加速股份回购和其他回购计划：什么神经

VWAP减去利润分享合同：1）在时间t=0时，没有初始交易。2） 银行必须代表客户在公开市场上购买股票，直至花费了相当于F的现金或合同到期（时间T）。对于此类合同，禁止销售。3） 如果合同在所需金额的现金支出之前到期，则银行通过向公司支付罚款来结算合同。否则，一旦花费了相当于F的现金（我们用时间τ表示该事件的发生），银行将成为一个百慕大期权，到期日为T，付款为α（q（aτ- κS）- F）+，式中：oq是银行代表公司购买的股份数量，与F相比；oτ ∈ T∩ [τ，T]指定停车时间（如所有百慕大/美国选项），其中T （0，T）是合同中规定的一组可能的行权日期；oα是利益分享的比例（通常为25%）；oκ是公司要求的最低比率（通常低于1%）。换句话说，银行被激励以比平均价格减去折扣更好的价格执行。备注2。这些合同在经纪和公司衍生品行业很常见，但尚不清楚它们是否真的能激励银行在所有情况下都执行良好。如果执行过程的开始确实很糟糕，并且如果银行随后意识到该期权几乎一文不值，那么就没有理由向客户提供尽可能最好的执行。

因此，为了向客户提供最佳服务，银行应将期权管理为α（q（Aτ-κS）- F）或α（q（Aτ-κS）- F）+-β（q（Aτ-κS）- F）-（其中β∈ [0，α）]，而不是α（q（Aτ- κS）- F）+。3模型3.1数学设置3.1.1状态变量的动力学我们考虑一个离散时间模型，其中每个时间段δt对应一天。换句话说，给定到期日T对应于N天（T=NδT）的合同，我们认为细分（tn=NδT）为0≤n≤Nof间隔[0，T]。我们表示，这种情况永远不会发生，因为选择T是为了确保交货的可能性。按N={N∈ {0，…，N}| tn∈ T}对应于可能（早期）锻炼日期的一组指数。我们考虑一个概率空间(Ohm, P） 以及一家上市公司，其股票价格由一个随机过程（Sn）n建模。我们用（Fn）表示由（Sn）n生成的已完成过滤（即，我们假设F包含所有P-null集）。备注3。值得注意的是，我们没有为价格动态设置特定的模型。对于n∈ {1，…，N}，股票在{t，…，tn}上的运行平均价格用an=nnXk=1Sk表示。让我们考虑一家负责购买该公司股票的银行。我们假设银行每天执行一个订单，我们用（vnδt）表示每日交易量：第一天的vδt，第二天的vδt，等等。随后，银行在市场上购买的股票数量（qn）由（q=0qn+1=qn+vnδt）给出。对于在第n天购买的每支股票，银行支付Sn+gvnVn+1, 其中，g是一个非负函数，用于模拟每股执行成本，（Vn）是市场交易量过程，假设是确定性的。

换句话说，交易者支付第n天的参考价格加上执行成本，这取决于她在第n天对市场的参与率。在[18]之后，我们考虑函数L：ρ∈ R 7→ ρg（ρ），并假设g满足以下假设：oL在R上严格凸，在R+上增加，在R上减少-;o L是渐近超线性的，即：limρ→+∞L（ρ）ρ=+∞.由（Xn）NHA建模的银行产生的累计现金支出具有以下动态：X=0Xn+1=Xn+vnSn+1δt+gvnVn+1vnδt=Xn+vnSn+1δt+LvnVn+1Vn+1δt，在下文中，我们首先计算与每种类型合同相关的利润和损失。然后，我们引入容许控制集，并提出一个目标函数，该函数可用于银行进行优化。3.1.2利润和损失。固定股数的ASR合同：无论银行是否选择在第n天提前行权∈ N或者如果合同在N=N日到期，银行必须获得Q- qnshares。我们假设这些剩余股份将以Snplus执行成本的价格购买。银行在n时刻花费的现金金额为（Q-qn）序号+`（Q-qn），其中“：R 7→ R+满足与执行成本函数L相同的属性。在行权日或到期日（n天），银行从公司收到相当于QAn的现金。银行由此产生的利润和损失isPnLQn=QAn- Xn公司- （Q）- qn）序号- `（Q）- qn）。二、具有固定名义价值的ASR合同：无论银行是否选择在第n天提前行使∈ N或者如果合同在N=N日到期，银行必须收购- qnshares。我们假设这些剩余股份将以Snplus执行成本的价格购买。

银行在时间n花费的现金金额为迷- qn公司序号+`迷- qn公司, 其中：`:R 7→ R+如上所述。在行权日或到期日（n日），银行从公司收到相当于的现金。银行由此产生的利润和损失isPnLFn=F- Xn公司-迷- qn公司序号- `迷- qn公司.三、 VWAP减去利润分成合同：如果银行在到期前成功支出了F，则其利润和损失isPnLSn=F- Xn+α（q（An- κS）- F）+，其中n对应于期权的行使日期。否则，我们假设到期日的利润和损失只是一种惩罚。在我们的方法中，我们考虑（i）即使F的金额没有花掉，也可以行使期权；（ii）一旦F的金额花掉，银行停止交易。此外，我们考虑了备注2中讨论的利润和损失的调整。这将导致以下修改的利润和损失公式：PnLSn=-`（F）- Xn）+α（qn（An- κS）- F）+- β（qn（An- κS）- F）-,其中：`:R 7→ R+如上所述。如果银行在F支出之前行使期权，则支付与`相关的罚款，并且我们假设如果X远低于F，该罚款足以补偿分成期限（如果为正值）。否则，除了涉及额外的β项外，支付与上述相同。实际上，xn应该等于F。3.1.3目标函数在引入目标函数之前，让我们首先定义一组可接受的控制。我们考虑最小和最大市场参与率。

换句话说，我们施加市场参与约束ρVn+1≤ 越南≤ ρVn+1，其中ρ为正，ρ可以是任意符号。因此，银行的可接受策略集可以表示为：A=n（v，n*)|v=（vn）0≤n≤n*-1为F自适应，ρVn+1≤ 越南≤ ρVn+1，0≤ n≤ n*- 1和n*是以N为单位的F停止时间∪ {N} }。为了与[19，20]保持一致，我们认为该银行愿意最大限度地提高其PnL的预期EDCARA效用。因此，银行面临的优化问题如下：sup（v，n*)∈AE[-经验值(-γPnLn*)]其中γ为银行的风险规避参数，PnL为PnLQ、PNLF或PnLS。备注4。我们假设选择股票的动力学，以便上述问题有一个解，即sup（v，n*)∈AE[-经验值(-γPnLn*)] 6= -∞3.2松弛和均值-方差近似：朝向机器学习方法3.2.1最佳停止问题的松弛给定问题的结构，在n+1日购买的最佳股票数量可以写为闭环控制v（n，Sn，An，Xn，qn）。类似地，行使该选项的最佳决策可以写为：1{n*=n} =p（n，Sn，An，Xn，qn）。由于函数p取{0，1}中的值，该问题不适用于通常与神经网络相关的优化方法，例如随机梯度下降。

在这方面，我们扩展了容许控制集，以允许随机停止决策。更准确地说，可接受的策略是由以下因素决定的：o每天要购买的股票数量，由F-适应过程（vn）n建模（直到δt乘法器）随机停止策略（pn）n，这是一个F自适应过程，在pn=1n=Nif n的区间[0，1]内取值/∈ N、 此类约束有时在合同中明确规定。为了对基于随机停止策略（pn）n的有效停止决策进行抽样，我们引入了扩展的σ-代数G Fn和i.i.d随机变量（~n） 未定义日期(Ohm, P、 G），在[0，1]上一致，并假设独立于FN。有效停车时间n？然后定义为最小值{n∈ N∪ {N}| n≤ pn}，因此由BPn定义的顶级决策BPn=1°n<pn作为参数pn给定Fn的伯努利分布。因此，该策略的PnL由以下公式得出：PnL=NXn=1n-1Yk=1（1-bpk）bpnPnLn。对于n，我们以vθ（n，Sn，An，Xn，qn）的形式搜索最优策略v∈ {0，…，N-1} ，p的形式为pn=pφ（n，Sn，An，Xn，qn）表示n∈ N、 它们都位于分别由θ和φ参数化的有限维函数集中。备注5。对于固定的股份数量和固定的名义ASR合同，当使用CARA效用框架时，最优策略不依赖于现金变量（见[19，20]）。因此，在这些情况下，现金变量不存在vθ和pφ。在我们宽松的环境中，目标函数对神经网络的参数具有不同的依赖性。3.2.2神经网络为了使神经网络在尺度效应方面具有鲁棒性，我们确保作为神经网络输入的变量是无量纲且集中的。

利用[19，20]的发现，我们将其作为输入-SSI而非A，因为该策略强烈依赖于现货价格和运行平均价格之间的价差。同样，网络的输出被设计为天真策略的扰动（详情见下文）。一、 固定股数的ASR合同：我们将股份回购率vθ参数化为：vθ（n，S，A，X，q）=q·min1+~vθnN型-,不锈钢- 1，A- SS、qQ-·n+1N，1- q、 其中，vθ是一个由4个输入、50个具有再激活功能的神经元和1个输出组成的神经网络。值得注意的是，如果▄vθ等于0，则在步骤n+1达到的投资组合为+1NQ，这对应于交易员每天购买相同数量的股票直到到期的交易时间表。随机停止策略pφ表示为：pφ（n，S，A，X，q）=1n∈N·Sνφ·qQ- pφnN型-,不锈钢- 1，A- 不锈钢+ 1n=N，在[10]中使用了类似的想法，用神经网络处理美式期权。其中，pφ是一个由3个输入、50个具有再激活功能和1个输出的神经元组成的隐藏层组成的神经网络，νφ是一个标度参数，S是由以下定义的激活函数：S:x 7→ 最小值最大值1+e-x个-, 0, 1..我们使用激活函数，它是逻辑函数的修改版本（重新缩放并限定为[0，1]），以允许达到值0和1。根据n、S和A，网络pφ的输出可以解释为比率q的前沿，我们在其上行使期权。二、

具有固定名义价值的ASR合同：我们将股份回购率vθ参数化为：vθ（n，S，A，X，q）=FA·n+1N1+~vθnN型-,不锈钢- 1，A- SS，qAF-- q、 其中，vθ是一个由4个输入、50个具有再激活功能的神经元和1个输出组成的神经网络。值得注意的是，如果▄vθ等于0，则在步骤n+1达到的投资组合为+1NFA，这对应于自然的原始交易计划。随机停止策略pφ表示为：pφ（n，S，A，X，q）=1n∈N·Sνφ·qAF公司- pφnN型-,不锈钢- 1，A- 不锈钢+ 1n=N，其中▄pφ是一个由3个输入、50个具有再激活功能和1个输出的神经元组成的隐藏层组成的神经网络，νφ是一个标度参数。这里网络pφ的输出可以解释为根据比率qaf的前沿，取决于n、S和A，我们在其上行使期权。三、 VWAP减去利润分享合同：我们将股份回购率vθ参数化为：vθ（n，S，A，X，q）=1X<F·F- XSmax最小值N- n（1+~vθ（····）），1, 0,式中，vθ（······）表示vθnN型-,不锈钢- 1，A-SS，XF-,qSF公司-, ~vθ是一个由5个输入组成的神经网络，一个由50个神经元组成的隐层，具有ReLU激活函数和1个输出。值得注意的是，如果▄vθ等于0，则所花费的现金（直至执行成本）等于剩余现金支出与到期前剩余天数的比率，这是一种自然天真的策略。

“最大”和“最小”功能可防止我们抛售和过度购买。随机停止策略pφ表示为：pφ（n，S，A，X，q）=1n∈N·Sνφ·XF车型- pφnN型-,不锈钢- 1，A- 不锈钢、qSF-+ 1n=N，其中▄pφ是一个由4个输入、50个具有再激活功能和1个输出的神经元组成的隐藏层组成的神经网络，νφ是一个标度参数。这里，网络pφ的输出可以解释为根据比率f的前沿，取决于n、S和A，我们在其上行使期权。3.2.3目标函数近似我们可以在预期的CARA效用目标函数上使用随机梯度下降或小批量梯度下降来近似最优交易和最优停止策略。然而，效用是指数的这一事实通常会引起数值问题。因此，我们考虑通过平均方差objectivefunction对预期CARA效用目标函数的经典Arrow-Pratt（例如参见[33]）近似：-γ对数E[exp(-γPnL）]≈ E[PnL]-γV【PnL】。在我们宽松的环境中，我们有E[PnL]=E[E[PnL | FN]=E“E”NXn=1n-1Yk=1（1-bpk）bpnPnLnFN##=E“NXn=1E”n-1Yk=1（1-bpk）bpnFN#PnLn#=E“NXn=1n-1Yk=1（1- pk）pnPnLn#，自“n”起-1Yk=1（1-bpk）bpnFN#=E“n-1Yk=1（1- 1~k<pk）1°n<pnFN#=n-1Yk=1（1- pk）pn，其中我们使用了（p，…，pn）是FN可测量的事实，并且, . . . , ~nare i.i.d.独立于FN。类似地，EhPnLi=E“NXn=1n-1Yk=1（1- pk）pnPnLn#。需要注意的是，我们可以从verybeginning中选择一个均值-方差目标函数。

我们之所以从指数效用开始，是为了将我们的论文与[19，20]联系起来。同样重要的是，回顾与CARA效用函数相关的确定性等价物的平均方差近似值（i）在高斯风险的情况下是准确的，（ii）对应于风险规避参数的Firstorder-Taylor展开（约为0）。随后-γ对数E[exp(-γPnL）]≈ E“NXn=1n-1Yk=1（1- pk）pnPnLn#-γ“E”NXn=1n-1Yk=1（1- pk）pn（PnLn）#-E“NXn=1n-1Yk=1（1- pk）pnPnLn#！#。因此，使用蒙特卡罗近似，I价格轨迹（Sin）为0≤n≤N、 1个≤我≤一、 以及由此产生的停止策略（pin）1≤n≤N、 1个≤我≤土地收益和损失（PnLin）1≤n≤N、 1个≤我≤一、 我们可以考虑以下近似值-γ对数E[exp(-γPnL）]≈IIXi=1NXn=1n-1Yk=1（1- pik）pinPnLin-γ“IIXi=1NXn=1n-1Yk=1（1- pik）引脚（PnLin）-IIXi=1NXn=1n-1Yk=1（1- pik）pinPnLin！#。给定采样轨迹（Sin）0≤n≤N、 1个≤我≤一、 上述等式的右侧仅取决于θ和φ。因此，使用自动差异化工具，我们可以在此目标函数的代理上执行梯度下降。4数值结果在本节中，我们说明了我们方法的实际应用。我们认为下面描述的参考案例对应于股票总SA的四舍五入值，仔细考虑后认为与[20]中相同，以表明我们的方法获得的策略与[20]中针对固定数量股票的ASR合同得出的策略相似。出于同样的比较目的，我们使用算术布朗运动价格轨迹Sn+1=Sn+σ来训练神经网络√δtn+1，其中(n） nare i.i.d.n（0，1）随机变量。