历史市场数据的分布——松弛和相关性

不幸的是，多日实现与随机性之间的关系请注意，多日实现方差，即为股票收益的多日累积计算的方差，不同于与已实现波动率相关的已实现方差，后者是通过增加每日已实现方差来计算的【14】。根据（11），方差是复杂的，在存在两个时间序列tandγ的情况下，确定对τ的依赖性也是复杂的。因此，根据（15），我们推测多日实现方差的相关函数用纯指数corr[dxtxt+τ]表示≈ e-γτ. 我们用ae安装了corr[dxtxt+τ]w-γτ表示多日&P回报（DJIA非常相似），并在表A中总结了我们的经验发现，包括统计数据。2在图A.5中，我们显示了γ本身的指数fit作为累积天数的函数。图A.6中，湿表A.2：拟合结果Aγr7 0.57 0.09 0.7114 0.80 0.11 0.7521 0.95 0.10 0.7828 0.97 0.08 0.8035 0.96 0.06 0.8442 0.96 0.05 0.8749 0.98 0.045 0.8956 0.99 0.041 0.9063 0.99 0.035 0.9270 0.99 0.031 0.9377 1.00 0.028 0.9384 1.00 0.024 0.9491 1.00.020 0.9498 1.00 0.019 0.95105 1.00 0.018 0.95112 1.00 0.018 0.96119 1.00 0.017 0.96126 1.00 0.017 0.97133 1.00 0.016 0.97140 1.000.015 0.98147 1.00 0.014 0.98154 1.00 0.013 0.98161 1.00 0.012 0.98168 1.00 0.012 0.98175 1.00 0.012 0.97182 1.00 0.012 0.97189 1.00 0.012 0.98196 1.00 0.012 0.98显示样品ae-累积21、28、105、112、189和196天的γτ，参数值来自表A.2。目前，我们对我们的经验发现没有合理的解释。附录B.赫斯顿（Cox-Ingersoll-Ross）模型中的相关性和松弛度附录B.1。福克-普朗克方程的本征值解我们之前研究了乘法模型中的相关性和r衰减[6]。在这里，我们将对Heston（Cox-Ingersoll-Ross）模型应用相同的方法。

为了与[6]中的符号保持一致，我们将VT替换为x（不要与股票收益率混淆），降低过度波动指数，并将模型写为DX=-γ（x- θ） dt+κ√xdW（B.1）显然，通过重新缩放x/θ→ x和κ√θ → κ、 这个方程可以化简为t，单位为meandx=-γ（x- 1） dt+κ√xdW（B.2）0 50 100 150 200dt0.020.040.060.080.10.12图A.5：A+（B- a） 经验值-λtγ的测试值为累积的函数天数，从月收益率（21天）开始，a=0.0128，b=0。182，λ=0.0335，r=0.9926。然而，现在我们将继续（B.1）。该过程的福克-普朗克方程如下所示：P（x，t）t=γ（十）- θ）P（x，t）x+κxP（x，t）x（B.3）为了找到相关性和再松弛，我们使用特征值方法【2】来解决它。也就是说，我们可以看到以下形式的k解：P（x，t）=P（x）+P（λ；x）e-λt（B.4），其中λ>0且P（x）是（B.1）P（x）=e的Ga稳态分布-2γxκ（2γxκ）2γθκ-1κ2γΓ（2γθκ），2γθκ>1（B.5），其中后者确保P（0）=0。P（λ；x）e-λt描述到稳态的弛豫，我们还应该有P（λ；0）=0将（B.4）替换为（B.3）得到κ（xP（λ；x））′+γ（（x- θ） P（λ；x））′+λP（λ；x）=0（B.6），其中有两个解P（λ；x）∝ e-2xγκU（1-2γθκ-λγ, 2 -2γθκ，2xγκ）（B.7）和p（λ；x）∝ e-2xγκL（1-2γθκ)(2γθκ+λγ-1） （2xγκ）（B.8），其中U是Tricomi的反超几何函数，L是拉盖尔多项式函数。条件P（λ；0）=0不能被P（λ；x）满足，对于P（λ；x），它导致λ的量化，λn=nγ，其中n>0是一个整数。

因此，（B.6）的本征函数由p（λn；x）给出≡ Pn（x）∝ e-2xγκU（1-2γθκ- n、 2-2γθκ，2xγκ），λn=nγ（B.9）0 50 100 150 200 250 300 3500.20.40.60.80 10 20 30 40 500.20.40.60.80 50 150 200 250 300 3500.20.40.60.80 10 20 30 40 500.20.40.60.80 50 100 200 200 250 300 3500.20.40.60.80 10 20 40 500.20.60.80 50 100 150 200 300 3500.20.40.60.80 10 20 50 50 50 50 200 200 300 500.20 40.60.80 60.80 50 100 150 200 250 300 3500.20.40.60.80 1020 30 40 500.20.40.60.8图A.6：样品ae-γτf为21、28（顶行）、105、112（中行）、189和196（底行）天的累积，参数值来自表A.2。相关函数可以发现为[2]<δx（t+τ）δx（t）>=Xngne-λnτ（B.10），其中gn∝ZxP（λn；x）dx=ZδxP（λn；x）dx（B.11）使用（B.9），我们发现∝κΓ(1 +2γθκ)4γΓ(2 - n） （B.12）很明显，唯一的非零gnis g.使用归一化条件[2]Z∞P（λ；x）P（x）dx=1（B.13）我们发现P（λ；x）=e-2xγκ（x- θ） （2xγκ）1+2θγκxqΓ（1+2γθκ）qΓ（2γθκ）（B.14），因此g=Z∞P（λ；x）xdx=sθκ2γ（B.15）和<δx（t+τ）δx（t）>=θ+θκ2γe-γτ（B.16），即<δx（t+τ）δx（t）>- < δx（t）><δx（t）>=κ2γθe-γτ（B.17），这与我们在（30）中发现的结果相同。然而，特征值法的价值在于建立多重松弛（时间）标度s，我们在附录B.2中讨论了它。累积量松弛是针对乘法模型的，观察使用IgenValue方法预测的多重松弛时间的最简单方法是通过累积量松弛[6]。正如附录B.1中所观察到的，平均值总是可以设置为单位，θ=1，在下面我们将使用（B.2）。我们还将使用两组初始条件，x（0）=0和x（0）=1。

对于前者，平均值和累积量的表达式由x（0）=0给出：<x>=1- e-γt，κn=（κγ）n-1（n- 1)!n-1e级-nγt（eγt- 1） n（B.18），特别是rx（0）=0：κ=κ2γ（1- 2e类-γt+e-2γt），κ=κ2γ（1- 3e-γt+3e-2γt- e-3γt）（B.19）对于后者，我们有x（0）=1：<x>=1，κn=（κγ）n-1（n- 1)!n-1e级-nγt（eγt- 1） n个-1（eγt+（n- 1） ）（B.20），特别是Rx（0）=1：κ=κ2γ（1- e-2tγ），κ=κ2γ（1- 3e-2γt+2e-3γt）（B.21）图B.7显示了从x（0）=0开始的平均值的行为，图B.8显示了从x（0）=1开始的平均值和累积量的行为。使用不同持续时间的时间序列，以及κ的不同值。显然，该理论很好地描述了均衡值的均值和累积量方法。0 50 100 150 200 250 300T0.20.40.60.81.2理论10k100K1M0 50 100 150 200 250 300T0.20.40.60.81.2理论10k100K1M0 50 100 150 200 250 300T0.20.40.60.81.2理论10k100K1M图B.7：使用持续时间为10、10和10步vis-a-vis（B.18）的时间序列，x（0）=0的平均饱和；γ = 10-1从左到右，κ=10-2, κ= 8 × 10-3，κ=5×10-附录B.3。弛豫时间的分布与乘法模型[6]相同，我们研究了弛豫时间的分布。首先，我们生成一个时间序列（B.2），观察其分布接近稳态分布（B.5）的速度。弛豫时间由Kolmog-orovSmirnov（KS）统计量的饱和度确定，用于将数值分布和理论分布比较到其最低值。我们生成了10个弛豫时间，并研究了它们的分布函数。

我们使用最大似然估计（MLE）拟合了正态（N）、对数正态（LN）、逆伽马（IGa）、伽马（Ga）、威布尔（Wbl）和逆高斯（IG）分布，并评估了这些函数的KS统计数据（KS数越低表示越好）。表B.3和表B中总结了相同γ的结果。图B.9显示了3和其中的两个κ值。与乘法模型一样，IG分布IG（aγ-1，bγ-1.x） =sb2πγxexp[-bγ（x- aγ-1） 2ax]（B.22）提供了迄今为止最好的函数。应该注意的是，对于r（B.22），累积量κn∝ γ-nand与系数κ无关。无花果