算约束下通过最大化其预期效用来理性行事。这两种方法都受到预算限制的影响。在B–uhlmann定义中，分配预算约束的向量是先验的。相反，在SORTE方法中，分配预算约束的向量是通过求解系统效用最大化内生确定的。SORTE优先考虑问题的系统方面，以优化整体系统性能，而不是个人理性。关键词：均衡、系统效用最大化、最优风险分担、系统风险。数学学科分类（2010）：91G99；91B30；60A99；91B50；9 0B50。JEL分类：C02；D5.1引言我们引入了系统最优风险转移均衡的概念，用SORTE表示，它将平衡风险交换的古典B–uhlmann理论与基于系统预期效用优化的资本配置结合起来。*慕尼黑大学数学系，Theresienstrasse 39，80333慕尼黑，德国，弗朗西丝卡。biagini@math.lmu.de.+意大利米兰大学Matematica分校，Via Saldini 50，20133，意大利米兰，亚历山德罗。doldi@unimi.it.加利福尼亚大学统计与应用概率系，加利福尼亚州圣巴巴拉，93106-3110，fouque@pstat.ucsb.edu.

NSF拨款DMS-1814091支持的工作。§米兰理工大学Matematica分校，Via Saldini 50，20133意大利，米兰，marco。frittelli@unimi.it.P德国慕尼黑大学数学系，Theresienstrasse 39，80333慕尼黑，meyerbr@math.lmu.de.The我们认为，资本配置和风险分担均衡可以应用于许多方面，例如：金融机构、代理人或国家之间的均衡；保险和保险市场；单个企业各业务部门之间的资本分配；投资者财富分配。在本文中，我们将这些公共关系问题的参与者（金融机构或企业或国家）称为代理人；由这N个代理组成的类作为系统；代理人的个人风险（或随机捐赠或未来收益和损失）作为风险向量X：=（X，…，XN）；数量Y：=（Y，…，YN），可作为随机分配在代理之间交换。我们通常指的是中央监管机构或CCP，或中央银行（CB）的执行经理。现在，我们将介绍我们的方法的主要概念，并将细节和mathema Ticalrigoous演示留给下一节。在一个单周期框架中，我们考虑了N个agent，每个agent的特征是一个凹的、严格单调的效用函数un:R→ R和原始风险Xn∈ L(Ohm, F、 P），对于n=1。。。，N在这里(Ohm, F、 P）是概率spa c e和L(Ohm, F、 P）是实值F-可测随机变量的向量空间。西格玛代数在最后时刻T表示所有可能的可测量事件。E[·]表示P下的期望。给定另一个概率测度Q，等式[·]表示Q下的期望。为了简单起见，我们假设利率为零。我们将使用粗体符号来表示向量。1.

B¨uhlmann的风险交换均衡我们回顾B¨uhlmann对纯交换经济（或再保险市场）中风险交换均衡的定义。代理人n的初始财富由xn表示∈ R和变量xn表示该代理的原始风险。在这个生态法则中，每个代理人都被允许和其他代理人交换风险。每个代理人必须同意在最终时间接收（如果是正的）或提供（如果是负的）金额（ω），以交换在初始时间支付（如果是正的）或接收（如果是负的）的金额，其中Q是一些pricingprobability度量。HenceeYnis是一个时间T可测的随机变量。为了最终实现这一风险分担程序，交易所变量seynhavot满足清算条件nxn=1eYn=0 P-a.s。正如B¨uhlmann[12]和[13]中所述，我们说一对（eYX，QX）是一个风险交换平衡Mif：（a）对于每个n，Eynx最大化：Ehun（xn+xn+eYn- 方程（EQX[eYn]）Imong all variableseYn；（b） PNn=1eYnX=0 P-a、 s。很明显，仅对于平衡定价测度QX的某些特定选择，（a）中问题的最优解Eynx也将满足（b）中的条件。此外，（b）中的清算条件要求所有代理接受在初始时间T交换amounteYnX（ω）。定义：=（Y∈ （L）(Ohm, F、 P））N | NXn=1Yn∈ R） （1）也就是说，CRis是一组随机向量，其余分量之和为P-a.s.非终结数。观察符号Yn的变化：=xn+eYn-EQX[eYn]，我们得到每个n的变量EQX[Yn]=xn，并且最优解YnXstill属于CRand satisfyingNXn=1YnX=NXn=1xnP-a.s。

（2） 正如可以经常检查的一样，supeynehun（xn+xn+eYn- EQX[eYn]）i=supYn{E[un（Xn+Yn）]| EQX[Yn]≤ xn}。因此，风险交换均衡定义中的上述两个条件可以等效地重新表示为每个n的s（a’），ynx在所有满足EQX[Yn]的变量中最大化：E[un（Xn+Yn）]≤ xn；（b’）YX∈ CRandPNn=1YnX=PNn=1xnP-a.s。我们注意到，这里的数量xn∈ R预先签署给每个代理。2、系统最优（确定性）分配为了简化表示，我们现在假设每个代理人的初始财富已经在符号Xn中吸收，因此Xn表示初始财富加上代理人n的原始风险。我们假设系统拥有总资本a∈ 如有必要，可在以后使用。该金额可能是中央银行分配的，也可能是系统中以前交易的结果，或者可能是政府临时收取的。这笔钱可以代表在一个业主社区中收集的保险或基金（作为未来投资的担保）。关于A的进一步解释，另请参见Biagini等人[7]第5.2节中的相关讨论。在任何情况下，我们认为数量A是由外源决定的。该金额分配给代理，以优化整体系统满意度。如果我们用an表示∈ R代理人n收到的现金（如果是正的）或提供的现金（如果是负的），则代理人n处置的蒂梅特财富将为（Xn+an）。最优向量aX∈rN可根据以下总时间标准确定（NXn=1E[un（Xn+an）]| a∈RNs。t、 NXn=1an=A）。（3） 请注意，每个代理都没有优化自己的效用函数。

作为向量a∈RNisdeterministic，已知时间t=0，因此代理必须同意仅在该初始时间提供或接收资金。然而，在假设最终age nts对其他代理的总体可靠性也有信心的情况下，可以将上述第1项和第2项中概述的两种方法结合起来，以进一步提高最佳总体预期系统效用，同时保证每个代理将优化其自身的单一预期效用，考虑到系统分配的聚合预算约束。当然，可信赖的另一种假设是规则由CB执行。我们用Ln表示 L(Ohm, F、 P）容许随机变量的空间，并假设Ln+R=Ln。我们将考虑地图pn:Ln→ 代表定价或成本函数的R，每个代理一个。正如我们将看到的，在一些相关情况下，所有年龄的nts将采用相同的函数Lp=…=pN，然后将其解释为均衡定价函数，如上面的B¨uhlmann设置，其中pN（·）：=等式[·]。然而，我们不必将其视为先验i。相反，我们要求映射pN满足所有n=1。。。，N:i）pnis单调递增；ii）pn（0）=0；iii）pn（Y+c）=所有c的pn（Y）+c∈ R和Y∈ 自然对数。此类假设尤其意味着pn（c）=所有常数c的c∈ R、 此类函数的相关示例为pn（·）：=方程n[·]，（4），其中，n=1的概率测度。。。，N、 另一个例子是pn=-ρn，对于凸风险度量ρn。现在，我们将应用上述第1项和第2项中概述的两种方法来描述非系统最优风险转移均衡的概念。3.

系统最优风险转移均衡。如第1项所述，如果向代理人n分配了一定的金额，该代理人可以按pn（eYn）的价格购买，以优化运行（an+Xn+eYn- pn（eYn））i.定价函数pn，n=1。。。，N必须进行选择，以便最佳解决方案验证清算条件nxn=1eYn=0 P-a.s。然而，如第2项所示，anis不是外源分配给每个代理，而是整个系统只能处理总量a。因此，通过以下问题的解（eYnX，pnX，anX）给出了在代理之间分配A的最佳方法：supa∈RN（NXn=1Supeynehun（an+Xn+eYn- pnX（eYn））ioNXn=1an=A），（5）NXn=1eYnX=0 P- a、 s。（6） 从（5）和（6）可以很容易地得出最优解（eYnX，pnX，anX）ful fillsnxn=1pnX（eYnX）=0。（7） 进一步，让Yn：=an+eYn-pnX（eYn），根据pnX的现金可加性，我们推断pnX（Yn）=an+pnX（eYn）-pnX（eYn）=anandPNn=1YnX=PNn=1an+PNn=1eYnX-PNn=1pnX（eYnX）=PNn=1，与之前一样，上述优化问题可以重新表述为assupa∈RN（NXn=1supYn{E[un（Xn+Yn）]| pnX（Yn）≤ an}NXn=1an=A），（8）NXn=1YnX=A P- a、 与（7）类似，我们有一个解（YnX，pnX，anX）satifiespnn=1pnX（YnX）=a，by（8）和（9）。（5）和（8）中的两个最佳值重合。我们看到，虽然每个代理都根据其会议表现良好，但预算约束pnX（Yn）≤ a不是优先分配的，而是通过聚合优化问题内生确定的。最优值确定了每个代理的最优风险分配。结果是anX=pnX（YnX）。

显然，（5）中的最优值大于（或等于）第（3）中的最优值，这在经济上可以转化为这样一种说法，即允许交易所也在终端时间增加系统性能。除了（9）中的条件外，我们还通过要求thatYX对最优解引入了更多可能的约束∈ B、 （10）其中B CR.在本文中，见第3.4节，我们对上述讨论进行了修正，并证明了（8）、（9）和（10）的解（YnX、pnX、anX）的存在，我们称之为系统最优风险转移均衡（sorter）。我们证明了pnX可以选择为特定形式pnX（·）：=EQnX[·]，对于概率向量QX=（QX，…，QNX）。关键的一步，Theorem4.5，是证明相关pr问题的对偶表示和优化器的存在（29）。对偶公式的优化器提供了确定函数lnx（·）：=EQnX[·]的最佳概率向量qx。最优QXdepe的特征在可行分配集B上。当没有强制约束时，即当B=CR时，则QxTep的所有分量均相等。因此，我们发现，在B¨uhlmann的框架中，单一均衡定价指标的隐含假设在我们的理论中是特定选择B=CR的结果，但对于一般B，情况并非总是如此。此时，读者手头上可能有第3.5节和第5节中描述的指数效用函数的示例，其中我们获得了最优解YX、均衡定价测度qx和最优向量aX的显式表达式。备注1.1。

我们强调，存在多个均衡定价度量QX=（QX，…，QNX）是存在非平凡约束集B的自然结果。事实上，即使在B–uhlmann设置中，如果我们添加非常简单的约束，单一均衡定价度量也可能不再存在。考虑以下aB¨uhlmann风险交换平衡的扩展。让B CRbe固定。我们说一对（eYX，QX）是一个约束风险交换均衡，如果：（a2）对于每个n，Eynx最大化：Ehun（xn+xn+eYn- 方程（EQX[eYn]）Imong all variableseYn；（b2）eYX∈ B和Pnn=1eYnX=0 P-a、 s。我们用下一个例子来说明这样一个均衡（具有一个概率QX）通常不存在。我们给出的例子很简单，但很有启发性，因为它表明，平衡的abs e nc e不是由技术假设（如可积条件）产生的，而是由附加约束引起的结构问题。这里我们为它提供了直觉。假设两个孤立的代理系统在适当的假设下有自己的（无约束）平衡，并且这两个平衡不会相互抵消。如下一个例子所示，我们可以将这两个系统视为一个由两个孤立的集群组成的单一大系统，通过增加约束来表达后一个属性。那么就证明了这种单一系统不可能存在均衡（具有独特的定价措施）。示例1.2。为了忽略所有可积性问题，在这个示例中，我们假设Ohm 是一个有限集，具有其所有子集的西格玛代数和统一概率测度。考虑N=4，un（x）：=（1- e-αnx），αn>0，n=1，4和一些向量x∈ R、 andX∈ （L）∞).

此外，takeB=Y∈ CR | Y+Y=0，Y+Y=0.因此，X和B模拟了一个由4个代理组成的单一系统，该系统只能以受限的方式交换风险（代理1与代理2，代理3与代理4），因此，该系统实际上由两个孤立的代理群集组成。那么，一般不存在约束风险交换均衡。自相矛盾的是，假设（eYX，QX）是一个受约束的风险交换均衡。很容易验证（[eYX，eYX]，QX）是相对于[X，X]和[X，X]的（无约束的）风险交换均衡（即满足（a）和（b）（N=2）。类似地，（[eYX，eYX]，QX）是关于[X，X]和[X，X]的（无约束）风险交换均衡。这意味着使用方程式（2）in¨uhlmann[13]thatexpη（X+X）E[exp（η（X+X））]=dQXdP=expθ（X+X）E[exp（θ（X+X））]，η=α+α，θ=α+α，这显然给出了一个矛盾，因为X是任意的。然而，请注意，在本例中，如果我们允许使用可能不同的定价度量，即如果我们可以用向量QX替换度量QX，则存在约束均衡。这相当于将（a2）替换为下面的（a3），即要求：（a3）对于每个n，eynx最大化：Ehun（xn+xn+eYn- 方程式（EQnX【eYn】）所有变量均为零；（b2）eYX∈ B和Pnn=1eYnX=0 P-a、 s。那么这种平衡就存在了。事实上，根据B¨uhlmann[13]中的结果，我们可以保证关于[X，X]和[X，X]的风险交换e平衡（[eYX，eYX]，QX）的存在，以及关于[X，X]和[X，X]的风险交换平衡（[eYX，eYX]，QX）的存在。然后（【eYX，eYX，eYX，eYX】，【QX，QX，QX，QX】）满足（a3）和（b2）。结论是，即使在B¨uhlmann的情况下，约束的存在也意味着多重均衡定价。从数学角度来看，这一事实在我们的设置中很容易理解，如假设3.10所述。