从二次Hawkes过程到超Heston粗糙波动率模型

我们考虑（NT）T≥0根据（2）给出的内密度（参数取决于T），其中kφTk+kkTkis是严格小于1的固定常数。如前一节所述，我们首先给出有关缩放过程的直觉。3.1一般情况下的适当缩放使用缩放因子ωT，重缩放强度b ecomesωTλTtT=uTωT+ZtφTT（T- s）TωTλTT-sds+ZtφTT（T- s）pωttd（rωTTMTT s）+(√ωTZTtT），（7）其中mtt=NTt-ZtλTsds。假设（ωTλTtT）T≥0接近并考虑流程M*Tt=MTtTpωTTandP*Tt=PTtTpωTt。我们有HP*Tit=hM*Tit=ZtωTλTT sds和hP*T、 M级*Tit=0。因此，我们期望P*坦德M*To收敛于两个鞅M和P，如hM，P i=0。如前一节所述，为了获得连续鞅Mand P，我们选取ωT/T趋于零的ωTsuch。我们的目标之一是将祖巴赫效应保持在（7）的极限内，我们需要一个非退化的反馈项行为√ωTZTtT。我们有√ωTZTtT=ZtkTT（T- s）√T dP*Tt，这再次导致我们得出某些正γ的规范kt=k（·/T）pγ/T。现在，如果√ωtzttt收敛，根据（7）我们还应该得到uTωT+ZtφT的收敛T（T- s）TωTλTT-sds+ZtφTT（T- s）pωTT dM*因此，由于ωTλTtTand M*皮重预计会收敛，我们设置uT=u/ωtand必须确保φT（T）T和φT（T）T的收敛√ωTT。由于ωT/T为零，第一个积分支配第二个积分。因此，我们只需要考虑第一个积分，也可以取ωT=1。因此，对于某些正β，逻辑规格为φT=φ（·/T）（β/T）。

通过等式（7）中的极限，我们期望以下极限模型：Vt=u+Ztβφ（t- s） Vsds+Zt，Zt=Zt√γk（t- s） dPs。3.2假设和结果在稳定情况下存在线性分量，我们现在给出的精确假设与前一节中的假设非常相似。假设3。i） 核序列由kt（t）=rγTk（tT），φt（t）=βtφ（tT）给出，0<γ+β<1，k和φ非负可测，使得kkk=kφk=1。此外，uT=u>0。ii）假设1 ii）成立。假设3意味着在极限处不违反稳定性条件。然而，从重新调整尺度的角度来看，选择果仁φ和kt似乎并不是一件很自然的事。考虑φ和a′Tk形式的核序列（φ和k不依赖于onT），然后研究[11，26，27]中ωTλttta的极限，可能更令人满意。这意味着φT（T T）T=aTφ（T T）T。根据Tauberian定理，参见示例【7】，在这种情况下，aTφ（T）T只能收敛到formt的幂律函数-对于某些正δ和φ，δ必须是φ（t）~+∞t型-δ达到缓慢变化的函数。但是记住φ必须是可积的，所以我们需要δ≥ 然而，这种选择将导致难以确定φ处的积分极限T（T- s）ωTλTT-sds。为了能够考虑这种类型的自然但技术上更复杂的重新校准过程，我们将放弃第4节中的稳定性假设，在那里我们处理早期不稳定的情况。让我们定义重新缩放的过程XTt=NtT/T。我们有以下理论，其证明见第5.2节。定理4。

在假设3下，序列（XT，P*T） T型≥对于[0，1]上的Korohod拓扑，0是C紧的，因为T到了第五个点，任何极限点（X，P）都具有以下特性：oX几乎可以肯定是连续可微的。o存在一个布朗运动B，使得pt=ZtpVsdBs，其中V是X的导数和唯一的连续解vt=u+Ht+Zt，其中Ht=Ztβφ（t- s） Vsds（8）和Zt=Zt√γk（t- s） pVsdBs，开[0，1]。o对于任何ε>0，如果k=fH+1/2，λ与H∈ （0，1/2）且λ>0，V几乎肯定有H- εH–更高的规则性。3.3定理4的讨论o与定理2相比，波动率方程（8）中只出现了一个新项。它来自霍克斯动态中令人兴奋的部分。因此，第2.3节中讨论纯二次型情况的元素在此仍然有效让我们考虑这样的情况，其中k是一个0<k（0）<+∞. 利用分部积分和Fubini定理，我们可以写出Zt=Zt√γk（0）pVsdBs+ZtZtu√γk′（s- u） dspVudBu=Zt√γk（0）pVsdBs+ZtZs√γk′（s- u） PVUDBUBLES。因此Z是一个半鞅，在有限的变化项中，我们得到Zt=Zt√γk（0）ZspVsdBs。我们看到，霍克斯动力学中的二次反馈项由于在√V在上述方程式中。o让我们将核k取为Mittag-Le-fluer函数fα，λ和α∈ （1/2，1）和λ>0且φ（t）=κe-κt对于某些κ>0。根据文献[14]中的定理2.1，我们得到了任意h和tpositiveZt+h=ξt（h）+Zh，其中￠Zh=Zh√γfα，λ（h- s） dPs+tandξt（h）=Zt+Zhfα，λ（h- s） θt（s）dswhereθt（h）=-Zt+αλΓ（1- α） Zt（t- s+h）-1.-α（Zs- Zt）ds-（h+t）-αλΓ(1 - α） Zt。然后我们可以将远期波动率写为VT+h=Hte-κh+ξt（h）+ 2ξt（h）~Zh+u+~Hh+（~Zh）（9），~Hh=Zhφ（h- s） Vt+sds。函数ξ依赖于（Zt）0≤t型≤tand不能表示为（Vt）0的函数≤t型≤t。

所以我们从（9）中得到，以从0到t的市场历史为条件，（Vt+h）h定律≥0取决于过去的回报率，而不仅仅是通过最近的波动率。这意味着模型（6）和（8）可以重现强烈的祖姆巴切效应。因此，当k是Mittag-Le-fluer函数时，模型（8）是具有强Zumbach效应的超Heston型粗糙波动率模型。对于指数核k（t）=√2νe-νtandφ（t）=κe-κt通过类似的计算，我们证明了vt+h=u+~Zh+~Ht+e-2νhZt+2Zte-νh+e-κhHt.o最后指出，我们一般不证明极限点定律（X，P）的唯一性。然而，我们可以在φ=0的特殊情况下显示唯一性。可以处理这种特殊情况，因为Z是随机Volterra方程的解，该方程具有唯一的强解，有关详细信息，请参见第5.1节，有关粗糙方程唯一性的更多结果，请参见[2 3]。4几乎不稳定的二次Hawkes模型我们现在关注的是不稳定条件几乎在极限处被违反的情况。让我们考虑一系列二次Hawkes过程（NT）T≥0使kφTk+kkTk→ 1、与前面的章节相反，我们希望在这里使用自然重整化（至少对于φ，请参见下面假设3的注释），因此取φTof，形式为φT=βTφ和βT∈ （0，1）和kφk=1。我们还假设φ是重尾的（φ（x）~ x个-（1+α）带α∈ （0，1）因为x趋于完整）因为这种类型的核在线性霍克斯过程中会导致粗糙的波动性，请参见【11，27】。westart的Aga in对适当的缩放程序有深入了解。4.1在=kkTk+kφTk时，在几乎不稳定的小箱子中调整缩放程序。我们有e[λTt]=uT+Zt（kT+φT）（T- s） E[λTs]dsand thereforeE[λTt]≤uT1- 在因此，我们自然定义了以下重整化过程：λ*Tt=1- 在uTλTtT，λ*Tt=TZtTλ*Tsds和XTt=1- 附件uTNTtT。假设λ*t收敛到一些V。

我们可以预期∧*坦克斯*t收敛到∧和X。考虑r标度鞅*Tt=r1- 附件uTMTtTand P*Tt=r1- aTTuTPTtT，其中MTt=NTt-RtλTsds。由于[MT]t=[PT]t=NTt，我们有[M*T] T=[P*T] T=XTt。此外，hM*T、 P*Ti=0，约M*坦德P*Tare可能会收敛到一些鞅M和P，它们具有相同的括号X，使得hM，PI=0。设ψT=Xi≥1φ*它利用[26]中的命题2.1，我们从（2）中推导出λTt=uT+（ZTt）+ZtψT（T- s） （uT+（ZTs））ds+ZtψT（T- s） dMTs。所以我们有λ*Tt=（1- aT）+1- 在uT（ZTtT）+Zt（1- aT）TψTT（T- s）（1+uT（ZTsT））ds（10）+ZtT（1- aT）ψTT（T- s）pTuT（1- aT）dM*函数TψT（T·）的Lnorm等于（1-βT）-因此T（1-aT）ψT（·T）是非消失的，仅提供1- 1级βTis- 在因此，我们设置βT=2aT- 1（使βT<aT）。因为kφTk=βT→ 1然后是kkTk→ 然而，我们将看到序列kt仍然在极限中发挥作用。在（10）中，第一个积分是ZTT（1- aT）ψTT（T- s）ds。它已经出现在纯线性霍克斯过程中。我们从[26，29]中了解到，该项在强度的极限行为中至关重要，并且在非平凡标度极限中获得的必要条件是tα（1-aT）趋向于正常数。根据该规范，我们需要额外施加TuT（1-aT）收敛，以获得（10）中最后一个积分的非退化渐近极限。我们现在研究包含二次反馈的项：1- 在uT（ZTtT）和1- 在uTZtTψT时T（T- s）（ZTsT）ds。自kTψT（·T）k=（1- βT）-1实际上，第二个术语支配第一个术语。为了使第二项收敛，我们需要z的适当行为*Tt=ZTtT/√uT.我们有*Tt=rT1- aTZtkT公司T（T- s）数据处理*Ts。

（11） 因此我们希望-aTkT（T T）转换为e，并自然地假定kti的形式为kt=k（·/T）r1- 附件4.2几乎不稳定情况下的假设和结果我们现在将上述讨论中得出的条件总结为以下假设。假设5。i） 核序列（φT）T≥0满足度φT=（2aT-1） φ带（aT）T≥0a sequencein（0，1）和φ一个非负可测函数，使得kφk=1。此外，对于某些K>0和α∈ （0，1），极限→+∞αxαZ+∞xφ（s）ds=K.ii）核序列（kT）T≥0满意度kT=k（·/T）q1-用k a n负连续可微函数，使得kkk=1（特别是k（0））<+∞).iii）设δ=KΓ（1）-α)α. 有两个正常数λ和u*这样的限制→+∞(1 - aT）Tα=λδ和极限→+∞T1级-αuT=u*δ-1、第iii）点中δ的选择只是为了便于在结果和证明中记下。回想一下，从[27]中的引理4.3，在假设5下，函数ft（t）=ZtT（1- aT）ψT（T s）ds向sfα，λ（T）收敛，其中fα，λ（T）=Ztfα，λ（s）ds。SoT（1- aT）ψT（T s）~fα，λ（s）。这为我们提供了（10）-（11）极限（V，Z）形式的直觉：Vt=Ztfα，λ（t- s） （1+Zs）ds+Ztfα，λ（t- s）√λu*dMs，Zt=Rtk（t-s） dPsand，其中M和P是鞅，使得hM，pi=0，hMit=hP it=RtVsds。我们最终陈述了本节的主要结果，其证明见第5.3节。定理6。

在假设5下，序列（XT，M*T、 P*T） T型≥对于[0，1]上的Skorohod拓扑，0是C紧的，当T进入单位时，对于任何极限点（X，M，P）具有以下特性：o我们有hMi=h P i=X和XT=ZtFα，λ（T- s）1+Zsds+Ztfα，λ（t- s）√λu*Msds（12），ZT=Ztk（t- s） dPs.o如果α∈ （1/2，1），过程X i s almo s t肯定与导数V连续可微，并且在过滤扩大之前，存在两个布朗运动B（1）和B（2），使得V是vt=Ztfα，λ（t）的解- s）1+Zsds公司+√λu*pVsdB（1）szt=Ztk（t- s） pVsdB（2）s。此外，对于任何ε>0，V几乎肯定有α-- εH–更高的规则性。4.3定理6的讨论o模型（12）中的反馈形式与模型（8）中的反馈形式不同。在（8）中，它是瞬时通过Ztterm的，而在（12）中，它是通过与分数核的卷积来消化的在模型（12）中，价格和价格由两种不同的布朗运动决定。这种额外的布朗运动来自于强度线性部分的重标度，例如在[26]中已经观察到的在模型（8）和模型（12）中，粗波动率出现的原因非常不同。在（12）中，粗挥发性的起源是核φ的肥尾，而在（8）中，粗挥发性是由核k在0中的行为引起的。

此外，从定理6最后一点的证明中可以清楚地看出，Z的正则性对V的正则性没有影响如前一节所计算的，我们可以写出ztt=Ztk（0）pVsdB（2）s+ZtZsk′（s）- u） pVudB（2）uds。因此Z是一个半鞅，在有限的变分项中，我们得到dzt=2k（0）ZtpVsdB（2）s。此外，使用分部积分，我们得到ztfα，λ（t- s） Zsds=ZtFα，λ（t- s） dZs。在有限的变量项中，我们在模型（12）中有Vt=Ztfα，λ（t- s）√λu*pVsdB（1）s+ZtFα，λ（t- s） k（0）ZspVsdB（2）s。因此，与模型（6）和（8）一样，波动率动力学中的二次反馈项导致模型（12）是一个超赫斯顿型的波动率模型。然而，请注意，在这种情况下，super Heston和ro ug h组件并不相同使用[15]中的引理A.2，当α∈ （1/2，1），我们得到方程（12）等价于vt=V+Γ（α）Zt（t-s） α-1λ（Zs+θ（s）-Vs）ds+Γ（α）Zt（t-s） α-1辆√λu*dB（1）表示θ为确定性函数。在k（t）的情况下=√2νe-νtwithν>0，直接改编文献[14]中的定理2.1得出Vt+h=Vt+Γ（α）Zh（h- s） α-1λ（▄Zs+2▄ZsZte-νs+θt（s）- Vt+s）ds+Γ（α）Zh（h- s） α-1pVt+s√λu*dB（1）s，其中θt（h）等于θ（t+h）+αΓ（1- λ） Zt（t-v+h）-1.-α（Vv-Vt）dv+（t+t）-αλΓ(1 - α） （五）-Vt）+中兴通讯-2νhand▄Zh=Zhk（h- s） dPt+s。术语ZT不能作为（Vt）0的函数写入≤t型≤t、 因此，模型（12）再现了强烈的祖巴赫效应。最后，模型（12）是一个具有强大祖巴赫效应的超赫斯顿型粗糙波动率模型尽管最近有许多关于随机Volterra方程的工作，例如参见[3，1]，但方程（12）的强解的存在性仍然是一个开放的问题。5校样我们收集本节的所有校样。我们首先展示定理2，假设定理4成立。

然后我们给出了定理4的证明，最后是定理6.5.1定理2的证明利用定理4的结果，我们只需要证明当φ=0时，定理4 ii中的限制过程（X，P）在定律上是唯一的。考虑（X，P）的极限点（XT，P*T） T型≥那么V X的导数vt=u+zt，t存在布朗运动B，使得Pt=Rt√VSDB。因此，我们可以编写ztzt=Ztk（t- s） pu+zSDB。（13） 根据假设1 ii）以及[39]中的定理3.1和3.3，有一个唯一过程Z满足（13），并且是连续的。由于P是满足[P]=X，X=RtVsds和Vt=u+Zt的连续鞅，极限过程（X，P）完全由（13）的唯一解决定。我们得到（XT，P）的收敛性*T） 对于Skorohod拓扑。5.2定理4的证明我们分三步进行。首先我们证明了序列（XT，P*T） T型≥对于Skorohod拓扑，0是C紧固件。然后我们给出了关于极限点动力学的结果。最后，我们建立了极限点的正则性。5.2.1顺序的紧密性（XT，P*T） T型≥0我们考虑过程∧*Tt=Ztλ*Tsds和Z*Tt=Ztk（t- s） dP*t为t定义∈ [0, 1]. 备注∧*这是XT的可预测补偿器。我们有以下等式：E[λTt]=uT+ZtkT+φT（t- s） E[λTs]ds。ThusE[λTt]≤u1 - kφTk- kkTkand随后为E【XT】=E【λ】*T]≤u1 - γ - β.由于进程XTand∧*对于任何T，皮重增加，利用最后一个不等式，我们从定理VI-3.21和[25]中的命题VI-3.35推导出（XT）T≥0和（λ）*T） T型≥0对。此外，自|XT |+|Λ*T |≤ 根据[25]中的命题VI-3.26，（XT）T，1/T几乎肯定在[0，1]上≥0和（λ）*T） T型≥0为C紧型。tig厚度（M*T） T型≥0和（P*T） T型≥0根据[25]中的定理VI4.13，使用该hM*Tit=马力*Tit=∧*Tt。然后我们得到C-紧密性，因为|M*T |+|P*T |≤ 2吨/吨。

最后（XT，λ*T、 M级*T、 P*T） T型≥对于[0，1]上的SkorHod拓扑，0是C紧的。我们还表明序列（Z*T） T型≥0对于L（[0，1]）拓扑是紧的。为此，受[1]的启发，我们考虑由kfkwη，2（[0,1]）为任何可测函数f定义的Sobolev-Slobodeckij范数=Zf（s）ds+ZZ | f（t）- f（s）| | t- s | 1+2ηdsdt1/2.我们记得k·kWη，2（[0,1]）的闭球在L（[0,1]）中相对紧凑，见[19]。因此，足以表明E【kZ*TkWη，2（[0,1]）]T≥0统一边界，得出（Z）的紧密性*T） T型≥0英寸L（[0，1]）。对于任何t∈ [0，1]，我们使用Ito公式[（Z*Tt）]=Ztk（t- s） E[λTT s]ds≤u1 - γ - 0的βkkkand≤ s≤ t型≤ 1Z*Tt- Z*Ts=Ztsk（t- u） dP*Tu+Zsk（t- u）- k（s）- u）数据处理*然后我们得到[（Z*Tt- Z*Ts）]=Ztsk（t- u） E[λTT u]du+Zsk（t- u）- k（s）- u）E[λTT u]du。使用E[λTu]≤u1-γ-βwe obtainE[（Z*Tt- Z*Ts）]≤u1 - γ - βZtsk（t- u） du+Zsk（t- u）- k（s）- u）杜邦.根据【1】我们有ZZZ∨ts∧tk（s）∨ t型- u） | t- s | 1+2ηdudsdt≤ηZ | k（t）| t-2ηdtandZZZs∨ts∧t | k（t- u）- k（s）- u） | | t- s | 1+2ηdudsdt≤ZZ | k（t）- k（s）| | t- s | 1+2ηdsdt，从假设3 ii）中确定。最后利用Fubini定理，我们推导出（E[kZ*TkWη，2（[0,1]）]T≥0是有界的。So（Z*T） T型≥0在L中是紧的（[0，1]）。在进行下一步之前，我们先证明下面的引理。引理1。marting ales XT序列- Λ*t在[0，1]上将s一致收敛到0的概率。证据自NTt以来-RtλTsds是真鞅，从Doob不等式中我们得到∈[0,1]（XTt- ∧T*t） ]≤TE[NTT]。使用E【NTT】=T E【λ】*T] 我们推断[支持]∈[0,1]（XTt- Λ*Tt）]≤Tu1- γ - β、 这就是证明。5.2.2极限点的动态我们现在考虑（X，X，M，P，Z）的极限点（XT，λ*T、 M级*T、 P*T、 Z*T） T型≥0