回火稳定过程驱动的指数股票模型

因为从属性X+和X-是独立的，对于p>1和θ+∈ (-∞,λ+p），θ-∈ (-∞,λ-p） p距离由（4.10）Hp（p（θ+，θ）给出-)| P） =EP“dP（θ+，θ-)数据处理p#=e-p（ψ+（θ+）+ψ-(θ-))EP公司epθ+X+EP公司epθ-十、-= 经验值- p（ψ+（θ+）+ψ-(θ-)) + ψ+（pθ+）+ψ-（pθ-)= 经验值- α+Γ(-β+）hp(λ+- θ+)β+- (λ+)β+-(λ+- pθ++β+- (λ+)β+我- α-Γ(-β-)hp（马力）(λ-- θ-)β-- (λ-)β--(λ-- pθ-)β-- (λ-)β-我.与定理4.7类似的论证表明，如果条件（4.5）成立，则存在一对（θ+，θ-) 最小化p距离（4.10），在这种情况下，我们还有θ-= Φ（θ+），其中θ+最小化函数θ7→ Hp（P（θ，Φ（θ））| P）。（4.11）具体实例的数值计算表明θp→ θ表示p↓ 1，其中，对于每个p>1，参数θpminimize（4.11），θ最小化θ7→ H（P（θ，Φ（θ））| P）。（4.12）这并不奇怪，因为众所周知，在适当的技术条件下，p-最优鞅测度收敛到p的最小熵鞅测度↓ 1，参见，例如[10、11、30、14、1、17]。5、F"ollmer-Schweizer极小鞅测度的存在性在本节中，我们讨论回火稳定股票模型中F"ollmer-Schweizer极小鞅测度的存在性。在[8]中引入了这一措施，目的是构建最优套期保值策略。通过本节，我们确定一个有限时间范围T>0，并假设λ+≥ 2、然后constantc=c（α+，α-, β+, β-, λ+, λ-, r、 q）=ψ（1）- （r）- q） ψ（2）- 2ψ（1），（5.1）定义良好。出于技术原因，我们还应假设过滤（Ft）t≥0由形式（2.3）的回火稳定过程产生。

如[22，引理7.1]所示，我们证明了贴现股票价格过程是一个特殊的半鞅。设▄S=S+M+A为其正则分解，设^Z为随机指数^Zt=E-ZocSs-dMs系统t、 t型∈ [0，T]，（5.2）其中，我们回顾了半鞅X的随机指数Y=E（X）定义的asE（X）T：=expXt公司- 十、-hXc、XciYs公司≤t（1+Xs）e-Xs，t≥ 0是随机微分方程的唯一解Dyt=Yt-dXt，Y=1，由回火稳定过程驱动的指数股票模型9参见，例如【13，定理I.4.61】。密度d^PdP：=^ZT（5.3）的（可能有符号）测度^P是所谓的F"ollmer-Schweizer最小鞅测度（简而言之，FS最小鞅测度）。5.1. 定理。以下陈述是等价的：（1）^Z是▄S的严格鞅密度。（2）^Z是严格正P鞅。（3） 我们有-1.≤ c≤ 0。（5.4）（4）我们有α+Γ(-β+)[(λ+- 1)β+- (λ+)β+](5.5)+ α-Γ(-β)[(λ-+ 1)β-- (λ-)β-] ≤ r- qandα+Γ(-β+)[(λ+- 1)β+- (λ+- 2)β+](5.6)+ α-Γ(-β)[(λ-+ 1)β-- (λ-+ 2)β-] ≤ -（r）- q） 。如果前面的条件满足，那么在FS最小鞅测度^P下，我们有（5.7）X~ TS（（c+1）α+、β+、λ+；（c+1）α-, β-, λ-)* TS(-cα+、β+、λ+- 1.-cα-, β-, λ-+ 1).证据我们只需要证明等价性（3）<=> （4） ，其余的则在证明[22，定理7.3]时进行论证。我们观察到（5.4）相当于两个条件ψ（1）≤ r- q和ψ（1）- Ψ(2) ≤ -（r）- q） ，并且，考虑到（2.4）给出的累积量生成函数，当且仅当我们有（5.5）和（5.6）时，这两个条件是完全满足的。5.2. 评论关系式（5.7）表示在^P下，驱动过程X是两个独立回火稳定过程的总和。有以下两个边界值：o在c=0的情况下，我们有x~ TS（α+，β+，λ+，α-, β-, λ-) 在^P下，即FS最小鞅测度^P与物理测度P重合。

事实上，c的定义（5.1）和引理2.2表明，P已经是S的鞅测度。在c=-1我们有X~ TS（α+，β+，λ+- 1, α-, β-, λ-+ 1） 在^P下，即FS最小鞅测度^P与Esscher变换P一致，见定理3.3。事实上，c的定义（5.1）表明方程（3.4）满足Θ=1。如【22，第7节】末尾所述，在FS最小鞅测度^P下，我们可以构造一个交易策略ξ，该策略使二次hedging误差最小化。争论转移到我们目前的情况，并伴随着一个驱动-缓和-稳定的过程。10 UWE K"UCHLER和STEFAN TAPPE6。缓和稳定股票模型中的期权定价在本节中，我们给出了欧式看涨期权的定价公式。执行测量更改后Q~ P如第3节或第4节所述，即Q=PΘ或Q=P（θ，Φ（θ））。对于适当的参数，我们可以假设驱动过程x是鞅测度下形式（2.3）的回火稳定过程。我们确定履约价格K>0，到期日T>0。然后，具有这些参数的欧洲看涨期权的价格由π=e给出-rTEQ[（ST- K） +]。首先，我们将根据ideafrom【15，第8.1节】推导出封闭形式的期权定价公式。在续集中，Fα+、β+、λ+；α-,β-,λ-表示TS（α+、β+、λ+；α-, β-, λ-)-分布函数和Fα+、β+、λ+；α-,β-,λ-:= 1.- Fα+、β+、λ+；α-,β-,λ-.6.1. 提议假设λ+>1。然后，看涨期权的价格为（6.1）π=Se（ψ（1）-r） T'Fα+T，β+，λ+-1.α-T、 β-,λ-+1（ln（K/S））- e-rTK'Fα+T，β+，λ+；α-,β-T、 λ-（ln（K/S））。证据通过定义似然过程（3.1），我们得到π=e-rTEQ[（ST- K） +]=e-rTEQ[（SeXT- K） +]=Se-rTEQ[外部{XT≥ln（K/S）}]- e-rTKQ（XT≥ ln（K/S））=东南-rTEQ“eXT{XT≥ln（K/S）}dQdQ英尺#- e-rTKQ（XT≥ ln（K/S））=东南-rTeψ（1）TQ（XT）≥ ln（K/S））- e-rTKQ（XT≥ ln（K/S）），根据引理3.2，提供了公式（6.1）。6.2. 评论

请注意，应用期权定价公式（6.1）需要了解回火稳定分布的密度，通常在闭合形式下不可用。因此，我们将转向以下基于傅立叶变换技术的期权定价公式（6.2）。然而，我们注意到公式（6.1）也适用于双侧伽马射线情况β+=β-= 0，其密度根据Whittaker函数给出，见【20，第4节】。在续集中，我们将使用以下基于傅立叶变换技术的期权定价公式（6.2）。设X是形式（2.3）的回火稳定过程，在P，设Q下~ P是第3、4或5节中所述的鞅测度，即Q=PΘ，Q=P（θ，Φ（θ））或Q=^P，并用νxtx表示鞅测度Q.6.3下x的特征函数。提议我们假设oλ+>1，如果Q下有（2.3）。在这种情况下，让ν∈ （1，λ+）可以是任意的。oλ+>2，如果Q下有（5.7）。在这种情况下，让ν∈ (1, λ+- 1） 熊宝宝。那么看涨期权的价格由π=-e-rTK2πZiν+∞iν-∞堪萨斯州izИXT(-z） z（z- i） dz。（6.2）回火稳定过程驱动的指数股票模型11证明。股票价格由t=Sexp给出（r）- q） t+~Xt, t型≥ 0，其中▄X表示由▄Xt=Xt给出的Lévy过程- （r）- q） t代表t≥ 此外，Payoff函数的傅里叶变换w（x）=（ex- K） +由^w（z）=-Kiz+1z（z- i） ，z∈ 当Im z>1时，见【24】中的表3.1。此外，特征函数（2.2）在行程{z）上是解析的∈ C：Im z∈ (-λ+, λ-)} 通过幂函数z 7的解析性→ zβ在β的复对数的主支上∈ (0, 1).

通过我们对λ+的参数限制，并可能考虑到（5.7），我们推断出在{z形式的条带上进行分析∈ C：Im z∈ （a，b）}带<-1和b>0。因此，[24，定理3.2]适用，并为我们提供了看涨期权价格π=e-rT2πZiν+∞iν-∞e-iz（ln S+（r-q） T）ИXT(-z） ^w（z）dz=-e-rT2πZiν+∞iν-∞S-尺寸-iz（r-q） TхXT(-z） eiz（r-q） TKiz+1z（z- i） dz=-e-rTK2πZiν+∞iν-∞堪萨斯州izИXT(-z） z（z- i） dz，证明（6.2）。6.4. 评论命题6.3不适用于边界情况λ+=1（或λ+=2），尽管在这种情况下Q可能是鞅测度，参见引理2.2。关键在于，在这种情况下，特征函数ДXTis notanalysis on a strip of The form{z∈ C：Im z∈ （a，b）}带<-1和b>0，因此，[24]中的期权定价公式不适用。6.5. 评论期权定价公式（6.2）也可以从【5，第3.1节】中推导出来。考虑到特征函数（2.2）和关系（2.5），应用命题6.3得出以下定价公式：o对任意ν执行第3节中的Esscher变换∈(1, λ+- Θ）我们得到（6.3）π=-e-rTK2πZiν+∞iν-∞堪萨斯州izexp公司α+TΓ(-β+)(λ+- Θ+iz）β+- (λ+- Θ)β++ α-TΓ(-β-)(λ-+ Θ - iz）β-- (λ-+ Θ)β-z（z- i） dz.o对任意ν执行第4节中的双边Esscher变换∈ (1, λ+- θ） 我们得到（6.4）π=-e-rTK2πZiν+∞iν-∞堪萨斯州izexp公司α+TΓ(-β+)(λ+- θ+iz）β+- (λ+- θ)β++ α-TΓ(-β-)(λ-- Φ(θ) - iz）β-- (λ-- Φ(θ))β-z（z- i） dz。12 UWE K"UCHLER和STEFAN TAPPEo根据第5节中的FS最小鞅测度对任意ν进行期权定价∈ (1, λ+- 1） 我们得到（6.5）π=-e-rTK2πZiν+∞iν-∞堪萨斯州izexp公司（c+1）α+TΓ(-β+)（λ++iz）β+- (λ+)β++ （c+1）α-TΓ(-β-)(λ-- iz）β-- (λ-)β-- cα+TΓ(-β+)(λ+- 1+iz）β+- (λ+- 1)β+- cα-TΓ(-β-)(λ-+ 1.- iz）β-- (λ-+ 1)β-z（z- i） dz，其中常数c由（5.1）给出。7.

案例研究为了说明我们之前的结果，我们将在本节中进行案例研究。图1显示了2011年1月3日至2012年12月28日期间德国股票指数DAX的历史值以及相应的对数回报。这些数据位于http://www.finanzen.net/index/DAX/Historisch.0 100 200 300 400 5005000 5500 6000 6500 7000 75000 100 200 300 400 500-0.06-0.04-0.02 0.00 0.02 0.04图1。左图显示了2011年1月3日至2012年12月28日期间德国股票指数DAX的数值。右图显示了相应的日志返回。在续集中，时间t以交易日为单位。该数据集由510个观测值组成，相当于两年。下图2显示了日志返回的柱状图。为了通过矩量法从这些历史数据中估计参数，我们确定了高达4阶的经验矩，其由m=1.717·10给出-4，（7.1）m=2.338·10-4，（7.2）米=-6.363 · 10-7，（7.3）m=2.716·10-7.（7.4）然后用驱动维纳过程X~ N（u，σ）估计为u=1.717·10-4和σ=1.529·10-2.（7.5）填充密度如图2左图所示。已经在多个案例研究中证明，Black Scholesmodel不能很好地提供观察到的财务数据对数回报，这一点也显示在这里。因此，我们考虑由回火稳定过程13驱动的指数股票模型的回火稳定过程X-0.06-0.04-0.02 0.00 0.02 0.04 0.060 10 20 30 40-0.06-0.04-0.02 0.00 0.02 0.04 0.060 10 20 30 40图2。对数回归直方图以及左图中的正态分布和右图中的回火稳定分布。(2.3). 回想一下，对于β+=β-= 0我们将有一个双边伽马过程。

通过选择β：=β+=β，我们可以稍微偏离这种情况-= 0.1.（7.6）为了通过矩量法估计剩余参数，我们必须求解方程组α+(λ-)1.-β- α-(λ+)1-β- c（λ+）1-β(λ-)1.-β= 0α+(λ-)2.-β+ α-(λ+)2-β- c（λ+）2-β(λ-)2.-β= 0α+(λ-)3.-β- α-(λ+)3-β- c（λ+）3-β(λ-)3.-β= 0α+(λ-)4.-β+ α-(λ+)4-β- c（λ+）4-β(λ-)4.-β=0，（7.7），其中c，c，c，由c=m/Γ（1）给出的护理- β） ，c=（m- m） /Γ（2- β） ，c=（m- 3mm+2m）/Γ（3- β） ，c=（m- 4毫米- 3m+12mm- 6m）/Γ（4）- β） ，请参见【23，第6节】了解更多详细信息。（7.7）的解由α+=1.0260，α给出-= 0.8506, λ+= 122.58, λ-= 100.86.（7.8）图2中的右图显示了合适的回火稳定密度。回想一下，回火稳定分布的密度通常不是封闭形式。对于图2中的右图，我们使用了反演公式f（x）=2πZRexp- ixz+α+Γ(-β+)(λ+- iz）β+- (λ+)β++ α-Γ(-β-)（λ++iz）β-- (λ-)β-dz，它来自（2.2）和[31，引理28.5，命题2.5.xii]。在续篇中，我们假设在真实世界的概率测度P下，过程X是一个形式为（2.3）的回火稳定过程，带有（7.6）和估计参数（7.8）。由于时间t是以交易日计量的，因此利率rdenotes为日利率。我们假设它由r=0.01/255给出，对应于1%的年化利率Ra。此外，我们假设q=0，即股票不支付股息。基于这些数据，我们将说明第3–5节中关于等价鞅测度存在性的结果。14 UWE K"UCHLER和STEFAN TAPPE-2-1.5-1-0.5 0.0-1e级-04 0e+00 1e-04 2e-04 3e-04-2-1.5-1-0.5 0.00.0 0.5 1.0 1.5 2.0图3。左图显示了第3节中的函数f以及利率r，如虚线所示。

右图显示Φ图和Θ7图→ -Θ为虚线。首先，我们考虑第3节中的Esscher鞅测度。图3中的左图显示了函数f：[-λ-, λ+- 1] → 间隔上的R[-2，0]，连同利率r作为虚线。如图所示，条件（3.3）已满，方程（3.4）的解由Θ=-1.0659.（7.9）因此，Esscher鞅测度PΘ存在。或者，这可以通过检查图3中的右图来发现，图3显示了间隔上命题4.4的函数Φ[-2，0]，以及Θ7的图形→ -Θ为虚线。Φ图表示保留回火稳定过程类的所有鞅测度P（θ，Φ（θ）），虚线表示Allescher变换PΘ=P（Θ，-Θ). 因此，交点对应于刚刚确定的Esscher鞅测度PΘ。-2-1.5-1-0.50.00014 0.00016 0.00018 0.00020-2-1.5-1-0.51.00030 1.00035 1.00040图4。左图显示了间隔上的相对熵[-2，0]，其中x轴为θ，y轴为H（P（θ，Φ（θ））| P）。右图显示间隔上的2个距离[-2，0]，其中x轴为θ，y轴为H（P（θ，Φ（θ））| P）。接下来，我们讨论第4节中最小双边Esscher鞅测度的存在性。

图4中的左图显示了相对熵θ7→区间上的H（P（θ，Φ（θ））| P）[-2, 0]; 它表明，对于θ=-1.0760.（7.10）回火稳定过程驱动的指数股票模型15图4中的右图显示了2个距离θ7→ 区间上的H（P（θ，Φ（θ））| P）[-2, 0]; 结果表明，对于θ=-1.0868.(7.11)0.00 0.05 0.10 0.15 0.20-2-1.5-1-0.5 0.0 0.5 1.0图5。功能ra7→ c（ra）根据区间[0，0.2]上的（7.12）定义，其中x轴是年化利率ra。阴影区域表示存在Ffs最小鞅测度的Ra值。最后，我们讨论了第5节中FS最小鞅测度的存在性。为此，考虑年化利率将非常有用。图5显示了功能ra7→ c（α+，α-, β+, β-, λ+, λ-, ra/255，q）（7.12）根据（5.1）定义，在区间[0，0.2]上变化年化利率ra。根据定理5.1，FS最小鞅测度存在且仅当-1.≤ c≤ 0，即c的值属于图5中的阴影区域。我们发现FS极小鞅测度存在的充要条件是0.0736≤ ra公司≤ 0.1330，即年利率在7.36%-13.30%之间。特别是，在年利率为1%的模型中，不存在FSminimal鞅测度。在续集中，我们将说明第6节有关期权定价公式的结果。图6中的左图显示了欧洲看涨期权的价格，当前股价S=7500，到期日T=2，履约价格K从7000到8000不等。

我们使用最小熵鞅测度计算了这些价格，即使用公式（6.4），其中θ=θ由（7.10）给出，模型参数由（7.6）和（7.8）给出。图6中的右图显示了这些价格与相应的Black-Scholes价格之间的差异。图7显示了隐含波动率曲面，当前股价S=7500，到期日T在2到10之间变化，履约价格K在7000到8000之间变化。对于该过程，我们使用最小熵鞅测度计算期权价格，即使用公式（6.4），其中θ=θ由（7.10）给出，模型参数由（7.6）和（7.8）给出，并将Black-Scholes公式转换为标准偏差σ。我们观察到T=2的波动性模型，其在更长的到期时间内衰减，并收敛到Black-Scholes模型的标准偏差σ，我们在（7.5）中估计了该偏差。16 UWE K"UCHLER和STEFAN TAPPE7000 7200 7400 7600 7800 80000 100 200 300 400 500 7000 7200 7400 7600 7800 8000-2.-1 0 1图6。左图显示了S=7500、T=2和K的欧洲看涨期权的价格∈ [7000，8000]，其中x轴是履约价格K，使用最小熵鞅测度计算。右图显示了这些价格减去相应的布莱克-斯科尔斯价格。对于T=10，图7所示的隐含波动率曲线的行为几乎类似于恒常函数，其等于（7.5）中估计的σ；这种流动行为在成熟期T较长的情况下不会发生变化。