经济学中的奇点和灾难：历史视角和

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英文标题：
《Singularities and Catastrophes in Economics: Historical Perspectives and
  Future Directions》
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作者：
Michael S. Harr\\\'e and Adam Harris and Scott McCallum
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  Economic theory is a mathematically rich field in which there are opportunities for the formal analysis of singularities and catastrophes. This article looks at the historical context of singularities through the work of two eminent Frenchmen around the late 1960s and 1970s. Ren\\\'e Thom (1923-2002) was an acclaimed mathematician having received the Fields Medal in 1958, whereas G\\\'erard Debreu (1921-2004) would receive the Nobel Prize in economics in 1983. Both were highly influential within their fields and given the fundamental nature of their work, the potential for cross-fertilisation would seem to be quite promising. This was not to be the case: Debreu knew of Thom\'s work and cited it in the analysis of his own work, but despite this and other applied mathematicians taking catastrophe theory to economics, the theory never achieved a lasting following and relatively few results were published. This article reviews Debreu\'s analysis of the so called ${\\it regular}$ and ${\\it crtitical}$ economies in order to draw some insights into the economic perspective of singularities before moving to how singularities arise naturally in the Nash equilibria of game theory. Finally a modern treatment of stochastic game theory is covered through recent work on the quantal response equilibrium. In this view the Nash equilibrium is to the quantal response equilibrium what deterministic catastrophe theory is to stochastic catastrophe theory, with some caveats regarding when this analogy breaks down discussed at the end.
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中文摘要：
经济理论是一个数学丰富的领域，其中有机会对奇点和灾难进行形式化分析。本文通过20世纪60年代末和70年代左右两位杰出法国人的作品来审视奇点的历史背景。勒内·托姆（1923-2002）是一位备受赞誉的数学家，曾于1958年获得菲尔兹奖，而杰拉德·德布鲁（1921-2004）将于1983年获得诺贝尔经济学奖。两者在各自领域内都具有很高的影响力，鉴于其工作的基本性质，杂交受精的潜力似乎相当大。事实并非如此：德布鲁知道托马斯的工作，并在分析自己的工作时引用了他的工作，但尽管他和其他应用数学家将突变理论引入经济学，但该理论从未获得持久的关注，发表的结果也相对较少。本文回顾了Debreu对所谓的${\\it regular}$和${\\it critical}$经济体的分析，以便在探讨奇点如何在博弈论的纳什均衡中自然产生之前，对奇点的经济观点有一些见解。最后，通过最近对量子响应均衡的研究，介绍了随机博弈论的现代处理方法。在这种观点下，纳什均衡对量子响应均衡的影响就像确定性突变理论对随机突变理论的影响一样，最后讨论了关于这种类比何时失效的一些注意事项。
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分类信息：

一级分类：Economics        经济学
二级分类：General Economics        一般经济学
分类描述：General methodological, applied, and empirical contributions to economics.
对经济学的一般方法、应用和经验贡献。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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关键词：经济学 Mathematical Contribution Quantitative Perspectives

《经济学中的奇点与灾难：历史展望与未来方向》Michael S.Harrea，Adam Harrisb，Scott McCallumcaComplex Systems Research Group，悉尼大学工程与信息技术学院，新南威尔士州悉尼分校，2006年新南威尔士州新英格兰大学科学与技术学院，新南威尔士州阿米代尔，邮编：2351C麦格理大学计算机系，新南威尔士州2109抽象经济理论是一个数学丰富的领域，其中有机会对奇点和灾难进行形式分析。本文通过20世纪60年代末和70年代左右两位杰出法国人的作品来审视奇点的历史背景。勒内·托姆（19232002）是一位著名的数学家，他于1958年获得菲尔兹奖，而格拉德·德布雷（1921-2004）则于1983年获得诺贝尔经济学奖。两者在各自领域内都非常活跃，考虑到其工作的基本性质，杂交受精的潜力似乎相当大。事实并非如此：德布鲁知道托马斯的工作，并在分析自己的工作时引用了这一点，但尽管这一点以及其他数学家将突变理论应用于经济学，但该理论从未获得持久的关注，并发表了相对较少的结果。本文回顾了德布鲁对所谓的正规经济和竞争经济的分析，以便在探讨博弈论纳什均衡中奇点是如何自然产生的之前，对奇点的经济观点有一些见解。最后，随机博弈论的现代处理方法通过最近关于量子响应均衡的工作来涵盖。在这种观点下，纳什均衡是量子响应均衡，正如确定性突变理论是随机突变理论一样，最后讨论了当这种类比失效时的一些注意事项。1.

导言：“数学模式”是经济学史上的一个关键点，它指出了一个研究领域历史上的一个特定点，并指出：这一切都是从这里开始的，它过分简化了相互竞争的范式之间的复杂关系。然而，事后来看，我们可以看看已经成为主导范式的特定研究路线，看看那些作者当时写了什么来证明他们的特定观点，以便了解一位富有影响力的研究人员是如何构建他们的观点的。其中一位研究者是G'erard Debreu，一位经济学家，他是1983年诺贝尔经济学奖的唯一获得者，因为“将新的分析方法纳入了经济理论，并对一般均衡理论进行了严格的重新表述”。他的工作是经济学数学化的重要一步：瑞典国家银行纪念阿尔弗雷德·诺贝尔的经济科学奖。2019年7月15日提交给Elsevier的预印本，他的诺贝尔演讲题为：数学模式下的经济理论[14]。德布鲁承认托姆在灾难理论方面的工作的重要性，但选择不将这些思想纳入他对经济学的公理化处理中。与此同时，AppliedMathematics在许多领域以定性的方式使用突变理论，这最终会导致对突变理论的强烈反对。【33】中彻底回顾了突变理论在经济应用领域内的争论。简化整个经济复杂性的一种常见方法是简化为简化形式，并研究该经济体的当地行为【12】：有必要构建一个。。。有两种商品和两个消费者的经济。。。并且有几个平衡点。这个经济体有一个很大的负担，其中每个经济体都有相同数量的均衡。

类似这样的简化允许我们使用博弈论，两个经济主体各有两个选择，参见【11】了解最近的处理和讨论。图1：复制于图5之后。在[13]中。（e，p）表示经济结构e和e内生产的商品的价格p，这导致了均衡s*∈ S、 如图所示*可能不是唯一的，但它“几乎总是”本地唯一，请参见正文。德布鲁的一个重要贡献是区分了常规经济体和关键经济体。在图1中，一个经济体的不同配置被标记为e、e、e和e，其相应的平衡状态位于平衡面M上。T是平衡面M在所有经济配置空间e上的投影。Debreu证明，与Lebesgue测度为零的E子集相比，存在一个逆映射T-1： E类→ S，特别是如果T-1（e）∈ M是一个局部唯一平衡点，e是一个至少有一个平衡点s的常规经济体*. 这源于雅可比行列式远离0时的反函数定理。雅可比矩阵退化的特例，即e、e和e，是临界经济。引用德布雷（Debreu）[13，第284页]：例如，经济是一组离散的（两）平衡，但经济在邻近地区的持续位移会导致平衡组的突然变化。与奇点理论的相似之处显而易见，德布鲁也知道这一点。本文的目的是介绍博弈论、均衡理论及其随机变量的一些形式方面，并将其置于突变理论的背景下。本文的布局如下。第2节建立了纳什均衡的关键结果，并回顾了一种显式计算纳什均衡的重要方法。

第3节从突变理论的角度介绍了奇点，它对随机突变理论的扩展，以及它们与博弈论分岔的关系。第4节结合其他相关方法和结果讨论了这些结果。纳什均衡优化自然会导致奇点[2]，纳什均衡是优化问题的解决方案。因此，奇点的出现被认为是博弈论解的一个普遍性质。Arnol\'d[3]已经探索了优化的这一方面：。。。假设我们必须找到x，使得函数f（x）的值是最大的。。。在函数平滑变化时，最优解随跳跃而变化，从一个竞争极大值（a）转移到另一个极大值（B）。因此，奇点有望成为经济学理论的一个基本属性，经济学理论的核心是优化稀缺资源的配置。在这一部分中，我们将介绍博弈论作为决策问题的基本要素，以及纳什均衡作为最优解的基本要素。2.1. 基本定义和存在理论经济学关注的是存在n个代理的情况，其中每个代理i都有一组特定的有限选择Ci={Ci，…，ckii}。经济博弈是从代理人的选择到实值支付的函数，每个代理人一个：g:C×。×中国→ Rn，（1）其中g的ITH元素gi是对代理i的支付。代理i的策略是Ci上的概率分布：pi:pi（Ci），π（ckii），使得kixji=1pi（cjii）=1。为了简化符号，我们将pi（cjii）称为pjii。博弈g中主体i的预期收益的定义以离散选择为参数，可以扩展为以主体的策略为参数：gi（pi，p-i） =Xcj∈CXcjnn公司∈Cngi（cj，…，cjnn）pj。

pjnn（2）其中-i表示除元素i以外的所有索引元素。g的这个定义是一个扩展，因为它包含每个离散策略，作为一个特殊情况，其中一个概率pjii=1和p-jii=0，否则。这些被称为纯策略。非纯战略的战略称为混合战略。纳什均衡理论建立了以下结果，即定理2.1。纳什均衡：至少存在一个n元组（p*, . . . , p*n） 这样：gi（p*i、 p*-（一）≥ gi（pi，p*-（一） i、 pi。（3） 证明。（摘自Nash的原始文章[32]）任何n元组策略，每个代理一个，可以被视为乘积空间中的一个点，通过乘以代理的n个策略空间获得。如果counteringn元组中的每个代理的策略相对于counteringn元组中的其他代理的n-1策略对其代理产生了最高的可获得期望，则一个这样的n元组会相互抵消。自反n元组称为平衡点。每个n元组与其对应的n元组集的对应关系给出了乘积空间到自身的一对多映射。从对抗的定义中，我们可以看到一个点的对抗点集是凸的。通过使用pay-o-off函数的连续性，我们可以看到映射图是闭合的。这个封闭性相当于说：如果π，P。andQ，Q，Qn。是乘积空间中的点序列，其中Qn→ Q、 Pn编号→ P和qn计数器pn，然后Q计数器P。由于图是闭合的，并且映射下的每个点的图像都是凸的，因此我们根据Kakutani定理推断映射有一个固定点（即。

图像中包含的点）。因此存在一个平衡点。使用上面的符号，这可以更正式地重新表述[11]：给定一个代理i，对于每个（n-1）-元组p-在其他代理的策略中，有一个最佳响应函数：ψ（p-i） ={pi | gi（pi，p-（一）≥ gi（pi，p-（一） pi}。（4） 该函数由一组策略组成，这些策略能够在其他代理的策略p下最大化代理i的支付-i、 将ψ定义为乘积空间：ψ（p，…，pn）=ψ（p-1) × . . . ×ψ（p-n） （5）ψ是一个上半连续、凸值和非空值对应，它将n元组集映射到自身。Kakutani的不动点定理证明了不动点的存在性，如下所示：（p*, . . . , p*n）∈ ψ（p*, . . . , p*n） 这也满足方程3.2.2。计算方法本小节简要回顾了一些显式计算纳什均衡的方法。主要关注两个代理游戏，这是前一小节中介绍的设置n=2的特例。我们假设代理1有l个可用的纯策略，代理2有m个可用的纯策略。我们把ai，j=g（ci，cj）和bi，j=g（ci，cj），让A和B分别表示l×m矩阵（ai，j）和（bi，j）。为了简化概率分布的表示法，我们将xi=p（ci），表示为1≤ 我≤ l、 对于1，yj=p（cj）≤ j≤ m、 我们让x和yde分别记录列向量（xi）和（yj）。我们有lxi=1xi=1，x≥ 0l，mXj=1yj=1，y≥ 0米。（6） 然后，对代理1和代理2的预期收益分别简洁地表示为xTAy和xTBy，其中Xt表示x的转置。

这样一个博弈的纳什均衡就是一对（x*, y*) 满足（6），对于所有（x，y）满足（6），（x*)泰伊*≥ X天*和（x*)TBy公司*≥ （十）*)待定。也就是说，纳什均衡点是一对相互最好的混合策略。纳什均衡点（x）的一个等价刻划*, y*) 是（x）吗*, y*) 必须满足（6）和i【x】*i> 0个=> （Ay）*)i=最大值（Ay*)k] ，（7）j【y】*j> 0个=> （（x）*)TB）j=最大值（（x*)TB）k]。（8） 这一特征在[31]中得到了证明（见等式4）。它可以大致表达如下：混合策略是对对手策略的最佳反应，当且仅当它使用的纯策略是所有纯策略中最好的反应。另见[10]（引理4.17）。以下结果总结了找到阿纳什平衡点问题的进一步有用转变。定理2.2。假设A和B的所有元素都是正的。然后在所有纳什均衡点集（x）之间有一个双射φ*, y*) 和所有对的集合（u*, v*) 非零向量u的*∈ Rland v*∈ Rm，这样UTB≤ 1m，u≥ 0l，Av≤ 1l，v≥ 0米，和（9）i【u】*i> 0个=> （Av*)i=1]，（10）j【v】*j> 0个=> （（u*)TB）j=1]。（11） 证明。Let（x*, y*) 是博弈a，B的给定纳什均衡点。然后（x*)泰伊*和（x*)TBy公司*假设A和B的所有元素都为正，则为正。所以我们可以*i=x*i/（（x）*)TBy公司*) 对于每个i、v*j=y*j/（（x）*)泰伊*) 对于每个j，定义φ（x*, y*) = （u）*, v*). 不难验证（u*, v*) 满足关系（9-11），且该有序pairis的每个分量均为非零。相反，假设非零向量u*和v*给出了满足关系式（9-11）的。我们放x*= u*/（u）*+ · · · + u*l） ，y*= v*/（五）*+ · · · + v*m） ，并定义ψ（u*, v*) = （十）*, y*).然后（x*, y*) 满意度关系（6-8）。很容易检查映射φ和ψ是彼此的逆。

因此φ是所声称的双射（其逆ψ也是）。我们注意到，上述定理的假设，即A和B的所有元素都是正的，并没有太大的限制性。因为，如果给定的支付矩阵A和B不满足此假设，那么我们可以在A和B的所有条目中添加一个大的正常数，以确保A和B为正，而不改变博弈的本质。现在，我们重点描述Lemke和Howson[27]提出的一种方法，用于查找一对非零向量（u*, v*) 满足关系式（9-11）。我们也将这种向量对称为纳什均衡点。此后，我们将使用x和y分别表示u和v，并类似地表示相应的星型变量。这种轻微的符号滥用是为了确保与这一主题的大多数文献保持一致。考虑多面体集X={X∈ Rl | x≥ 0，xTB≤ 1} 和Y={Y∈ Rm | y≥ 0，Ay≤ 1} 分别在RL和Rm中。Lemke和Howsonis的方法方便地描述为X和Y顶点的标记过程，最初由Shapley提出【37】。设I={1，2，…，l}和J={l+1，l+2，…，l+m}分别为代理1和代理2的标签集，并将K=I∪ J、 对于x的每个顶点x，我们将K中的标签集l（x）关联起来，如下所示。对于1≤ 我≤ l、 如果xi=0，则为x指定标签i。对于1≤ j≤ m、 如果（xTB）j=1，则x给出l+j的标签。对于y的每个顶点y，我们将k中的一组M（y）标签关联起来，如下所示。对于1≤ j≤ m、 如果yj=0，则y被赋予标签l+j。对于1≤ 我≤ l、 如果（Ay）i=1，则y为labeli。我们说，如果X的每个顶点X满足xi=0的l方程，则X是非退化的，其中1≤ 我≤ l、 （xTB）j=1，其中≤ j≤ m。

类似地，如果Y的每个顶点Y正好满足yj=0中的m个方程，则Y是非退化的，其中1≤ j≤ m、 （Ay）i=1，带1≤ 我≤ l、 所以，如果X和Y都是非退化的，那么X的每个顶点都有l个标签，Y的每个顶点都有m个标签。顶点对（x，y）最多有l+mdi不同的标签，如果l（x）和m（y）具有非空相交，则该数字可能小于l+m。如果相应的多面体集X和Y是非退化的，则由A和B定义的两个代理博弈也称为非退化博弈。如果所考虑的游戏是非退化的，那么Lemke Howsonmethod的描述是最简单的，我们将在下文中对此进行假设。考虑顶点对（x，y）∈ X×Y 我们说（x，y）是L（x）的完全标号∪ M（y）=K。这个概念的重要性在于（x，y）∈ 当且仅当（X，Y）=（0，0）或（X，Y）是a和B的纳什平衡点时（根据等式10和11以及标签方案的定义），X×Y是完全标记的。为了避免特殊情况，原点（0，0）被称为艺术平衡。现在让k∈ K、 如果L（x），则（x，y）isk几乎完全标记∪ M（y）=K- {k} 。一个k-几乎完全标记的顶点正好有一个重复的标签，即正好有一个属于L（x）的标签∩ M（y）。Lemke-Howson算法通过一个与X×Y相关的图G沿着一条特定的路径来描述，它简洁、抽象，但并不十分明确。实际上，设G是X×Y的顶点和边的图。修复一些k∈ K、 平衡点（x*, y*) （如上所述，它是完全标记的）在G中正好与一个k-几乎完全标记的顶点（x，y）相邻，即通过去掉标签k获得的顶点。