历史市场数据的分布——松弛和相关性

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英文标题：
《Distributions of Historic Market Data -- Relaxation and Correlations》
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作者：
M. Dashti Moghaddam, Zhiyuan Liu and R. A. Serota
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We investigate relaxation and correlations in a class of mean-reverting models for stochastic variances. We derive closed-form expressions for the correlation functions and leverage for a general form of the stochastic term. We also discuss correlation functions and leverage for three specific models -- multiplicative, Heston (Cox-Ingersoll-Ross) and combined multiplicative-Heston -- whose steady-state probability density functions are Gamma, Inverse Gamma and Beta Prime respectively, the latter two exhibiting \"fat\" tails. For the Heston model, we apply the eigenvalue analysis of the Fokker-Planck equation to derive the correlation function -- in agreement with the general analysis -- and to identify a series of time scales, which are observable in relaxation of cumulants on approach to the steady state. We test our findings on a very large set of historic financial markets data.
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中文摘要：
我们研究了一类随机方差均值回复模型中的松弛和相关性。我们推导了相关函数的闭式表达式，并利用了随机项的一般形式。我们还讨论了三种特定模型的相关函数和杠杆作用——乘法、Heston（Cox Ingersoll Ross）和组合乘法Heston——其稳态概率密度函数分别为Gamma、逆Gamma和Beta素数，后两种模型显示出“胖”尾。对于赫斯顿模型，我们应用福克-普朗克方程的特征值分析来推导相关函数（与一般分析一致），并确定一系列时间尺度，这些时间尺度在接近稳态时的累积量松弛过程中可以观察到。我们在一组非常大的历史金融市场数据上检验了我们的发现。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Distributions_of_Historic_Market_Data_--_Relaxation_and_Correlations.pdf (3.52 MB)

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关键词：相关性 correlations Quantitative Mathematical respectively

历史市场数据的分布-松弛和相关性M。Dashti Moghaddama，Zhiyuan Liua，R.A.Serotaa，1辛辛那提大学物理系，俄亥俄州辛辛那提市，邮编：45221-0011摘要我们研究了一类随机方差均值-方差模型中的松弛和相关性。我们推导了相关函数的闭式表达式，并利用了随机项的一般形式。我们还讨论了三种特殊模型的相关函数和杠杆作用——乘法、Heston（Cox-Ingersoll-Ross）和组合乘法Heston，其稳态概率密度函数分别为Gamma、逆Gamma和Beta素数，后两者显示出“胖”尾。对于Heston模型，我们应用福克-普朗克方程的特征值分析来推导相关函数（与一般分析一致），并确定一系列时间尺度，这些时间尺度在接近稳态时的累积量松弛过程中可以观察到。我们在大量历史金融市场数据的基础上检验我们的发现。关键词：随机均值回复模型，相关性，松弛，稳态分布，广义β素数1。引言关于随机微分方程（SDE）所描述的量之间的关联和松弛的问题在物理学应用中有着很长的历史。最近，他们发现与经济[3、4、5、6、7]和金融[8、9、10、11]相关的领域出现了一种新的紧迫感，其中一些领域使用了最初在物理学中发现的模式lss。在MOST一般公式中，人们感兴趣的是由随机过程生成的时间序列（由SDE描述）中的相关性，以及松弛到其稳态的时间尺度中的相关性。

理想情况下，可以根据SDE的参数获得相关函数的解析表达式，并确定解析描述弛豫的量。SDE的一个常见目的是对经验时间序列建模，例如股票价格。股票收益的随机模型使用随机波动率作为其输入之一。在本文中，我们关注一类随机方差模型——平方随机波动率，其特征是广义贝塔素数的状态概率密度函数及其对应于均值回复子集的极限：逆伽马分布、伽马分布和贝塔素数分布。我们使用现成的历史股价数据来测试我们对相关函数和杠杆率的预测，我们对这些模型进行了分析。特别是，我们研究了每日和多日相关性以及平均值。本文的组织结构如下。在第2节中，我们确定了随机方差的方差和随机项的一般形式的杠杆的方程。我们证明了随机方差的相关函数只依赖于r松弛参数。我们将每日和多日收益的已实现方差与随机方差的相关性进行了比较。在第3节中，我们继续将第2节中获得的一般方程应用于均值回复模型的特定随机项——乘法、Heston和组合乘法Heston——并从历史市场数据中推导其参数。在附录A中，我们继续讨论第2节中介绍的多日返程的相关性。

在附录B中，我们更详细地讨论了Heston模型：我们使用Fokker-Planck方程的IGenvalues分析来发现随机方差的相关性，并研究累积量的松弛和松弛时间的分布。serota@ucmail.uc.eduPreprint提交至arXiv 20202年2月26日。去趋势股票对数收益的随机方差和杠杆方程的相关性可以写成[12]dxt=σtdW（1）t（1），其中dwt是正态分布的维纳过程，σ是与随机方差vtby vt=σt相关的随机波动率。随机方差的一般均值回复模型可以写成dvt=-γ（vt- θ） dt+g（vt）dW（2）t（2），重写为vt=θ+Zt-∞e-γ（t-t′）g（vt）dW（2）t（3）假设dW（1）和dW（2）皮重相互关联，系数ρ，asdW（2）t=ρdW（1）t+p1- ρdZt（4），其中dZtis独立于dW（1）t。在（2）中，γ是弛豫参数：γ-1是实现v[6]稳态分布的时间尺度，其平均值为θ，<vt>=θ（5）来自（1）），5我们还有与θ直接相关的股票回报数据。2.1. 随机方差的相关函数使用（3），我们发现随机方差的协方差ascov[vtvt+τ]=<VTVTVT+τ>- < vt>=var[vt]e-γτ（7），其中var[vt]=<vt>- < vt>=<g（vt）>2γ（8），因此相关函数（皮尔逊相关系数）仅取决于松弛参数corr[vtvt+τ]=<vtvt+τ>- < vt>var[vt]=e-γτ（9）为了从股票收益中获得corr[vtvt+τ]，我们观察到，从（1）<dxtxt+τ>=<σtdW（1）tσtdW（1）tσt+τdW（1）t+τσt+τdW（1）t+τ>（10）得出<dxtxt+τ>=（<vt+τ>t+2（t- τ)t型≥ τ<vtvt+τ>tt≤ τ>0时为τ（11），τ=0时为<dxt>=3<vt>t（12）。（12）中的因子3是纯组合的，与模型无关。（通常，<dx2nt>=（2n- 1)!! < vnt>dtn【12】）。

在（11）和（12）中，我们将dt替换为t–累积天数0 50 100 150 200 250 300 3500.20.40.60.80 10 20 30 40 500.20.40.60.80 50 100 150 200 200 200 300 3500.20.40.60.80 10 20 40 500.20.40.60.8图1：每日收益率的每l.h.s.随机方差的相关函数，dt=1，用x exp(-γτ ). 左：DJIA，a=0.5481，γ=0.04521。右图：标准普尔500指数，a=0.7219，γ=0.04031。返回次数。在下文中，我们将互换使用dt和t。具体而言，对于日常回报，dt=t=1，（11）中的第二个方程是在【10】中得到的方程。然后从（6）和（9）-（12）得出dailyreturns<dxtxt+τ>- < dxt><dxt>- < dxt>=e-γτ（13）图1显示了每日收益率的l.h.s.（13）的曲线图及其拟合图。很明显，与分析预测相比，该指数较差。这很可能是因为均值回复、连续随机波动率模型不适合每日回报。另一方面，此类模型与多日周转更相关。因此，研究多日收益率的相关性很有意义。为此，我们首先讨论（11）的后果。对于后者，我们发现τ<< γ-1.≈ 2 1，即<vtvt+τ>≈< vt>，<dxtdxt+τ><dxt>≈(1 -4τ3t+2τ3t≥ τt≤ τ（14）图2显示了（14）的l.h.s.与τ=1、7、14、21的累积天数的函数关系，以及t>τ的函数与- bτt+cτt，使用表1中收集的拟合参数和统计值。很明显，对（14）的预测是正确的。表1：带a的t>τ参数- t的bτt+cτt fit≥ 图中的τ。

2及其统计数据。DJIAτa b c r1 0.99 4.92 6.48 0.997 0.99 1.65 0.83 0.9914 0.98 1.40 0.56 0.9921 0.98 1.34 0.53 0.99S和P500τa b c r1 0.99 4.87 6.52 0.997 0.99 1.61 0.79 0.9914 0.98 1.35 0.54 0.9921 0.98 1.30 0.53 0.99in（11）中由于<dxtxt+τ>和<vt+τ>之间关系的复杂性，目前尚不清楚（9）中corr[vtvt+τ]的结果如何表示为多日收益的市场数量。相反，我们推测corr[dxtxt+τ]可能对时间有类似的干净依赖性corr[dxtxt+τ]=<dxtxt+τ>- < dxt><dxt>- < dxt>≈ e-γτ（15）0 50 100 150 200 250 300 350dt0.20.40.60.80 5 10 15dt0.20.40.60.80 50 100 200 250 300 350dt0.20.40.60.80 5 10 15dt0.20.40.60.80 50 100 200 200 200 300 350dt0.20.40.60.80 5 10 15dt0.10.20.30.40 50 100 150 200 300 350dt0.20.40.60.80 5 10 15dt0.20.30.350.40 50 50 100 150 200 200 300 350dt0.20.40.60.80 5 10 15 20dt0.10.150.20.250.30 50 100 150 200 250 300 350dt0.20.40.60.80 5 10 1520dt0.10.20.30.40 50 100 150 200 250 300 350dt0.20.40.60.80 10 20 30dt0.10.20.30.40 50 100 150 200 250 300 350dt0.20.40.60.80 10 20 30dt0.10.20.30.4图2：<dxtdxt+τ><dxt>作为t的函数。从顶行到底τ=1、7、14、21。左栏D JIA，右栏S&P。在附录A中，我们实证研究了γ对回报天数的依赖性。2.2. 杠杆我们现在转向杠杆效应，其主要“priz e”是互相关ρ，但也允许独立评估γ。杠杆率定义为l（τ）=<dxt+τdxt><dxt>（16）。首先，ρ应为负值，因为波动率的向上波动应导致向下波动，并且应随时间呈指数衰减。[8、9、10]对市场杠杆进行了详细研究。

我们认为，可以大大简化[9]中（7）的功能性设计——toexp(-γτ）g（vt）在我们的符号中–因此（16）减少了toL（τ）=ρ<v1/2tg（vt）>exp(-γτ)θ(17)3. 随机方差的乘法、赫斯顿和组合模型3.1。分析结果第2节中的表达式8和17没有规定g（vt）的形式，并且先验地清楚协方差的松弛∝ 经验值(-γτ）应仅取决于模型中的单个弛豫时间参数γ。DVT=-γ（vt- θv1-αt）dt+qκvt+καv2-αtdW（2）t（18）其稳态分布（概率密度函数–PDF）是广义β素数，或GB2，分布由[13，14，15，16]GB2（vt；p，q，β，α）=α（1+（vtβ）α）给出-p-q（vtβ）-1+pαβB（p，q）（19），其中B（p，q）是B eta函数。GB2的尺度参数为β=（κακ）2/α（20），其形状参数为α，p=α(-1+α+2γθκα（21）和Q=α（1+2γκ）（22）（18）的稳态分布为κα=0时的广义逆γ（GIGa）[5，1 1]和κ=0时的广义伽马（GGa）。对于α=1，我们返回均值回复–乘法Heston【12】–modeldv=-γ（v- θ） dt+qκMv+κHvdW（2）t（23）其稳态分布为β素数（BP）BP（v；p，q，β）=（1+（vβ））-p-q（vβ）-1+pβB（p，q）（24），尺度参数β=（κHκM）（25）和形状参数，p=2γθκH（26）和q=1+2γκM（27），要求p>1，因为在v=0时PDF必须为零。（这种情况下，lso可确保分布为钟形。）我们还要求q>2，即2γκM>1，这确保存在变异。

对于多重复制模型，κH=0，（23）的稳态分布为反γ（IGa），对于Hestonmodel（Cox-Ingersoll-Ross波动性模型），κM=0，则为γ（Ga）[17、18、19、20、21]。在本节中，我们将考虑“约化”协变量cov【vtvt+τ】/<vt>，即cov【vtvt+τ】/θ（与corr【vtvt+τ】（9）相比）。原因是我们想利用市场数据来确定模型参数。在下文中，讨论将限于均值回复模型。使用（7）和8，我们发现乘法Heston模型COV[vtvt+τ]<vt>=κMθ+κHθ2γ- κMexp(-γτ）（28）乘法和赫斯顿模型的结果可以通过分别设置κH=0和κM=0来恢复：cov[vtvt+τ]M<vt>=κMθ2γ- κMexp(-γτ）（29）cov[vtvt+τ]H<vt>=κHθ2γexp(-γτ）（30）我们使用（17）来确定杠杆率。对于乘法赫斯顿模型，我们发现mh（τ）=κMκHκM2012年3月2γθκH+1,2γκM-θB2γθκH，2γκM+1e-γτ（31）乘法模型和赫斯顿模型的结果可以通过分别设置κH=0和κM=0来恢复，或者通过直接使用（17）计算来恢复（对于赫斯顿模型，另请参见[9]）。We findlm（τ）=ρκM（2γκM）Γ（2γκM-)θΓ（2γκM）e-γτ（32），其中Γ是γ函数，lh（τ）=ρκHθe-γτ（33）分别用于乘法模型和Heston模型。3.2. 数值拟合我们使用市场数据进行每日回报。对于数值拟合，我们采用以下程序：1。我们使用在Se c中获得的eγ。2.1;2、我们用e（6）得到<vt>（即θ）；我们使用（11）中的第二个来获得cov[vtvt+θ]=<vtvt+θ>- < vt>；4、我们使用Aexp测试cov【vtvt+θ】/<vt>(-γτ）测定A；5、我们用e（29）和（30）分别测定κ和κH；6、我们使用上一步骤a和（32）和（33）中获得的κ和κ来确定ρ和γL，即从杠杆作用中发现的松弛参数。图3显示了cov【vtvt+θ】/<vt>和杠杆率及其函数的曲线图，表3.2总结了上述设置程序的结果。

请注意，我们只使用乘法和赫斯顿模型，因为对于组合乘法赫斯顿模型，我们无法通过此过程独立地找到κ和κhus。然而，我们可以使用与该模型相关的股票收益率分布函数及其BP稳态分布，确定组合乘法赫斯顿模型的收益率，作为从每日收益开始的收益天数的函数【12】。0 50 100 150 200 250 300 3500.20.40.60.80 10 20 30 40 500.20.40.60.80 50 100 150 200 250 300 3500.20.40.60.80 10 20 30 40 500.20.40.60.80 50 100 150 200 200 250 300 350-10-8-6-4-20 50 100 200 250 300 350-10-8-6-4-2图3：顶行：cov[vt+τ]<vt>。最下面一行：杠杆（16）。左列：DJIA。右栏：S&P500。我们还对多日回报的杠杆率进行了研究。为此，我们使用了（31）-（33），其中γ、θ、κ和κ的值如【12】所示。交叉相关关系ρar e的结果如图4所示。显然，ρ随着收益累积天数的增加而迅速衰减。4、结论我们发现均值回复模型中随机方差（9）的相关函数（皮尔逊相关系数）仅依赖于一个松弛参数，方差djia参数的方差γ0.045θ9.52×10-5κM0.24κH2.18×10-3ρM-0.114ρH-0.165γL0.049S&P参数γ0.041θ9.81×10-5κM0.22κH2.17×10-3ρM-0.123ρH-0.162γL0.0470 20 40 60 80dt-0.15-0.1-0.05gaigab0 20 40 60 80dt-0.15-0.1-0.05gaigabp图4：作为累积天数函数的多日收益率的互相关ρ。左：DJIA。右图：标准普尔500指数。可以从通用的、与模型无关的公式（8）中找到。

我们还认为，杠杆率可以从一个通用的、独立于模型的公式中找到（17）。我们研究了多日轮次的随机方差和实变方差的相关函数之间的关系，并将后者作为收益累积天数的函数进行了研究。我们还对已实现方差的相关函数进行了实证研究，结果表明，它可以用一个单参数指数来描述，反时限参数本身随着回归累积天数的增加呈指数递减至其有限的渐近值。我们无法对这种行为提出解释。对于两个特定的波动率模型——乘法和赫斯顿，我们使用相关函数和杠杆来确定模型参数以及随机波动率与股票回报之间的交叉关系。我们还表明，对于多日收益率，互相关会迅速衰减。我们专门检查了Hesto n模型的相关性和弛豫，并表明该模型显示了弛豫时间的变化过程，这反映在累积量的弛豫中。最后，我们提出弛豫时间的分布最好用逆高斯描述。附录A.多日实现方差的相关函数在第2节中，我们认为对于均值回复模型，（2），根据（9），通过corr[vtvt+τ]=e给出了随机方差的相关函数-γτ. 这一预测的问题在于将校正量[vtvt+τ]与实际市场数量相关联。对于每日回报，由（13）的l.h.s.给出，但与电子-图1中的γτ相当差。后者可能是由于随机方差的连续均值回归模型与日收益率不匹配。另一方面，它们可能更适合于多日回报[12，21]。