保险中的自适应定价：广义线性模型和高斯模型

3a表明，延迟条件下的后悔大于非延迟条件下的后悔，3b表明，有延迟和无延迟索赔的后悔收敛速度是渐近的。通过比较图2a和图3a，我们可以看到由GP pricingalgorithm获得的累积遗憾收敛更快，产生的遗憾更小。图2b和图3b说明了两种算法实现相同收敛速度的相同结果，即1/pT log（T）。总体而言，GP pricingalgorithm优于GLM定价算法。（a） 累积后悔（b）收敛速度图3：GP算法的累积后悔和收敛速度。GP表示非延迟情况，D-GP表示延迟情况。结论与讨论我们考虑了保险背景下的动态学习和定价问题。我们的工作是首次将在线学习应用于保险。我们发现GLM和GP定价模型都具有良好的性能。将先前的工作应用于既有需求又有索赔的保险环境，我们从理论上证明了这一点，并给出了遗憾的精确界限。在数值结果中，我们发现GP定价具有更好的收敛性；然而，GLMs在保险业中的适用实施历史悠久。因此，也必须考虑此设置。更广泛地说，我们的发现表明，新的高斯过程回归可能适用于保险。然而，目前正在对其进行研究。由于保险公司无法立即观察索赔，因此在第5节中，我们将GLM定价模型算法扩展为延迟索赔。我们证明了延迟索赔的渐近遗憾界与非延迟索赔的渐近遗憾界是相同的。GP算法的结果仍然相同，但数值结果表明实现了相同的遗憾界。对于未来的调查，有几个想法。到目前为止，我们关注的是长期收入。

在保险市场上，索赔可能会给保险公司造成损失甚至破产。一个想法是合并破产概率，这是用于决策的风险度量。另一个可能的想法是针对这些在线收入管理问题实施强化学习（RL）。本文考虑的Bandit问题是简单的强化学习例程。然而，可能会考虑更复杂的未来市场互动。这个问题可以建模为马尔可夫决策过程（MDP）。RL迭代地与保险模型的模拟交互，然后使用环境的反馈来选择能够最大化保险人目标的行动。虽然MDP在保险业已经应用多年，但扩展此处考虑的在线学习框架以纳入前瞻性规划是一个有待研究的领域。致谢这项工作得到了中国奖学金委员会（CSC）的资助。附录A。命题3.1的证明来自算法1、ifbβtexists和tr（P-1吨）-1.≥ L（t），我们首先将下一个价格设置为P（t+1）=pcep。如果条件（3.3）不成立，则istrPt+pcepp>cep-1.-1<L（t+1），（7.1）然后我们选择下一个价格为p=pcep+φt。我们将显示存在φt，这样trPt+pp>-1.-1.≥ L（t+1），（7.2）是令人满意的。根据Bartlett[75]中的Sherman Morrison公式，我们得到Pt+pp>-1=P-1吨-P-1tpp>P-1t1+p>p-1吨。然后，我们可以嘲笑Pt+pp>-1.= trP公司-1吨-P-1tpp>P-1t1+p>p-1tp！=tr公司P-1吨- trP公司-1tpp>P-1t1+p>p-1tp！=tr公司P-1吨-tr公司P-1tpp>P-1吨1+p>p-1tp=trP-1吨-P-1tp1+p>p-1tp≤L（t）+滴滴涕L（t）.（7.3）由于t→L（t）是凸的，L（t+1）≥L（t）+滴滴涕L（t）. 现在我们要证明P-1tpp>P-1吨1+p>p-1tp≥ -滴滴涕L（t）（7.4）这里，我们讨论一个一般情况。设t>n+1，设λ≥ ··· ≥ λn+1>0是pt的特征值 Rn+1和v。

，vn+1be相关特征向量。由于PTI是一个对称的正定义矩阵，v，vn+1是Rn+1的正交基，我们可以确定最佳价格pcep=Pn+1i=1αIvisa这些单位特征向量的线性组合。下一个价格为p=pcep+ （vn+1,1CEP- vn+1），这里vn+1,1是vn+1的第一个组成部分。我们知道kvik=1和| vn+1，i |≤ 1代表所有i.然后我们有KP- pcepk=kvn+1,1pcep- vn+1k≤ 1+最大值∈Pkpk.它表明kφtk≤ 1+最大值∈Pkpk. （7.5）我们选择|| ≤ 1以便 ≥ 如果αn+1，则为0≤ 0 ,  < 如果αn+1>0，（7.6）和˙L（t），则为0≤ （n+1）-2.1+L（n+1）-1maxp∈Pkpk-1.（7.7）我们编写kpkP-1t=p>p-1吨。自λmaxP-1吨= λmin（Pt）-1，λmin（Pt）≥ L（t）和t>n+1，我们有1+kpkP-1吨≤ 1+λ最大值P-1吨kpk=1+λmin（Pt）-1kpk≤ 1+L（t）-1kpk≤ 1+L（n+1）-1maxp∈Pkpk。（7.8）此外，P-1tp=P-1tn+1Xi=1αivi+vn+1,1n+1Xi=1αivi！- vn+1！！=P-1tn+1Xi=1αivi+vn+1,1nXi=1αivi+αn+1vn+1！- vn+1！！=P-1t（αn+1+ （vn+1,1αn+1- 1） ）vn+1+nXi=1（1+ vn+1,1）！αivi=（αn+1+ （vn+1,1αn+1- 1)) λ-1n+1vn+1+nXi=1（1+ vn+1,1）λ-1iαivi=（αn+1+ （vn+1,1αn+1- 1)) λ-1n+1kvn+1k+nXi=1(1 +  vn+1,1）λ-1iαikvik公司≥ ((1 + vn+1,1）αn+1- )λ-2n+1kvn+1k≥ λ-2n+1。（7.9）自|| ≤ 1，然后1+vn+1,1≥ 与（7.6）一起，我们可以得到第二个不等式（（1+vn+1,1）αn+1- )≥ (1 + vn+1,1）αn+1+≥ .由于PTI是一个对称的正定义矩阵，我们有tr（P-1吨）-1.≤ λmin（Pt）≤ n tr（P-1吨）-根据（7.1）和Sherman-Morrison公式，我们得到λn+1≤ （n+1）tr（P-1吨）-1.≤ （n+1）trPt+pcepp>cep-1.-1<（n+1）L（t+1）。（7.10）通过（7.9）和（7.10），P-1tp≥ （n+1）-2L（t+1）-（7.11）与（7.8）和（7.11）一起，我们有KP-1tpk1+kpkP-1吨≥（n+1）-2L（t+1）-21+升（n+1）-1maxp∈Pkpk。选择 = Kq˙L（t）并且给定上述不等式的LHS，我们让κ=K（n+1）-2.1+L（n+1）-1maxp∈Pkpk-1、此处κ≥ 1 by（7.7）。

然后我们得到了KP-1tpk1+kpkP-1吨≥κ˙L（t）L（t+1）。由于L（t）的凸性，存在κ>1，因此κL（t）≥ L（t+1）和kp-1tpk1+kpkP-1吨≥κ˙L（t）L（t+1）≥˙L（t）L（t）。它表明条件（7.2）成立。B、 命题4.1的证明价格向量可以写成由p=p（β）给出的β函数。自p（β）∈ P和r（p*,β)最佳价格p下的pi=0*, 通过泰勒级数展开，我们可以导出| r（p，β）- r（p*, β)| ≤支持∈Pr（p，β）圆周率kp公司- p*k、 对于所有p∈ P、 设k=支持∈Pr（p，β）pi< ∞, 我们有| r（p，β）- r（p*, β)| ≤ k kp- p*k、 根据Duistermaat和Kolk[76]中隐函数定理的定义，存在一个开放且有界的邻域V，使得函数β→ p（β）与有界导数连续可微。因此，对于所有β∈ V和一些非随机常数K>0，我们有kp（β）- p（β）k≤ Kkβ- βk。假设存在bβt∈ V代表所有t，那么p（bβt）- p（β）≤ Kbβt- β.这表明遗憾的上界取决于bβt- β.C、 命题4.2的证明为了证明命题4.2，我们需要以下引理。引理7.1。设H是来自Rd的光滑连续可区分的注入→ Rd，H（x）=y。定义Bρ{x∈ Rd | kx- xk公司≤ ρ} 以及Bρ={x∈ Rd | kx- xk=ρ}。然后，infx∈Bρ（x）kH（x）-y） k级≥ δ意味着Bδ（y）={y∈ Rd | ky- yk公司≤ δ}  H（Bρ（x）），它给出H-1（Bδ（y）） Bρ（x）。证据自H:Bρ（x）7起→ H（Bρ（x））是一个同胚，我们可以根据Dugundji[77]中的定理3.1和推论3.2直接导出结果。

对于任何集合B Hd+1和a同胚H:B 7→ Hd+1，如果x是B的内边界点，那么h（x）是h（B）的内边界点。这是因为根据Brouwer域不变性定理，对于任何空间B，性质“open inHd+1”是B rel Hd+1的位置不变量。它只是告诉我们∈ {y∈ Rd | ky- yk公司≤ δ} ，有一个x∈ {x∈ Rd | kx- xk公司≤ρ} 使得H（x）=y。同样，我们将β的闭合有界邻域定义为Bρ=β ∈ Rkβ- βk≤ ρ和Bρ=β ∈ Rkβ- βk=ρ.现在，我们将开始证明命题4.2，即确定E的值bβt- β.命题4.2的证明。由于β不受σ的影响，在不丧失一般性的情况下，我们假设σ=1。h（·）yieldsyi的泰勒展开- h（p（i）>β）=yi- h（p（i）>β）+h（p（i）>β）- h（p（i）>β）=yi- h（p（i）>β）-˙h（p（i）>eβ）p（i）>（β- β） ，因为有些β位于β和β之间的线段上。Thuslt（β）- lt（β）=tXi=1p（i）（h（p（i）>）β- h（p（i）>）β）=tXi=1p（i）p（i）>˙h（p（i）>eβ）（β- β) .在假设A1和A2下，Bβtin Lai和Wei的强一致性[8]成立。我们需要=tXi=1p（i）p（i）>！-1tXi=1p（i）ηi=P-1ttXi=1p（i）ηi，这里ηi：=yi- h（p（i）>β）。自E[ηi | Fi-1] =0，kEtk→ 0 a.s.写入Ht（β）=P-1tlt（β）和letκ=infβ∈Bρ，p∈P˙h（P（i）>β）>0。如果kβ- βk≤ ρ、 那么对于所有β∈ Bρ，我们有kht（β）- Ht（β）k=P-1t（lt（β）- lt（β））= (β- β） >tXi=1p（i）p（i）>˙h（p（i）>eβ）tXi=1p（i）p（i）>！-2tXi=1p（i）p（i）>˙h（p（i）>eβ）（β- β)≥ (β- β） >tXi=1p（i）p（i）>˙h（p（i）>eβ）tXi=1˙h（p（i）>eβ）κp（i）p（i）>！-2tXi=1p（i）p（i）>˙h（p（i）>eβ）（β- β） =κkβ- βk。特别是，如果kβ- βk=ρ，我们有KHT（β）- Ht（β）k≥ κρ> 0 .LeteHt（β）=Ht（β）- 当EHT（β）=0时，我们有Ehkβt- βki=OEeHt（βt）. ByLemma 7.1，我们知道-1t（Et）在{β：kβ上定义良好- βk≤ ρ}. SincetXi=1p（i）h（p（i）>eH-1t（Et））- 易=tXi=1p（i）p（i）>eHt公司呃-1t（Et））- Et公司= 0，我们得到bβt=eH-1t（Et）存在，且HT（bβt）=Et。

给定λmin（t）→ ∞ 作为t→ ∞ 对于所有的大t，PTI都是非奇异的，eHt（bβt）=P-1ttXi=1p（i）ηi≤P-t型P-ttXi=1p（i）ηi= λ-1min（t）tXi=1p（i）>ηi！P-1ttXi=1p（i）ηi！。定义N=inf{t：Ptis非相似}。假设N<∞ 对于t≥ N、 我们让Vt=P-1tandQt=tXi=1p（i）>ηi！VttXi=1p（i）ηi！。应用谢尔曼-莫里森公式，我们得到了Qt的递推形式。对于k>N，我们有qk=kXi=1p（i）>ηi！VkkXi=1p（i）ηi=k-1Xi=1p（i）>ηi！Vkk公司-1Xi=1p（i）ηi！+p（k）>Vkp（k）ηk+2p（k）>Vkk-1Xi=1p（i）ηi！ηk=Qk-1+k-1Xi=1p（i）>ηi！-Vk公司-1p（k）p（k）>Vk-11+p（k）>Vk-1p（k）k-1Xi=1p（i）ηi！+p（k）>Vkp（k）ηk+2p（k）>Vk-11+p（k）>Vk-1p（k）k-1Xi=1p（i）ηi！ηk=Qk-1.-p（k）>Vk-1件-1i=1p（i）ηi1+p（k）>Vk-1p（k）+p（k）>Vkp（k）ηk+2p（k）>Vk-11+p（k）>Vk-1p（k）k-1Xi=1p（i）ηi！ηk.Letγk=p（k）>Vk-1件-1i=1p（i）ηi1+p（k）>Vk-1p（k），θk=p（k）>Vkp（k）ηk，ωk-1= 2p（k）>Vk-11+p（k）>Vk-1p（k）k-1Xi=1p（i）ηi！。这里，γk，θk≥ 0和ωk-1是Fk-1-可测量。求和，t>N，Qt=QN-tXk=N+1γk+tXk=N+1θk+tXk=N+1ωk-1ηk.此处，Qt≥ 0是一个扩展的随机Liapounov函数，如果它是Ft可测的（Lai[9]）。根据鞅的强大定律，对于任何α>0，我们有Maxqt，tXk=N+1γk！=OtXk=N+1θk+tXk=N+1ωk-1!+α.局部鞅收敛定理和强大数定律（Chow[78]）表明ptk=N+1ωk-1.≤ 4Ptk=N+1γk。当极限→∞λmax（t）=∞, 根据Kronecker引理和Freeman定理[79]，我们得到了txk=N+1θk=OtXk=N+1p（k）>Vkp（k）！=O（对数λmax（t））。它意味着当限制→∞λmax（t）=∞, 我们有qt=O（logλmax（t））和txk=N+1γk=O（logλmax（t））。假设假设A1和A2成立，根据Lai和Wei[8]中的定理2，我们得到Bβ与bβt- β= O对数λmax（t）λmin（t）= O对数（t）λmin（t）.假设λmin（t）≥ L（t）保持，我们有bβt- β= O对数（t）L（t）.D、 定理4.2的证明在本节中，我们给出了定理4.2的证明所用的引理。这一证明基于Srinivas等人的研究。

[13]. 我们首先给出了[13]的以下结果。引理7.2。[13，引理5.3]如果fT=（f（pt））∈ RT，GP中的信息增益可表示为asI（yT；fT）=TXt=1log1 + σ-2σt-1（pt）.这里，σ是高斯噪声的方差，σt-1（pt）是t之后的后验方差-1观察结果。证据香农互信息I定义为asI（yT；fT）=H（yT）- H（yT | f）。（7.12）它量化了关于ffrom揭示y的不确定度的减少（根据不同的香农熵测量）。通过定义H（·），我们得到了高斯过程的H（yT | f）=log | 2πeσI |=TXt=1log（2πeσ）。（7.13）我们可以展开H（yT）asH（yT）=H（yT-1） +H（yT | yT-1） =H（yT-1） +对数（2πe（σ+σt-1（pt）））。通过展开熵项，我们得到h（yT）=TXt=1log（2πe（σ+σt-1（pt）））。（7.14）将（7.13）和（7.14）代入（7.12），我们可以得到结果。以下引理用于获得γT上的有限界。证明相当复杂，读者可以阅读Srinivas等人[13]中的定理8。引理7.3。[13，定理8]假设假设4.1成立。选择nT=cTτlog T，其中c为常数，τ>0。对于任何T*∈ {1，…，min（T，nT）}，我们让Bk（T*) =Ps>T*λs，这里λ是核k（p，p）的奇异值w.r.t，p上的均匀分布，然后γt上的界由γt给出≤1/21 - e-1最大值∈{1，…，T}（T*对数（rnT/σ）+cσ（1- r/T）（对数T）（Tt+1Bk（T*) + 1） ）+O（T1-电话/日期）。在证明定理4.2之前，我们还需要建立以下引理。引理7.4提供了有限决策集| P |<∞, 选择所有决策的地方。引理7.5显示了一组离散化的置信区间 P其中P RDI是一般紧集。表示πt>0的序列，使ptπ-1t=1。引理7.4。拾取δ∈ （0，1）并设置Дt=2 log（| P |πt/δ）。然后概率大于1- δ、 对于任何p∈ P和t≥ 1、我们有r（p）- urt-1（p）≤√νtσrt-1（pt）。

（7.15）此处σrt-1（p）=pt-1σdt-1（p）+σct-1（p）。证据以yt为条件-1=（y，…，yt-1） ，{p，…，pt-1} 是确定性的，边缘跟随F（p）~ N（ut-1（p），σt-1（p））对于任何固定的≥ 1和p∈ P通过下面的尾界，我们知道（z>c）≤ （1/2）e-c/2如果z，c>0~ N（0，1）。设z=（f（p）- ut-1（p））/σt-1（p）和c=Д1/2t，则p|f（p）- ut-1（p）|σt-1（p）>1/2吨≤ e-^1t/2。概率大于1- |P | e-^1t/2，我们有| f（p）- ut-1（p）|≤ ^11/2tσt-1（p）。给定r（p）=p·fd（p）- fc（p），概率大于1- |P | e-^1t/2，我们有r（p）- urt-1（p）=（pfd（p）- fc（p））-pud- uc≤pfd（p）- pud+ |（fc（p）- uc）|≤ pД1/2tσdt-1（p）+Д1/2tσct-1（p）。Letσrt-1（p）=pt-1σdt-1（p）+σct-1（p）并选择| p | e-νt/2=δ/πt。通过所有t上的并集，我们得到了结果。根据假设4.1和并集界限，我们有P支持∈P|f级/pj |>J≤ ae-（日本）。因此，存在c>0，对于a，b>0，这样P支持∈Prpj公司> J≤ ae-（日本）。然后概率大于1- ae-（J/b），适用于所有p∈ P、 我们有r（P）- r（p）|≤ J kp公司- 主键。（7.16）现在，考虑满足kp的基数ζt的离散化序列- [p] tk公司≤ r/ζt，（7.17），其中r=ph-物价指数是一个常数，它是价格集的长度，[p]是最接近于Pt中p的价格。设δ/2=ae-（J/b）并应用（7.16）。概率大于1- δ/2，| r（p）- r（p）|≤ bplog（2a/δ）kp- 主键。与（7.17）一起，我们可以得出| r（p）- r（[p]t）|≤ bplog（2a/δ）kp- [p] tk公司≤ rbplog（2a/δ）/ζt。选择ζt=tyields | r（p）- r（[p]t）|≤ rbplog（2a/δ）/t。我们现在可以推导遗憾的界限。引理7.5。拾取δ∈ （0，1）并设置Дt=2 log（2πtt/3δ）+2 logt型.然后概率大于1- δ/2，对于任何p∈ P和t≥ 1、我们有r（p）- urt-1（【p】t）≤ ^11/2tσrt-1（[p]t）+rbplog（2a/δ）t.（7.18）证明。

与（7.17）一起，我们可以得出| r（p）- r（[p]t）|≤ bplog（2a/δ）kp- [p] tk公司≤ rbplog（2a/δ）/ζt.By引理7.4，对于所有p∈ 概率大于1的P- δ/2,r（p）- urt-1（【p】t）≤ |r（p）- r（[p]t）|+r（【p】t）- urt-1（【p】t）≤ rbplog（2a/δ）/t+Д1/2tσrt-1例（[p]t）。然后得到结果。引理7.6。概率大于1- δ、 对于所有t≥ 1，遗憾以r（p）为界*) - r（pt）≤ 2.√νtσrt-1（pt）+rbplog（2a/δ）t.证明。根据pt=arg maxp的定义∈Purt-1（p）+√νtσrt-1（p），我们有urt-1（pt）+√νtσrt-1（pt）≥ urt-1（[p*]t）+√νtσrt-1（[p*]t） 。（7.19）到（7.18），我们有urt-1（[p*]t）+√νtσrt-1（[p*]t）≥ r（p*) - rbplog（2a/δ）/t.（7.20）（7.19）和（7.20）表示urt-1（pt）+√νtσrt-1（pt）≥ r（p*) - rbplog（2a/δ）/t。与（7.15）一起，我们可以得出（p*) - r（pt）≤ urt-1（pt）+√νtσrt-1（pt）+rbplog（2a/δ）t- r（pt）≤ 2.√νtσrt-1（pt）+rbplog（2a/δ）t.Lemma 7.7。对于加性核kd（p，p）+kc（p，p）的组合，我们有γT（kd+kc）≤ γT（kd）+γT（kc）。证据对于 P、 设kd为kd（P，P）的A上的Gram矩阵，Kcbe为kc（P，P）的Gram矩阵。我们可以显示日志I+σ-2（Kd+Kc）≤ 日志I+σ-2Kd+ 日志I+σ-2Kc.它给出了γT（kd+kc）≤ γT（kd）+γT（kc）。E、 定理5.1的证明为了证明定理5.1，我们需要以下引理。引理7.8。PTs=1eτs=PTt=1τt.证明。根据eτs的定义，我们得到TXs=1eτs=TXs=1（s- 1.- N（ρ（s））=TXt=1（t- 1) -TXs=1N（ρ（s））=TXt=1（t- 1) -TXt=1N（t）=TXt=1（t- 1.- N（t））=TXt=1τt。第三个等式是因为{ρ（s）：s=1，…，t}是{1，…，t}的置换。质量的四分之一由N（t）=Pt的定义得出-1i=1{i+τi≤ t型- 1}.引理7.9。给定最大等待时间m和τt≤ 对于所有t，我们有eτs≤ 所有s.Proof均为2m。根据eτs的定义，我们得到eτs=s- 1.- N（ρ（s））≤ s- 1.- （ρ（s）- 1.- m）≤ τρ（s）+m≤ 2米。在第一个不等式中，我们使用N（ρ（s））≥ ρ（s）-1.-m。

这是因为在时间ρ（s）的开始处，至少有ρ（s）-1.-m，最大ρ（s）-1可以观察到索赔。在第二个不等式中，我们假设当在时间ρ（s）选择价格，然后在时间ρ（s）+τρ（s）观察价格时，会产生第s个索赔。时间ρ（s）+τρ（s）观察到的索赔数量-1是N（ρ（s）+τρ（s））。那么，在时间ρ（s）+τρ（s）中观察到的第一个主张是N（ρ（s）+τρ（s））+1，这也是第s个主张。这意味着s=N（ρ（s）+τρ（s））+1≤ ρ（s）+τρ（s）。自τt≤ m对于所有t，我们得到eτs≤ 2米。参考文献[1]R.L.Phillips，《定价和收入优化》，斯坦福商业图书，加利福尼亚州斯坦福市，2005年。[2] K.Talluri，G.van Ryzin，《收入管理理论与实践》，马萨诸塞州波士顿斯普林格，2005年。统一资源定位地址https://doi.org/10.1007/b139000[3] J.A.Nelder，R.W.M.Wedderburn，《广义线性模型》，皇家统计学会杂志135（3）（1972）370–384。内政部：10.2307/2344614。统一资源定位地址http://www.jstor.org/stable/2344614[4] P.McCullagh，J.A.Nelder，《广义线性模型》，第二版，查普曼和霍尔，伦敦，1989年。统一资源定位地址http://www.utstat.toronto.edu/~brunner/oldclass/2201s11/readings/glmbook。pdf【5】T.L.Lai，H.Robbins，《自适应设计与随机近似》，统计年鉴7（6）（1979）1196-1221。内政部：10.1214/aos/1176344840。[6] T.Lai，H.Robbins，《随机近似格式中斜率估计的相合性和渐近有效性》，Z.Wahrscheinlichkeittheorie verw。Gebiete 56（3）（1981）329–360。统一资源定位地址https://doi.org/10.1007/BF00536178[7] T.Lai，H.Robbins，《多周期控制中的迭代最小二乘法》，应用数学进展3（1）（1982）50–73。统一资源定位地址https://doi.org/10.1016/S0196-8858（82）80005-5[8]T.L.Lai，C.Z。