经济学中的奇点和灾难：历史视角和

类似地，Kalmest完全标记顶点（x，y）在G中正好有两个邻居，它们要么是k几乎完全标记的，要么是完全标记的。这些都是通过依次删除x和y共同拥有的唯一重复标签的一个组件来获得的。这两个观察结果暗示了从任意一个给定平衡点到另一个平衡点的唯一k-几乎完全标记路径在G中的存在。（这样一条路径的端点已完全标记，但该路径上的所有其他顶点都已k-几乎完全标记。）Lemke-Howson算法从艺术平衡（0，0）开始。选择k∈ 然后，它从（0，0）开始，一步一步地沿着G中唯一的K-几乎竞争标记路径，直到它达到真正的平衡点（x*, y*)因此终止。以下结果总结了我们可以从该描述中得出的结论。定理2.3。设A和B表示一个非退化对策，k是k中的一个标签。然后，k几乎完全标记的顶点集与完全标记的顶点集，以及连接这些顶点对的边集，由不相交的路径和循环组成。路径的终点是博弈的纳什均衡，包括艺术均衡（0，0）。因此，博弈的纳什均衡数是奇数。上述结果为定理2.1在两agent非退化对策的特殊情况下提供了另一种建设性的证明。该算法可以使用众所周知的线性规划单纯形法的某些概念和技术，以计算明确的方式进行描述。Lemke和Howson[27]提出了处理退化对策的微扰技术。Eaves[17]基于这些想法提供了一个明确的计算过程。

[28]中明确阐述了该程序。对于n-agent博弈，当n>2时，找到纳什均衡的问题不再是线性特征。因此，Lemke-Howson算法不能直接应用。现在，n-主体博弈的纳什均衡可以描述为产品中某个连续函数的固定点 将单元简化为自身。然后，计算此类博弈均衡点的可行方法可以基于与Scarf算法相关的路径查找技术【36】，用于查找紧集上定义的连续函数的固定点。[28]中介绍了这种被称为单纯形细分方法的回指方法。本小节中回顾的方法涉及计算一个博弈的单一均衡点，即所谓的样本均衡点。然而，这些方法通常不适用于给定博弈的等位平衡的构建。存在确定所有平衡的方法–见【28】第6节。还开发了计算平衡的同伦方法[24]。3、经济学中的奇点在第2节的导言中，有人指出经济学的一个核心要素是研究最优化中的应用问题。在这里，通过引入灾变理论及其随机扩展，然后引入博弈论及其随机扩展，强调了奇点在每种情况下的作用，明确了这一概念。3.1. 20世纪70年代，塞曼（Zeeman）将突变理论（Catastrophe）作为一种经济均衡方法引入[47]，试图利用基于托马斯（Thom）早期突变理论工作的定性论据来解释金融市场的动态。我们遵循[16]建立我们的总体框架。我们假设一个势函数G（x | u）：Rn×Rk→ n个状态变量x的向量R和k个控制参数u的向量R【38】。

最简单的例子之一是一个系统，其中有一个（随时间变化的）状态变量XT和两个控制参数UAN和u。这样一个系统的动力学由普通微分方程给出：dxt=-G（xt | u，u）xtdt（12），系统的稳态解由下式给出：G（xt | u，u）xt=0。以下示例是最近资产市场分析的起点【6，16】：G（xt | u，u）=xt-uxt公司- uxt。（13） 系统的稳态是解方程的特定x：-G（xt | u，u）xt公司x=-x+ux+u=0。（14） 图2显示了与时间无关的平稳点xt≡ 作为功能上依赖于控制参数u和u的平衡面。Thom工作的最重要结果之一是将灾难分为七种基本灾难之一，即不超过两个状态变量和不超过四个余维的函数族灾难。继Stewart[38]之后，我们首先给出了说明Thom定理所需的两个关键定义，然后给出了定理，然后给出了一个示例。右等价：两个平滑（C∞) 功能f:Rn→ R和g：Rn→ 如果存在局部微分同态φ：Rn，则称R为右等价→ Rnφ（0）=0（0为零向量），因此f（x）=g（φ（x）），对于原点某个邻域中的所有x。Codimension：如果f:Rn→ R（下面的胚芽）是光滑的，那么f的余维是存在k维光滑展开g的最小k:Rn×Rk→ R（15），其中g（x | 0）=f（x），x∈ Rn（16）稳定。如果不存在此类展开，则余维定义为∞. 通过这种方式，编码度量函数f的“不稳定度”。定理3.1。[39]设G:Rn×Rk→ R是一个光滑稳定的函数族，每个函数在原点处都有一个临界点，假设k≤ 4.

为原始图像中的所有x设置f（x）=G（x | 0）。那么f是右等价的，直到一个符号，到其中一个细菌f*在表1中。a、b、c、d项是控制变量，x和y是状态变量。此外，G等于表达式G的右上角符号*与f在同一行上*表1中（函数族的rightequivalence定义与函数相似）。在该表中，灾难描述了投影到曲面表1控制参数空间的几何图形：Thom的基本灾难散射灾难名称Germ（f*) 余维展开（G*)折叠x1 x+ax尖x2 x+ax+bx凹尾x3 x+ax+bx+cx黄油fly x4 x+ax+bx+cx+dx双曲线脐x+xyor x+y3 x+y+axy+bx+cy椭圆脐x- xy3 x- 3xy+a（x+y）+bx+cyParabolic脐xy+y4 xy+y+ax+by+cx+dydefined by the偏导数：G*x=0。X的展开导致尖点突变。一个令人惊讶的结果是，泰勒级数不需要收敛于G或任何函数，因此该证明的重要性在于，截断泰勒级数展开提供了方程12给出的系统的定性（拓扑）正确描述。这种情况是因为这个家族和所有的基本灾难一样，具有稳定性，对于G（x | u，u）的足够小的扰动，拓扑结构不受影响。Thom的方法可以用[38]中的一个简单例子来说明。假设我们得到一个具有一个状态变量x和两个控制变量su，u的小稳定势函数G（x | u，u）。将G视为由u和u参数化的函数族，假设该族的每个成员在原点有一个临界点，并且G（x | 0，0）=x+高阶项inx。

然后，根据托姆定理，函数G（x | 0，0）正好等价于x，函数族G（x | u，u）正好等价于展开的x+ux+ux，对于（可能的）调整状态和控制变量x，uA和u。当突变理论应用于应用领域的特定问题时，以下对托姆定理的解释非常有用（在[38，pg.151]之后）*, 当在应用中观察到时，可能在拓扑上不稳定，因为系统的小扰动可能会导致质量上的不同行为。所以在实践中，如果我们观察f*我们也应该期待看到它的其余部分正在展开*同样，这种展开将是对系统的拓扑稳定和定性完整的描述。我们注意到，贝里（Berry）[7]做了一个令人着迷的观察，即“灾难之战”以参数t的形式出现，通过奇点表面上的灾难集变化。这会以非常特定的方式产生幂律尾部，这可能有尚未探索的应用。3.2. 随机突变理论突变理论是对系统动力学建模的一种确定性方法，但Cobb[9]是第一个将突变理论扩展到随机微分方程的人，Wagenmakers等人后来对其进行了改进。方法是向进化动力学添加噪声：dxt=-G（xt | u）xtdt+σ（xt）dWt（17）A B 1。2. 3. 图2：为固定ubut变量ucontrol参数显示了三条等高线的尖点突变。图1、2和4显示了平衡面的不同视角。请注意，Plot4的横截面u=常数在性质上与图1中的流形M相似。

图2：平衡面在控制平面{u，u}上的投影可以分为两个不同的区域A和B，区域A有三个平衡点，区域B有一个平衡点。干草叉分叉以红色显示，而双折分叉以黑色和蓝色显示。注意，这些曲线图对应于平衡面（稳态），即方程14的解。哪里-G（xt | u）xt公司≡ g（xt）是漂移函数，wt是一个扩散过程，σ（xt）参数化了扩散过程的强度。平稳概率分布由[43]给出：p（x | u，σ（x））=Z-1expZxtag（z）- 0.5（dzσ（z））σ（z）dz, （18） p（x | u，ξ）=Z-1expξZxtag（z）dz, （19） =Z-1exp（Gσ（x））。（20） 这里Z使概率分布标准化，在方程18中：dzσ（Z）=ddzσ（Z），方程19是一个简化，其中：2σ（Z）-2= ξ ≡ z中的常数，Gσ（x）=ξRxtag（z）dz是σ（z）为常数的特殊情况下的随机势。为了使方程12中存在梯度动力学，突变理论需要一个势函数，这相当于经济学中Slutsky矩阵[1]的对称性。已知这种对称性适用于势博弈[35]，因此存在势函数。势函数的存在也等价于李雅普诺夫函数的存在。如果不存在（局部）李亚普诺夫函数，则这是使用灾变理论的一个重大障碍，然而，托姆通过指出任何动力系统的吸引子AO附近存在局部李亚普诺夫函数来回答这一异议【41】。在进化博弈论（静态经济博弈论的动态扩展）中，对于方程2中的线性函数，总是可以找到一个李雅普诺夫函数。

然后，主要的问题是确认这样一个局部李雅普诺夫函数是否表现出灾难理论的分岔行为，一般来说，答案是否定的[20]。尽管这篇文章涵盖了所谓的“基本突变理论”，但托姆暗示，在他的方法所涵盖的更大的突变理论中，可能有办法容纳这些问题。突变理论在多大程度上可以扩展以适应这些问题，这似乎仍然是一个悬而未决的问题。3.3. 纳什均衡中的分岔为了说明在格姆的纳什均衡中固定点数的分岔是如何发生的，我们将使用格姆，这些博弈由两个支付矩阵描述，每个代理一个。具体地说，我们考虑正常形式的两个代理的非合作博弈，其中代理i=1，2在两种可能的选择（纯策略）中选择一种：cji∈ Ci。我们将这些游戏称为asG。联合选择决定了每个代理i，gi:C的效用→ R

代理人可用的选择及其后续支付由代理人1的支付矩阵给出：代理人2ccagent 1cg（c，c）g（c，c）cg（c，c）g（c，c）和代理人2的支付矩阵：代理人2ccagent 1cg（c，c）g（c，c）cg（c，c）g（c）两个矩阵通常更简洁地写成一个bi矩阵，例如，以下BI矩阵是众所周知的囚徒困境博弈，其中联合支付向量被写入（g（ci，cj），g（ci，cj））：代理2合作叛逃代理1合作(-1.-1) (-3，0）缺陷（0，-3) (-2.-2） g的扩展形式，其中：g：（g（p，p），g（p，p））→ R（21）是一个上半连续空间，双矩阵表示法仅在描述离散值Payoff s时有用。为了了解奇点如何在博弈论中出现，我们以允许每个代理的两个控制参数和一个状态变量的方式对每个代理的Payoff矩阵中的Payoff值进行参数化，即预期效用gi（p*i、 p*-i） ，在每个纳什均衡中，这种方法如图3所示。请注意，通常有一个或三个纳什均衡，图3仅显示了博弈的纯策略纳什均衡。在有两个纯策略纳什均衡的情况下，还有第三个混合策略纳什均衡，未在图3中显示。为了说明固定点数的变化，从图左上角的囚犯困境游戏开始。此时S<0，但当S增加并通过S=0时，在（T，S）和（S，T）纯策略和第三混合策略均衡形式上形成了两个新的纯策略纳什均衡，未显示。或者，再次从普利森纳困境开始，但将T从T>1降低到T<1，原来的纯策略（P，P）仍然存在，但在（R，R）形成了一个新的纯策略均衡，以及一个未显示的混合策略均衡。

从博弈空间的这个区域，提供1>T>0，然后让S从S<0增加到S>0，我们可以看到仍然存在三个平衡点，但（R，R）和（P，P）处的两个纯策略平衡切换到（S，T）和（T，S）。状态空间中的其他转换遵循类似的模式。3.4. 量子反应平衡量子反应平衡（QRE）是McKelvey和Palfrey[29]提出的纳什均衡概念的延伸，在纳什均衡概念中，代理人不能完全优化他们的选择，因为在上半部分，如果只能使用离散策略，连续性就不成立，为了使用Kakutani的fixedpoint定理，agent的策略是上半连续的是一个必要条件。图3:a.一个子集的payoffi-bi矩阵。为了简单起见，付款是对称的，如果代理1的付款矩阵是A，那么代理2的付款矩阵是A=AT。两个参数保持不变：R=1和P=0，留下一个双参数（T和S）博弈族，其中纳什均衡固定点的数量和位置将随着T和S的变化而变化。B、 示意图显示了固定点的数量和位置是T和S的函数。纯策略纳什均衡的位置显示为每个部门bi矩阵的红方块表示。例如，囚徒困境的纳什均衡是纯策略：（p=1，p=1），位于左图中bi矩阵（p，p）的右下角，并在右图的囚徒困境区域显示为红方块。图改编自【23】纳什均衡，但他们的选择存在一些错误，表现为他们选择中的随机不确定性。

纳什均衡被恢复为一个表示决策不确定性趋向于确定性的参数，因此纳什均衡是QRE给出的已执行点的子集。有几种不同的方法可以得出QRE，McKelvey和Palfreyused的不同拓扑以及其中一位作者最近的工作使用了最大熵的方法【46，22】。出于我们的目的，我们将简单地定义相关术语，并说明QRE的逻辑功能形式。我们注意到，这种形式的QRE通信并没有什么特殊之处。可以预期，本文中的所有工作，尤其是由噪声项β参数化的分岔分析，都将延伸到任何常规QRE函数形式。代理i的预期效用gi（pi，p-i） 可以说是以i的离散选择cji:gi（p-i | cji）。gi（p）的解释-i | cji）是指，如果代理人i选择SECJI，即他们fix pji=1，而所有其他代理人保持（可能混合）联合战略，则这是代理人i的预期效用p-i、 QRE给出的平衡点定义为联合分布（p*, . . . , p*n） 给出人：p*i（cji |βi）=exp（βigi（p*-i | cji）Pjexp（βigi（p*-i | cji））（22）这满足了agent i的j选择空间的概率分布标准和指数函数βigi（p*-i | cji）是每种药剂的控制参数βi和梯度gi（p*-i | cji），参考方程式18-20。参数βi∈ [0, ∞] 控制代理在选择每个策略时的噪音或不确定性水平，当βi=0时，代理在其选择中进行统一选择，当βi→ ∞ 恢复了博弈的纳什均衡。