从二次Hawkes过程到超Heston粗糙波动率模型

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《From quadratic Hawkes processes to super-Heston rough volatility models
  with Zumbach effect》
---
作者：
Aditi Dandapani, Paul Jusselin, Mathieu Rosenbaum
---
最新提交年份：
2021
---
英文摘要：
  Using microscopic price models based on Hawkes processes, it has been shown that under some no-arbitrage condition, the high degree of endogeneity of markets together with the phenomenon of metaorders splitting generate rough Heston-type volatility at the macroscopic scale. One additional important feature of financial dynamics, at the heart of several influential works in econophysics, is the so-called feedback or Zumbach effect. This essentially means that past trends in returns convey significant information on future volatility. A natural way to reproduce this property in microstructure modeling is to use quadratic versions of Hawkes processes. We show that after suitable rescaling, the long term limits of these processes are refined versions of rough Heston models where the volatility coefficient is enhanced compared to the square root characterizing Heston-type dynamics. Furthermore the Zumbach effect remains explicit in these limiting rough volatility models.
---
中文摘要：
基于霍克斯过程的微观价格模型表明，在某些无套利条件下，市场的高度内生性以及元指令分裂现象在宏观尺度上产生了粗糙的赫斯顿型波动。金融动力学的另一个重要特征是所谓的反馈或祖巴赫效应，它是经济物理学中几部有影响力的著作的核心。这本质上意味着过去的收益趋势传达了有关未来波动性的重要信息。在微观结构建模中再现该特性的一种自然方法是使用霍克斯过程的二次型。我们表明，经过适当的重标度后，这些过程的长期极限是粗糙Heston模型的精化版本，其中波动系数比表征Heston型动力学的平方根更强。此外，祖姆巴赫效应在这些限制性粗糙波动率模型中仍然很明显。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
--
一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
--

---
PDF下载：
--> From_quadratic_Hawkes_processes_to_super-Heston_rough_volatility_models_with_Zum.pdf (272.56 KB)

2022-6-24 09:22:03 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：波动率模型 Hawk sto Est 波动率

从二次Hawkes过程到具有Zumbach effectaditi Dandapani、Paul Jusselin和Mathieu Rosenbaum’Ecole Polytechnique的super-Hestonrough波动率模型，2021年1月20日通过基于Hawkes过程的微观价格模型，发现了一些无套利条件，市场的高度内生性，以及宏观尺度上赫斯顿型波动的元指令分裂现象。金融动力学的另一个重要特征是所谓的反馈效应或祖巴赫效应，它是经济物理学中几项经常性工作的核心。这本质上意味着过去的回报趋势传达了有关未来波动性的重要信息。在微观结构建模中再现该特性的一种自然方法是使用霍克斯过程的二次型。我们表明，经过适当的重标度后，这些过程的长期极限是粗糙Heston模型的定义版本，其中，与表征Heston型动力学的平方根相比，波动系数增强。此外，祖姆巴赫效应在这些限制性粗略波动率模型中仍然很明显。1简介自pap er[20]以来，人们普遍认为波动性是粗糙的。这意味着对数波动率本质上表现为分数布朗运动，Hurstparameter的阶数为0.1，另请参见示例【6、10、21、31】。粗波动性的微观结构基础（microstructualfoundations）使用霍克斯过程创建资产价格的微观模型。有鉴于此，作者在[11]中考虑了四个与市场微观结构相关的程式化因素：市场的高度内生性、无套利性、买卖不对称性以及元订单产生的市场订单流的长期记忆。

他们表明，当仅考虑三个前三种类型的事实时，就可以得到价格过程比例限制的赫斯顿模型。当流体的长记忆特性被加入时，其极限是[14，15]中引入和发展的粗糙赫斯顿模型。在拉夫赫斯顿模型中，即期方差Vt可以写为：Vt=V+λΓ（1-α） Zt（t- s） α-1.θ（s）-Vs公司ds+νpVsdBs，（1）其中λ和ν是一些正常数，θ是确定性函数，α∈ （1/2，1）和B是布朗运动。粗糙行为是由于奇异核（t- s） α-1这与具有赫斯特参数α的分数布朗运动的Mandelbrot-vanness表示中出现的相同- 1/2. 最近，假设订单流是由线性霍克斯过程驱动的，并且市场上没有统计套利，那么[29]表明价格必然遵循粗略的赫斯顿模型。事实上，据我们所知，迄今为止，所有关于粗糙波动性微观结构基础的研究都产生了粗糙赫斯顿模型。然而，在粗略模型的背景下，人们可能希望从微观结构的角度理解波动性的其他方面。第一点是多哥超越了与拉夫赫斯顿模型（1）波动率动态相关的平方根。一个特别有趣的情况是，当出现一个n A加法或乘法项时，平方根增大，导致更大的波动率尾部，请参见[2，8]。金融时间序列的另一个重要的程式化事实是价格回报对波动性的反馈。Zumbach在[41]中介绍了这一现象，其中他测量了价格趋势对未来波动性的影响，另见[32，40]。有证据表明，价格波动趋势会导致波动性增加。我们将该地产称为Zumbach效应。

在文献中，值得注意的是，重新解释祖巴赫效应的一种方法是考虑过去平方收益对未来波动的预测能力强于过去波动对未来平方收益的预测能力。为了在数据上检验这一点，我们通常会发现过去的平方价格回报率和未来实现的波动率（在给定的持续时间内）之间的协方差大于过去实现的波动率和未来平方价格回报率之间的协方差，更多详情请参见[8、9、13]。我们将这种祖巴赫效应称为弱祖巴赫效应。文献[13]证明，粗糙的赫斯顿模型再现了祖巴赫效应的弱形式。然而，这并不是通过反馈效应获得的，反馈效应是祖姆巴赫（Zumbach）[41]的原著中的运动现象。这仅仅是由于价格和波动性之间的依赖性，而波动性是由驱动其动力学的布朗运动的相关性所产生的。特别是在粗糙的赫斯顿模型中，波动率的条件定律仅通过过去的波动率取决于价格的过去动态，见【14】。从现在开始，我们谈论强Z-umbach效应，即未来波动性的条件法则不仅取决于过去的波动性行业，还取决于过去的回报率。受【11】方法论的启发，我们在本文中的目标是提出强祖巴赫效应的微观结构基础。我们还希望获得模型，即方差的瞬时波动率等于类赫斯顿模型的经典平方根项乘以非平凡过程，以增强波动率尾部。任何满足后一属性的模型都将被称为asuper-Heston模型。根据[8]的精神，建立微观模型的一种便捷方法是使用基于二次霍克斯的价格过程，对祖巴赫效应进行编码，并自然导致超赫斯顿粗糙波动率。

更准确地说，我们考虑以下微观结构模型的价格（Pt）t≥0：它是分段常数，涨价幅度大小独立且分布相同，取值为1或-概率为1/2。跳跃时间是计数过程N的跳跃时间。我们假设N是[8，34]中介绍的二次曲线型过程。这意味着强度（λt）t≥Nis的0由λt=u+Ztφ（t）给出- s） dNs+Zt，Zt=Ztk（t-s） dPs，（2）其中φ和k是R+和u>0上支持的两个无n负可测函数。在强度的定义中，核φ的线性项使我们能够模拟有序流的自激性质。ZT部分是过去收益的移动平均值。它可以被看作是一个在一定时间范围内的价格回报的代理。如果价格过去基本上一直呈趋势，那么中兴通讯的涨势将达到很高的强度。相反，如果它一直在振荡，Zt接近于零，并且强度返回的反馈很低。因此，zt显然可以理解为（强）祖姆巴赫术语。请注意，人们当然可以认为正价格趋势和负价格趋势对波动性有不同的影响。然而，为了简单起见，我们在本文中忽略了这种不对称性。最后回想一下，模型（2）的稳定条件是kφk+kkk，严格小于1，参见【8】。请注意，如果我们忘记了强度中的二次项zt，我们就剩下了线性霍克斯过程，正如[27]中所述。在这种情况下，在标度极限下，如果核φ是重尾的，并且我们接近不稳定，这意味着kφkt变为1，时间参数驱动渐近，则重新标度的强度过程会收敛到类似于（1）的粗糙动力学，参见【11，27】。

当核范数kφkis固定且严格小于1时，得到确定性极限模型。因此，我们看到处于近乎不稳定的状态是至关重要的，这样核φ就会产生粗糙度。回想一下，这种制度对应于市场的高度内生性，参见[8]中的[18、22、26、27]，作者研究了二次霍克过程强度的长期行为。也就是说，在时间范围[0，T]上，让T趋于完整，他们对（λtT）T的极限动态感兴趣∈[0,1]，可视为宏观（平方）波动率。它们在kφk+kkk=2γ<1固定的环境中工作，而不取决于T。基于PDE技术，他们获得了一个具有幂律边际分布和强Zumbach效应的渐近波动率差分过程。更准确地说，他们对价格和波动率的限制模型（^Pt，Vt）如下所示：d^Pt=√VtdBtwithVt=u+（Zt）+Ztγβe-β（t-s） VsdsZt=Zt√γαe-（t-s） α/2d^Ps，带B a布朗运动a和α，β一些正参数定义了函数φ和k，在[8]中取指数。在本文中，我们希望超越[8]中处理的案例，从中我们得到启示。我们进一步描述了二次霍克斯过程产生的相关限制价格动态。我们专注于寻找具有强祖巴赫效应的超赫斯顿粗糙波动过程的微观基础。我们的目标是建立二次Hawkes动力学的微观参数与宏观现象之间的联系，如波动的粗糙度和强Zumbach效应。我们在第2节中首先关注纯二次型情况，即φ等于零的情况。选择合适的标度参数，我们得到以下限制模型：d^Pt=√VtdBtwithVt=u+Zt（3）Zt=√γZtk（t- s） d^Ps，其中γ∈ （0，1）与内核k的缩放有关。

与纯线性情况相反，我们不需要任何类型的近似不稳定性，以便在标度极限处出现随机波动率模型。在（3）中，强烈的祖巴赫效应是自然编码的，因为波动性是过去价格回报的函数。我们还发现，波动性价格回报的二次反馈意味着VTI属于超级赫斯顿类型（这里基本上是对数正态分布）。例如，当u=0时可以看到这一点，其中我们得到zt=√γZtk（t- s） | Zs | dBs。此外，以k=fH+1/2为例，λ表示H∈ （0，1/2）和λ>0，通过fα，λ的Mittag-Le finger函数，我们得到了波动率具有H¨older r正则性- ε对于任何ε>0的情况。因此，从自然微观动态来看，我们能够获得宏观上具有强祖巴赫效应的asuper-Heston粗糙波动率模型。然后，我们研究了具有非零线性部分的二次Hawkes过程的极限模型。我们知道，只有在近不稳定状态下，才能从线性部分获得粗糙度，所以我们将这种情况和稳定情况分开处理。我们在第3节中考虑了稳定性条件不渐近违反的情况。结果与（3）相似，添加了漂移项βRtφ（t- s） Vt动力学中的VSD，其中β是与标度程序相关的常数。我们在第4节中研究了几乎不稳定的情况，其中线性部分的核的形式趋于1。假设φ（x）的行为与x相同-(1+α), α ∈ （1/2，1），当nx变为整数时，我们证明在缩放极限下会出现以下动态：d^Pt=√VtdB（1）twithVt=Γ（α）Zt（t- s） α-1λθ（s）+Zs- Vs公司ds+Γ（α）Zt（t- s） α-1ληpVsdB（2）s（4）Zt=Ztk（t- s） pVsdB（1）s，具有λ，η一些正常数，θa确定性函数和（B（1），B（2））两个独立的布朗运动离子。

与线性情况一样，近不稳定条件导致出现第二个驱动粗糙赫斯顿型项的布朗运动。我们看到，由于Ztterm与幂律内核结合在一起，强大的祖巴赫效应仍然得以再现。有趣的是，我们还表明，当k是正则的时，ds项与h（t）成比例（直到一个有限的变量项- s） ZsdZs，其中h是h（0）<+∞. 这可以解释为一个基本上是对数正态（非粗糙）的成分，允许我们将（4）视为一个超赫斯顿粗糙波动率模型。参见【15】，了解分数B罗文运动的Mandelbrot-van-Ness表示法的提示和联系。当不可能出现混淆时，我们使用符号lp，而不参考底层do main。2纯二次Hawkes模型的渐近行为在本节中，我们研究了纯二次Hawkes价格过程的可能标度极限。该系数对应于φ=0的（2）。我们专门针对这个案例进行了一节讨论，因为它使我们能够在一个简单的环境中表达我们的一些主要想法。更准确地说，我们考虑（NT）T≥0强度由λTt=uT+（ZTt）给出，ZTt=ZtkT（T- s） DPT。（5） 对于任何T，过程（NT，PT）的存在性可从[24]中获得。我们关注价格P的长期行为及其强度λT。在本节得出ma之前，我们首先讨论（以非严格的方式）我们的标度程序。2.1标度程序标度程序包括找到合适的因子ωTso，使序列ωtλttt向非退化极限收敛。假设ωTλttt收敛于某个过程Vt。由于[PT]T=NTt，我们有hptit T=ZtTλttsds。因此我们期望鞅P*Tt=pωttpttto收敛，因为它的括号会收敛。设P为其极限。

由于我们希望P连续，我们需要ωT/T到零。从(√ωTZTtT），我们预计√ωTZTtT=ZtkTT（T- s）√T dP*Tstoo，需要kT（T·）√T收敛。这导致我们考虑，如[8]中所述，对于某些γ>0和ωT=1的形式kt=k（·/T）pγ/T的核kt序列（因为我们观察到ωT最终不起作用）。最后通过（5）中的限制，我们获得了以下限制过程的候选值：Vt=u+Zt，其中Zt=Ztk（t- s） dPs。2.2假设和结果在纯二次型情况下，我们现在给出准确的假设，其中第二个假设纯粹是技术性的。假设1。i） 核序列（kT）T≥0由kt=rγTk（·T）给出，其中γ∈ （0，1）和k一个非负可测函数，使得kkk=1。此外，uT=u>0。ii）对于某些ε>0和f或任何0，函数k属于L2+ε≤ t<t′≤ 1，Zt | k（t′）- （s）- k（t- s） | ds<C | t′- t | r，对于某些r>0和C>0以及ηZ | k（t）| t-2ηdt+ZZ | k（t）- k（s）| | t- s | 1+2ηdsdt<+∞对于某些η∈ (0, 1).注意，对于α∈ （1/2，1）和λ>0，对于任何ε∈0, (2α - 1)/(1 - α), η ∈ (0 , α - 1/2）和r=2α- 在假设1下，对于任何T，我们都有kkTk=γ<1。因此，在极限条件下，不违反稳定性条件。我们现在陈述本节的主要结果。考虑重新缩放的进程xtt=NTtTTand P*Tt=√TPTtT。我们有以下定理。定理2。在假设1下，随着T的深入，序列（XT，P*T） T型≥0在[0，1]上，Skorohod拓扑向满足以下性质的som e过程（X，P）收敛：oX几乎可以肯定是连续可微的。o存在一个布朗运动B，使得pt=ZtpVsdBs，其中V是X的导数和唯一连续解vt=u+Zt，Zt=Zt√γk（t- s） pVsdBs，开[0，1]。

（6） o对于任何ε>0，如果k=fH+1/2，λ与H∈ （0，1/2）且λ>0，V几乎肯定有H- εH–更高的规则性。定理2将在第3节中推广，其证明将在第5.1.2.3节定理2的讨论中给出o二次Hawkes模型与GARCH和QARCHmodels有许多相似之处，请参见[16、17、37]。然而，从定理2，我们可以看到，我们不需要处于近不稳定状态kkTk+kφTk→ 1为了在比例限制下获得随机模型，而GARCH设置中需要随机模型，请参见[33]。o在极限模型（6）中，波动率和价格由相同的布朗运动B驱动。这与GARCH情况或几乎不稳定的Hawkes过程形成对比，在波动率动态中出现新的布朗运动，见【11】。与拱门情况相比，差异本质上在于此处收益率的约束规律Zumbach效应显然存在于极限模型中：波动性由Zt术语的回报驱动定理2最后一点中使用的Mittag-Le-Frienger型核在粗糙波动率文献中是非常标准的，参见示例【27】。它使我们能够在最大限度内获得波动过程样本路径的粗略行为当k（t）时=√2νe-νt，模型（6）是φ=0的[8]的模型。因此，定理2将[8]的结果推广到具有适当可积条件的任何核k。在下一节中，我们提供了一个更一般的扩展，它包含φ6=0的情况，并清楚地显示了动力学（6）的超赫斯顿性质。3一般二次Hawkes模型：StableCase我们现在研究一系列一般二次Hawkes模型的渐近行为，对于这些模型，在极限处不违反稳定性条件。