保险中的自适应定价：广义线性模型和高斯模型

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英文标题：
《Adaptive Pricing in Insurance: Generalized Linear Models and Gaussian
  Process Regression Approaches》
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作者：
Yuqing Zhang and Neil Walton
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We study the application of dynamic pricing to insurance. We view this as an online revenue management problem where the insurance company looks to set prices to optimize the long-run revenue from selling a new insurance product. We develop two pricing models: an adaptive Generalized Linear Model (GLM) and an adaptive Gaussian Process (GP) regression model. Both balance between exploration, where we choose prices in order to learn the distribution of demands & claims for the insurance product, and exploitation, where we myopically choose the best price from the information gathered so far. The performance of the pricing policies is measured in terms of regret: the expected revenue loss caused by not using the optimal price. As is commonplace in insurance, we model demand and claims by GLMs. In our adaptive GLM design, we use the maximum quasi-likelihood estimation (MQLE) to estimate the unknown parameters. We show that, if prices are chosen with suitably decreasing variability, the MQLE parameters eventually exist and converge to the correct values, which in turn implies that the sequence of chosen prices will also converge to the optimal price. In the adaptive GP regression model, we sample demand and claims from Gaussian Processes and then choose selling prices by the upper confidence bound rule. We also analyze these GLM and GP pricing algorithms with delayed claims. Although similar results exist in other domains, this is among the first works to consider dynamic pricing problems in the field of insurance. We also believe this is the first work to consider Gaussian Process regression in the context of insurance pricing. These initial findings suggest that online machine learning algorithms could be a fruitful area of future investigation and application in insurance.
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中文摘要：
我们研究了动态定价在保险中的应用。我们认为这是一个在线收入管理问题，保险公司希望通过设定价格来优化销售新保险产品的长期收入。我们开发了两种定价模型：自适应广义线性模型（GLM）和自适应高斯过程（GP）回归模型。两者都在探索和开发之间取得平衡，在探索中，我们选择价格，以了解保险产品的需求和索赔的分布情况；在开发中，我们从迄今为止收集的信息中，目光短浅地选择最佳价格。定价政策的绩效以遗憾来衡量：未使用最优价格造成的预期收入损失。正如保险业中常见的情况一样，我们通过GLMs对需求和索赔进行建模。在我们的自适应GLM设计中，我们使用最大拟似然估计（MQLE）来估计未知参数。我们表明，如果价格的可变性适当降低，MQLE参数最终会存在并收敛到正确的值，这反过来意味着所选价格的序列也会收敛到最优价格。在自适应GP回归模型中，我们从高斯过程中采样需求和索赔，然后根据置信上限规则选择销售价格。我们还分析了这些具有延迟索赔的GLM和GP定价算法。虽然在其他领域也存在类似的结果，但这是第一批考虑保险领域动态定价问题的工作。我们还认为，这是首次在保险定价的背景下考虑高斯过程回归。这些初步发现表明，在线机器学习算法可能是未来保险研究和应用的一个富有成效的领域。
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分类信息：

一级分类：Economics        经济学
二级分类：Econometrics        计量经济学
分类描述：Econometric Theory, Micro-Econometrics, Macro-Econometrics, Empirical Content of Economic Relations discovered via New Methods, Methodological Aspects of the Application of Statistical Inference to Economic Data.
计量经济学理论，微观计量经济学，宏观计量经济学，通过新方法发现的经济关系的实证内容，统计推论应用于经济数据的方法论方面。
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Machine Learning        机器学习
分类描述：Covers machine learning papers (supervised, unsupervised, semi-supervised learning, graphical models, reinforcement learning, bandits, high dimensional inference, etc.) with a statistical or theoretical grounding
覆盖机器学习论文（监督，无监督，半监督学习，图形模型，强化学习，强盗，高维推理等）与统计或理论基础
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关键词：广义线性模型 线性模型 econometrics Mathematical Quantitative

保险自适应定价：广义线性模型与高斯过程回归方法，*, 尼尔·沃尔托纳，**曼彻斯特大学数学学院，曼彻斯特，M13 9PL，英国。本文研究了动态定价在保险中的应用。我们认为这是一个在线收入管理问题，保险公司希望通过定价来优化销售新保险产品的长期收入。我们开发了两种定价模型：自适应广义线性模型（GLM）和自适应高斯过程（GP）回归模型。我们选择价格以了解保险产品需求和索赔的分布，在勘探和勘探之间取得平衡，我们从迄今为止收集的信息中敏锐地选择最佳价格。定价政策的执行情况是根据遗憾来衡量的：未使用最优价格造成的预期收入损失。正如保险业中常见的情况一样，我们通过GLMs对需求和索赔进行建模。在我们的自适应GLM设计中，我们使用最大拟似然估计（MQLE）来估计未知参数。我们表明，如果价格的可变性适当降低，MQLEparameters最终会存在并收敛到正确的值，这反过来意味着所选价格的序列也会收敛到最优价格。在自适应GP回归模型中，我们从高斯过程中抽取需求和索赔，然后根据上限规则选择销售价格。我们还分析了这些具有延迟索赔的GLM和GP定价算法。虽然在其他领域也存在类似的结果，但这是第一批考虑保险领域动态定价问题的工作。我们还认为，这是在保险定价背景下考虑高斯过程回归的第一项工作。

这些初步发现表明，在线机器学习算法将是保险业未来研究和应用的一个富有成效的领域。JEL分类：C44、C61、G22关键词：学习定价；后悔广义线性模型；高斯过程回归；延迟索赔1。引言我们从保险公司的角度研究动态定价的应用。在这里，保险公司希望制定价格，以优化销售保险产品的长期收入，而保险产品也会经历理赔分布。这可能是一个收入管理问题，请参见飞利浦[1]和塔鲁里与瑞金[2]，了解该领域的概述。如果保险公司知道需求和索赔的分布，那么可以将其表述为一个相对简单的优化问题。然而，在现实世界中，对每种价格的新产品的需求都是不确定的和未知的。因此，我们假设保险公司只观察实现的需求，不知道保险产品的需求和索赔的基本分布。这与新保险产品的发布特别相关。由于需求和索赔未知，零售商面临一个学习和定价问题。这有时被称为勘探开发贸易。在每个销售期开始时，我们*通讯作者**主要对应authorEmail地址：余青。zhang@manchester.ac.uk（张玉清），尼尔。walton@manchester.ac.uk（Neil Walton）URL：https://sites.google.com/site/neilwaltonswebsite/（尼尔·沃尔顿）2019年7月12日，提交给《乳胶模板杂志》的预印本设定了一个接近估计最佳价格的价格，然后研究价格上涨时需求和索赔的变化。这是一个探索过程，使我们能够找到价格与需求和索赔分布之间的关系。

此外，通过将价格设置为接近估计的最佳价格，我们可以利用我们所学到的知识。这就是开发过程。选择远离最佳估计价格的价格鼓励勘探，但可能无法有效利用现有信息。另一方面，选择接近最佳估计价格的定价可能无法充分了解索赔的潜在分布，从而收敛到最优价格。因此，保险公司必须制定保险产品定价政策，揭示潜在需求和索赔分布的充分信息，以优化保险公司的长期收入。我们所考虑的政策提供了一种机制，可以有效地探索不同的价格差异，然后利用这些知识实现收入最大化目标。我们将该定价问题视为一个多武装强盗问题，该问题已被广泛用于解决顺序决策中勘探和开采之间的权衡问题。我们研究了学习和定价问题的回归模型：广义线性模型（GLM）和高斯过程（GP）。GLMs是一种经典的统计技术，由Nelder和Wedderburn引入【3】，McCullagh和Nedler首次将其应用于保险评级【4】。然而，对于顺序决策，由于不充分的探索性，从最大似然估计中得出的价格可能不一致[5]。为了解决这个问题，需要最小二乘估计的强相合性，这是由Lai和Robbins[6，7]建立的，并由Lai和Wei[8]进一步推广。该分析是在线评估和优化领域的关键步骤。Lai[9]全面介绍了几个相关的发展和讨论。

den Boerand Zwart【10】给出了其在收入管理中的应用，其中分析了累积后悔的界限，作为绩效的衡量标准。这里，遗憾被定义为预期收入和最佳收入之间的差异。我们开发了这些模型，用于同时存在需求和索赔的保险设置。然后，我们考虑第二种基于贝叶斯优化的方法来解决这个问题。Mockus[11，12]提出了一种利用高斯过程优化未知函数的方法。高斯过程是高斯概率分布的推广，其中随机变量由随机过程建模。在过去的二十年中，GPs已经广泛应用于机器学习。我们研究了Srinivas等人采用的置信上限（UCB）方法。通过最大化UCB收购函数，我们可以确定每个时间段的价格。有关高斯过程回归和贝叶斯优化的更多详细信息，请参阅Rasmussen和Williams【15】和Brochu【16】。综上所述，这项工作的贡献如下：o我们通过自适应广义线性模型和高斯过程回归方法解决了需求和索赔未知的动态定价问题。据我们所知，本文是第一次考虑在保险定价的背景下进行在线学习在GLM设置中，基于den Boer和Zwart【10】，我们通过减去厚尾分布索赔，将定价算法扩展到保险定价在GP设置中，我们遵循Srinivas等人[13]的贝叶斯优化方法。采用具有交替UCB函数和加性核的GP来选择最优价格我们使用累积后悔来衡量我们的算法，即GLM pricingalgorithm和GP定价算法的性能。

这些有以下界限：–GLM定价算法可以实现√T日志T,– GP定价算法具有遗憾O√γTT对数T.这里，T是销售期限的长度，γ是算法可以了解的关于需求和总索赔函数的最大信息通过分析，我们发现这两种机制简单、可实现且具有良好的性能。动态定价和在线学习已成功应用于各种行业，如航空售票、酒店预订、汽车租赁和时尚。然而，据我们所知，任何文献中都没有将onlinelearning应用于保险定价。因此，受powerfulmachine学习技术和日益增长的保险业适用性的推动，本文是第一批研究这些方法以解决保险定价问题的方法之一。随着保险在线销售的增加和保险产品的不断变化，我们相信这些方法对精算师现在和将来都很重要。1.1. 相关文献在本节中，我们简要回顾了保险定价和动态定价。我们还重点介绍了将在线学习应用于两个统计模型的相关工作：广义线性模型和高斯过程。最后，我们讨论了先前关于不确定性收入管理的工作。保险定价和动态定价。许多研究人员，如B¨uhlmann【18】、McClenahan【19】、Jong和Heller【20】指出，需要数学和统计方法来支持精算师做出定价决策。线性模型在精算工作中得到了广泛的应用。例如，早期文献在汽车保险中使用线性模型，参见Baxter[21]和Coutts[22]。

1960年，Bailey和Simon【23】在分类费率制定中引入了最小偏差技术，这是非寿险定价发展的一个重要里程碑【24】。20世纪80年代，英国精算师将GLMs引入保险定价，现在这已成为许多国家的标准方法[25]。哈贝南德·伦肖（Habermanand Renshaw）[26]提供了精算工作中不同情况下GLM使用的良好概述；有关将GLMs应用于保险定价的进一步研究，请参见【20、25、27、28】。近几年来，由于在线服务的增加，非寿险市场发生了变化。机器学习技术在保险行业的应用越来越普遍。这些增强和补充了标准GLMs分析。关于非寿险定价中的GLMs和机器学习方法的概述，我们参考了W¨uthrich和Buser[29]。动态定价是研究在不断变化的环境中，需求如何对价格作出反应。近几十年来，人们对动态定价的兴趣迅速增长。早期的利润优化问题假设销售者对市场有完全的了解，这意味着需求函数是已知的，或者可以从以前的销售经验中找到。埃文斯（Evans）[30，31]是最早提出动态定价模型的人之一，他将价格的时间衍生品添加到静态模型中。Greenleaf【32】从数字上显示了参考价格的显著影响，并在垄断环境下制定了最佳的动态定价策略。Kopalle等人【33】分析性地将这些结果概括为双寡头和寡头垄断的情况。随后，Fibich等人。[34]然后明确计算各种非光滑优化问题的最优定价策略。所有这些工作都假设消费者的需求函数是确定的和已知的。

Aviv和Vulcano【35】以及den Boer【36】的调查提供了该地区的极好概览。自适应广义线性模型。Nelder和Wedderburn【3】首先介绍了广义线性模型（GLM），这是对经典线性回归的扩展。如上所述，它已成为一种完善的、标准化的统计技术，用于为保险产品定价【25，37】。在GLM框架中，最大似然估计是一种常用的技术，用于确定给定广义线性模型的参数。Wedderburn【38】提出了一种称为准似然估计的方法，这是似然估计的一种扩展，但只需要观测值的前两个矩。McCullagh和Nedler【4】然后将GLMs和准似然估计应用于保险费率制定。他们将GLM用于不同类型的数据，包括汽车保险组合的平均索赔成本和海上保险的索赔频率。为了给产品定价，通常使用确定性等价规则。这里为估计参数选择最优价格。因此，在优化时，我们将估计值视为模型的真实（未知）参数。Anderson和Taylor【39】应用确定性等价规则来解决多周期控制问题。然而，当将确定性等价规则应用于最大拟似然估计时，强一致性可能不成立[7，9]。为了解决这个问题，我们提出了一些条件来确保参数估值器的强一致性[5，40]。Lai和Robbins【6】引入了自适应设计的进一步条件，Lai和Wei【8】将这些条件推广到具有鞅差序列给出的误差的多元回归模型。Chen等人【41】将【8，40】的结果扩展到固定和自适应设计下的GLMs。多武装匪徒和贝叶斯优化。

多臂强盗问题是指一类广泛的顺序决策问题。在每一个时间步，你必须从一组手臂中选择一只手臂，每一只手臂都有未知的奖励。在勘探（即估计过去所有武器的回报分布）和开采（即选择预期回报较高的武器）之间存在权衡。Bubeck和Cesa Bianchi【42】全面回顾了有关多武装匪徒问题的工作。在多武装土匪问题中，通常使用置信上限（UCB）规则在每个时间段选择武器。UCB算法为每个arm的平均值构建一个置信区间，然后根据该估计选择收入最大化的arm。Auer等人【43】引入了UCB策略，以解决一个特定的bandit模型，并用于对收益的渐近分析，如Lai和Robbins【44】中首次讨论的。多臂土匪问题的遗憾边界在不同的情况下引起了极大的兴趣，例如线性模型[45，46]，广义线性模型[47]，Lipschitz函数[48，49]，高斯过程[13]和汤普森抽样[50，51，52]。在保险业中，每一个价格都是一支手臂，它的收入就是回报。贝叶斯优化[53]提供了一种有效的方法来解决未知潜在随机或噪声函数的全局优化问题。当目标函数未知或评估成本高昂时，该方法适用且有效。贝叶斯优化有两个重要阶段。第一阶段是从可用样本中学习目标函数。贝叶斯优化通常通过假设未知函数从高斯过程（GP）中采样来工作【54】。

第二阶段是优化采集函数，以确定下一个采样点，用于评估目标函数。由于目标函数（勘探）中存在较大的不确定性或模型给出的较高预测（开发），会出现较高的采集函数值。Srinivas等人[13]考虑了基于gp的贝叶斯优化。在这项工作中，作者提出了一种高斯过程上界（GP）算法，在该算法中，他们从GP中采样奖励函数，并应用UCB算法来查找遗憾。他们在最大信息增益、最大信息量方面实现了次线性遗憾，算法可以了解奖励函数。有关贝叶斯优化及其应用的全面回顾，请参阅Brochu等人【16】。据我们所知，这是第一篇在保险背景下考虑贝叶斯优化的论文。需求未知的收入管理。最后，我们讨论了不确定性收入管理的发展。Gallego和van Ryzin【55】引入了单一产品动态定价来实现收入管理。随后的工作调整了该模型，以考虑未知需求。一种常见的情况是考虑参数设置，其中可以使用固定但未知的参数对需求进行建模。Aviv和Pazgal【56】是第一批考虑模型不确定性的人。他们推导出了一个具有单个未知参数的闭合formmodel，并假设消费者的到达遵循泊松分布。Harrison等人【57】通过一种名为短视贝叶斯策略的新方法来提高学习和绩效。Broder和Rusmevichienton【58】提出了一个基于最大似然的模型，用于分析具有一般参数模型的动态定价问题中的后悔。他们表明，在一般情况下，T期后悔的上界是O(√T）。