从二次Hawkes过程到超Heston粗糙波动率模型

利用Skorohod表示定理和（X，X，M，P）连续的事实，我们几乎可以肯定地认为（XT，λ）*T、 M级*T、 P*T） T型≥0在[0，1]到rds（X，X，M，P）和（Z）上一致收敛*T） T型≥0在L（[0，1]）上向Z靠拢：supt∈[0,1]| XTt- Xt |→T→+∞0，支持∈[0,1]| M*Tt- Mt |→T→+∞0，（14）支持∈[0,1]| P*Tt- Pt |→T→+∞0和Z（Z*Ts- Zs）ds→T→+∞根据文献[25]中的推论IX-1.19，我们得到M和P是局部鞅。此外[M*T] =[P*T] [25]中的=XTso推论VI-6.29给出了T，T中的[M]=[P]=X。由于M和P是连续的，我们得到HMI=[M]=hPi=[P]=X。我们还注意到E[XT]在T中是一致有界的。所以从Fatou引理来看，Xis可积，M和P是真鞅。此外，直到子序列（Z*T） T型≥0几乎肯定会向Z靠拢。我们推断Z已适应。此外，鉴于【支持】∈[0,1]（Z*Tt）]有界，我们得到支持∈[0,1]E[Zt]<+∞.我们证明∧*t几乎肯定在[0，1]t owardsZt上一致收敛u+Zsds+ZtF（t- s） dXs，（15），其中F（t）=Rtβφ（s）ds。我们有∧*Tt=Ztu+（Z*Ts）ds+ZtZtβφ（s- u） dXTuds。（Z）的几乎必然收敛*T） T型≥0in Ltowards Z意味着几乎可以肯定，在t∈ [0，1]，Zt（Z*Ts）ds→T→+∞ZtZsds。此外，利用Ito公式和Fubini公式，我们得到了ztzsβφ（s- u） dXTuds=Ztβφ（t- s） XTsds。从方程（14）中，我们推导出该量几乎一致收敛于sztβφ（t- s） Xsds。再次，伊藤公式和富比尼定理给出了tβφ（t- s） Xsds=ZtF（t- s） dXs。因此我们得到了∧的几乎确定一致收敛性*T） T型≥0向上（15）。因此，使用引理1，我们推导出xt=Ztu+Zsds+ZtF（t- s） dx和最终yxt=Ztu+Zs+Zsβφ（s- u） dXuds。因此，X对于Lebesgue测度是绝对连续的，导数V由vt=u+Zt+Ztβφ（t）给出- s） VSD。让ψ=π≥1(βφ)*iwe haveVt=u+Zt+Ztψ（t- s） Zsds。

（16） （E[Zt]）t的有界性∈[0,1]给出（Vt）t∈[0,1]在L中一致有界。我们现在证明zt=Ztk（t- s） dPs。利用Cauchy-Schwar z不等式，证明了（z）的收敛性*T） T型≥0表示在t中几乎肯定一致∈ [0，1]，ZtZ*Tsds→T→+∞ZtZsds。根据伊藤公式，我们得到了Ztz*Tsds=Ztk（t- s） P*Tsds并使用方程（14），我们推断它几乎肯定一致地收敛于Sztk（t- s） PSD。由于F（t）=Rtγk（s）ds<1，我们有ztzsk（s- u） dXuds=ZtF（t- s） dXs<Xt<+∞.所以我们可以使用随机Fubini定理并证明ztzsk（s- u） dPuds=Ztk（t- s） PSD。因此几乎可以肯定，对于任何t∈ [0，1]，ZtZsds=ZtZsk（s- u） dPudsandZt=Z+Zt√γk（t- s） dPs。此外，根据[36]中的定理V-3.9，存在布朗运动B，使得pt=ztpvsdbs，最后我们得到Zt=Zt√γk（t- s） pVsdBs。我们记得（E[Vt]）t∈[0,1]在L中有界。因此，将假设3 ii）t与[39]中的定理3.1和3.3一起使用，我们得出过程Z是连续的。因此，使用（16）V也是连续的。这部分证据到此结束。5.2.3正则性我们现在认为k由fH+1/2，λ表示H∈ （0，1/2）和λ>0。我们可以编写ztzsds=Zt√γfH+1/2，λ（t- s） PSD。因为Pt=Rt√VsdBs，P具有与布朗运动相同的正则性。因此，我们可以使用与[27]中第4.4节中相同的参数来推断t Z，因此，H- εH–对于任何ε>0.5.3定理6的证明，我们再次分三步进行。首先，我们证明序列（XT，M*T、 P*T） T型≥对于SkorHod拓扑，0是C紧的。

然后，我们证明了关于极限点动力学的结果，以及关于极限点正则性的结果。5.3.1密封性（XT，M*T、 P*T） T型≥0回顾重整化过程λ的定义*Tt=1- 在uTλTtT，λ*Tt=1- aTTuTZtTλTsds，XTt=1- 附件uTNTtT，Z*Tt=ZTtT/√uTM*Tt=r1- 附件uTMTtTand P*Tt=r1- aTTuTPTtT。我们有[λTt]≤ uT+ZtkT（t- s） +φT（T- s）E[λTs]ds。ThusE[λTt]≤uT1- kφTk- kkTkand随后的碱基[λ*Tt]≤1.- aT1- βT- kkTk=1。SoE[XT]=E[λ*T]≤ 1，给出了序列的紧密性（XTt）t∈[0,1]T≥0和(Λ*Tt）t∈[0,1]T≥0，两者都在增加。实际上，我们从|XT |+|Λ*T |≤1.-aTTuT随着T变为单位而变为零。注意引理1在假设5下仍然成立。密封性（M*T） T型≥0和（P*T） T型≥0源自【25】中的定理VI-4.13，因为hM*Tit=马力*Tit=∧*T和hM*T、 P*Ti=0。然后我们获得C-tig HTNESSINE|M*T |+|P*T |≤ 2吨/吨。最后（XT，λ*T、 M级*T、 P*T） T型≥对于[0，1]上的KoroHod拓扑，0是C紧的。5.3.2极限点的动力学我们现在取（X，X，M，P）一个极限点（XT，λ*T、 M级*T、 P*T） T型≥由于（X，X，M，P）是连续的，根据斯科罗霍德表示定理，我们可以考虑（XT，∧）*T、 M级*T、 P*T） T型≥0几乎肯定一致地向（X，X，M，P）靠拢：supt∈[0,1]| XTt- Xt |→T→+∞0，支持∈[0,1]|Λ*Tt- Xt |→T→+∞0和支持∈[0,1]| M*Tt- Mt |→T→+∞0，支持∈[0,1]| P*Tt- Pt |→T→+∞0。（17）根据文献[25]中的推论IX-1.19，我们得到了关于局部鞅的M a和P a。此外，自【M】*T] =[P*T] =XT，我们有[M]=[P]=X和hM，P i=0，使用[25]中的推论VI-6.29。因为M和P是连续的，我们推导出hmi=[M]=hPi=[P]=X。因为E[XT]在T中一致有界，我们得到了Land中的Xis，所以M和P是真鞅。

此外，Dambis-Dubin-Schwarz定理给出了两个独立布朗运动B（1）和B（2）的存在性，使得MT=B（1）Xt和Pt=B（2）Xt。回想一下，对于FT（t）=RtT（1- aT）ψT（ts）ds我们有∧*Tt=t（1- aT）+ZtFT（t- s） ds+ZtFT（t- s） pT（1- aT）uTdM*Ts+ZtFT（t- s） （Z）*Ts）ds+Zt（1- aT）（Z）*Ts）ds。根据引理4。3在[27]中，我们得到了一致收敛ztft（t- s） ds公司→T→+∞ZtFα，λ（t- s） ds。使用我们获得的部件集成z*Tt=k（0）P*Tt+Ztk′（t- s） P*Tsds。假设5 i）意味着k′在[0，1]上有界。作为（17）的结果，我们几乎可以肯定，Z*t在[0，1]上一致收敛于sk（0）Pt+Ztk′（t- s） dPsds=Ztk（t- s） 连续的DPS。这种收敛性与[27]中的引理4.3一起表明，几乎可以肯定的是，在t∈ [0，1]，ZtFT（t- s） （Z）*Ts）ds→T→+∞ZtFα，λ（t- s） Zsdsand（1- aT）Zt（Z*Ts）ds→T→+∞我们现在证明了rtft（t-s）√T（1-aT）uTdM*t以概率一致收敛于sztfα，λ（t- s）√λu*Msds。使用部件集成，我们有ztft（t- s） pT（1- aT）uTdM*Ts=ZtfT（t- s） pT（1- aT）uTM*Tsds。备注ZTFT（t- s） M级*Tsds-Ztfα，λ（t- s） Msdscan可以写入ztfα，λ（t- s） （M）*Ts- Ms）ds+Zt英尺（t- （s）-fα，λ（t- s）M*Tsds。（18） （18）中的第一项几乎可以肯定地使用（17）和fα，λ∈ 五十、 再次应用分部积分，我们得到了ZT英尺（t- （s）- fα，λ（t- s）M*Tsds=Zt英尺（t- （s）-Fα，λ（t- s）dM公司*Tsand使用Burkholder-Davis-Gundy不等式，我们得到（C在这里表示一个正常数，它随行变化）Ehsupt∈[0,1]Zt公司英尺（t- s）-Fα，λ（t- s）dM公司*Ts我≤ CEhZt公司英尺（t- （s）-Fα，λ（t- s）dXTsi≤ CZt公司英尺（t- （s）-Fα，λ（t- s）1.- 在uTE[λTT s]ds时≤ CZt公司英尺（t- （s）-Fα，λ（t- s）ds。根据[27]中的引理4.3，它收敛到零。

所以我们证明了xt=ZtFα，λ（t- s） （1+Zs）ds+Ztfα，λ（t- s）√λu*MsdswithZt=Ztk（t- s） dPs。5.3.3正则性我们可以写X asXt=Ztfα，λ（t- s）s+ZsZudu+Msds。因为Z是连续的，所以RTZSD是连续可区分的。因此，使用第4节中的相同元素。3和4.4在[27]中，用s+RsZudu替换s，我们几乎可以肯定地得出，X与导数V可微，满足vt=Ztfα，λ（t- s） （1+Zs）ds+Ztfα，λ（t- s）√λu*dMs。我们使用[36]中的定理V-3.9得到了所述结果，该定理给出了两个独立布朗运动B（1）和B（2）的存在性，使得MT=ZtpVsdB（1）和Pt=ZtpVsdB（2）s。还使用与[27]中第4.3节和第4.4节中相同的参数推导了V的正则性。致谢作者感谢Jean-PhilippeBouchaud和Jim Gatheral进行了许多有趣的讨论。a ut hors感谢ERC赠款679836 Staqamof和主席分析和监管模型的财政支持。参考文献【1】E.Abi Jaber、C.Cuchiero、M.Larsson和S.Pulido。带跳的卷积型随机Volterra方程的存在性和稳定性。打印前，2019年。[2] E.Abi Jaber和O.El Euch。粗挥发模型的多因子近似。《暹罗金融数学杂志》，10（2）：309–3492019。[3] E.Abi Jaber、M.Larsson和S.Pulido。一个有效的Volterra过程。arXiv预印本arXiv:1708.087962017。[4] E.Bacry、S.Delattre、M.Ho Off mann和J.Muzy。Hawkes过程的一些极限定理及其在金融统计中的应用。Stoc hastic Processes及其应用，123（7）：245–24992013。[5] C.拜耳、P.弗里兹和J.Gatheral。粗略波动下的定价。QuantitativeFinance，16（6）：887–904，2016年。[6] M.Bennedsen、A.Lunde和M.S.Pakkanen。D耦合随机波动率的短期和长期行为。arXiv预印本arXiv:1610.003322016。[7] N.H.宾厄姆，C.M。

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