系统最优风险转移均衡

我们现在考虑一个代理集群的例子，已经在[7]中介绍过。Forh公司∈ {1，···，N}，设I：=（Im）m=1，。。。，hbe{1，···，n}的某些部分。我们介绍以下家族b（I）=（Y∈ L（RN）| d=（d，···，dh）∈ 右侧：Xi∈ImYi=dmm=1，···，h） CR.（23）对于给定的I，值s（d，···，dh）可能会改变，但每个h组中的元素I由分区I固定。很容易看出，B（I）是一个包含RN的线性spa ce，并且在概率收敛方面是闭合的。我们指出，fa mily B（I）允许两种极端情况：（I）当h=N时，出现最强的限制，即我们考虑的正是N组，在这种情况下，B（I）=r对应于无风险分担；（ii）相反，我们只有一组h=1，B（I）=CRis是最大的可能类别，与系统中所有代理之间的风险分担相关。这是布尔曼平衡定义中考虑的唯一情况。备注3.18。如引言中所述，与B–uhlma神经网络的概念相比，分类器的另一个特点是，除了toPNn=1Yn=Ath外，还可以要求最优解属于预先分配的可容许分配集B，满足假设3.10（B）。特别是，我们允许选择集合B=Rn或B=CR。最佳概率QxDeppe nd的特征位于容许集合B上。对于B=CR，QXturn的所有成分都符合B e等式。我们还知道（见引理4.21），对于B=B（I），qx的所有成分都等于所有I∈ Im，每组Im。第n4.5.3.5节“指数情况下的显式公式”中提供了额外的集合样本。我们认为，在B=CR的指数情况下，预测分类问题的显式解决方案现在是有指导意义的。

这是第5节中详细讨论的更一般情况的特殊情况。定理3。19、取指数效用sun（x）：=1- 经验值(-αnx），n=1，N表示α，αN>0。然后，B=CRis的分类器由bYk=-Xk+αkXβ+αkhAβ+ln（αk）- ER[ln（α）]ik=1，NdbQkdP=exp-Xβ进出口商品-Xβi=：dbQdPk=1，Nbak=EbQk[bYk]k=1，N（24）式中，β：=PNn=1αN，X：=PNn=1Xn，R（N）：=αnPNk=1αkforn=1。。。N，α：=（α，…，αN），ER[ln（α）]=PNn=1R（N）ln（αN）。4定理3.12和定理3.13的证明我们需要引入以下概念和符号：1。假设3.10中的效用函数产生了Orlicz空间结构：见附录A。1函数Φ和Φ的详细信息和定义*, Orlicz空间LΦ和Orlicz Hear t MΦ。在这里，我们只想回顾一下巴拿赫空间中的以下内容∞（P） MΦ LΦ L（P）和thatdQdP∈ LΦ*表示LΦ L（Q）。从现在起，我们假设X∈ MΦ。2、对于任何A∈ R we setBA：=B∩ {Y∈ （L（P））N | NXn=1Yn≤ A P-A.s.}。观察B∩ MΦ是一个凸锥。3、我们为X引入以下问题∈ 概率测度向量的MΦ与<< P、 带DQDP∈ Lφ*,πQ（A）：=sup（NXn=1E[un（Xn+Yn）]Y∈ MΦ，NXn=1EQn【Yn】≤ A） 。（25）注意，在（25）中，向量Y不需要属于CR，而只需要属于向量空间MΦ。为了证明问题mπQ（A）的最优解的存在性，有必要在（25）中扩大域。4.Q是由Q定义的概率度量向量集：=（Q<< PdQdP，dQNdP∈ LΦ*,NXn=1EYndQndP公司≤ 0,  Y∈ B∩ MΦ）。以自然的方式识别Radon-Nikodym导数和测度，Q是归一化e d的集合（即组件期望值等于1），B极性中的非负向量∩ 双系统中的MΦ（MΦ，LΦ*).

在我们的N维系统单周期设置中，集Q与多周期随机证券市场中的鞅测度集起着同样重要的作用。5、我们引入以下Q的凸集：Qv：=Q∩(dQdP，dQNdP∈ Lφ*dQndP≥ 0 n∈ {1，…，N}，NXn=1E越南dQndP< +∞).(26)6. SetL：=\\Q∈QvL（Q）×···×L（QN），Q：=Qv。（27）注释That MΦ L的乘积结构为L=L×·········································································-定义在Qv上的th分量，取相应的图像Qn：=Projn（Qv）（由一系列概率度量组成，均与P绝对连续）。设置项次：=TQ∈QnL（Q）。那么L=L×···×LN。我们将考虑优化问题（16）、（17）和（18），在（27）中特别选择（L，Q），并将表明，在这种选择下，πQ（A）=∏Q（A）。O注意，如果所有公用设施都从上方受限，则要求PNN=1EhvndQndPi<+∞ 是冗余的，但如果我们允许公用设施是无限的，这就变得非常重要了。我们还需要一些额外的定义和符号：a）双对数中圆锥体co（Qv）的双极性LΦ*×···×LΦ*N、 \\ Q∈QvL（Q）×···×L（QN）,isB：=Y∈\\Q∈QvL（Q）×···×L（QN）NXn=1EQn【Yn】≤ 0,  Q∈ Qv.很容易验证B∩ MΦB、 B）对于任何A∈ R我们定义了挫折：=Y∈\\Q∈QvL（Q）×···×L（QN）NXn=1EQn【Yn】≤ A. Q∈ Qv我们将证明Bais是域BA的正确扩展∩ 为了得到原问题最优解的存在性。c） {ei}i=1，。。。，Nis是RN的正则基。引理4.1。双对中（MΦ，LΦ*), 考虑极坐标（B∩ B的MΦ）∩ MΦ。然后（B∩ MΦ）∩ （L+）是由Q证明生成的圆锥体。从B包含所有常量向量这一事实的带定义中，我们可以得出以下结论：所有向量都是形式为ei的RNof- EJ属于B∩ MΦ。

那么对于所有Z∈ （B）∩ MΦ）和所有i，j∈ {1，…，N}我们必须有：EZi公司- EZj公司≤ 因此，Z∈ （B）∩ MΦ）表示EZ= · · · = E锌和so（B∩ MΦ）∩ （L+）N=R+·Q，（28），其中R+：={b∈ R、 b类≥ 0}.引理4.2。Qev：={Q∈ Qvs。t、 Q~ P}6=.证据条件B 卷曲B∩ MΦ （CR∩ MΦ∩ {PNn=1Yn≤ 0}），因此极性满足相反的包含：（CR∩ MΦ∩ {PNn=1Yn≤ 0}) （B）∩ MΦ）。现在观察任意向量（Z，…，Z），对于Z∈ L∞+, 属于（CR∩MΦ∩{PNn=1Yn≤ 0}). 特别是，（B∩MΦ）包含以下形式的向量ε+Z1+ε，ε+Z1+εε>0且Z∈ L∞+, E[Z]=1。这样一个向量的每个分量的期望值都等于1，属于L∞+满足ε+Z1+ε≥ε1+ε. 所有这些条件都意味着存在一个概率向量Q∈Q使得dqdp>0 P- a、 s.带PNN=1EhvndQndPi<∞, 因此Qev6=.4.1证明方案定理3.12的证明受到效用最大化中经典的对偶理论的启发，例如参见[18]和[31]，以及[5]中发展的极大极小方法。更准确地说，我们的路线图如下：1。首先，在Remark4.4中，我们展示了如何将问题m减少到A=0.2的情况。我们考虑π（A）：=sup（NXn=1E[un（Xn+Yn）]Y∈ MΦ∩ B、 NXn=1Yn≤ A P-A.s.）。（29）在定理4.5中，我们专门化了定理A.3中得到的关于一般凸锥的对偶性，用于凸c one c=B上的最大化问题π（0）∩MΦ并证明：（i）π（0）优化器的存在性，它属于B；（ii）π（0）对偶问题优化器bq的存在性。我们需要关于效用函数和集合B的所有假设，以及定理A中所述的辅助结果。附录中的4。命题4.7也将显示B闭包中的元素∩MΦ满足关键条件pnn=1EQn【Yn】≤PNn=1Yn∈ R代表所有Q∈ Q、 4。

理论。然后再次将3应用于不同的集合C=nY∈ MΦ| PNn=1EQn【Yn】≤ 0o，导出命题4.9，该命题建立了πQ（0）和πQ（a）的对偶性，前提是指定了可执行概率向量Q。5、极大极小对偶：π（A）=minQ∈QvπQ（A）=πbQ（A），则是上述结果的简单结果（见推论4.10）。这种对偶性是证明分类器存在的关键工具（见定理4.12）。然后在定理4.17中证明了唯一性和帕累托最优性。备注4.3。请注意，在π（A）的定义中，没有提及概率向量Q。然而，π（A）的dua l公式的优化器是概率向量bq（这将是分类器中的均衡定价向量）。即使在方程（8）、（9）、（10）中，我们不需要形式为pn（·）=EQn[·]的定价函数，这种特殊的线性表达式自然会出现在对偶公式中。4.2极大极小逼近备注4.4。只是在这句话中，我们需要稍微改变一下符号：我们将最大化问题的依赖关系，在初始点上展开。为此，我们将写出πX（A）：=supNXj=1Euj公司Xj+YjY∈ 文学士∩ MΦ,πQX（A）：=supNXj=1Euj公司Xj+YjY∈ MΦ，NXj=1EQjYj公司≤ A..通过使用以下简单观察，可以将由πX（A）（和类似的由πQX（A））表示的最大化问题简化为与π·（0）相关的问题（分别为πQ·（0））：∈ RNwithPNj=1aj=A考虑πX（A）=supNXj=1Euj公司Xj+YjY∈ B∩ MΦ，NXj=1Yj≤ A.= 啜饮NXj=1EhujXj+aj+（Yj- aj）我Y∈ B∩ MΦ，NXj=1Yj公司- aj公司≤ 0= 啜饮NXj=1EhujXj+aj+Zj我Z∈ B∩ MΦ,其中，第一个等式成立，因为我们假设RN+B=B。最后一行表示原始问题，但A=0和不同的初始点。

这一事实将用于定理4.5的证明结论中。在下面的定理中，我们遵循一个极大极小过程，该过程受到了[8]中采用的技术的启发。定理4。在假设3.10下，我们有π（A）：=supY∈ 文学士∩MΦNXj=1Euj公司Xj+Yj= maxY公司∈BANXj=1Euj公司Xj+Yj（30）=最小值∈Qminλ∈R++λNXj=1EQjXj公司+ A.+NXj=1Evj公司λdQjdP. （31）（31）中的最小化问题允许一个唯一的最优值（bλ，bQ）∈ R++×Q带bq~ P（30）中的最大化问题承认了一个唯一的优化∈ BA，BYJ给定=-Xj公司- v′jbλdbQjdP！，j=1。。。，N、 （32）属于BA。此外，NXj=1EbQjhbYji=A，NXj=1EQjhbYji≤ A.Q∈ Qv。（33）证明。我们首先证明了情况A=0的结果。步骤1我们无法显示SUPB∩MΦNXj=1Euj公司Xj+Yj<NXj=1vj（0）=NXj=1uj(+∞)  十、∈ MΦ（34），以便我们能够应用定理。3，选择C：=B∩ MΦ。我们区分了两种可能的情况：PNj=1uj(+∞) = +∞ orPNj=1uj(+∞) < +∞.对于PNJ=1uj(+∞) = +∞: 观察任何Q∈ Qv（引理4.2非空）和λ>0，我们得到nxj=1Euj公司Xj+Yj≤NXj=1E（Xj+Yj）λdQjdP+NXj=1Evj公司λdQjdP≤NXj=1EXj公司λdQjdP+NXj=1Evj公司λdQjdP.我们利用了上述芬切尔不等式和Qv的定义。观察最后一行不依赖于n Y且是有限的，并使用众所周知的关系vj（0）=uj(+∞), j=1，N、 我们的结论是SUPB∩MΦNXj=1Euj公司Xj+Yj< +∞ =NXj=1vj（0）。对于PNJ=1uj(+∞) < +∞: 如果（34）中的不等式不严格，对于任何最大化序列（Ym），通过单调c收敛，mwe将具有Thanxj=1E[uj(+∞)] -NXj=1Euj公司Xj+Yjm= ENXj=1uj公司(+∞) - uj（Xj+Yjm）-→在取一个子序列之前，我们可以假设收敛也是几乎肯定的。因为所有术语sinpnj=1uj公司(+∞) - uj（Xj+Yjm）是非负的，我们还可以看到uj（Xj+Yjm）→muj公司(+∞)几乎可以肯定，对于e非常j=1，N通过效用的严格单调性，这意味着对于每个j，Yjm→m级+∞.

这显然与解释相矛盾∈ B、 步骤2我们将证明方程（30）和（31），其中贝恩位置上的上确界为最大值，因为我们将在后面的步骤（步骤4）中表明，该上确界实际上是最大值。我们观察到∩ MΦBsupB公司∩MΦNXj=1Euj公司Xj+Yj≤ supBNXj=1Euj公司Xj+Yj.此外，通过Fenchel不等式supbnxj=1Euj公司Xj+Yj≤ infλ∈R+，Q∈QλNXj=1EQjXj公司+NXj=1Evj公司λdQjdP.方程（30）和（31）遵循定理A.3，将凸锥C替换为B∩ MΦ和方程（28）表明（C）+=Q。步骤3我们证明ifbλ和Bq是方程（31）中的最优值，然后ByJ：=-Xj公司- v′jbλdbQjdP在B中定义一个元素。观察Bλ最小化函数r++ γ 7→ ψ（γ）：=NXj=1γEbQjXj公司+ E“vjγdbQjdP！#！这是实值的和凸的。我们还利用单调收敛定理和引理。2.1。通过凸性存在的右导数和左导数满足±ψdγ（γ）=NXj=1E“XjdbQjdP#+NXj=1E”v′jγdbQjdP！dbQjdP#，因此函数是可微分的。由于λ是ψ的最小值，这意味着ψ′（bλ）=0，这意味着可改为：NXj=1E“xjdbqdjdp#+E“v′jbλdbQjdP！dbQjdP#！=0，（35），即NXj=1EbQjhbYji=0。（36）现在考虑最小化q 7→NXj=1bλEQjXj公司+ Evj公司bλdQjdP对于fixedbλ和Q，在Qv中变化。设againbQ，bη：=dbQdP，为最佳值，并考虑另一个q∈ Qv，η：=dQdP。根据假设3.10，表达式pnj=1EhvjλdQjdP定义λ的所有选项。通过vjwe的凸性和可微性，可以观察到bληjv′jbλbηj≤bλbηjv′jbλbηj+ vj公司bληj- vj公司bλbηj.因此由Lemma提出。2.1. andbQ，Q∈ 我们的结论是ηjv′jbλbηj+∈ L（P）。（37）为了证明负部分也是可积的，我们取bq，Q的凸组合∈ Qv，它仍然属于Qv。

通过bη的最优性，函数x 7→ ^1（x）：=NXj=1bλEXj公司(1 - x） bηj+xηj+ Ehvjbλ(1 - x） bηj+xηj我, 0≤ x个≤ 1的最小值为0，因此0处的右导数o必须是非负的，因此：NXj=1ddx(1 - x） bλEXjbηj+ xbλEXjηj≥ -NXj=1ddxEhvj(1 - x） bλbηj+xbληji、 （38）定义Hj（x）：=vj(1 - x） bλbηj+xbληj观察x↓ 0按凸度0≤-x（Hj（x）- Hj（0））+Hj（1）- Hj（0）↑-bλv′jbλbηjηj+bλv′jbλbηjbηj+Hj（1）- Hj（0）.（39）现在用增量比率明确写出方程式（38），并加上和减去实数EhPNj=1（Hj（1）- Hj（0））ito getlimx↓0NXj=1xh公司(1 - x） bλEXjbηj+ xbλEXjηj-bλEXjbηji+E[Hj（1）- Hj（0）](40)≥ 林克斯↓0NXj=1E-x（Hj（x）- Hj（0））+Hj（1）- Hj（0）. （41）财务限额微不足道。观察到，通过（39）和单调收敛定理，我们也可以计算第二个极限，然后推导出：NXj=1bλEXj公司ηj- bηj+ E[Hj（1）- Hj（0）]≥NXj=1Eh-bλv′jbλbηjηj+bλv′jbλbηjbηj+Hj（1）- Hj（0）因此+∞ >NXj=1bλEXj公司ηj- bηj≥ ENXj=1-bλv′jbλbηjηj+bλv′jbλbηjbηj= ENXj=1bλv′jbλbηjηj--bλv′jbλbηjηj++bλv′jbλbηjbηj.SincePNj=1v′jbλbηjbηj∈ LemmaA的L（P）。2.1，且Pnj=1v′jbλbηjηj+∈ L（P）通过方程（37），我们推导出Pnj=1v′jbλbηjηj-∈ L（P）使0≤v′jbλbηjηj-≤NXj=1v′jbλbηjηj-∈ L（P）。我们得出结论，v′jbλbηjηjde在L（P）×····×L（P）中定义一个向量，hencebY∈ L（Q）×···×L（QN）Q∈ Qv。（42）此外，等式（38）可以重写为：0≤NXj=1bλEXj公司ηj- bηj+NXj=1bλEhv′jbλbηjηj- bηji、 （43）现在重新排列（43）0中的术语≤ -NXj=1bλEXjbηj+ Ehv′jbλbηjbηji+NXj=1bλEXjηj+ Ehv′jbλbηjηji和us e（35）：0≤ 0-NXj=1bλ呃-Xj公司- v′jbλbηjηji= -bλNXj=1EbYjdQjdP.这证明nxj=1EQjhbYji≤ 0Q∈ Qv（44），然后∈B、 步骤4（BY的可选性）根据我们的长期假设3.10，众所周知(-v′（y））=v（y）- yv′（y），y≥ 0

因此，我们通过直接替换uj（Xj+bYj）=uj得到-v′jbλdbQjdP！！=-bλdbQjdPv′jbλdbQjdP！+vjbλdbQjdP！andNXj=1EhujXj+bYji=bλ-NXj=1E“dbQjdPv′jbλdbQjdP#+NXj=1E“vjbλdbQjdP！#。现在使用（35）中的表达式替换第一个RHS术语：NXj=1EhujXj+bYji=bλNXj=1EbQj【Xj】+NXj=1E“vjbλdbQjdP！#。然后，在（31）中，bλ，bQ的最优性紧随其后。现在，利用我们在步骤2中的发现和b的最优性，方程（30）的证明现已完成。步骤5（通过∈ B） 根据引理4.2，存在一个Q∈ Qev：={Q∈ Qvs。t、 Q~ 从（42）我们知道v′jλdbQjdP∈ L（Qj），λ>0。此外，对于每j=1，N、 v′j（0+）=-∞, 所以QjdbQjdP=0=0、作为Q~ P，这反过来意味着PdbQjdP=0= 0，对于每j=1，NHencebQ公司~ P理论。4现在可以应用于K：=（B∩ MΦ）和Qevto get\\Q∈QevclQ公司（B）∩ MΦ）- L+（Q）=Z∈\\Q∈QevL（Q）s.t.NXj=1EQjZj公司≤ 0 Q∈ Qev公司. （45）阿斯比∈带Bis包含在（45）的RHS中，我们推断它属于（4 5）的LHS。现在通过方程式（36），我们可以看到，通过Satifiespnj=1EhbYjdbQjdPi=0，这意味着：∈ clbQ公司B∩ MΦ, （46）B的L（bQ）×···×L（bQ）-（norm）闭包∩ MΦ。尤其是abQ（因此P）-a.s.bw中元素的极限，其在概率P中是闭合的，因此∈ B、 步骤6（33）中的条件在（36）和（44）中得到证明。我们以独特性作为结论。通过效用的严格凸性和B的凸性，很明显，最大化问题由supBPNj=1E给出uj公司Xj+Yj最多允许一个最佳值。现在很明显，如果（bλ，bQ）和（eλ，eQ）是极大极小表达式（31）的最优值，那么它们都会产生两个最优值，如前面的步骤所示。原始问题解的唯一性impliesbY=eY。根据假设3.10。（a） 函数v′，v′Nare内射，因此我们得出bλdbQdP=eλdeQdP。

取期望值，我们得到bλ=eλ，然后（bλ，bQ）=（eλ，eQ）。结论使用Remark4.4可以得到更一般的情况A 6=0。我们只画出屋顶的一个步骤，其他步骤也一样。使用Remark4.4中的aas，在步骤3中，我们可以看到0≤ -bλNXj=1EbYjdQjdP+bλNXj=1aj哪个是∈ 文学士。备注4.6。请注意，Y∈ B∩ MΦ表示That Z∈ B、 其中Z由Zj定义：=Yj-xjPNk=1yk表示任意x∈ Rn使Pnj=1xj=1。要看到这一点，请记住，我们假设Rn+B=B。AsPNj=1Yj∈ R、 然后Z∈ 并且，由于也保留了平凡的可积性，并且pnj=1Zj=0，我们得出结论Z∈ B、 提案n 4。7、为了所有人∈ B∩ MΦ和Q∈ QNXj=1EQjYj公司≤NXj=1Yj。（47）此外，clQ表示B∩ MΦB的L（Q）×·L（QN）－范数闭包∩MΦ，不等式（47）适用于所有Y∈ clQ公司B∩ MΦ和Q∈ Q、 Q~ P、 特别是，（47）持有BQ~ P andbY公司∈ clbQ公司B∩ MΦ在理论4.5中定义。证据拿Y∈ B∩ MΦ和ar gue如Remark4.6所示，其中引入了符号。根据极性定义，PNj=1EZjДj≤ 0表示所有Д∈ （B）∩ MΦ），尤其是所有Q∈ 问题0≥NXj=1EZjdQjdP=NXj=1EYjdQjdP-NXj=1E“xjNXk=1Yk！dQjdP#=NXj=1EQjYj公司-NXj=1Yj。对于第二个权利要求，取序列（kn）nin B∩ MΦ几乎肯定地将Q（henceP-a.s.）和范数收敛到Y，并将（47）应用到knto getNXj=1EQjYj公司= limnNXj=1EQjkjn公司P-a.s。≤ lim信息NXj=1kjnP-a.s.=NXj=1Yj。（48）备注4.8。尤其是（47）表明 Q∈ QY∈ B∩ MΦ| NXj=1Yj≤ A.Y∈ MΦ| NXj=1EQjYj公司≤ A.因此π（A）≤ πQ（A）。4.3具有固定概率度量的效用最大化以下是与理论4.5的对应，只要先验地执行了度量。提案n 4。9、固定Q∈ Qv。