保险中的自适应定价：广义线性模型和高斯模型

术语ut-1（·）是对我们已知和σt的明确利用-1（·）是我们对未知事物的探索。参数Д用于平衡开采ut之间的权衡-1（·）和勘探σt-1(·).在我们的工作中，我们使用加性均值和核更新UCB函数，定义为pt=arg maxp∈Purt-1（p）+√νtσrt-1（p）。这里，urt-1=pt-1udt-1+uct-1σrt-1（p）=pt-1σdt-1（p）+σct-1（p）。（3.4）现在，我们介绍了定价的GP算法的实现。在时间t-1，该算法生成一个使UCB函数最大化的价格，即最优价格p*. 每个价格由历史Ft确定-1以及UCB规则遵循的政策。在连续价格集中，最优价格p*存在且唯一。然后，我们将最优价格设置为下一个抽样价格pt。给定价格，我们分别对fd（pt）和fc（pt）进行采样。由于收入由两部分决定：保费·fd（pt）和总索赔额fc（pt），所选价格可以视为常数，因此抽样收入是抽样函数fd（pt）和fc（pt）的线性组合。因此，我们可以得到sampledrevenue函数。接下来，我们执行GP后验更新（2.5），以获得需求和总索赔的后验分布，并更新FD和FCF的后验分布，给定Ft=Ft-1.∪{pt，dt，ct}。最后，我们获得（3.4）中定义的平均ur和标准方差σr，然后更新UCB函数以确定下一个售价。通过GP定价算法为新发布的保险产品定价的伪代码如算法2所示。算法2：GP定价算法输入：GP Previoru，σ，kfor t=1，2。

doSelect价格：pt← arg最大值∈Purt-1（p）+√νtσrt-1（p）；示例收入函数：rt← pt·fd（pt）- fc（pt）+εrt；更新估计值：oudt和σdt，通过执行GP后验更新（2.5）；oucT和σcT通过执行GP后更新（2.5）；o获得urt，σrt；在这一节中，我们展示了所提出的方法得到的理论分析。我们关于累积遗憾的主要结果在第4.1节的定理4.1和第4.2节的定理4.2中进行了阐述，并给出了一些结论。4.1. 自适应GLM算法证明了广义线性模型（GLM）中最大拟似然估计的强相合性和收敛性。Lai和Wei【8】研究线性随机回归模型中的最小二乘估计。Chen等人【41】将Lai和Wei【8】的结果扩展到具有正则链接函数的GLMs。遗憾界限取决于设计矩阵pta的最小特征值λmin（t）的下界以及所选价格和最优价格之间差异的预期值。我们将首先表明，研究后悔的界限等同于研究kβ的界限- βk.命题4.1。假设有一个开放的、有界的邻域V∈ R2×3为真β，因此，对于所有β∈ V，我们可以找到唯一的最优价格p*最大化收益函数r（p，β）。Givenp（β）∈ Pr（p*,β)p=0和r（p，β）p<0，我们可以导出| r（p，β）- r（p*, β） |=Okp公司- p*k. （4.1）此外，如果我们假设存在∈ N使得bβt∈ V代表所有t≥ t、 那么p（bβt）- p（β）= Obβt- β. （4.2）证明。见附录B。我们关注一个简单的情况，其中链接函数是正则的，即˙h（·）=v（h（·））。这就给出了t（bβt）=tXi=1σp（i）易- h类p> （i）bβt= 0 .在假设A1和A2下，我们证明了MQLEbβt实际上存在，并且该估计量也是非常一致的。提案4.2。假设假设A1和A2满足并支持∈Pkpk≤ r<∞,其中r=ph- pl。

然后，MQLEbβtin（2.4）存在并限制→∞bβt=βa.s.安第斯bβt- β= O对数（t）L（t）,给定λmin（t）≥ L（t）。证据见附录C。定理4.1根据函数L（t）提供了遗憾的上界。定理4.1。假设存在t∈ N、 如果MQLEbβ非常一致，并且满足以下条件：1。λmin（t）≥ L（t）=所有t的cpt对数（t）a.s≥ tand c>0,2。PTt=1p（t）- p（bβt）≤ KL（T）a.s.适用于所有T≥ 当K值大于0时，T个时间段后的后悔为greet（T）=OL（T）+TXt=1log（T）L（T）！。证据根据命题4.1中的（4.1），可以根据kp（T）推导出销售期限的后悔- p*k、 该isRegret（T）=OE“TXt=tkp（T）- p*k#！。我们可以将上述期望扩展如下，然后我们将逐步解释。E“TXt=tkp（t）- p*k级#≤ 2E“TXt=tp（t）- p（bβt）#+ 2E“TXt=tp（bβt）- p*#≤ 2KL（T）+2KE“TXt=Tbβt- β#= OL（T）+TXt=1对数（t）L（t）!,这里K>0是一些非随机常数。在第一个不等式中，我们使用（a+b）≤ 2a+2b，即kp（t）- p*k级=p（t）- p（bβt）+p（bβt）- p*≤ 2.p（t）- p（bβt）+ 2.p（bβt）- p*.在第二个不等式中，根据定理4.1中的假设2，我们对这些项进行了约束，以获得第一个项2e“TXt=tp（t）- p（bβt）#≤ 2KL（T）。根据命题4.1的（4.2），我们得到p（β）- p（bβt）≤ Kβ-bβt.这给出了第二个术语2e“TXt=tp（bβt）- p*#≤ 2KE“TXt=tbβt- β#.最后，通过命题4.2，我们可以用greet=OL（T）+TXt=1log（T）L（T）！。当L（t）=cpt log（t）时，我们找到了一个最优的定价策略，该策略实现了遗憾（t）=O√T日志T.我们得到的遗憾界与Kleinberg和Leighton[59，Theorem1.2]的结果相对应，但算法不同。4.2. 自适应GP定价模型我们现在为高斯过程（GP）贝叶斯优化建立了累积遗憾，该优化以最大信息增益γT为界。假设子集A={p。

. , pT} P是有限的。LetyA=f（pA）+ε记录观察值，并让fAdenote记录这些点的函数值，即fA=f（pA）。我们引入香农互信息，并将其表示为I（·）。对于高斯过程，I（yA；fA）=H（yA）- H（yA | f），其中H是熵。在多元高斯情况下，H（N（u，∑））=log | 2πe∑|，因此I（yA；fA）=log | I+σ-2KA |，式中KA=[k（p，p）]p，p∈A、 四轮之后，Ya和Fa之间的最大信息增益为γT（k）=maxAP： | A |=TI（yA；fA）。（4.3）信息的界限增益γt取决于所使用的核。例如，线性回归下的γT=O（d log T），平方指数核下的γT=O（（log T）d+1），以及γT=OTd（d+1）/（2ν+d（d+1））（对数T）在ν>1的Mat'ern核下。我们参考Srinivas等人【13】了解更多详细信息。在我们的模型中，我们将最大信息增益表示为γT（kd+kc），它描述了算法可以了解的关于需求和总索赔函数的最大信息量。假设需求和总索赔函数fd、Fc均满足以下假设4.1。它允许我们在定理4.2中推导累积后悔w.r.t.的界，即最大信息增益γt（kd+kc）。假设4.1。设f从核为k（p，p）的GP中采样，函数f几乎是连续可微的。考虑偏导数f级/pjof j=1的此示例路径，t满足以下高概率界限。对于某些常数a，b>0，P支持∈Pfpj公司> J≤ ae-（日本）。定理4.2。拾取δ∈ （0，1）并选择Дt=2 log（2tπ/（3δ））+2 logt型∈ O（对数t）。高概率1- δ和对于任何T≥ 1，遗憾（T）=OpγTT对数T.这里γ是γT（kd+kc）的缩写。证据遵循Srinivas等人[13]。我们将他们的模型扩展到需求和索赔的情况。我们在附录D中给出了Srinivas等人[13]的相关引理和结果。

对于任何价格p∈ P、 我们考虑需求和索赔函数fd，fc:P→ R从GPS中采样。时间范围T内的累积遗憾由白鹭（T）=E“TXt=1（p*· fd（p*) - fc（p*)) - （pt·fd（pt）- fc（pt））#=E“TXt=1r（p*) - r（pt）#。价格集P是有界的，预期需求和索赔函数fd、FCF是独立的多元高斯分布，方差有界。在不丧失一般性的情况下，我们假设kr≤ 1、根据UCB规则，我们可以得到由byr（p*) - r（pt）≤ 2.√νtσrt-1（pt）+rbplog（2a/δ）t.（此处为4.4），σrt-1（p）=pt-1σdt-1（p）+σct-1（p）。通过对数函数的凸性，我们知道u≤ v对数（1+u）/u对数（1+v）≤ v、 自σrt起-1（pt）≤ k（pt，pt）=1和σ-2σrt-1（pt）≤ σ-2，我们让u=σ-2σrt-1（pt）和V=σ-2、我们有σrt-1（pt）≤对数（1+σ-2） 日志1 + σ-2σrt-1（pt）.根据Jensen不等式和νtis nondecreating，我们得到TXT=1√νtσrt-1（pt）≤ 2.√^1TVUUTTXT=1σrt-1（pt）≤ 2.√^1TVUUTTXT=1日志1 + σ-2σrt-1（pt）对数（1+σ-2)≤pTДTs8I（yT；fT）对数（1+σ-2)≤pCTДTγT.（4.5）此处C=8/对数1 + σ-2.γT=γT（kd+kc）。最后一个不等式是通过定义信息增益I（见附录D中的引理7.2）和最大信息增益γT（4.3）得到的。通过对（4.4）求和并使用（4.5），我们得到的概率大于1- 所有T的δ≥ 1TXt=1r（p*) - r（pt）≤TXt=1√νtσrt-1（pt）+rbplog（2a/δ）t=TXt=1√νtσrt-1（pt）+TXt=1rbplog（2a/δ）t！≤pCTИTγT+C。此处，C=PTt=1rbplog（2a/δ）/t是一个常数，因为a、b、r、δ是常数，p1/t=π/6。最后，我们得到了累积后悔的界。注意，对于加性核的组合，我们有γT（kd+kc）≤ γT（kd）+γT（kc）（详见附录D中的Lemma7.7）。5、延误案例在前面章节中，我们假设保险费和总索赔在每个保险期开始时支付。

这给出了如何在保险设置中应用这些方法的基本概述。然而，在现实世界中，索赔是在保险事件发生时触发的，因此在购买保险产品时不会支付。延迟期间的即时定价决策可能会给出错误的最优价格，并增加遗憾。因此，我们在这里涉及延迟索赔，并根据Joulani的想法将我们的定价问题视为延迟强盗问题[74]。5.1. 延迟模型我们假设，当选择价格时，需求会立即生成并得到遵守，而索赔可能会延迟。这可能会导致收入延迟。假设在时间t选择一个价格，并表示相应的延迟时间为τt。我们假设（τt）t≥1是一个i.i.d.序列，与价格和索赔无关。当没有延迟时，τt=0是可能的。假设存在最大等待时间m，延迟索赔只能通过时间t+m或如果τt≤ m、 在不丧失一般性的情况下，我们假设所有信息（需求和索赔）都可以在时间范围T结束时收到。当发生延迟时，保险公司观察时间t+τt的收入rtat。因此，根据历史Ht选择下一个销售价格PTI，历史Ht是价格和需求的过去信息{pi，di:i=1，…，t- 1} 和延迟索赔{ci:i+τi≤ t型- 1}. 如果所有t的τt=0，则我们得到的是Ht=Ft。如果在时间t选择了价格PTI，则我们表示ct+τt在时间t观察到的索赔。保险公司收集延迟索赔的开始时间集：ct={t:t=t- τt}乘以结束时间t。这里，延迟时间集可以是Ct= 例如，当所有t的τt=0或τt>m时，t时相应的观测收入为rt=ptdt- ct+τt。

值得注意的是，由于索赔的延迟，决定p（t+1）的信息较少。我们将保险公司观察第s次索赔的时间表示为ρ（s），相应的收入表示为rρ（s），这里s=1，T设ers=rρ（s）。保险公司在观察ers后确定下一个销售价格eps+1。对于t=1，T，表示时间T结束时观察到的索赔数量- 1作为N（t）=Pt-1i=1{i+τi<t}。由于公司根据最近观察到的索赔确定下一个销售价格，因此我们的pt=epN（t）+1。设eτs=s-1.-N（ρ（s））。这里，s-1是在没有延迟的情况下可以观察到的索赔数量。N（ρ（s））是时间ρ（s）观察到的实际索赔数量- 因此，eτ是当算法在时间ρ（s）选择pρ（s）时，直到可以观察到相应的收入rρ（s）为止，尚未更新的延迟数。那么我们有pρ（s）=eps-eτsandPTs=1eτs=PTt=1τt（关于证明，我们参考附录e中的引理7.8）。因此，遗憾是XT=1Xt∈Ctr（p*) - r（pt）=TXs=1rρ（s）（p*) - rρ（s）（pρ（s））=TXs=1ers（p*) - ers（每股收益-eτs）=TXs=1ers（p*) - ers（eps）+TXs=1ers（eps）- ers（每股收益-eτs）。我们可以看到，延期索赔的后悔包括两部分：未延期的后悔和延期索赔引起的额外后悔。我们需要约束这两个术语中的每一个，以获得总体的遗憾约束。5.2. 具有未知延迟的自适应GLM定价在无延迟的GLMs回归模型中，我们通过最大化拟线性估计来找到未知参数。在延迟情况下，我们使用类似的方法。我们用BBT表示延迟索赔的新最小二乘估计量。Speci fibribbt是指由t（bbt）=tXi=1Xi给出的修改后的MQLE∈Ciσp（i）ci+τi- h类p> （一）bbt= 0 .以下结果将定理4.1扩展到延迟索赔。定理5.1。假设存在t∈ N、 如果MQLEbβ非常一致，并且满足以下条件：1。

λmin（t）≥ L（t）=所有t的cpt对数（t）a.s≥ tand c>0,2。PTt=1p（t）- p（bβt）≤ （2m+K）L（T）a.s.适用于所有T≥ 一些K>0。遗憾的界限是greet（T）=OL（T）+TXt=1log（T）L（T）！证据证明类似于定理4.1。我们根据kp（T）考虑超过销售期限T的累计后悔- p*k、 此isRegret（T）=OE“TXt=tkp（T）- p*k#！。这里，kp（t）的期望值- p*kis给定byE“TXt=tkp（t）- p*k级#≤ 2E“TXt=tp（t）- p（bβt）#+ 2E“TXt=tp（bβt）- p*#≤ 2（2m+K）L（T）+2KE“TXt=Tbβt- β#= OL（T）+TXt=1对数（t）L（t）!在第一个不等式中，我们使用（a+b）≤ 2a+2b，即kp（t）- p*k级=p（t）- p（bβt）+p（bβt）- p*≤ 2.p（t）- p（bβt）+ 2.p（bβt）- p*.我们扩展了上述不等式中的第一项，即TXt=1p（t）- p（bβt）≤TXs=1ep（s）- eτs）-ep（s）+ep（s）- p（bβt）≤TXs=1kep（s- eτs）-ep（s）k+TXs=1ep（s）- p（bβt）.通过该算法，我们可以得到kep（s- eτs）-ep（s）k≤eτs-1Xj=0kep（s- eτs+j）-ep（s）- eτs+j+1）k≤ eτsK˙L（t），对于某些K>0。由于L（t）是一个递增凹函数，根据中值定理，我们得到了L（t+1）- L（t）=˙对于任何s，L（s）∈ [t，t+1]。它意味着L（t+1）- L（t）≥˙L（t+1）和t-1Xt=0˙L（t+1）≤T-1Xt=0升（t+1）- L（t）=L（t）- L（0）=L（T）。连同定理5.1中的假设2和eτs≤ 2m对于任何s（为了证明，我们参考附录E中的引理7.9），我们获得了第二个不等式中第一项的界，E“TXt=tp（t）- p（bβt）#≤ 2mL（T）+KL（T），对于一些K>0的。根据命题4.2，第二项的界为bβt- β= O对数（t）L（t）.最后，得到了遗憾界。5.3. 时滞未知的自适应GP定价目前，时滞GP不存在理论界。在本节中，我们将介绍在延迟索赔设置中实现另一种GP定价算法。

例如，在每个时间t，我们通过GP算法2设置价格，并收集延迟索赔的开始时间集：Ct={t:t=t- τt}。每次t∈ Ct，保费可以在时间t given aspt·fdt（pt）观察到，而索赔是在时间t+τt收到的。我们用fct+τt（pt）表示延迟索赔。收到延迟索赔后，我们会更新每项索赔的GP及其保费。这就决定了下一个售价。算法3显示了通过GPalgorithm为新发布的延迟保险产品定价的伪代码。算法3：具有延迟索赔的GP定价算法输入：对于t=1，2，…，GP定价算法2。doCollect时间t接收到的延迟时间Ct集合；对于t∈ CtdoSelect价格：pt← GP定价算法2；用pt、fdt（pt）、fct+τt（pt）更新GP：endend（a）（b）图1：价格离散和参数估计的收敛。6、显式公式和数值示例在本节中，我们通过数值示例给出了GLMs和GP定价算法以及两者在延迟索赔情况下的仿真结果。6.1. 无延迟的自适应GLM定价消费者需求服从物流分布，总索赔服从规范链接函数下的对数正态分布。例如，让需求和索赔模型beE[D（p）]=11- 0.8p，E[对数C（p）]=3+0.25p。将三个初始价格向量设置为p（1）=（1，3）>、p（2）=（1，3.3）>和p（3）=（1，4.7）>，最低最高价格pl=0.5，ph=10。我们现在开始估计上述优化的参数。我们绘制了价格离散和参数估计的收敛曲线。根据图1a，价格离散度tr（P-1吨）-1/pt log（t）收敛到0.01。因此，我们将L（t）=0.01pt log（t），这可以保证有效的价格分散。图1b显示bβt- β, 参数估计值和真实参数之间差异的平方范数。

作为t→ ∞,bβt- β→ 0，即parameterestimates收敛到真实参数。这意味着参数估计的强一致性。（a） 累积后悔（b）收敛速度图2：GLM算法的累积后悔和收敛速度。GLM表示非延迟情况，D-GLM表示延迟情况。6.2. 无延迟的自适应GP定价机器学习最有趣的核是ν=3/2和ν=5/2的Mat'ern核，给定为yk3/2（r）=1+√3rl！经验值-√3rl！，k5/2（r）=1+√5rl+√5r3l！经验值-√5rl！。我们从GPs中采样随机函数fd、FCM，其核数分别为ν=1.5、2.5和长度标量=1。将样本噪声设置为σ=0.05。GP算法运行T=100次迭代，δ=0.1。这表明我们对参数β的选择取决于t.6.3。延迟案例为了发现延迟的影响，我们考虑与非延迟案例相同的设置。延迟是非负整数，未知，我们随机生成延迟。6.4. 比较无延迟和有延迟的GLM和GP算法，我们在图2和图3中给出了数值结果。GLM定价算法产生的累积后悔绘制在2a中。延迟情况下的后悔总是大于非延迟情况下的后悔，这表明保险公司可以避免额外损失。如上所述，在延迟索赔的情况下，由于索赔延迟，决定售价的信息较少。图2说明了遗憾以1/pT log（T）的速率收敛。延迟索赔后悔的收敛速度是无延迟索赔后悔收敛速度的渐近。图3中GP定价算法得到的结果与GLM定价算法相似。