加速股份回购和其他回购计划：什么神经

与[20]中所述方法的情况相反，我们的方法几乎可以用于任何价格动态甚至历史数据。更准确地说，我们考虑以下市场模型：oS=45EUR；oσ=0.6EUR·天-1/2，相当于约等于21%的年波动率；不幸的是，历史时间序列往往不够长。一种新的做法是使用根据历史数据校准的生成性模型模拟的数据（例如生成性对抗网络——见【17】）T=63个交易日。一组可能的早期锻炼日期为N=[22，62]∩ N、 on∈ {1, . . .

，N}，Vn=V=4 000 000股·天-1;o L（ρ）=η|ρ| 1+φ，η=0.1EUR·份额-1·天-1和φ=0.75.4.1具有固定股份数量的ASR合同对于该合同，我们考虑以下特征：oQ=20000 000股；o`：问题7→ CQ表示终端罚款，其中C=2·10-7欧元·份额-2;o ρ = -∞, ρ = +∞, 这意味着没有参与约束。我们对风险规避参数的选择是γ=2.5·10-7EUR-1、让我们考虑三种不同的价格轨迹，以展示银行最优战略的几个特征。0 10 20 30 40 50 60Time3638404244464850524PriceSpotaverage 0 10 20 30 40 50 60Time0.000.250.500.751.001.251.501.752.00股数1E7图1：固定股数ASR的价格轨迹1和相应策略0 10 20 30 50 60Time363840424648504PriceSpotaverage 0 10 20 30 40 50 60Time0.000.250.500.751.251.501.752.00股数1E7图2：价格轨迹2以及固定股数ASR的相应策略0 10 20 30 40 50 60倍36384042444648505254价格总额0 10 20 30 40 50 60倍0.000.250.500.751.001.251.501.752.00股数1e7图3：固定股数ASR的价格轨迹3和相应策略第一价格轨迹呈现上升趋势。在这种情况下，银行的最佳策略是缓慢购买股票，以尽量减少执行成本，如图1所示。第二个价格轨迹呈现下降趋势。在这种情况下，即使没有购买所有必需的股份，银行也可以迅速进行激励（见图2）。

事实上，随着价格保持在平均水平以下，后者会随着时间的推移而下降，这使得推迟行使期权的可能性降低。我们考虑的第三条价格轨迹对应于价格先下降后上升。正如前面的两个例子一样，我们在图3中看到，银行的行为与价格与其运行平均值的相对位置密切相关。在合同开始时，当价格低于其运行平均水平时，该银行正在以高速收购股票。之后，当价格超过其运行平均值时，银行再也无法加速执行。相反，银行被鼓励推迟行使期权，甚至出售股票以保持接近qn=nNQ的策略，因为与该策略相关的风险由ASR合同的支付进行对冲。现在，如【20】所述，我们研究了参数对最优策略的影响。更准确地说，我们关注的是执行成本参数η和风险规避参数γ。让我们首先关注执行成本，更准确地说，关注流动性参数η。我们用4个参数η的值来考虑我们的参考情况：0.01、0.1、0.2和0.5。如图4所示，对应于第三条价格轨迹，股票的流动性越低，最优策略就越平滑，以避免突然交易和往返。参数η不同值的均值-方差标准的最佳值如下表所示：η0.01 0.1 0.2 0.5MeanVarQS1.13%1.05%0.99%0.81%，正如预期的那样，股票的流动性越高，银行的合同就越有利。0 10 20 30 40 50 60时间0.000.250.500.751.001.251.501.752.00股份数1e7η=0.01η=0.1η=0.2η=0.5图4：执行成本的影响现在让我们来谈谈风险规避。

我们考虑我们的参考案例，参数γ有4个值：0，2.5·10-9, 2.5 · 10-7和5.0·10-图5显示了γ对最佳策略的影响。我们发现，银行越厌恶风险，其战略就越接近幼稚战略（即qn=nNQ）。这是直观的，因为与此策略相关的风险通过ASR合同的支付效果得到了完美的对冲。在另一端，当γ=0时，相应的策略在合同开始时更加积极，以便能够尽快从期权性中受益（因为“我们选择的”函数提供了一个非常强大的激励，在早期行使时只需购买少数股票）。阻止银行立即购买的只是执行成本。有趣的是，当γ=0时，最优策略不涉及任何股票出售。0 10 20 30 40 50 60时间0.000.250.500.751.001.251.501.752.00股份数量1E7γ=0γ=2.5· 10-9γ= 2.5 · 10-7γ= 5.0 · 10-7图5：风险规避的影响由于神经网络只是近似值，有时我们可以看到在无风险规避的情况下，与最优的只买策略存在一些小偏差。风险规避参数γ不同值的平均方差值如下表所示：γ0 2.5·10-92.5 · 10-75 · 10-7MeanVarQS1.35%1.32%1.05%0.86%。由于我们的优化问题不是凸的，优化过程可能会导致局部最优。由于神经网络权重的随机初始化和蒙特卡罗采样，学习过程并不总是相同的。图6显示了与γ=5·10的学习过程的两个不同实例相关的两个非常不同的学习曲线-7EUR-1.

我们发现，第二个实例的优化过程停滞在次优状态（平均方差分数略低于0），而第一个实例的优化过程达到了分数明显更高的状态。0 200 400 600 800 1000纪元-200-150-100-50050100标准学习曲线1学习曲线2图6：训练曲线（y轴的单位是以基点表示的meanvarq）0 10 20 30 40 50 60时间0.000.250.500.751.001.251.501.752.00股数1e7图7：局部最优策略有趣的是，与第二个学习实例相关的次优策略包括以恒定的速度买入股票，直到获得所需数量的Q股，并立即行使期权，而不管价格轨迹如何（见图7）。不足为奇的是，这种策略可能是局部最优的，因为期权支付为执行过程提供了完美的对冲。为了防止学习者陷入上述局部最优类型的吸引域，我们可以通过在第一个训练阶段将γ设置为0来修改目标函数，以消除对冲的动机。我们将此程序称为预培训。我们在图8中展示了与学习过程相关的学习曲线，其中我们在前100个时期进行了预培训，并将其与上述两个未进行预培训的示例进行了比较。从这张图中，我们可以看到，对网络进行预训练有助于避免这种类型的局部最优。此外，当使用预训练时，我们在图8中看到，学习曲线不显示中间平台。0 200 400 600 800 1000纪元-200-150-100-50050100有无预训练的预训练标准1无预训练2图8：有无预训练的学习曲线比较。备注6。

应该提到的是，我们的预训练过程能够避免平凡的局部最优，但理论上不能确保收敛到全局最优（这是机器学习中的一个常见问题，尤其是神经网络）。然而，我们得到的策略与我们之前基于求解Bellman方程的工作【19，20】的结果一致。因此，我们相信，我们的方法成功地达到了全局最优。4.2具有固定概念的ASR合同对于本合同，我们考虑以下特征：oF=90万EUR；o`：问题7→ CQA终端罚款，其中C=2·10-7欧元·份额-2;o ρ= -∞, ρ = +∞, 这意味着没有参与约束。我们选择风险规避参数γ=2.5·10-7EUR-1、在图9、图10和图11中，我们绘制了固定名义ASR合同的策略（上述三种价格轨迹相同）。目标股票数量用实线表示（由于股价变化，它不是常数）。0 10 20 30 40 50 60时间36384042444648505254价格总平均值0 10 20 30 40 50 60时间0.000.250.500.751.001.251.501.752.00股票数量1E7图9：具有固定名义的ASR价格轨迹1和相应策略0 10 20 30 40 60时间363840424648505254价格总平均值0 10 20 30 40 50 60时间0.00.51.01.52.0股票数量1E7图10：价格轨迹2和相应策略对于具有固定名义0 10 20 30 40 50 60时间的ASR 36384042444648505254价格总额0 10 20 30 40 50 60时间0.00.51.01.52.0股份数量1e7图11：具有固定名义的ASR的价格轨迹3和相应策略现在，让我们比较与两种类型ASR合同相关的策略。