经济学中的奇点和灾难：历史视角和

对于βi的中间值，如果所有其他代理都在其自身策略上扮演已知的分布，则代理倾向于（在某些统计不确定性范围内）一种策略而不是另一种策略，前提是其具有更高的回报。概率是以β为条件的，这提醒我们分布有一个自由控制参数。图4：左图：鸡肉游戏中一个代理的QRE曲面。曲面上的红色曲线是游戏的临界点集，[β，β]平面上的蓝色曲线是这些临界点到控制参数空间的投影。右图：向下投影到控制窗格上的视图，显示控制平面上具有1个固定点（A）或3个固定点（B）的区域。McKelvey等人首先对QRE中的分歧进行了分析【30】（接下来讨论的是鸡的游戏），两性之战游戏中的干草叉分歧见【18，图6.3，第153页】。这些图中的平衡点是使用符号数学包Mathematica计算的，但我们注意到，在使用同伦方法计算（Logit）QRE方面也有一些非常有趣的工作。这些方法也可用于计算纳什均衡，作为QRE的极限点，参见【42】，参见第2.2节。为了我们的目的，《两性之战》旨在说明QRE中可能发生的分歧，因为参数[β，β]是多种多样的。离散策略的payoffi-bi矩阵由以下公式给出：agent 2Swerve-strighagent 1Swerve（0，0）(-1，+1）直线（+1，-1) (-10, -10） 这个游戏代表了两个人之间的互动，比如电影中经常看到的两辆车的司机直接朝着另一辆车开去的游戏。挑战在于每个车手选择直行还是转向，选择直行的车手获胜，选择转向的车手获胜。

如果他们都选择转向，比赛就是平局，如果他们都选择直行，两个车手撞在一起并输了。有两种纯策略纳什均衡：一种是agent 1直行，agent 2直行，另一种是agent 1直行，agent 2转向。可以通过注意到，对于[转向，直行]或[直行，转向]，任何一个代理都不能通过单方面改变其选择来获得更高的回报，而另一个代理的选择仍然固定。还有一种混合策略均衡。当将这些游戏参数放入QRE中时，可以看出，【β，β】=【0，0】有一个固定点，【β，β】=3个固定点[∞, ∞], 这三个固定点对应于小鸡博弈的纳什均衡。将这些参数从零变为∞ 这些参数的某些值必然会出现新的固定点，如图4所示。McKelvey和Palfrey的原著中暗示了这一分岔图，Wolpert和Harr\'e最近的工作探索了这一方程组的一些多样性【45、46、21、22】。为了证明这一点，我们首先重新缩放概率，以便：Qi=2pjii- 1.∈ [-1，1]对于代理i的一个选择的概率，我们可以为每个代理使用一个变量Qi，并将QRE写成函数关系：Qi=fi（Q-i、 βi，（23）=fi（f-i（Qi，β-i） ，βi），（24）Q-i=f-i（Qi，β-i） ，（25）=f-i（fi（Q-i、 βi），β-i） 。

（26）为了找到QRE曲面的奇点集，我们通过首先找到形式的所有四项来计算系统的雅可比矩阵气βk，例如[45]：金融机构Q-我f-我气气βi+金融机构βi-气βi=0（27）fif-我气βi+fi-气βi=0（28）fifif-我- 1=气βi（29）方程式28的符号简化使用下标表示方程式23和25中的第一个或第二个变元，该变元与之相关。类似的一组计算结果为雅可比矩阵：JβQ=fif-我- 1.fifif公司-ifif公司-如果-我（30）当fif-我- 1 = 0. 这组解决方案在图4的左图中显示为红色曲线，该组解决方案在控制平面上的投影在右图中显示。当使用时间理论作为构建经济宏观经济模型的基础时，该集被称为经济的临界集。Sard定理允许我们得出结论，临界经济体集的测度为零[13，14]。图4是两种映射fj中的一种：βi×β-我→ Qj，j∈ {我，-i} 。另一种表示方法是考虑映射JβQ:Qi×Q-我→ R2×2，其中R2×2是部分导数矩阵族气βj∈ [-∞, ∞] 对于Ggames。这可以直接绘制，如图5所示，其中我们使用了鸡肉游戏作为示例。为了生成这些图，需要为气计算并绘制βj，结果生成绘图的背景色（金黄色）。然后通过隐式求解方程fif计算奇点集-我- 1=0，并将这些结果叠加在气βj.可以看出气βjdiverges是fif-我- 1 = 0.图5中出现的一个有趣的点是，除了可能的有限点和孤立点外，关键经济状态将Qi×Q划分为-我分成三部分。

对此的一种解释是，如果你所能观察到的一个经济体的所有分布都被夸大了（合格中介机构），那么这个空间的平稳运行受到分区的限制，有一些经济状态如果不通过经济的临界状态，就无法从常规经济体访问。讨论确定性突变理论在经济学中的应用有着一段令人担忧的历史，这段历史已经有了很好的记录[33]，但最近发表的一些文章已经开始在应用上出现了反向摆动[34、44、25、16、26、5]以及一些理论工作[26]。在本文中，我们试图简要介绍一些尚未收集到的最新材料，以期刺激理论工作，补充最近的应用研究。我们注意到，最初的突变理论，无论是确定性的还是随机的，对于直接的经济应用来说都是有限的。传统研究的奇点需要对势函数进行先验假设，而在经济背景下，这种假设可能很难进行调整。特别是，在势函数的公式中没有明确的代理-代理相互作用，这些相互作用是经济学的核心。图5：矩阵JβQ的完整空间，其中颜色表示梯度值气βj.红色曲线是一组关键经济体，对应于图4的红色曲线。另一方面，QRE与随机突变理论有着显著的相似性。方程20和22的结构相似性值得注意，但它们的解释并不等价。

方程20是一个具有非线性势函数的单一方程，而方程22是一组具有线性相互作用项的方程。假设这些方程中的指数项都是势函数，势函数是使用突变理论的必要条件，这可能很诱人，但这也不是显而易见的。Ay等人[4]推导出了一个一般形式的博弈论势函数：V（p）=Xi，jai，jpipj（31），其中a=ai，jis a（常值）支付矩阵，描述了主体之间的所有相互作用和主体的策略。在这种情况下，为了使V（p）成为势函数，需要保持以下关系：ai，j+aj，k+ak，i=ai，k+ak，j+aj，i（32）。如果矩阵a是对称的，则满足此条件。这些方程和它们的解释之间的关系还有待探索。这些考虑限制了突变理论可以应用于具有对称Payoff矩阵的博弈族。在经济理论中，这一点只被少数博弈所满足，特别是Sandholm的潜在博弈[35]和Rosser Jr的其他几个例子[33]。一般来说，在经济学中采用突变理论的频率很低，除了尖点突变之外，很少有其他例子被研究过（关于适用于住房市场的奶油泡沫突变的一个可能例外，请参见[8]）。然而，作为RosserJr。他指出，在经济学家使用的方法工具箱中加入突变理论具有相当大的价值。

更一般地说，在对市场崩溃（奇点）附近的经济系统动力学的正式分析中，有大量未触及的领域，在这些领域中，稳定的经济状态之间出现了快速的、有时是不受控制的过渡。致谢：我们非常感谢Laurentiu Paunescu的支持以及参加JARCS研讨会的众多人员。M、 ARC拨款DP170102927支持S.Harr\'e。附录：关于G-对策量子平衡理论分析基础的一些基本评论。本节将以最简单的方式重申贯穿第3.3节和第3.4节的数学思想线索，通过McKelvey和Palfrey提出的平衡的量子方法，将初等Ggames表示的博弈论与奇点联系起来。因此，我们只考虑两个参与者，每个人都有选择两种策略的自由。术语player和strategy（更不用说游戏）总是被抽象地解释。其中的第一个可以很容易地被代理或粒子群取代，而不会丢失任何信息。同样，“战略”一词很容易被国家所取代。我们将看到，术语的适当选择与特定数学模型定义平衡的方式密切相关。每一个G-博弈对应于实数上的一对唯一的2×2效用矩阵。每个玩家的“纯”策略是单位向量（1，0）和（0，1），而“混合”策略是成对的xi=（xi，xi），因此0≤ xij公司≤ 1和xi+xi=1，i=1，2。然后将效用函数gia定义为标准内积gi（x，x）=hx，Uixi。因为xi=1- xi，这些公式简化为一对二次函数qi（x，y），其域限制为单位平方S，因此x=x，y=x。

现在确定δq（y）=q（1，y）- q（0，y）和δq（x）=q（x，1）- q（x，0），并引入非递减的分段连续函数Fi:R→ [0，1]，使limx→-∞Fi（X）=0和limX→∞Fi（X）=1（i=1，2）。最后，让ψ（x）=F（δq（x）），ψ（y）=F（δq（y）），并定义一个映射ψ：S→ 使得ψ（x，y）=（ψ（y），ψ（x））。然后，平衡策略（或平衡状态）将对应于固定点ψ（x*, y*) = （十）*, y*) .这里特别关注两个特殊情况。首先，假设FIA根据参数为0的Heaviside函数定义≤ 一≤ 1： H（X，a）=1如果X>00，如果X<0a，如果X=0，则ψ（X，y）=（H（δq（y），X），H（δ（X，y））。这实际上定义了纳什均衡理论中的“最佳反应”图。注意ψ（x）=1如果q（x，1）>q（x，0）0如果q（x，1）<q（x，0），ψ（y）=1如果q（1，y）>q（0，y）0如果q（1，y）<q（0，y）。由于δqiare线性函数，这些关系表明，除了在S的顶点之间找到纯策略纳什均衡外，当δq（y）=δq（x）=0时，精确地出现唯一的混合策略纳什均衡。F的选择非常适合博弈论的经典概念，在博弈论中，均衡是双方都可以使用的“合理优化”策略。我们现在转向第二个模型，在该模型中，玩家不会理性地调整策略以应对对手的策略。相反，策略由平滑的概率分布控制。应用于特定游戏随机试验的大样本空间，该模型可能真实地反映人类群体的行为，也可能不真实地反映人类群体的行为，尽管它自然地适应于统计热力学中遇到的那种数值上的大粒子群。

作为这一理论基础的配分函数的一个标准概率分布为fi（X）=1+e-βiX（i=1，2），其中参数β是严格的正实数。注意ψ（x）=1+e-βδq（x）=eβq（x，1）eβq（x，1）+eβq（x，0），类似的ψ（y）=eβq（1，y）eβq（1，y）+eβq（0，y）。ψ（x）可以解释为系综2处于状态1的概率y，前提是系综1处于相同状态的概率为x。相反，ψ（y）表示系综1处于状态1的概率x，前提是系综2处于相同状态的概率y。给定两个事件A和B，当P（A）=P（B）时，条件概率P（A | B）和P（B | A）的经典定义之间的对称性就会发生，其中一个事件的概率通常取决于另一个事件的实际发生，正如贝叶斯定理所暗示的那样。相比之下，上述模型估计一个事件的概率取决于另一个事件的给定概率，这是量子相互作用领域的传统假设。在y=ψ（x）和x=ψ（y）的关系中出现的对称性是描述平衡点的另一种方式。因为S是R的一个闭且有界的子集，在当前情况下ψ：S→ S是一个连续映射，任何迭代序列{ψ（xk，yk）}都意味着固定点的存在∞k=1其中（xk，yk）=ψ（xk-1，yk-1） ，必须具有收敛子序列。这本质上就是Brouwer的不动点定理。然而，请注意，如果分布不是严格连续的，如纳什均衡的情况，那么Kakutanimay的更一般定理仍然适用。

对于函数空间上适当选择的范数，重分布实际上可以恢复为上述光滑分布的渐近β极限。对于（β，β）的一般值，ψ的固定点在S内的数量和位置（对于矩阵Ui的选择）将顺利取决于这些参数，这表明每个（β，β）的固定点集将生成参数平面的可能分支拓扑覆盖，对应于曲面∑={x=ψ（y）}∩ {y=ψ（x）} R+×S，其中R+=（0，∞). 现在letf（x，β，β）=x- ψ（ψ（x））和f（y，β，β）=y- ψ（ψ（y））。根据隐函数定理，fx（x*, β*, β*) = 1.-ψy（ψ（x*))ψx（x*) 6=0意味着在β的邻域中存在函数x=Д（β）*. 同样地，fy（y*, β*, β*) = 1.-ψx（ψ（y*))ψy（y*) 6=0意味着在β的邻域中存在函数y=Д（β）*. 因此，在任何正则平衡点（β*, x个*, y*), 曲面∑通过函数Д=（Д，Д）平滑参数化。相反，对于每个（β，β，x*, y*) ∈ ∑属于临界轨迹Γ={1-ψx（x*)ψy（y*) = 0}，标准投影π：R×S→ RmapsΓ∩ ∑到“分支轨迹”π（Γ）∩ Σ)  R+。在这个不考虑势函数的平衡公式中，没有根据Thom的基本灾难对临界点进行明显分类。上面的投影π表明，分支轨迹可以通过光滑曲面之间一般映射的正常形式来理解，正如惠特尼的经典定理（参见，例如[19]）。这似乎是图4所示类型的游戏的情况，但总体情况并不是很清楚。

特别是，必须要问的是，在上述G-游戏的上下文中出现的所有映射π|∑是否实际上都是泛型的，因为它们的第一个jet扩展总是与jet空间J（∑，R+）内的corank one子流形横向。参考文献[1]Sydney N Afriat。需求函数和Slutsky矩阵。（PSME-7），第7卷。普林斯顿大学出版社，2014年。[2] 弗拉基米尔·阿诺（VladimirI Arnol\'d.），突变理论。施普林格科学与商业媒体，2003年。[3] 弗拉基米尔·伊戈尔·阿诺德。优化问题中的奇点，极大值函数。《灾难理论》，第43-46页。斯普林格，1984年。[4] Nihat Ay、J¨urgen Jost、H^ong V^an L^e和Lorenz Schwachh¨ofer。信息几何，第64卷。Springer，2017年。[5] Jozef Barunik和Jiri Kukacka。实现股市崩盘：时变波动下收益的随机尖点灾难模型。《定量金融》，15（6）：959–9732015。[6] Jozef Barun'ik和M Vosvrda。随机尖点突变模型能解释股市崩盘吗？《经济动力与控制杂志》，33（10）：1824–18362009。[7] MV贝里。奇点的普遍幂律尾支配着强函数。《物理学杂志A：数学和通则》，15（9）：27351982年。[8] 约翰·卡斯蒂和哈里·斯温。突变理论与城市过程。IFIP TechnicalConference on Optimization Technicies，第388–406页。斯普林格，1975年。[9] 洛伦·科布。随机突变模型和多峰分布。《系统研究与行为科学》，23（4）：360–3741978。[10] 布鲁诺·科德诺蒂。计算博弈论，2011年。[11] Partha Sarathi Dasgupta和Eric S Maskin。德布鲁的社会均衡存在定理。《美国国家科学院院刊》，112（52）：15769–15770，2015年。[12] 杰拉德·德布鲁。具有一系列有限均衡的经济体。《计量经济学：计量经济学学会杂志》，第387-3921970页。[13] 杰拉德·德布鲁。