回火稳定过程驱动的指数股票模型

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英文标题：
《Exponential stock models driven by tempered stable processes》
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作者：
Uwe K\\\"uchler and Stefan Tappe
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We investigate exponential stock models driven by tempered stable processes, which constitute a rich family of purely discontinuous L\\\'{e}vy processes. With a view of option pricing, we provide a systematic analysis of the existence of equivalent martingale measures, under which the model remains analytically tractable. This includes the existence of Esscher martingale measures and martingale measures having minimal distance to the physical probability measure. Moreover, we provide pricing formulae for European call options and perform a case study.
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中文摘要：
我们研究了由回火稳定过程驱动的指数股票模型，它构成了一个丰富的纯间断L{e}vy过程族。从期权定价的角度出发，我们系统地分析了等价鞅测度的存在性，在此条件下，模型仍然是可分析的。这包括Esscher鞅测度和与物理概率测度有最小距离的鞅测度的存在性。此外，我们还提供了欧式看涨期权的定价公式，并进行了案例研究。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Exponential_stock_models_driven_by_tempered_stable_processes.pdf (754.92 KB)

2022-6-24 08:35:39 上传

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关键词：Mathematical Quantitative Differential Applications Probability

由回火稳定过程驱动的指数股票模型Uwe K"UCHLER和STEFAN Tappeastract。我们研究了由回火稳定过程驱动的指数股票模型，它构成了一个丰富的纯间断Lévy过程族。从期权定价的角度出发，我们系统地分析了等价鞅测度的存在性，在此条件下，模型仍然是可分析的。这包括Esscher鞅测度和与物理概率测度有最小距离的鞅测度的存在性。此外，我们还提供了欧式看涨期权的定价公式，并进行了案例研究。简介回火稳定分布形成了一类分布，吸引了概率论和金融数学研究人员的兴趣。他们在[18]中首次引入，其中相关的列维过程被称为“截断列维荧光”，并已被几位作者推广。回火稳定分布形成了一个六参数的不完全可分分布族，涵盖了方差伽马分布【26，25】、双边伽马分布【20，21】和CGMY分布【6】等几个著名的子类。研究了回火稳定分布的性质，例如，在[29、33、32、3]和[23]中，本文的一些结果已经公布。对于财务建模，它们已经被应用，例如，在[4、7、27、16、2]中，也可参见最近的教科书[28]。本文的目的是系统地分析由回火稳定过程驱动的指数股票价格模型的等价鞅测度的存在性，在该模型下，期权价格的计算仍然是分析可处理的。

特别是，我们对鞅测度感兴趣，在鞅测度下，驱动过程仍然是一个缓和的稳定过程，或者至少是一个特征函数明确已知的Lévy过程。感兴趣的等价鞅测度是Esscher鞅测度和双边Lesscher鞅测度，它们在某种意义上使到原始概率测度的距离最小化，例如最小熵鞅测度或p-最优鞅测度，在这些鞅测度下，驱动过程仍然是一个缓和的稳定过程。我们将详细研究这些鞅测度的存在性。此外，我们将处理F"ollmer-Schweizer最小鞅测度。在存在的情况下，驱动过程是该测度下两个独立回火稳定过程的总和，因此模型在分析上是可处理的。对于上述所有鞅测度，我们将推导出期权定价公式。此外，我们将通过案例研究来说明我们的发现。本文的其余部分组织如下：在第2节中，我们介绍股票模型。之后，在第3节中，我们将研究Esscher变换，在第4节中，我们将研究2010年数学主题分类。60G51、91G20。关键词和短语。指数股票模型，缓和稳定过程，双边Esschertransform，期权定价。2 UWE K"UCHLER和STEFAN Tappest研究了双边Esscher变换，在第5节中，我们讨论了F"ollmer-Schweizer最小鞅测度。第6节介绍了期权定价公式，第7节提供了案例研究。2、回火稳定过程驱动的股价模型在本节中，我们将介绍股价模型，并回顾回火稳定过程的一些结果。

关于我们在本节中回顾的关于阻尼稳定过程的所有结果，请读者参考[23]。让(Ohm, F、 （Ft）t≥0，P）是满足通常条件的过滤概率空间。We fix参数α+、λ+、α-, λ-∈ (0, ∞) 和β+，β-∈ (0, 1). （R，B（R））上的独立分布η称为回火稳定分布，表示η=TS（α+，β+，λ+；α-, β-, λ-),如果其特征函数由Д（z）=exp给出锆eizx公司- 1.F（dx）, z∈ rLévy度量F isF（dx）的位置=α+x1+β+e-λ+x（0，∞)（x） +α-|x | 1+β-e-λ-|x个|(-∞,0）（x）dx。(2.1)2.1. 评论在[22]中，我们研究了由双边伽玛过程驱动的指数股票模型，这将在β+=β时发生-= 我们可以将η的特征函数表示为（2.2）Д（z）=expα+Γ(-β+)(λ+- iz）β+- (λ+)β++ α-Γ(-β-)(λ-+ iz）β-- (λ-)β-, z∈ R、 其中幂来自于复对数的主分支。我们将与η相关的Lévy过程X称为回火稳定过程，并将其称为writeX~ TS（α+，β+，λ+；α-, β-, λ-).（2.3）累积量母函数ψ（z）=ln EP[ezX]存在于[-λ-, λ+]由（2.4）ψ（z）=α+Γ给出(-β+)(λ+- z） β+- (λ+)β++ α-Γ(-β-)(λ-+ z） β-- (λ-)β-, z∈ [-λ-, λ+].X的所有增量都有回火稳定分布，更精确- Xs型~ TS（α+（t- s） ，β+，λ+；α-（t- s） ，β-, λ-) 对于0≤ s<t.（2.5）回火稳定库存模型是一种指数Lévy模型St=SeXtBt=ert（2.6），其中X表示回火稳定过程，S是具有确定性初值S>0和股息率q的股息支付股票≥ 此外，B是利率为r的银行账户≥ 0

在下面的内容中，我们假设r≥ q≥ 0、等效概率测度Q~ P是局部鞅测度（简而言之，鞅测度），如果贴现股票价格过程St：=e-（r）-q） tSt=SeXt-（r）-q） t，t≥ 由回火稳定过程驱动的0（2.7）指数股票模型3是局部Q鞅。鞅测度Q的存在性~ P确保股票市场没有套利，且欧式期权的价格Φ（ST），其中T>0是到期时间，Φ：R→ R支付函数由π=e给出-rTEQ[Φ（ST）]。2.2. 引理。以下陈述是正确的：（1）如果λ+≥ 1，则P是鞅测度当且仅当α+Γ(-β+)(λ+- 1)β+- (λ+)β++ α-Γ(-β-)(λ-+ 1)β-- (λ-)β-= r- q、 （2.8）（2）如果λ+<1，则P永远不是鞅测度。证据根据[22，引理2.6]，当且仅当ifEP[eX]=1时，测度P是鞅测度，因此，通过考虑（2.4）得出结论。3.Esscher鞅测度的存在性在本节中，我们研究了[9]中首创的Esscher变换。在本节中，设X为形式（2.3）的回火稳定过程。3.1. 定义。LetΘ∈ (-λ-, λ+）可以是任意的。Esscher变换PΘ定义为局部等效概率测度，似然过程∧t（PΘ，P）：=dPΘdPFt=eΘXt-ψ（Θ）t，t≥ 0（3.1），其中ψ表示（2.4）给出的累积量生成函数。3.2. 引理。每Θ∈ (-λ-, λ+，我们有x~ TS（α+，β+，λ+- Θ; α-, β-, λ-+ Θ）在PΘ下。证据这源于[19]中的命题2.1.3和示例2.1.4。我们定义了函数f：[-λ-, λ+- 1] → R asf（Θ）：=f+（Θ）+f-（Θ），其中我们有setf+（Θ）：=α+Γ(-β+)(λ+- Θ - 1)β+- (λ+- Θ)β+,f-(Θ) := α-Γ(-β-)(λ-+ Θ + 1)β-- (λ-+ Θ)β-.3.3. 定理。

以下陈述是正确的：（1）存在Θ∈ (-λ-, λ+，使得PΘ是鞅测度当且仅当λ++λ-> 1（3.2）和r- q∈ （f）(-λ-), f（λ+- 1)].（3.3）（2）条件（3.3）相当于α+Γ(-β+)(λ++ λ-- 1)β+- (λ++ λ-)β++ α-Γ(-β-)< r- q≤ -α+Γ(-β+) + α-Γ(-β-)(λ++ λ-)β-- (λ++ λ-- 1)β-.（3） 如果满足条件（3.2）和（3.3），则Θ是唯一的，属于区间(-λ-, λ+- 1] ，它是方程f（Θ）=r的唯一解- q、 （3.4）4 UWE K"UCHLER和STEFAN TAPPEProof。LetΘ∈ (-λ-, λ+）可以是任意的。根据引理3.2和2.2，概率测度PΘ是鞅测度当且仅当λ+- Θ ≥ 1，即Θ∈ (-λ-, λ+- 1] ，和（3.4）已满。请注意(-λ-, λ+- 1] 6=  如果且仅满足函数f+和f（3.2）的要求-我们得到导数（f+）（Θ）=-α+β+Γ(-β+)(λ+- Θ - 1)β+-1.- (λ+- Θ)β+-1.,（f）-)(Θ) = -α-β-Γ(-β-)(λ-+ Θ)β--1.- (λ-+ Θ + 1)β--1.对于Θ∈ (-λ-, λ+- 1]. 注意到β+，β-∈ （0，1），我们看到（f+，（f-)> 间隔0(-λ-, λ+- 1]. 因此，f在(-λ-, λ+- 1] ，完成了证明。3.4. 评论与当前情况相反，对于双边伽马股票模型（β+=β-= 0）仅条件（3.2）就足以证明Anescher鞅测度的存在，参见【22，备注4.4】。4、最小距离测度的存在性保持了一类回火稳定过程在文献中，人们通常通过找到一个等价的鞅测度Q来进行期权定价~ 对于某些严格凸函数g：（0，∞) → R、 下面是函数g的常用选择：o对于g（x）=x lnx，我们称Q为最小熵鞅测度对于g（x）=xp且p>1，我们称Q为p-最优鞅测度对于p=2，我们称Q为方差最优鞅测度。我们参考【22，第5节】了解更多备注和相关文献。

虽然在回火稳定股票模型中不存在公共等价鞅测度（参见[1，示例2.7]），但我们得到了以下关于最小熵鞅测度存在性的结果：4.1。定理。以下陈述是正确的：（1）如果λ+<1，则存在最小熵鞅测度。（2） 如果λ+≥ 1，则存在最小熵测度当且仅当α+Γ(-β+)(λ+- 1)β+- (λ+)β++ α-Γ(-β-)(λ-+ 1)β-- (λ-)β-≥ r- q、 该结果已在[22，备注5.4]中指出，随后将[22，定理5.3]证明的参数调整为当前情况，其中股票模型由回火稳定过程驱动。在本节中，我们将通过执行双边Esscher变换来最小化回火稳定过程类别内的相对熵yh（Q | P）：=EP[λ（Q，P）ln∧（Q，P）]=EQ[ln∧（Q，P）]。设X为形式（2.3）的回火稳定过程。我们分解温度稳定过程X=X+- 十、-作为两个独立从属的差异。它们各自的累积量生成函数由ψ+（z）=α+Γ给出(-β+)(λ+- z） β+- (λ+)β+, z∈ (-∞, λ+],(4.1)Ψ-（z） =α-Γ(-β-)(λ-- z） β-- (λ-)β-, z∈ (-∞, λ-],（4.2）见【23】。注意，ψ（z）=ψ+（z）+ψ-(-z） 对于z∈ [-λ-, λ+].由回火稳定过程驱动的指数股票模型54.2。定义。Letθ+∈ (-∞, λ+、θ-∈ (-∞, λ-) 要专横。双边lesscher变换P（θ+，θ-)定义为似然过程∧t（P（θ+，θ-), P） ：=dP（θ+，θ-)数据处理Ft=eθ+X+t-ψ+（θ+）t·eθ-十、-t型-Ψ-(θ-)t、 t型≥ 注意，第3节中的Esscher变换PΘ是Justin引入的双边Esscher变换P（θ+，θ）的特例-). 实际上，我们有PΘ=P（Θ，-Θ), Θ ∈ (-λ-, λ+).(4.3)4.3. 引理。对于所有θ+∈ (-∞, λ+、θ-∈ (-∞, λ-) 我们有~ TS（α+，β+，λ+- θ+; α-, β-, λ-- θ-)在P（θ+，θ）下-).证据

这源于[19]中的命题2.1.3和示例2.1.4。4.4. 提议以下陈述是正确的：（1）如果我们-α+Γ(-β+) ≤ r- q、 （4.4）则无对（θ+，θ-) ∈ (-∞, λ+) × (-∞, λ-) 有P（θ+，θ-)存在鞅测度。（2） 如果我们有-α+Γ(-β+>r- q、 （4.5）则存在-∞ ≤ θ+< θ+≤ λ+- 1和连续、严格递增的双射函数Φ：（θ+，θ+）→ (-∞, λ-) 这样：o对于所有θ+∈ （θ+，θ+）存在唯一的θ-∈ (-∞, λ-) 带P（θ+，θ-)是鞅测度，由θ给出-= Φ(θ+).o 对于所有θ+∈ (-∞, λ+\\（θ+，θ+）无θ-∈ (-∞, λ-) 有P（θ+，θ-)存在鞅测度。证据我们介绍函数f+：(-∞, λ+- 1] → R和f-: (-∞, λ-] → Rasf+（θ+）：=α+Γ(-β+)(λ+- θ+- 1)β+- (λ+- θ+)β+,f-(θ-) := α-Γ(-β-)(λ-- θ-+ 1)β-- (λ-- θ-)β-.通过引理2.2和4.3，度量P（θ+，θ-)是鞅测度当且仅当θ+∈ (-∞, λ+- 1] andf+（θ+）+f-(θ-) = r- q、 （4.6）函数f+连续且严格递增(-∞, λ+- 1] withlimθ+→-∞f+（θ+）=0和f+（λ+- 1) = -α+Γ(-β+) > 0.函数f-是连续且严格递减的(-∞, λ-] withlimθ-→-∞f-(θ-) = 0和f-(λ-) = α-Γ(-β-) < 0.6 UWE K"UCHLER和STEFAN Tappethere之前，如果我们有（4.4），那么对于无对（θ+，θ-) ∈ (-∞, λ+- 1] × (-∞, λ-)方程（4.6）满足。如果我们有（4.5），那么让-∞ ≤ θ+< θ+≤ λ+- 1.方程的唯一解SF+（θ+）=r- q、 f+（θ+）=r- q- α-Γ(-β-),使用约定θ+=-∞, 如果r- q=0，θ+=λ+- 1，如果r- q- α-Γ(-β-) > -α+Γ(-β+，定义Φ（θ+）=（f-)-1（右- q- f+（θ+），θ+∈ (θ+, θ+).（4.7）那么Φ是连续的，并且严格地随着Φ（（θ+，θ+）=(-∞, λ-), 完成证明。4.5. 评论

命题4.4的证明表明，情况θ+=-∞当且仅当r=q且情况θ+=λ时发生+- 当且仅当ifr时发生1- q≤ -α+Γ(-β+) + α-Γ(-β-).所有保持回火稳定过程类的等价测度变换都是双边Esscher变换；这源自【23，命题8.1】，另请参见【7，示例9.1】。因此，我们引入参数集smp：={（θ+，θ-) ∈ (-∞, λ+) × (-∞, λ-) | P（θ+，θ-)是鞅测度}，因此双边Esscher变换是鞅测度。前面的命题4.4告诉我们，对于（4.4），我们有MP=, 对于（4.5），我们有mp={（θ，Φ（θ））∈ R |θ∈ (θ+, θ+)}.（4.8）此外，我们注意到，对于r=q.4.6，条件（4.5）总是满的。引理。对于所有（θ+，θ-) ∈ (-∞, λ+) × (-∞, λ-) 我们有h（P（θ+，θ-)| P） =-α+Γ(-β+)λ+β+(λ+- θ+)β+-1+ (1 - β+)(λ+- θ+)β+- (λ+)β+- α-Γ(-β-)λ-β-(λ-- θ-)β--1+ (1 - β-)(λ-- θ-)β-- (λ-)β-.证据双边Esscher变换的相对熵由h（P（θ+，θ）给出-)| P） =EP（θ+，θ-)[ln∧（P（θ+，θ-), P） ]=EP（θ+，θ-)[θ+X+- ψ+（θ+）+EP（θ+，θ-)[θ-十、-- Ψ-(θ-)].回火稳定过程驱动的指数股票模型7利用引理4.3和[23，备注2.7]我们得到了EP（θ+，θ-)[θ+X+- Ψ+(θ+)]= θ+Γ(1 - β+)α+(λ+- θ+)1-β+- α+Γ(-β+（λ）+- θ+)β+- （λ+）β+i=-α+Γ(-β+)θ+β+(λ+- θ+)1-β++ (λ+- θ+)β+- (λ+)β+= -α+Γ(-β+)(β+θ++ λ+- θ+)(λ+- θ+)β+-1.- (λ+)β+= -α+Γ(-β+)λ+β++ (1 - β+)(λ+- θ+)(λ+- θ+)β+-1.- (λ+)β+= -α+Γ(-β+)λ+β+(λ+- θ+)β+-1+ (1 - β+)(λ+- θ+)β+- (λ+)β+.EP（θ+，θ）的类似计算-)[θ-十、-- Ψ-(θ-)] 完成证明。4.7. 定理。以下陈述是正确的：（1）如果（4.4）满足，则我们有MP=.（2） 如果满足（4.5），则存在θ+∈ (-∞, λ+、θ-∈ (-∞, λ-)使得h（P（θ+，θ-)| P） =最小值（θ+，θ-)∈英里/小时（P（θ+，θ-)| P） 。（4.9）证明。如果（4.4）满足要求，则根据命题4.4，我们得到MP=.

现在，假设（4.5）满足，让Φ：（θ+，θ+）→ (-∞, λ-) 是命题4.4中的函数。设f：（θ+，θ+）→ R是函数f（θ）：=-α+Γ(-β+)λ+β+(λ+- θ)β+-1+ (1 - β+)(λ+- θ)β+- (λ+)β+- α-Γ(-β-)λ-β-(λ-- Φ(θ))β--1+ (1 - β-)(λ-- Φ(θ))β-- (λ-)β-.根据命题4.4和引理4.6，对于每个θ∈ （θ+，θ+）测度P（θ，Φ（θ））是阿马丁格尔测度，我们有H（P（θ，Φ（θ））| P）=f（θ）。函数Φ随limθ严格递增↓θ+Φ(θ) = -∞ 和limθ↑θ+Φ(θ) = λ-,这就得到了uslimθ↓θ+f（θ）=∞ 和limθ↑θ+f（θ）=∞.因为f是连续的，所以它达到了一个最小值，断言如下。4.8. 评论与双边伽马股票模型相比，MP=, i、 e.不存在等价鞅测度，在该鞅测度下X保持一个阻尼稳定过程。此外，与双边伽马股票模型相比，函数Φ来自命题4.4，在（4.7）中通过f的倒数定义-, 似乎没有以封闭形式提供，参见【22，备注6.7】。接下来，我们考虑p-distancesHp（Q | p）：=EP“dQdPp#对于p>1。如本节开头所述，对于回火稳定股票模型，P最优鞅测度不存在。然而，我们可以根据最小熵鞅测度，确定这类回火稳定过程的p-最优鞅测度。为此，我们计算了双边Esscher变换的8 UWE K"UCHLER和STEFAN-TAPPEp距离。